sáng kiến kinh nghiệm rèn kỹ năng tìm nguyên hàm cho học sinh

LỜI NĨI ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong chương trình Tốn trung học phổ thơng, bài tốn tìm đạo hàm, ngun hàm
và tích phân của một hàm số là khơng thể thiếu. Đây là lớp bài tốn quan trọng, có liên
quan mật thiết với nhau. Tính thành thạo đạo hàm của hàm số, có thể giúp chúng ta suy
luận để hướng tới kết quả của bài tốn tìm ngun hàm, cũng như kiểm tra tính đúng
đắn của kết quả. Ngược lại, tìm thành thạo ngun hàm, có thể giúp ta tính được nhiều
tích phân đơn giản của các hàm số khác nhau… Tuy nhiên, với nhiều học sinh, việc tìm
được nguyên hàm của một hàm số lại không phải là vấn đề đơn giản. Chính vì lẽ đó, ở
đây tơi xin đưa ra một số phương pháp tìm nguyên hàm nói chung, và phương pháp tìm
ngun hàm của một số lớp hàm số nói riêng. Đề tài được mang tên “Rèn kỹ năng tìm
nguyên hàm cho học sinh” – hy vọng sẽ giúp các bạn học sinh tạo được các kỹ năng
cần thiết khi tìm nguyên hàm của hàm số.
2. Nội dung đề tài
Trình bày các phương pháp tìm nguyên hàm với những ví dụ minh họa cụ thể.
Đề tài gồm 2 chương:
Chương 1. Kiến thức bổ trợ
Chương này nhắc lại một số công thức lượng giác cần nhớ, cần thiết cho q
trình biến đổi hàm số; các cơng thức và quy tắc tính đạo hàm; vi phân của hàm số…
Chương 2. Các phương pháp tìm nguyên hàm
Chương này trình bày một số phương pháp tìm nguyên hàm: Phương pháp
đổi biến số; Phương pháp nguyên hàm từng phần; Nguyên hàm của hàm hữu tỉ; Nguyên
hàm của hàm lượng giác…
Nội dung của chương, được trình bày thành 4 bài:
§1. Định nghĩa ngun hàm
§2. Một số phương pháp tìm ngun hàm
§3. Ngun hàm của hàm hữu tỉ
§4. Nguyên hàm của hàm lượng giác
Tuy nhiên, chúng ta cũng biết rằng, bài tốn tìm nguyên hàm là khá phức tạp.
Cho nên, đòi hỏi ở học sinh khả năng áp dụng sáng tạo các phương pháp tìm nguyên
hàm. Và rất thường khi, cũng sẽ gặp nhiều phép biến đổi khơng theo khn mẫu có sẵn

nào cả, và tất nhiên cũng sẽ khơng được trình bày trong phần nội dung các phương pháp
tìm nguyên hàm. Từ đó, lại càng thấy rõ hơn sự cần thiết hình thành kỹ năng biến đổi
hàm số để tìm nguyên hàm cho học sinh!

1


NỘI DUNG
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC BỔ TRỢ
Trong Chương này, ta nhắc lại một số kiến thức cần thiết khi biến đổi các biểu
thức lượng giác cần tính ngun hàm, cơng thức tính đạo hàm của một số hàm số…
A. CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ
I. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt
1. Cung đối nhau
sin ( −α ) = − sin α
tan ( −α ) = − tan α

cos ( −α ) = cos α
cot ( −α ) = − cot α

2. Cung bù nhau
sin ( π − α ) = sin α
tan ( π − α ) = − tan α

cos ( π − α ) = − cos α
cot ( π − α ) = − cot α

3. Cung phụ nhau
π


sin  − α ÷ = cos α
2

π

tan  − α ÷ = cot α
2


π

cos  − α ÷ = sin α
2

π

cot  − α ÷ = tan α
2


4. Cung hơn kém

π
2

π

sin  + α ÷ = cos α
2


π

tan  + α ÷ = − cot α
2


π

cos  + α ÷ = − sin α
2

π

cot  + α ÷ = − tan α
2


5. Cung hơn kém π
sin ( π + α ) = − sin α
tan ( π + α ) = tan α

cos ( π + α ) = − cos α
cot ( π + α ) = cot α

II. Công thức lượng giác
1. Các hệ thức cơ bản
sin 2 α + cos 2 α = 1
sin α
tan α =
cos α

1
1 + tan 2 α =
cos 2 α
2. Công thức cộng

tan α.cot α = 1
cos α
cot α =
sin α
1 + cot 2 α =

2

1
sin 2 α


cos ( a + b ) = cos a cos b − sin a sin b
sin ( a + b ) = sin a cos b + cos a sin b
tan a + tan b
tan ( a + b ) =
1 − tan a tan b

cos ( a − b ) = cos a cos b + sin a sin b
sin ( a − b ) = sin a cos b − cos a sin b
tan a − tan b
tan ( a − b ) =
1 + tan a tan b

3. Công thức nhân đôi

cos 2α = cos 2 α − sin 2 α = 2cos 2 α − 1 = 1 − 2sin 2 α = cos 4 α − sin 4 α
sin 2α = 2sin α cos α
2 tan α
tan 2α =
1 − tan 2 α
4. Công thức nhân ba

3sin α − sin 3α
4
3cos α + cos3α
cos3α = 4cos3 α − 3cos α ⇒ cos3 α =
4

sin 3α = 3sin α − 4sin 3α ⇒ sin 3 α =

5. Công thức hạ bậc
1 − cos 2α
sin 2 α =
2
1 + cos 2α
cos 2 α =
2
1 − cos 2α
tan 2 α =
1 + cos 2α
6. Cơng thức tính sin α,cos α, tan α theo t = tan
2t
1+ t2
2t
cos α =

1− t2
2t
tan α =
1− t2

sin α =

7. Công thức biến đổi tích thành tổng
1
cos a cos b = cos ( a − b ) + cos ( a + b ) 

2
1
sin a sin b = cos ( a − b ) − cos ( a + b ) 

2
1
sin a cos b = sin ( a − b ) + sin ( a + b ) 

2
8. Công thức biến đổi tổng thành tích

3

α
2


a+b
a −b

cos
2
2
a+b
a −b
cos a − cos b = −2sin
sin
2
2
a+b
a −b
sin a + sin b = 2sin
cos
2
2
a+b
a −b
sin a − sin b = 2cos
sin
2
2
sin ( a + b )
tan a + tan b =
cos a cos b
sin ( a − b )
tan a − tan b =
cos a cos b
9. Các công thức thường dùng khác
π
π



sin α + cos α = 2 sin  α + ÷ = 2 cos  α − ÷
4
4


π
π


sin α − cos α = 2 sin  α − ÷ = − 2 cos  α + ÷
4
4


cos a + cos b = 2cos

B. CƠNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM
1. Cơng thức tính đạo hàm của hàm số hợp
'
'
'
Cho y là hàm số theo u và u là hàm số theo x thì ta có: y x = yu .u x
2. Các quy tắc tính đạo hàm (ở đây u = u ( x ) ; v = v ( x ) )
( u + v ) ' = u '+ v '
( u − v ) ' = u '− v '
( u.v ) ' = u '.v + u.v '
'

 u  u ' v − uv '
 ÷=
v2
v
3. Đạo hàm của một số hàm số thường gặp (ở đây u = u ( x ) )
c ' = 0 ( c là hằng số)
'
'
( x) = 1
( k .u ) = k .u '

