Giải toán trên Excel tin học

Trung tâm Đào tạo tin học văn phòng Hà Nội.
Email: - ĐT: 0919.281.916
Giải toán trên
EXCEL
I. ĐẠI SỐ MA TRẬN
Xét các ma trận A, B và C ở bảng tính sau:
1. Lập ma trận chuyển vị (Transpose Matrix) của A: A
T
Các bước thực hiện:
• Quét chọn khối ma trận A (vùng A3:D5)
• Thực hiện lệnh Edit – Copy (hoặc gõ Ctrl+C)
• Chọn vị trí lập ma trận chuyển vị (ô A15)
• Dùng lệnh Edit – Paste Special. Xuất hiện hộp thoại
• Chọn Transpose, và OK.
Ta có kết quả:
2. Lập ma trận nghịch đảo (Inverse Matrix) của C: C
-1
Các bước thực hiện:
• Chọn vị trí lập ma trận nghịch đảo (ô A22)
1
Trung tâm Đào tạo tin học văn phòng Hà Nội.
Email: - ĐT: 0919.281.916
• Dùng lệnh MINVERSE (hoặc Click biểu tượng trên Toolbar. Chọn Math &
Trig, rồi chọn lệnh Minverse). Xuất hiện hộp thoại:
• Chọn vùng xác định ma trận C (A8:C10) trong khung Array.
• Click OK.
Lưu ý: Sau khi Click OK,
tại vị trí con trỏ ô hiện
hành (ô A22) chỉ xuất
hiện số hạng ở dòng 1,
cột 1 của C

-1
. Để hiển thị
toàn bộ ma trận C
-1
, ta
phải quét chọn khối xuất
hiện của C
-1
(3 dòng và 3
cột), bắt đầu từ số đầu
tiên vừa xuất hiện (ở đây
ta quét chọn khối
A22:C24). Tiếp đến gõ F2, rồi thực hiện đồng thời: Ctrl + Shift + Enter.
Ta có kết quả:

3. Nhân (multiply) hai ma trận A và B: A.B
Các bước thực hiện:
• Chọn vị trí lập ma trận tích (ô A27)
• Dùng lệnh MMULT (hoặc Click biểu tượng trên Toolbar. Chọn Math &
Trig, rồi chọn lệnh MMULT). Xuất hiện hộp thoại:
2
Trung tâm Đào tạo tin học văn phòng Hà Nội.
Email: - ĐT: 0919.281.916
• Chọn vùng xác định ma trận A (A3:D5) trong khung Array1; Chọn vùng xác
định ma trận B (F3:H6) trong khung Array2.
• Click OK.
Lưu ý: Sau khi Click OK, tại vị trí con trỏ ô hiện hành (ô A27) chỉ xuất hiện số hạng ở dòng
1, cột 1 của ma trận AB. Để hiển thị toàn bộ ma trận AB, ta phải quét chọn khối xuất hiện
của AB (3 dòng và 3 cột, vì A cấp 3x3 – B cấp 4x3 ), bắt đầu từ số đầu tiên vừa xuất hiện.
Tiếp đến gõ F2, rồi thực hiện đồng thời: Ctrl + Shift + Enter.

Ta có kết quả:
4. Tính định thức của ma trận (Matrix determinant) vuông C: Det C
Các bước thực hiện:
• Chọn vị trí tính định thức (ô F9)
• Dùng lệnh MDETERM (hoặc Click biểu tượng trên Toolbar. Chọn Math &
Trig, rồi chọn lệnh MDETERM). Xuất hiện hộp thoại:
3
Trung tâm Đào tạo tin học văn phòng Hà Nội.
Email: - ĐT: 0919.281.916
• Chọn vùng xác định ma trận C (A8:C10) trong khung Array.
• Click OK.
II. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Dùng lệnh Solver trong Menu Tools của Excel. Nếu trong trường hợp trong Menu Tools
chưa có lệnh này, ta thực hiện các thao tác sau:
Dùng lệnh: Tools | Add-Ins…
Xuất hiện hộp thoại Add-Ins:
4
Trung tâm Đào tạo tin học văn phòng Hà Nội.
Email: - ĐT: 0919.281.916
• Click chọn mục Solver Add-in.
• Click nút OK.
Trong Menu Tools sẽ xuất hiện lệnh Solver.
Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính:








