Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số (2)

Bài 3: Giá tr ln nht – nh nht ca hàm s và ng dng
Chng I. Hàm s – Trn Phng
Bài ging 3: Giá tr ln nht – nh nht ca hàm s và ng dng

Bài 1:
Cho có A > B > C. Tìm giá tr nh nht
ABCΔ

sin sin
() 1
sin sin
xAxB
fx
xCxC
−−
=+
−−
−

Li gii: Do A > B > C và A, B, C là 3 góc ca tam giác ABC nên sinA > sinB > sinC nên
đk xác đnh là:
sin
sin
x
A
x
C
≥
⎡
⎢
<

⎣

Ta có:
22
sinsin sinsin
() 0
sin sin
2( sin ) 2( sin )
sin sin
AC BC
fx
xA xB
xC xC
xC xC
−−
′
=+
−−
−−
−−
>

⇒
f(x) đng bin trên
[
)
( ,sin ) sin ,CA−∞ +∞U , mt khác có:

sin sin
lim ( ) lim 1 1

sin sin
sin sin
(sin ) 1 1
sin sin
xx
xAxB
fx
xCxC
AB
fA
AC
→−∞ →−∞
⎛⎞
−−
=+
⎜⎟
⎜⎟
−−
⎝⎠
−
=−<
−
−=

Vy
sin sin
min ( ) 1
sin sin
AB
fx

AC
−
=−
−

Bài 2
: Cho . Tìm max, min ca
222
1xyz++= Pxyzxyyzzx
=
+++ + +
Li gii: t
()
2
2222
3( ) 3 3txyz t xyz x y z t=++⇒ = ++ ≤ + + =⇒≤

Ta có:
()
2
222
2
()
1
22
xyz x y z
t
xy yz zx
++ − + +
−

++= =


22 2
121(1)
22 2
tttt
Pt
2
−
+− + −
⇒=+ = =
•
Tìm min P:
Do
2
1) 0,tt+≥∀
1P⇒≥−
Ti t = -1, chng hn x = y = 0, z = -1 thì P = -1
Vy min P = -1
•
Tìm max P:
Do
3113ttt≤⇒+≤+≤+1


2
(3 1) 2
13
2

P
+−
⇒≤ =+

Vi
1
3
3
txyz≤⇔===
thì
13P =+
Vy
ax 1 3mP=+


Bài 3: Tìm m đ phng trình sau có 4 nghim phân bit:

()
3
222
22 4 222 4
x
xxxxx−+ − −+= −+m

Li gii: TXD:
x
R∈

Bài 3: Giá tr ln nht – nh nht ca hàm s và ng dng
Chng I. Hàm s – Trn Phng

t
2
22tx x=−+≥1
4
, pt đã cho tr thành:

32
42tttm−= +−
(*)
32
() 2 4 4ft t t t m⇔=−−=−
Nx: vi mi t > 1 thì ta s có 2 nghim x tha mãn, do đó đ pt ban đu có 4 nghim phân bit
thì pt (*) phi có 2 nghim phân bit ln hn 1.
Ta có:
2
2
() 3 4 4 0
2
3
t
ft t t
t
=
⎡
⎢
′
=−−=⇔
⎢
=
−

⎣

T đó ta v bng bin thiên ca hàm s f(t).
Mt khác s nghim ca pt (*) là s giao đim ca đng cong y = f(t) vi đng thng y = m
- 4 dn đn pt (*) có 2 nghim phân bit ln hn 1 khi và ch khi:
- 8 < m - 4 < - 5
Hay - 4 < m < - 1
Bài 4: Tìm m đ phng trình: sinx. cos2x. sin3x = m có nghim
;
42
x
π
π
⎡⎤
∈
⎢⎥
⎣⎦
:
Li gii: Do
;2;
42 2
xx
ππ π
π
⎡⎤ ⎡
∈⇒∈
⎢⎥ ⎢
⎣⎦ ⎣
⎤
⎥

⎦
nên đt
[
]
os2 1;0tc x=∈−
Có
22
112cos212
sinx.sin3x= ( os2 os4 ) os2
222
21
4
x
tt
cxcx cx
⎛⎞
−
−++
−= − =
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠

Do đó pt đã cho tr thành:

32
() 2 2 4
f
tttt=− + + = m
2

210
() 6 4 1 0
6
ft t t t
−±
′
=− + + = ⇔ =
−

T đó v bbt ca hàm s trên [-1; 0]. Suy ra pt đã cho có đúng 2 nghim thuc
;
42
π
π
⎡
⎢
⎣⎦
⎤
⎥
khi pt
f(t) = 4m có đúng 2 nghim thuc [-1; 0], đi này xy ra khi:
{}
210
()4min(1);
6
13 5 10 9
108 4
fmf
m
−+

<< −
−
−
⇔<<−
(0)f
0
0

Bài 5: Tìm m đ h BPT sau có nghim:

2
2
321
31
xx
xmx
⎧
+
−<
⎪
⎨
+
+<
⎪
⎩

Li gii: Ta có:

2
2

2
2
2
1
1
3210
3
310
13
1
10
0
3
(1) (2)
1
1
3
3
x
xx
xmx
xmx
x
x
x
x
m
m
x
x

⎧
⎧
−< <
+−<
⎪⎪
⇔
⎨⎨
++<
⎪⎪
⎩
+<−
⎩
⎧
−< <
<<
⎧
⎪
⎪⎪
⇔∨
⎨⎨
+
+
>−
⎪⎪
<−
⎩
⎪
⎩

Bài 3: Giá tr ln nht – nh nht ca hàm s và ng dng

Chng I. Hàm s – Trn Phng
H ban đu có nghim khi và ch khi ít nht 1 trong 2 h (1) và (2) có nghim.
t
2
2
11 1
() () 1 0, (1;0) 0;
3
x
fx x f x x
xx
1
x
+
⎛⎞
′
= =+⇒ =− <∀∈− ∪
⎜⎟
⎝⎠

Nên f(x) nghch bin trên các khong (-1; 0) và (0; 1/3), do đó:
1.
H (1) có nghim khi f(-1) > -3m hay 2/3 < m
2.
H (2) có nghim khi f(1/3) < -3m hay m < -10/9
Vy các giá tr m cn tìm là
10
9
2
3

m
m
−
⎡
<
⎢
⎢
⎢
>
⎢
⎣


Bài 6: a, Tìm m đ
2
8mx x+=+2
có 2 nghim phân bit
b, Cho a + b + c = 12. CMR:
222
8886Sabc=+++++≥6
Li gii:
a, Ta có:
2
2
2
82 :(
8
x
mx x m fx
x

)
+
+=+⇔ = =
+

o hàm
2
2
2
23
(2)
8
82
8
() 0 4
(8)
(8)
xx
x
x
x
fx x
x
x
+
+−
−
+
′
===

+
+
⇔=

T đó ta v đc bbt ca hàm f(x), t đó suy ra pt có 2 nghim phân bit khi và ch khi:

6
(4)
2
mf<=

b, Ta chng minh theo 3 cách sau
Cách 1: S dùng câu a, ta luôn có
2
2
26 2
8(
2
6
8
x
x
x
+
2)x
≤
⇒+≥ +
+
, thay x ln lt bi
a, b, c ta d dàng suy ra:

2
(6)
6
S abc≥+++=66

Cách 2: Dùng bunhiacopxki

22 22
22 22
22 22
22
1
(8)1 (2) 8
2
3
22
1
(8)1 (2) 8
2
3
22
1
(8)1 (2) 8
2
3
a
aaa
b
bbb
c

ccc
+
⎛⎞
++≥+⇒+≥
⎜⎟
⎝⎠
+
⎛⎞
++≥+⇒+≥
⎜⎟
⎝⎠
+
⎛⎞
++≥+⇒+≥
⎜⎟
⎝⎠

Suy ra
222
2
888(22
3
abc abc++ ++ +≥ +++ ++2)

2
(6)
3
abc≥+++=66 (đpcm)
Du “=” xy ra khi a = b = c = 4

Cách 3: PP ta đ
Bài 3: Giá tr ln nht – nh nht ca hàm s và ng dng
Chn
( ;2 2), ( ; 2 2); w ( ;2 2)ua vb c== =
rruur

Do
wwuv uv++ ≥++
rruurrruur
nên:

222 22
8 8 8 ( ) (6 2) 144 72 6 6Sabc abc=+++++≥+++ = +=

Vi a = b = c = 4 thì
66S =

Ngun:
Hocmai.vn

Chng I. Hàm s – Trn Phng