(x )

α '

= α.x α−1 ( α ∈ ¡

(u )

)

α '

'

'

1
1
 ÷ = − 2 ,( x ≠ 0)

x
 x
'
1
x =
, ( x > 0)
2 x
4. Đạo hàm của hàm lượng giác

= α.u α−1.u '

u'
1
 ÷ = − 2 ,( u ≠ 0)
u
u
'
u'
u =
,( u > 0)
2 u

( )

( )

4


( sin x ) ' = cos x

( cos x ) ' = − sin x

( sin u ) ' = u '.cos u
( cos u ) ' = −u '.sin u

1
cos 2 x
1
( cot x ) ' = − 2
sin x

( tan u ) ' =

( tan x ) ' =

u'
cos 2 u
u'
( cot u ) ' = − 2
sin u

5. Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lơgarít

( a ) ' = a .ln a
(e )'=e
x

x

( log a x )

( a ) ' = a .u '.ln a
( e ) ' = u '.e

x

u

x

'

=

( ln x ) ' =

u

u

1
x.ln a

( log a u )

1
x

u

'

( ln u ) ' =

=

u'
u.ln a

u'
u

C. VI PHÂN
Nhớ lại: y = f ( x ) ⇒ dy = d ( f ( x ) ) = f ' ( x ) dx
Vậy có:
1
1
• d ( ax + b ) = a.dx
• d ữ = 2 dx
x
x
ã d ( sin x ) = cos xdx
• d ( cot x ) = −

1
dx
sin 2 x

• d ( cos x ) = − sin xdx
x

x
• d ( e ) = e dx

5

•d

( x ) = 2dxx

1
dx
cos 2 x
dx
• d ( ln x ) =
x
• d ( tan x ) =


CHƯƠNG 2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUN HÀM
Trong chương trình Tốn trung học phổ thơng, bài tốn tìm đạo hàm, ngun hàm
và tích phân của một hàm số là khơng thể thiếu. Đây là lớp bài tốn quan trọng, có liên
quan mật thiết với nhau. Tính thành thạo đạo hàm của hàm số, có thể giúp chúng ta suy
luận để hướng tới kết quả của bài tốn tìm ngun hàm, cũng như kiểm tra tính đúng
đắn của kết quả. Ngược lại, tính thành thạo ngun hàm, có thể giúp ta tính được nhiều
tích phân đơn giản của các hàm số khác nhau… Tuy nhiên, với nhiều học sinh, việc tìm
được nguyên hàm của một hàm số lại không phải là vấn đề đơn giản. Chính vì lẽ đó, ở
đây tơi xin đưa ra một số phương pháp tìm nguyên hàm nói chung, và phương pháp tìm
ngun hàm của một số lớp hàm số nói riêng. Nội dung của chương, được trình bày
thành 4 bài:
§1. Định nghĩa ngun hàm

§2. Một số phương pháp tìm ngun hàm
§3. Ngun hàm của hàm hữu tỉ
§4. Nguyên hàm của hàm số lượng giác
Tuy nhiên, chúng ta cũng biết rằng, bài tốn tìm ngun hàm là khá phức tạp. Cho
nên, đòi hỏi ở học sinh khả năng áp dụng sáng tạo các phương pháp tìm nguyên hàm.
Và rất thường khi, cũng sẽ gặp nhiều phép biến đổi khơng theo khn mẫu có sẵn nào
cả, và tất nhiên cũng sẽ khơng được trình bày trong phần nội dung các phương pháp tìm
ngun hàm.

§1. ĐỊNH NGHĨA NGUN HÀM
A. ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT
1. Định nghĩa
 F ( x ) = x3

VD1. Cho 
2
 f ( x ) = 3x


 F ( x ) = cos x

VD2. Cho 
 f ( x ) = − sin x


Ta thấy ở hai ví dụ trên đều có F ' ( x ) = f ( x ) . Ta gọi F ( x ) là một nguyên hàm

của f ( x ) . Vì với C là một hằng số bất kỳ, ta có ( F ( x ) + C ) = F ' ( x ) = f ( x ) nên nếu
'

F ( x ) là nguyên hàm của f ( x ) thì F ( x ) + C cũng là một nguyên hàm của f ( x ) . Ta
gọi F ( x ) + C , ( C − const ) là Họ nguyên hàm của f ( x ) .
Ký hiệu:

∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C

1 5
4
VD: ∫ x dx = x + C ; ∫ cos xdx = sin x + C
5
2. Tính chất
6


•

(∫

)

'

f ( x ) dx = f ( x )

• ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx , k là hằng số

• ∫  f ( x ) + g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx


• ∫  f ( x ) − g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx



3. Sự tồn tại nguyên hàm
Mọi hàm số liên tục trên đoạn [ a; b ] đều có nguyên hàm trên đoạn [ a; b ]
B. BẢNG NGUYÊN HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP

∫ dx = x + C
1
∫ x dx = α + 1 x

1
2

α

3

α +1

∫ du = u + C
1
∫ u du = α + 1 u
α

+C

dx

α +1

+C

du

∫ x = ln x + C ( x ≠ 0 )
∫ e dx = e + C
ax
∫ a dx = ln a + C ( 0 < a ≠ 1)
∫ cos xdx = sin x + C

4

∫ u = ln u + C ( u ≠ 0 )
∫ e du = e + C
au
∫ a du = ln a + C ( 0 < a ≠ 1)
∫ cos udu = sin u + C

x

5

x

u

x

6

u

∫ sin xdx = − cos x + C

7
8

dx

∫ cos

9

2

x

dx

∫ sin

2

x

u

∫ sin udu = − cos u + C
du

= tan x + C

∫ cos

= − cot x + C

∫ sin

2

u

du

C. MỘT SỐ NGUYÊN HÀM HAY DÙNG
dx
1
x−a
=
ln
∫ x 2 − a 2 2a x + a + C .
dx
1 x −1
+C
Đặc biệt ∫ 2 2 = ln
x −1 2 x +1
dx
= ln x 2 + a 2 + x + C
2. ∫ 2
x + a2

dx
= ln x 2 − a 2 + x + C
3. ∫ 2
2
x −a
dx
x
= ln tan + C
4. ∫
sin x
2
1.