=+−
−=++
=++
=++
14332
75
53
22
zyx
zyx
zyx
zyx
a) Trình bày bài toán trên bảng tính Excel:
• A1:E1 và B7:C7 là dòng tiêu đề.
• A2:A5 là các hệ số của x; B2:B5 là các hệ số của y, C2:C5 là các hệ số của z.
• B8:B10 là tên các ẩn số.
• C8:C10 là giá trị ban đầu của ẩn số. Sau khi giải xong, vùng này là nghiệm của
phương trình tương ứng với các ẩn số.
5
Trung tâm Đào tạo tin học văn phòng Hà Nội.
Email: - ĐT: 0919.281.916
• Cột trái để trống.
• Cột phải (E2:E5) là các giá trị vế phải của hệ phương trình.
b) Các bước giải bài toán:
Bước 1:
• Đánh dấu khối cột trái (D2:D5).
• Dùng lệnh nhân ma trận: MMULT(A2:C5,C8:C10) (hoặc Click biểu tượng
trên Toolbar. Chọn Math & Trig, rồi chọn lệnh MMULT), gõ F2, rồi ấn tổ hợp phím
Ctrl + Shift + Enter.
Bước 2:

• Click chuột vào ô D2.
• Gọi Solver từ menu Tools. Nhập các tham số trong cửa sổ Solver parameters
như sau:
Set Target Cell: Do chúng ta để ô định vị tại D2, nên sẽ hiển thị $D$2. Nếu chưa đúng phải
gõ chính xác địa chỉ tuyệt đối này.
6
Trung tâm Đào tạo tin học văn phòng Hà Nội.
Email: - ĐT: 0919.281.916
Equal To: Click chuột đánh dấu Value of, và gõ vào khung bên cạnh giá trị là 2 (vì chúng ta
phải giải sao cho vế bên trái bằng vế bên phải).
Subject to the Constraints: Đây là nơi ta xác định các điều kiện ràng buộc để thoả mãn cách
giải bài toán trên (điều kiện là toàn bộ giá trị cột trái bằng giá trị cột phải). Click nút Add,
xuất hiện hộp thoại Add Constraints, và nhập vào các tham số như sau:
Click OK để trở lại hộp Solver Parameters.
• Sau khi đưa vào các tham số của hộp thoại Solver, Click vào nút chọn Solver.
Nếu kết quả tốt, Excel thông báo là “found a solution”:
Hãy chọn Keep Solver Solution để lưu kết quả trên bảng tính (nếu chọn Restore Original
Values sẽ huỷ kết quả Solver vừa tìm được và trả lại giá trị khởi động của các biến).
Kết quả trên bảng tính như sau:
Nhìn trên bảng tính, ta thấy các giá trị trong cột trái bằng đúng các giá trị trong cột
phải. Cột khởi động đã thay đổi, mỗi giá trị mới ứng với mỗi ẩn số. Vậy nghiệm của hệ
phương trình là: x = 1; y = -2, z = 2.
7
Trung tâm Đào tạo tin học văn phòng Hà Nội.
Email: - ĐT: 0919.281.916
III. QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH
Qui hoạch tuyến tính là bài toán tìm cực tiểu (hay cực đại) của một hàm tuyến tính f(x)
trên tập hợp D ⊂ R
n
được xác định bởi một hệ các phương trình và/hoặc bất phương trình

tuyến tính cho trước.
1. Bài toán QHTT tổng quát
Tìm các biến số x
1
, x
2
, , x
n
sao cho:
f(x) =
∑
=
n
j
jj
xc
1
→ min (hay max) (6.1)
thỏa mãn điều kiện

∑
=
n
j
jij
xa
1
≤ b
i
, i = 1, , m

1
, (6.2)

∑
=
n
j
jij
xa
1
≥ b
i
, i = m
1
+ 1, , m
1
+ m
2
, (6.3)

∑
=
n
j
jij
xa
1
= b
i
, i = m

1
+ m
2
+ 1, , m, (6.4)
x
j
≥ 0, j = 1, , n
1
, x
j
≤ 0, j = n
1
+ 1, , n
1
+ n
2
≤ n. (6.5)
Trong bài toán trên:
• f gọi là hàm mục tiêu, mỗi hệ thức ở (6.2) - (6.5) gọi là một ràng buộc.
• Điểm x = (x
1
, x
2
, , x
n
) ∈ R
n
thỏa mãn mọi ràng buộc gọi là một phương án.
• Tập hợp tất cả các phương án, gọi là miền ràng buộc.
• Một phương án thoả mãn (6.1) gọi là phương án tối ưu hay một lời giải của bài toán

đã cho.
2. Giải bài toán QHTT bằng Excel
Dùng lệnh Solver trong Menu Tools của Excel.
a. BÀI TOÁN LẬP KẾ HOẠCH SẢN XUẤT
Một xí nghiệp dự định sản xuất hai loại sản phẩm là S
1
và S
2
. Để làm được một đơn vị
S
1
cần 4 đơn vị vật liệu V
1
, 5 đơn vị vật liệu V
2
. Để làm được 1 đơn vị S
2
cần 3 đơn vị V
1
, 2
đơn vị V
2
. Giá bán một đơn vị S
1
là 50 ngàn
đồng, một đơn vị S
2
là 30 ngàn đồng.
Hỏi xí nghiệp nên sản xuất bao nhiêu
đơn vị sản phẩm S

1
và S
2
để tổng thu nhập là
lớn nhất, biết rằng xí nghiệp chỉ có 1200
đơn vị vật liệu V
1
và 1080 đơn vị vật liệu V
2
.
8
Trung tâm Đào tạo tin học văn phòng Hà Nội.
Email: - ĐT: 0919.281.916
• Mô hình toán học.
Gọi x
1
, x
2
lần lượt là số đơn vị sản phẩm S
1
, S
2
cần sản xuất. Số đơn vị vật liệu V
1
cần
có là 4x
1
+ 3x
2
. Do xí nghiệp chỉ có 1200 đơn vị vật liệu V

1
nên x
1
và x
2
phải thỏa mãn
4x
1
+ 3x
2
≤ 1200.
Tương tự, số đơn vị vật liệu V
2
cần có là 5x
1
+ 2x
2
, vì thế x
1
và x
2
phải thoả mãn
5x
1
+ 2x
2
≤ 1080.

Tất nhiên ta còn phải có x
1

≥ 0 và x
2
≥ 0.
Tổng thu nhập của xí nghiệp (cần làm cực đại) sẽ là f = 50x
1
+ 30x
2
(ngàn đồng).
Vậy bài toán đặt ra được phát biểu thành: Tìm các biến số x
1
và x
2
sao cho
f = 50x
1
+ 30x
2
→ max,
với các điều kiện
4x
1
+ 3x
2
≤ 1200,
5x
1
+ 2x
2
≤ 1080,
x

1
≥ 0, x
2
≥ 0.
• Giải pháp bảng tính:
Để giải được một bài toán quy hoạch tuyến tính, đầu tiên ta phải xây dựng mô hình
bài toán vào bảng tính. Bảng tính này phải thể hiện rõ các biến số đầu vào, các hạn chế, các
ràng buộc của các biến số đó.
Bước 1: Xây dựng mô hình sản xuất trên bảng tính và nhập vào một giải pháp ban đầu bất kỳ:
Ta nhập vào một giải
pháp ban đầu (S1,S2) =
(10,10). Nhập lần lượt giá trị
10 vào các ô C2, D2. Kết quả
9
Trung tâm Đào tạo tin học văn phòng Hà Nội.
Email: - ĐT: 0919.281.916
cho thấy tổng thu nhập của giải pháp sản xuất này đạt 800 ngàn (tuy nhiên vẫn chưa sử dụng
hết vật liệu trong kho).
Bước 2: Tối ưu hoá.
Gọi Solver từ menu Tools. Nhập vào mục tiêu và các ràng buộc của bài toán trong cửa sổ
Solver parameters như sau:
Tóm tắt tham số yêu cầu của Solver
Thành phần của Solver Tham số nhập vào Nằm trong ô
1 Set Target Cell Hàm mục tiêu C9
2 Equal To Max, Min, Value of
(loại bài toán)
Max
3 By Changing Cells Các biến C2:D2
4 Subject to the Constraints Các ràng buộc E6:E7, B6:B7
Sau khi đưa vào các tham số của hộp thoại Solver, Click vào nút chọn Solver để Excel bắt

đầu giải bài toán.
Kết quả tìm được ở hình sau:
10
Trung tâm Đào tạo tin học văn phòng Hà Nội.
Email: - ĐT: 0919.281.916
b. BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH KHẨU PHẦN THỨC ĂN
Một xí nghiệp chăn nuôi cần mua hai loại thức ăn tổng hợp T
1
, T
2
cho gia súc với tỉ lệ
chế biến: 1 kg T
1
chứa 3 đơn vị dinh dưỡng D
1
(chất béo), 1 đơn vị dinh dưỡng D
2
(Hyđrat
cacbon) và 1 đơn vị dinh dưỡng D
3
(Protein); 1 kg T
2
chứa 1 đơn vị D
1
, 1 đơn vị D
2
và 2 đơn
vị D
3
. Mỗi bữa ăn cho gia súc cần tối thiểu 60 đơn vị D