7

2

u

= tan u + C
= − cot u + C


5.

dx

x

π

∫ cos x = ln tan  2 + 4 ÷ + C



xdx
1
= ln x 2 + a 2 + C
2
+a
2
xdx
1
= ln x 2 − a 2 + C
7. ∫ 2
2
x −a
2
xdx
= x2 + a2 + C
8. ∫ 2
x + a2
xdx
= x2 − a2 + C
9. ∫ 2
2
x −a
x 2
a
x + a 2 + ln x + x 2 + a 2 + C

10. ∫ x 2 + a 2 dx =
2
2
x 2
a
x − a 2 − ln x + x 2 − a 2 + C
11. ∫ x 2 − a 2 dx =
2
2
6.

∫x

2

8


§2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
Trong bài này, chúng ta tìm hiểu một số phương pháp cơ bản tìm ngun hàm,
như: Áp dụng cơng thức ngun hàm của một số hàm số thường gặp; Phương pháp đổi
biến số; Phương pháp nguyên hàm từng phần…
I. PHƯƠNG PHÁP 1. ÁP DỤNG CƠNG THỨC NGUN HÀM CƠ BẢN
Ví dụ 1. Tìm các nguyên hàm:
1 9
8
• I = ∫ x dx = x + C
9
dx
1

1
−5
x −5+1 + C = − x −4 + C
• I = ∫ 5 = ∫ x dx =
x
−5 + 1
4
2
1 5
4 3
2
4
3
2
4
• I = ∫ ( x + 2 x ) dx = ∫ ( x + 4 x + 4 x ) dx = x + x + x + C
5
3
dx 1 dx 1
=
= ln x + C
•I = ∫
2x 2 ∫ x 2
1
• I = ∫ e2 x dx = ∫ e 2 x d ( 2 x ) = e 2 x + C
2
1
1
• I = ∫ e4 x dx = ∫ e 4 x d ( 4 x ) = e 4 x +C
4

4
1
1
• I = ∫ cos 2 xdx = ∫ cos 2 xd ( 2 x ) = sin 2 x + C
2
2
1
1
• I = ∫ sin 2 xdx = ∫ sin 2 xd ( 2 x ) = − cos 2 x + C
2
2
2
2
1
1 2
• I = ∫ x.e x dx = ∫ e x d ( x 2 ) = e x + C
2
2
d ( cos x )
sin x
• I = ∫ tan xdx = ∫
dx = − ∫
= − ln cos x + C
cos x
cos x
d ( sin x )
cos x
• I = ∫ cot x = ∫
dx = ∫
= ln sin x + C

sin x
sin x
sin 2 x
1 d ( cos 2 x )
1
• I = ∫ tan 2 xdx = ∫
dx = − ∫
= − ln cos 2 x + C
cos 2 x
2
cos 2 x
2
cos 2 x
1 d ( sin 2 x ) 1
• I = ∫ cot 2 xdx = ∫
dx = ∫
= ln sin 2 x + C
sin 2 x
2
sin 2 x
2
1 3
2
2
• I = ∫ sin x.cos xdx = ∫ sin xd ( sin x ) = sin x + C
3
1 3
2
2
• I = ∫ cos x.sin xdx = − ∫ cos xd ( cos x ) = − cos x + C

3
1 5
4
4
• I = ∫ sin x.cos xdx = − ∫ cos xd ( cos x ) = − cos x + C
5

9


1 5
4
4
• I = ∫ cos x.sin xdx = ∫ sin xd ( sin x ) = sin x + C
5
2
2
• I = ∫ ( 1 − 3sin x ) cos xdx = ∫ ( 1 − 3sin x ) d ( sin x )
= ∫ d ( sin x ) − ∫ 3sin 2 xdx = sin x − sin 3 x + C

3
2
2
• I = ∫ cos xdx = ∫ cos x.cos xdx = ∫ ( 1 − sin x ) .cos xdx
1
= ∫ ( 1 − sin 2 x ) d ( sin x ) = sin x − sin 3 x + C
3

1 3
3

2
2
• I = ∫ sin xdx = ∫ sin x.sin xdx = − ∫ ( 1 − cos x ) d ( cos x ) = cos x − cos x + C
3
1 − cos 2 x
1
1
1
1
dx = ∫ dx − ∫ cos 2 xdx = x − sin 2 x + C
• I = ∫ sin 2 xdx = ∫
2
2
2
2
4
1 + cos 2 x
1
1
1
1
dx = ∫ dx + ∫ cos 2 xdx = x + sin 2 x + C
• I = ∫ cos 2 xdx = ∫
2
2
2
2
4
1 − cos 4 x
1

1
x 1
2
dx = ∫ dx − ∫ cos 4 xdx = − sin 4 x + C
• I = ∫ sin 2 xdx = ∫
2
2
2
2 8
1 + cos 4 x
1
1
x 1
2
dx = ∫ dx + ∫ cos 4 xdx = + sin 4 x + C
• I = ∫ cos 2 xdx = ∫
2
2
2
2 8
2
2
sin x
1 − cos x
dx
dx = ∫
dx = ∫
− dx = tan x − x + C
• I = ∫ tan 2 xdx = ∫
cos 2 x

cos 2 x
cos 2 x ∫
cos 2 x
1 − sin 2 x
dx
2
dx = ∫ 2 − ∫ dx = − cot x − x + C
• I = ∫ cot xdx = ∫ 2 dx = ∫
2
sin x
sin x
sin x
2. Ví dụ 2. Tìm các ngun hàm:
Trong Ví dụ này cần chú ý: d ( tan x ) =

dx
= ( 1 + tan 2 x ) dx
2
cos x

3
3
2
• B1 = ∫ tan xdx = ∫ ( tan x + tan x − tan x ) dx = ∫  tan x ( tan x + 1) − tan x  dx



= ∫ tan x ( tan 2 x + 1) dx − ∫ tan xdx = ∫ tan xd ( tan x ) − ∫

sin x

dx
cos x

1
= tan 2 x + ln cos x + C
2
4
4
2
2
2
2
2
• B2 = ∫ tan xdx = ∫ ( tan x + tan x − tan x ) dx = ∫ tan x ( tan x + 1) dx − ∫ tan xdx
1
= ∫ tan 2 xd ( tan x ) − ( tan x − x ) + C = tan 3 x − tan x + x + C
3
5
5
3
3
• B3 = ∫ tan xdx = ∫ ( tan x + tan x − tan x − tan x + tan x ) dx
= ∫ tan 3 x ( tan 2 x + 1) dx − ∫ tan x ( tan 2 x + 1) dx + ∫ tan xdx

1
1
= ∫ tan 3 xd ( tan x ) − ∫ tan xd ( tan x ) + ∫ tan xdx = tan 4 x − tan 2 x − ln cos x + C
4
2
6

6
4
4
2
2
• B4 = ∫ tan xdx = ∫ ( tan x + tan x − tan x − tan x + tan x ) dx
10


= ∫ tan 4 x ( tan 2 x + 1) dx − ∫ tan 2 x ( tan 2 x + 1) dx + ∫ tan 2 xdx

= ∫ tan 4 xd ( tan x ) − ∫ tan 2 xd ( tan x ) + ∫ tan 2 xdx

1
1
= tan 5 x − tan 3 x + tan x − x + C
5
3
7
7
5
5
3
3
• B5 = ∫ tan xdx = ∫ ( tan x + tan x − tan x − tan x + tan x + tan x − tan x ) dx

= ∫ tan 5 x ( tan 2 + 1) dx − ∫ tan 3 x ( tan 2 + 1) dx + ∫ tan x ( tan 2 + 1) dx − ∫ tan xdx
= ∫ tan 5 xd ( tan x ) − ∫ tan 3 xd ( tan x ) + ∫ tan xd ( tan x ) − ∫ tan xdx

1

1
1
= tan 6 x − tan 4 x + tan 2 x + ln cos x + C
6
4
2
3. Ví dụ 3. Tìm các nguyên hàm:
• I =∫

dx
dx
1 d ( 2 x − 1)
1
−1
=∫
= ∫
= − .( 2 x − 1) + C
2
2
4 x 2 − 4 x + 1 ( 2 x − 1)
2 ( 2 x − 1)
2

d ( sin x − cos x )
sin x + cos x
dx = ∫
= ln sin x − cos x + C
sin x − cos x
sin x − cos x
d ( e x + 1)

e x dx
• I =∫ x
=∫ x
= ln e x + 1 + C
e +1
e +1
d ( e x + e− x )
e x − e− x
• I =∫ x
dx = ∫ x
= ln e x + e − x + C
−x
−x
e +e
e +e
d ( ex + 2)
e x dx
e x dx
e x dx
=∫
=∫ x
=∫ x
= ln e x + 2 + C
• I = ∫ 2x
2
e +2
e + 4e x + 4
( ex + 2) e + 2
• I =∫

• I =∫

cos 2 x + ( cos x + cos3 x )
cos x + cos 2 x + cos3 x
dx = ∫
dx
sin x + sin 2 x + sin 3 x
sin 2 x + ( sin x + sin 3 x )

=∫
=∫

cos 2 x ( 1 + 2cos x )
cos 2 x + 2cos 2 x cos x
dx
dx = ∫
sin 2 x ( 1 + 2cos x )
sin 2 x + 2sin 2 x cos x
cos 2 x
1 d ( sin 2 x ) 1
dx = ∫
= ln sin 2 x + C
sin 2 x
2
sin 2 x
2

II. PHƯƠNG PHÁP 2. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

11

1. CÁC DẠNG ĐỔI BIẾN SỐ THƯỜNG GẶP
DẠNG
∫ ( ax + b ) dx

∫x
∫f(

n +1

CÁCH ĐỔI BIẾN
Đặt t = ax + b

.x n dx

Đặt t = x n+1

)

Đặt t = x

dx
2 x
f ( sin x ) cos xdx
x .

∫
∫ f ( cos x ) sin xdx

Đặt t = sin x

∫ f ( tan x ) cos

Đặt t = tan x

Đặt t = cos x

dx

2

x

dx

∫ f ( cot x ) sin
∫ f ( e ) .e dx
dx
f ( ln x )
∫
x
x



2

Đặt t = cot x

x

x

Đặt t = e x
Đặt t = ln x

1 

1

∫ f  x ± x ÷. x ± x ÷dx




Đặt t = x ±

1
x

2. MỘT VÀI VÍ DỤ
• I = ∫ x 2004 + 1.x 2003dx
2004
2003
2003
Đặt t = x + 1 ⇒ dt = 2004 x dx ⇒ x dx =
1
1
1

1 2 3
2
I=
∫ tdt = 2004 ∫ t dt = 2004 . 3 t 2 + C
2004
3
1
1
=
t3 + C =
( x2004 + 1) + C
3006
3006
e
• I = ∫e

x

dx = ∫ ee +1.e x dx
x

+ x +1

Đặt e x = t ⇒ e x dx = dt . Thay vào ta được:
x
L = ∫ et +1dt = ∫ et +1d ( t + 1) = et +1 + C = e e +1 + C

2x
• I = ∫e

2

+ ln x

dx

2x
ln x
2x
Ta có: M = ∫ e .e dx = ∫ e .xdx
2

2

Đặt 2 x 2 = t ⇒ 4 xdx = dt ⇒ xdx =

dt
4

12

1
dt . Từ đó ta được:
2004


Ta được M = ∫ et

dt 1 t
1 2

= e + C = e2 x + C
4 4
4

x
dx
x +1
Đặt 10 x + 1 = t ⇒ x + 1 = t 10 ⇒ dx = 10t 9dt . Từ đó ta được:
t10 − 1
10
10
N =∫
.10t 9 dt = 10∫ ( t10 − 1) t 8dt = 10∫ ( t 18 − t 8 ) dt = t19 − t 9 + C
t
19
9
10
10
19
9
= 10 ( x + +1) − 10 ( x + 1) + C
19
9

• I = ∫ 10

2
• I = ∫ x ( 1 − x ) dx
Đặt 1 − x = t ⇒ dx = −dt . Từ đó ta được:
2

O = ∫ ( 1 − t ) t10 ( −dt ) = − ∫ ( 1 − 2t + t 2 ) .t 10 dt = − ∫ t10 dt + 2 ∫ t 11dt − ∫ t 12dt
10

=−
• I =∫
• I =∫
• I =∫

1 11 1 12 1 13
1
1
1
11
12
13
t + t − t + C = − ( 1− x) + ( 1− x) − ( 1− x) + C
11
6
13
11
6
13

x2

( 1− x)

100

dx (Đặt 1 − x = t )

x2
dx (Đặt
2− x
x5
1− x

2

2− x =t)

dx (Đặt 1 − x 2 = t )

sin x.cos3 x
1 2sin x cos x.cos 2 x
1 cos 2 x
dx = ∫
dx = ∫
.sin 2 xdx
1 + cos 2 x
2
1 + cos 2 x
2 1 + cos 2 x
Đặt 1 + cos 2 x = t ⇒ sin 2 xdx = − dt
1 t −1
1
1 dt
1 1
⇒S=
( −dt ) = − ∫ dt + ∫ = − t + ln t + C

2 t
2
2 t
2
2

• I =∫

III. PHƯƠNG PHÁP 3. PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN

13


1. NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP
Phương pháp này thường được sử dụng khi ta cần tính nguyên hàm của một tích.
Giả sử cần tính I = ∫ f1 ( x ) . f 2 ( x ) dx , ta làm như sau:
u = f1 ( x )
du = ...