1
, 40 đơn vị D
2
và 60 đơn vị D
3
.
Hỏi xí nghiệp cần mua
bao nhiêu kg T
1
, T
2
cho mỗi bữa
ăn, sao cho vừa đảm bảo tốt dinh
dưỡng cho bữa ăn của gia súc,
vừa để tổng số tiền chi mua thức
ăn là nhỏ nhất. Cho biết 1 kg T
1
giá 20 ngàn đồng, 1 kg T
2
giá 15
ngàn đồng.
a) Mô hình toán học.
Gọi x
1
, x
2
lần lượt là số kg thức ăn T
1
, T
2

cần mua cho mỗi bữa ăn. Số đơn vị chất D
1
có trong mỗi bữa ăn là 3x
1
+ x
2
, vì thế x
1
và x
2
cần thỏa mãn
3x
1
+ x
2
≥ 60,
Tương tự, để đáp ứng nhu cầu về chất D
2
và D
3
cho mỗi bữa ăn, x
1
và x
2
cần thỏa mãn
x
1
+ x
2
≥ 40,

x
1
+ 2x
2
≥ 60,
Tất nhiên, ta cũng đòi hỏi
x
1
≥ 0 và x
2
≥ 0.
Số tiền chi mua thức ăn (cần làm cực tiểu) bằng f = 20x
1
+ 15x
2
(ngàn đồng).
Vậy bài toán nêu trên được phát biểu thành: Tìm các biến số x
1
và x
2
sao cho
11
Trung tâm Đào tạo tin học văn phòng Hà Nội.
Email: - ĐT: 0919.281.916
f = 20x
1
+ 15x
2
→ min,
với các điều kiện

3x
1
+ x
2
≥ 60,
x
1
+ x
2
≥ 40,
x
1
+ 2x
2
≥ 60,
x
1
≥ 0, x
2
≥ 0.
b) Giải pháp bảng tính:
Bước 1: Xây dựng mô hình bài toán trên bảng tính và nhập vào một giải pháp ban đầu bất kỳ:
Ta nhập vào một giải pháp ban đầu (T1, T2) = (20,20). Kết quả cho thấy tổng số tiền chi mua
thức ăn của giải pháp này đạt 700 ngàn.
Bước 2: Tối ưu hoá.
12
Trung tâm Đào tạo tin học văn phòng Hà Nội.
Email: - ĐT: 0919.281.916
Gọi Solver từ menu Tools. Nhập vào mục tiêu và các ràng buộc của bài toán trong
cửa sổ Solver parameters như sau:

Kết quả tìm được ở hình sau:
c. BÀI TOÁN PHA CẮT VẬT LIỆU
Trong thực tế ta thường phải cắt những vật liệu dài (thanh thép, ống nước, băng giấy )
có độ dài cho trước thành những đoạn ngắn hơn với số lượng nhất định để sử dụng. Nên cắt
như rhế nào cho tốn ít vật liệu nhất ?
Ví dụ: Phân xưởng thép của công ty xây lắp mua thép xây dựng từ Trung tâm gang thép Thái
Nguyên phục vụ nhu cầu xây lắp công trình. Thép được cung cấp dưới dạng từng thanh,
chiều dài là 20 m.
Theo yêu cầu của bộ phận xây dựng, Phân xưởng thép phải cung cấp 150 đoạn thép
dài 5 mét, 200 đoạn thép dài 7 mét, 300 đoạn thép dài 9 mét. Để thực hiện yêu cầu này, Phân
xưởng phải cắt mỗi thanh thép 20 mét ra làm nhiều đoạn con có chiều dài hoặc 5 mét, hoặc 7
13
Trung tâm Đào tạo tin học văn phòng Hà Nội.
Email: - ĐT: 0919.281.916
mét, hoặc 9 mét. Việc cắt này sẽ để lại các mẫu thép thừa không thể sử dụng. Có 6 phương
án cắt được trình bày trong bảng sau:
Hỏi phân xưởng cần nhập về bao nhiêu thanh thép 20 mét và cắt theo phương án nào để
thép thừa là ít nhất.
a) Mô hình toán học. Gọi x
j
(j = 1,…,6) là số thanh thép (dài 20 m) cần cắt theo phương án j.
Bài toán trên sẽ được phát biểu thành: Tìm các biến số x
1
, x
2
, x
3
, x
4
, x

5
, x
6
sao cho
f (tổng số thép thừa) = 4x
1
+ 3x
2
+ x
3
+ x
5
+ 2x
6
→ min,
với các điều kiện
2x
2
+ 2x
3
+ 4x
4
+ x
5
= 150.
x
1
+ x
2
+ 2x

5
= 200,
x
1
+ x
3
+ 2x
6
= 300,
x
j
≥ 0, j =1, …,6.
b) Giải pháp bảng tính:
Bước 1: Xây dựng mô hình bài toán trên bảng tính và nhập vào một giải pháp ban đầu bất kỳ
Bước 2: Tối ưu hoá.
Gọi Solver từ menu Tools. Nhập vào mục tiêu và các ràng buộc của bài toán trong
cửa sổ Solver parameters như sau:
14
Trung tâm Đào tạo tin học văn phòng Hà Nội.
Email: - ĐT: 0919.281.916
Kết quả tìm được ở hình sau:
BÀI TẬP
Bài 1. Tìm ma trận chuyển vị của các ma trận:
a)











−
−
=
6312
4251
3212
A
b)












−
−
=
243
142
224

132
B
Bài 2. Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của các ma trận:
a)










=
931
421
111
A
; b)











−
−
−
=
412
112
013
B
;
Bài 3. Tìm ma trận tích AB và BA (khi chúng được xác định)
15
Trung tâm Đào tạo tin học văn phòng Hà Nội.
Email: - ĐT: 0919.281.916
a)










−
−
=
1100
2143
2011

A
,












−
−
=
121
212
012
110
B
b)






=

2013
5421
A
,












−
=
3
1
2
1
B
c)







−
=
2
1
A
,






−
=
10
21
B

d)










−

−
=
43
01
12
A
,






−−
=
043
521
B
Bài 4. Tính các định thức sau:
a)
332
201
423
−
−
−
; b)
;
3111
1311

1131
1113
c)
3214
2143
1432
4321
.
Bài 5. Giải các hệ phương trình tuyến tính sau:
a)





=++
=−+
−=+−
232
622
2
zyx
zyx
zyx
b)








=−+
=−−−
=++
=++
14332
75
22
53
zyx
zyx
zyx
zyx
Bài 6. Một xí nghiệp đóng tàu đánh cá cần đóng hai loại tàu 100 mã lực và 50 mã lực.
Trong xí nghiệp có ba loại thợ chính quyết định sản lượng kế hoạch. Thợ rèn có 2000 công,
thợ sắt có 3000 công và thợ mộc có 1500 công. Định mức lao động cho mỗi loại tàu được
cho trong bảng sau:
Định mức Loại tàu
lao động
Loại thợ
100 mã lực 50 mã lực
Thợ sắt (3000)
Thợ rèn (2000)
Thợ mộc (1500)
150
120
80
70
50

40
(công/sản phẩm)
Hỏi xí nghiệp nên đóng tàu mỗi loại bao nhiêu để đạt tổng số mã lực cao nhất ?
16
Trung tâm Đào tạo tin học văn phòng Hà Nội.
Email: - ĐT: 0919.281.916
Bài 7. Một xí nghiệp có thể sử dụng tối đa 510 giờ máy cán, 360 giờ máy tiện và 150 giờ
máy mài để chế tạo ba loại sản phẩm A, B và C. Để chế tạo một đơn vị sản phẩm A cần 9 giờ
máy cán, 5 giờ máy tiện, 3 giờ máy mài; một đơn vị sản phẩm B cần 3 giờ máy cán, 4 giờ
máy tiện; một đơn vị sản phẩm C cần 5 giờ máy cán, 3 giờ máy tiện, 2 giờ máy mài. Mỗi sản
phẩm A trị giá 48 ngàn đồng, mỗi sản phẩm B trị giá 16 ngàn đồng và mỗi sản phẩm C trị giá
27 ngàn đồng.
Vấn đề đặt ra là xí nghiệp cần chế tạo bao nhiêu đơn vị sản phẩm mỗi loại để tổng số
giá trị sản phẩm xí nghiệp thu được là lớn nhất, với điều kiện không dùng quá số giờ hiện có
của mỗi loại máy
Bài 8. Một xưởng làm cửa sắt có những thanh thép dài 12 mét, cần cắt thành 8 đoạn dài 4
mét, 5 đoạn dài 5 mét và 3 đoạn dài 7 mét. Có 5 mẫu cắt sau:
• Mẫu 1: 3 đoạn 4 mét, không thừa.
• Mẫu 2: 1 đoạn 4 mét và 1 đoạn 5 mét, thừa 3 mét.
• Mẫu 3: 1 đoạn 4 mét và 1 đoạn 7 mét, thừa 1 mét.
• Mẫu 4: 2 đoạn 5 mét, thừa 2 mét.
• Mẫu 5: 1 đoạn 5 mét và 1 đoạn 7 mét, không thừa.
Vấn đề đặt ra của xưởng là tìm các mẫu cắt tiết kiệm nhất?

17