⇒
Đặt 
dv = f 2 ( x ) dx v = ...

Từ đó I = uv − ∫ vdu

2. CHÚ Ý
Thứ tự ưu tiên đặt u trong phương pháp Nguyên hàm từng phần:
sin x,cos x(Hàm lượng giác)
Lơgarít → Đa thức →  x
(Hàm mũ)

e
3. MỘT SỐ VÍ DỤ
Tìm các ngun hàm:
• I = ∫ xsin2xdx
Theo thứ tự ưu tiên ở trên, với nguyên hàm này là tích của Hàm đa thức với
Hàm lượng giác, nên ta ưu tiên đặt u = x
du = dx
u = x

⇒
Đặt 
1
dv = sin 2 xdx v = − cos 2 x

2
1
1
1
1
⇒ I = − x cos 2 x + ∫ cos 2 xdx = − x cos 2 x + sin 2 x + C
2
2
2
4
2 2x
• I = ∫ x e dx
du = 2 xdx
u = x 2



1 2 2x
1 2 2x
2x
⇒
Đặt 
1 2 x ⇒ I = x e − ∫ xe dx = x e − I1
2x
2
2
dv = e dx v = e


2
2x
Tính I1 = ∫ xe dx

du = dx
u = x
1 2x 1 2x
1 2x 1 2x

⇒
Đặt 
1 2 x ⇒ I1 = xe − ∫ e dx = xe − e + C
2x
2
2
2
4
dv = e dx v = e


2
Từ đó:
( 2 x2 − 2 x + 1) e2 x + C
1 2 2x 1 2x 1 2x
I = x e − xe + e + C =
2
2
4
4
1 + cos 4 x
1
1
1
dx = ∫ xdx + ∫ x cos 4 xdx = x 2 + I1
• I = ∫ x cos 2 2 xdx = ∫ x.
2
2
2
4

14


1

1

du = 2 dx
u = x


1
⇒
2
Tính I1 = ∫ x cos 4 xdx . Đặt 
2
dv = cos 4 xdx v = 1 sin 4 x



4
1
1
1
1
⇒ I1 = x sin 4 x − ∫ sin 4 xdx = x sin 4 x + cos 4 x + C
8
8
8
32
1 2 1
1
Từ đó: I = x + x sin 4 x + cos 4 x + C
4
8
32
2
x
• I = ∫ ( 2 x + x + 1) e dx

Với bài này, khi mà bậc của P ( x ) = 2 , sử dụng phương pháp Nguyên hàm
từng phần ta phải tiến hành hai lần. Tuy nhiên, trong trường hợp này, ta cũng có thể sử
dụng một cách khác được chỉ ra ở đây!
• Cách 1: Đặt:
2


u = 2 x + x + 1 du = ( 4 x + 1) dx
⇒
⇒ I = ( 2 x 2 + x + 1) e x − ∫ ( 4 x + 1) e x dx

x
x
dv = e dx
v = e


u = 4 x + 1 du = 4dx
x
⇒
Tính I1 = ∫ ( 4 x + 1) e dx . Đặt 
x
x
dv = e dx v = e
⇒ I1 = ( 4 x + 1) e x − 4 ∫ e x dx = ( 4 x + 1) e x − 4e x + C = ( 4 x − 3 ) e x + C
⇒ I = ( 2 x 2 + x + 1) e x − ( 4 x − 3) e x + C = ( 2 x 2 − 3x + 4 ) e x + C

• Cách 2: Giả sử

( ∫ ( 2x

∫ ( 2x

2

)

+ x + 1) e x dx = ( ax 2 + bx + c ) e x + C

+ x + 1) e x dx = ( ax 2 + bx + c ) e x + C 


⇒ ( 2 x 2 + x + 1) e x = ( 2ax + b ) e x + ( ax 2 + bx + c ) e x
⇒

2

'

'

⇒ ( 2 x 2 + x + 1) e x =  ax 2 + ( 2a + b ) x + ( b + c )  e x


2 = a
a = 2


⇒ 2 x 2 + x + 1 = ax 2 + ( 2a + b ) x + ( b + c ) ⇒ 1 = 2a + b ⇔ b = −3
1 = b + c

c = 4


2
x
Vậy ⇒ I = ( 2 x − 3x + 4 ) e + C
2x
• I = ∫ e cos3 xdx

du = 2e 2 x dx
u = e 2 x

⇒ 1
Đặt 
dv = cos3 xdx v = sin 3 x
 3
1
2
1
2
⇒ I = e 2 x sin 3x − ∫ e 2 x sin 3 xdx = e 2 x sin 3 x − I1
3
3
3
3

15


du = 2e 2 x dx

u = e2 x

⇒
Đặt 
1
dv = sin 3xdx v = − cos3 x
3

1
2
1
2
⇒ I1 = − e 2 x cos3x + ∫ e 2 x cos3x = − e 2 x cos3x + M
3
3
3
3
Từ đó:
1
2
1
2
1
2 1
2 
I = e 2 x sin 3 x − M 1 = e 2 x sin 3 x − I1 = e 2 x sin 3x −  − e 2 x cos3x + I ÷
3
3
3
3

3
3 3
3 

1
2
4
13
1
2
= e 2 x sin 3x + e 2 x cos3x − I ⇒ I = e2 x sin 3 x + e 2 x cos3 x + C1
3
9
9
9
3
9
2x
( 3sin 3x + 2cos3 x ) e + C
⇒I=
13
1 3
1 3
2
• I = ∫ x ln xdx (ĐS: I = x ln x − x + C )
3
9
1 4
1 4
3

• I = ∫ x ln xdx (ĐS: I = x ln x − x + C )
4
16
1 2
1 3 1 2 1
1
2
• I = ∫ x ln ( x + 1) dx = ... x ln ( x + 1) − x + x − x + ln x + 1 + C
3
9
6
3
3
•I =
∫

(

x ln x + x 2 + 1
x2 + 1

) dx

)

(

u = ln x + x 2 + 1
dx



du =

x2 + 1 .
⇒
Đặt 
x
dx
dv =

2
2
v = x + 1

x +1


)

(

2
2
Ta được I = x + 1ln x + x + 1 − x + C

(

)

2

2
• I = ∫ ln x + x + 1 dx

(

)

(

)

dx

2
u = ln 2 x + x 2 + 1

du = 2ln x + x + 1 . 2
⇒
Đặt: 
x +1
dv = dx
v = x


xdx
⇒ I = x.ln 2 x + x 2 + 1 − 2 ∫ ln x + x 2 + 1 .
x2 + 1

(

)

(

)

)

(

(

)

= x ln 2 x + x 2 + 1 − 2 x 2 + 1.ln x + x 2 + 1 + 2 x + C

16


dx

u = ln 2 x du = 2ln x.


ln x
x
 ln x 
• I = ∫
dx . Ta có I = ∫ 2 dx . Đặt 
.

dx ⇒ 
÷
x
 x 
dv = x 2
v = − 1


x

1
1
Ta được I = − ln x − + C
x
x
1 
dx
dx
 1
− 2 ÷dx = ∫
− ∫ 2 = I1 − I 2 .
• I = ∫
ln x
ln x
 ln x ln x 
1
dx


u =

du = −
ln x ⇒ 
x ln 2 x .
Tính I1 . Đặt 
dv = dx
v = x


x
x
+ I 2 . Từ đó I =
+C
Từ đó I1 =
ln x
ln x
2

• I = ∫ x ln

•I
•I
•I

2

x −1
dx .
x +1

2dx


x − 1 du = 2

1 x −1
u = ln

x −1
+C
x +1 ⇒ 
Đặt 
. Từ đó I = x + ln
1 2
2 x +1
dv = xdx
x = x



2
( 3sin 2 x − 2cos 2 x ) e3 x + C
3x
= ∫ e sin 2 xdx = ... =
13
( 2 x 2 − 2 x + 1) e2 x + C
2 2x
= ∫ x e dx = ... =
4
3
2
2x

= ∫ ( 2 x + 5 x − 2 x + 4 ) e dx

3
2
2x
3
2
2x
Giả sử: Q = ∫ ( 2 x + 5 x − 2 x + 4 ) e dx = ( ax + bx + cx + d ) e + C

⇒ ( 2 x 3 + 5 x 2 − 2 x + 4 ) e 2 x = ( 3ax 2 + 2bx + c ) e 2 x + 2 ( ax 3 + bx 2 + cx + d ) e 2 x

⇒ 2 x3 + 5 x 2 − 2 x + 4 = 2ax3 + ( 3a + 2b ) x 2 + ( 2b + 2c ) x + c + 2d
 2 = 2a
a = 1
5 = 3a + 2b
b = 1


⇒
⇒
⇒ Q = ( x 3 + x 2 − 2 x + 3) e 2 x + C
−2 = 2b + 2c c = −2
 4 = c + 2d
d = 3



R = ∫ ( 2 x 2 + x + 1) e x dx = ... = ( 2 x 2 − 3 x + 4 ) e x + C

17


IV. PHƯƠNG PHÁP 4. PHỐI HỢP ĐỔI BIẾN SỐ VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍCH
PHÂN TỪNG PHẦN
• I = ∫ sin xdx
Đặt

x = t ⇒ x = t 2 ⇒ dx = 2tdt ⇒ I = ∫ sin t.( 2tdt ) = ∫ 2t sin tdt

u = 2t
du = 2dt
⇒
⇒ I = −2t cos t + 2 ∫ cos tdt = −2t cos t + 2sin t + C
dv = sin tdt v = − cos t


Đặt 

•I

•I

•I

Vậy I = 2sin x − 2 x cos x + C
dx

⇒ dx = xdt
dt =

= ∫ sin ( ln x ) dx . Đặt t = ln x ⇒ 
x
 x = et

x sin ( ln x ) − cos ( ln x ) 
 +C
Từ đó I = ∫ et sin tdt = 
2
2
3x dx = dt
3

= ∫ x8e x dx . Đặt x 3 = t ⇒  6 2
.
x = t

1 2 t
1 6
3
x3
Từ đó I = ∫ t e dt = ( x − 2 x + 2 ) e + C
3
3
= ∫ e x dx . Đặt x = t ⇒ x = t 2 ⇒ dx = 2tdt ⇒ I = 2∫ tet dt = 2 xe

x

− 2e

x

+C

V. TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP DÙNG NGUYÊN HÀM PHỤ
Giả sử cần tính I = ∫ f ( x ) dx . Khi đó ta tìm ngun hàm phụ J = ∫ g ( x ) dx sao
cho việc tính I + J và I − J đơn giản hơn. Chẳng hạn:
sin x
dx
• I =∫
sin x + cos x
cos x
dx
Ta có thể xét J = ∫
sin x + cos x
Khi đó:
sin x + cos x
I+J =∫
dx = ∫ dx = x + C
sin x + cos x
d ( sin x + cos x )
sin x − cos x
I −J =∫
dx = − ∫
= − ln sin x + cos x + C
sin x + cos x
sin x + cos x
1
Từ đó suy ra: 2 I = x − ln sin x + cos x + C ⇒ I = ( x − ln sin x + cos x ) + C
2
4

cos x
• I =∫ 4
dx
sin x + cos 4 x
sin 4 x
Ta có thể xét J = ∫ 4
dx
sin x + cos 4 x
Khi đó:

18


sin 4 x + cos 4 x
I+J =∫ 4
dx = ∫ dx = x + C
sin x + cos 4 x
cos 4 x − sin 4 x
cos 2 x
2cos 2 x
I −J =∫ 4
dx = ∫
dx = − ∫ 2
dx
1 2
sin x + cos 4 x
sin 2 x − 2
1 − sin 2 x
2
d ( sin 2 x )

1
sin 2 x − 2
= −∫
=−
ln
+C
2
2
2 2 sin 2 x + 2
sin 2 x − 2

( )

Từ đó suy ra:
1
sin 2 x − 2
1
1
sin 2 x − 2
2I = x −
ln
+C ⇒ I = x−
ln
+C
2
2 2 sin 2 x + 2
4 2 sin 2 x + 2
• I =∫

ex

dx
e x + e− x

e− x
Ta có thể xét J = ∫ x
dx
e + e− x
Khi đó:
e x + e− x
I+J =∫ x
dx = ∫ dx = x + C
e + e− x
d ( e x + e− x )
e x − e− x
I −J =∫ x
dx = ∫ x
= ln e x + e − x + C
−x
−x
e +e
e +e
1
1
Từ đó suy ra: 2 I = x + ln e x + e − x + C ⇒ I = x + ln e x + e − x + C
2
2
4sin x
dx
• I =∫
3

( sin x + cos x )
4cos x
dx
Ta có thể xét J = ∫
3
sin x + cos x )
(
Khi đó:
sin x + cos x
dx
dx
I + J = 4∫
dx = 4∫
= 4∫
3
2
2
( sin x + cos x )
( sin x + cos x )

π 

 2 sin  x + 4 ÷



π

dx+ ÷
π

4

= 2∫ 
= −2cot  x + ÷+ C
π

4

sin 2  x + ÷
4

d ( sin x + cos x )
sin x − cos x
−2
I − J = 4∫
dx = −4 ∫
= 2 ( sin x + cos x ) + C
3
3
( sin x + cos x )
( sin x + cos x )
Từ đó suy ra:
π
1
π
−2


2 I = −2cot  x + ÷+ 2 ( sin x + cos x ) + C ⇒ I =
− cot  x + ÷+ C

2
4
4


( sin x + cos x )

19


§3. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỮU TỈ
1. Phương pháp
Giả sử cần tính I = ∫

P( x)
dx (trong đó P ( x ) ; Q ( x ) là những đa thức của x ). Ta
Q( x)

có hai trường hợp:
a) Bậc của P ( x ) nhỏ hơn bậc của Q ( x ) . Xét các khả năng sau (ở đây ta xét Q ( x )
là đa thức bậc 3, các trường hợp khác làm tương tự):
• Q ( x ) có các nghiệm đơn khác nhau, giả sử Q ( x ) = ( x − a ) ( x − b ) ( x − c ) .
P( x)
A
B
C
=
+
+
Khi đó ta tìm A , B , C sao cho

.
Q( x) x − a x − b x − c
2
• Q ( x ) có nghiệm đơn và nghiệm kép, Q ( x ) = ( x − a ) ( x − b ) . Khi đó ta tìm

A , B , C sao cho

P( x)
A
B
C
=
+
+
Q ( x) x − a x − b ( x − b) 2

2
2
• Q ( x ) có một nghiệm đơn, Q ( x ) = ( x − a ) ( x + px + q ) , ( p − 4q < 0 ) . Khi

đó ta tìm A , B , C sao cho

P( x)
A
Bx + C
=
+ 2
Q ( x ) x − a x + px + q

b) Bậc của P ( x ) lớn hơn hoặc bằng bậc của Q ( x ) . Khi đó ta lấy P ( x ) chia cho

Q ( x ) và quay về trường hợp a).
2. Bài tập áp dụng: Tìm các nguyên hàm.
6 x 2 + 10 x + 2
6 x 2 + 10 x + 2
dx = ∫
dx
• I =∫ 3
x + 3x 2 + 2 x
( x + 1) ( x + 2 ) x
Ta tìm A, B, C sao cho:
6 x 2 + 10 x + 2
A
B
C
= +
+
x ( x + 1) ( x + 2 ) x x + 1 x + 2

⇒ 6 x 2 + 10 x + 2 = A ( x + 1) ( x + 2 ) + Bx ( x + 2 ) + Cx ( x + 1)

⇒ 6 x 2 + 10 x + 2 = ( A + B + C ) x 2 + ( 3 A + 2 B + C ) x + 2 A
6 = A + B + C
A =1
6 x 2 + 10 x + 2 1
2
3


⇒ 10 = 3 A + 2 B + C ⇒  B = 2 ⇒
= +

+
x ( x + 1) ( x + 2 ) x x + 1 x + 2
2 = 2 A
C = 3


Từ đó:
2
3 
1
I = ∫ +
+
dx
÷ = ln x + 2ln x + 1 + 3ln x + 2 + C
 x x +1 x + 2 
6 x 2 − 26 x + 26
6 x 2 − 26 x + 26
dx = ∫
dx
• J =∫ 3
x − 6 x 2 + 11x − 6
( x − 1) ( x − 2 ) ( x − 3)
20


Ta tìm A, B, C sao cho:
6 x 2 − 26 x + 26
A
B
C

=
+
+
( x − 1) ( x − 2 ) ( x − 3) x − 1 x − 2 x − 3

⇒ 6 x 2 − 26 x + 26 = A ( x − 2 ) ( x − 3) + B ( x − 1) ( x − 3) + C ( x − 1) ( x − 2 )
Cho x giá trị lần lượt bằng 1, 2, 3 ta tìm được A = 3; B = 2; C = 1
Từ đó:
2
1 
 3
J = ∫
+
+
÷dx = 3ln x − 1 + 2ln x − 2 + ln x − 3 + C
 x −1 x − 2 x − 3 
• K =∫

x −8
x −8
1 
 2
dx = ∫
dx = ∫ 
−
÷dx = 2ln x + 2 − ln x − 3 + C
x2 − x − 6
( x + 2 ) ( x − 3)
 x + 2 x −3

3x 2 + 13x + 11
3x 2 + 13 x + 11
dx = ∫
dx
• L=∫ 3
2
x + 5x2 + 8x + 4
( x + 1) ( x + 2 )
Ta tìm A, B, C sao cho:
3 x 2 + 13 x + 11
A
B
C
=
+
+
2
2
( x + 1) ( x + 2 ) x + 1 x + 2 ( x + 2 )
⇒ 3x 2 + 13x + 11 = A ( x + 2 ) + B ( x + 1) ( x + 2 ) + C ( x + 1)
2

⇒ 3x 2 + 13x + 11 = ( A + B ) x 2 + ( 4 A + 3B + C ) x + ( 4 A + 2 B + C )
3 = A + B
A =1


⇒ 13 = 4 A + 3B + C ⇒  B = 2
11 = 4 A + 2 B + C C = 3



Từ đó:
 1
2
3 
3
L = ∫
+
+
dx
+C
÷ = ln x + 1 + 2ln x + 2 −
 x + 1 x + 2 ( x + 2) 2 ÷
x+2



2 x3 − 6 x 2 + 4 x − 1
1
1


dx = 2 x 2
ã M =
ữdx =  2 x −
2
x − 3x + 2
x − 3x + 2 
( x − 1) ( x − 2 )





÷dx


1
1 

2
= ∫  2x −
+
dx
÷ = x − ln x − 2 + ln x − 1 + C
x − 2 x −1

d ( x3 − 2 x 2 + 2 x + 5)
3x 2 − 4 x + 2
• N =∫ 3
dx = ∫ 3
= ln x 3 − 2 x 2 + 2 x + 5 + C
2
2
x − 2x + 2x + 5
x − 2x + 2x + 5

3. Nguyên hàm dạng I = ∫

dx

( x + a) ( x + b)
2

2

Ta xét một số ví dụ:

21


•I = ∫

dx

( x + 3) ( x + 1)
2

2

Ta phân tích:
2

2
1  ( x + 3) − ( x + 1)  1  1
1 
= 
−
 = 
÷
2

2
( x + 3) ( x + 1) 4  ( x + 3) ( x + 1)  4  x + 1 x + 3 

1

=

 1 1
1 1
1
2
1
1
1 
+
−
+
+
−

= 

2
2
2
2
4  ( x + 1)
( x + 3) ( x + 1) ( x + 3)  4  ( x + 1) ( x + 3) x + 3 x + 1 






Từ đó:
 1
1
1
1 
I = ∫
+
+
−
dx
2
2
x + 3 x + 1
( x + 3)
 ( x + 1)


1 1
1 1
1
1
=− .
− .
+ ln x + 3 − ln x + 1 + C
4 x +1 4 x + 3 4
4
•J = ∫

dx

( x − 3) ( x + 4 )
2

2

Ta phân tích:
2

1

( x − 3) ( x + 4 )
2

2

1  ( x + 4 ) − ( x − 3) 
1  1
2
1 
= .
−
+


 =
49  ( x − 3) ( x + 4 ) 
49  ( x − 3) 2 ( x − 3) ( x + 4 ) ( x + 4 ) 2 




Từ đó:
1
1
1
2
1
1
J= ∫
dx − ∫
dx + ∫
dx
2
49 ( x − 3)
49 ( x − 3) ( x + 4 )
49 ( x + 4 ) 2
1 1
1 1
1  1
1 
.
− .
−
∫  x − 3 − x + 4 ÷dx
49 x − 3 49 x + 4 343 

1 1
1 1

1
x −3
=− .
− .
−
ln
+C
49 x − 3 49 x + 4 343 x + 4
=−

22


§4. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM LƯỢNG GIÁC
Trong bài này, chúng ta tìm hiểu một số bài tốn tìm ngun hàm của hàm lượng
giác có dạng khá đặc biệt.
dx
sin ( x + a ) sin ( x + b )
1. Phương pháp tính
Dùng đồng nhất thức:
sin ( a − b ) sin ( x + a ) − ( x + b )  sin ( x + a ) cos ( x + b ) − cos ( x + a ) sin ( x + b )

=
1=
=
sin ( a − b )
sin ( a − b )
sin ( a − b )
Từ đó suy ra:
sin ( x + a ) cos ( x + b ) − cos ( x + a ) sin ( x + b )

1
I=
dx
sin ( a − b ) ∫
sin ( x + a ) sin ( x + b )
I. Dạng 1. I = ∫

 cos ( x + b ) cos ( x + a ) 
1
−

dx
sin ( a − b ) ∫  sin ( x + b ) sin ( x + a ) 
1
ln sin ( x + b ) − ln sin ( x + a )  + C
=

sin ( a − b ) 
=

2. Chú ý
Với cách này, ta có thể tìm được các ngun hàm:
dx
sin ( a − b )
•J = ∫
bằng cách dùng đồng nhất thức 1 =
cos ( x + a ) cos ( x + b )
sin ( a − b )
•K = ∫

dx
cos ( a − b )
bằng cách dùng đồng nhất thức 1 =
sin ( x + a ) cos ( x + b )
cos ( a − b )

3. Vớ d ỏp dng
dx


ã
sin x sin x + ữ
6

sin  x + π  − x 
÷
sin

6 

 = 2 sin  x + π  cos x − cos  x + π  sin x 
6=
Ta có: 1 =
÷

÷
 

π
1

6
6

 

sin
6
2
 
π
π



π 

sin  x + 6 ÷cos x − cos  x + 6 ÷sin x 
 cos x cos  x + 6 ÷



 
 dx = 2 


Từ đó: I = 2∫
∫  sin x −  π  dx
π

sin x sin  x + ÷

sin  x + ÷ 

6
6




I =∫

23


 
π 
d  sin  x + ÷÷
d ( sin x )
6 
sin x

= 2∫
− 2∫ 
= 2ln
+C
π
π
sin x


sin x + ữ

sin x + ữ
6
6


dx
I =


ã
cos3 x cos  3 x + ÷
6

Ta có:
π sin  3 x + π  − 3 x 
÷
sin


6

 = 2 sin  3 x + π  cos3 x − cos  3 x + π  sin 3 x 
6=
1=
÷

÷
 

π

1
6
6

 

sin
6
2
Từ đó:
 
π
π


π

sin  3 x + ÷
sin  3 x + 6 ÷cos3 x − cos  3 x + 6 ÷sin 3 x 
sin 3 x
6




 dx = 2

I = 2∫ 
dx − 2 ∫
dx

∫  π
π
cos3 x

cos3 x cos  3 x + ÷
cos  3 x + ÷
6
6




π 

d  cos  3x + ÷÷
2
6   2 d ( cos3 x ) 2
cos3 x

=− ∫ 
+ ∫
= ln
+C
π
π
3

3
cos3 x
3


cos  3 x + ÷
cos  3 x + ÷
6
6


dx
I =∫
π 
π

•
sin  x + ÷cos  x + ÷
3 
12 

π cos  x + π  −  x + π  
÷ 
÷
cos

3 
12  


4=
Ta có: 1 =
π
2

cos
4
2
 
π
π
π 
π 


= 2 cos  x + ÷cos  x + ÷+ sin  x + ÷sin  x + ÷
3
12 
3 
12  


 
π
π
π 
π



cos  x + ÷cos  x + ÷+ sin  x + ÷sin  x + ÷
3
12 
3 
12 




dx
Từ đó: I = 2 ∫
π
π


sin  x + ÷cos  x + ÷
3
12 


π
π


cos  x + ÷
sin  x + ÷
3
12 


= 2∫
dx + 2 ∫
dx
π
π



sin  x + ÷
cos  x + ÷
3
12 



24


 
π 

π 

π

d  sin  x + ÷÷
d  cos  x + ÷÷
sin  x + ÷
3 
12  
3



= 2∫ 
− 2∫ 
= 2 ln

+C
π
π
π



sin  x + ÷
cos  x + ÷
cos  x + ÷
3
12 
12 



II. Dạng 2. I = ∫ tan ( x + a ) tan ( x + b ) dx
1. Phương pháp tính
sin ( x + a ) sin ( x + b )
Ta có: tan ( x + a ) tan ( x + b ) =
cos ( x + a ) cos ( x + b )
=

sin ( x + a ) sin ( x + b ) + cos ( x + a ) cos ( x + b )
cos ( a − b )
−1 =
−1
cos ( x + a ) cos ( x + b )
cos ( x + a ) cos ( x + b )

dx
−1
cos ( x + a ) cos ( x + b )
Đến đây ta gặp bài tốn tìm ngun hàm ở Dạng 1.
Từ đó: I = cos ( a − b ) ∫

2. Chú ý
Với cách này, ta có thể tính được các ngun hàm:
• J = ∫ cot ( x + a ) cot ( x + b ) dx
• K = ∫ tan ( x + a ) tan ( x + b ) dx

3. Ví dụ áp dụng
π 
π

• I = ∫ cot  x + ÷cot  x + ÷dx
3 
6

Ta có:

π 
π

cos  x + ÷cos  x + ÷
π 
π

3 
6


Ta có: cot  x + ÷cot  x + ÷ =
π 
π
3 
6


sin  x + ÷sin  x + ÷
3 
6

π 
π
π 
π


cos  x + ÷cos  x + ÷+ sin  x + ÷sin  x + ÷
3 
6
3 
6


=
−1
π 
π


sin  x + ÷sin  x + ÷
3 
6


π 
π 
cos  x + ÷−  x + ÷
3 
6 
3
1

=
−1 =
.
−1
π 
π
π 
π

2

sin  x + ÷sin  x + ÷
sin  x + ÷sin  x + ÷
3 
6
3 
6




25