Sử dụng phương pháp chặn để giải một số bài toán số học trong các kỳ thi học sinh giỏi

UBND TNH HI DNG
S GIO DC V O TO HI DNG
sử dụng "phơng pháp chặn
"
để giải một số bài toán số học
trong các kỳ thi học sinh giỏi
MễN: Toán
KHI LP: 6, 7, 8, 9
NHN XẫT CHUNG






IM THNG NHT
Bng s:
Bng ch:
Giỏm kho s 1:
Giỏm kho s 2:
NM HC: 2010-2011
PHềNG GIO DC V O TO THNH PH HI DNG
1
TRNG THCS Thạch khôi
sử dụng "phơng pháp chặn
"
để giải một số bài toán số học
trong các kỳ thi học sinh giỏi
Mụn: Toán
Tờn tỏc gi: Phạm Thị Thuỷ
Xỏc nhn ca nh trng, ký,úng du

S GIO DC V O TO HI DNG
PHềNG GIO DC V O TO TP HI DNG
2
S phỏch
(Do CT hi ng chm
SKKN TP ghi)
S phỏch
Hi ng cp tnh ghi
sử dụng "phơng pháp chặn
"
để giải một số bài toán số học
trong các kỳ thi học sinh giỏi
MễN: Toán
KHI LP: 6, 7, 8, 9
NH GI CA HI NG CP THNH PH
(Nhn xột, xp loi, ký, úng du)







Tờn tỏc gi:
n v cụng tỏc
(Do Hi ng cpTP ghi sau khi ó t chc chm v xột duyt)
A. T VN .
1. Lớ do chn ti :
Toỏn hc l mụn hc cú ng dng trong hu ht trong tt c cỏc ngnh
3

khoa hc t nhiờn cng nh trong cỏc lnh vc khỏc ca i sng xó hi.
Hiện nay trong các nhà trờng chất lợng đại trà và việc bồi dỡng học sinh
giỏi đã đặt lên hàng đầu. Đây cũng là việc nâng cao trình độ nhận thức cho học
sinh phát triển mũi nhọn. Trong đó chất lợng đại trà và bồi dỡng học sinh giỏi
môn Toán giữ vị trí thiết yếu và đợc tất cả mọi ngời quan tâm đến.Là một giáo
viên dạy toán ở trờng THCS trực tiếp bồi dỡng đội tuyển học sinh giỏi nhiều năm
tôi nhận thấy việc giải các bài toán ở chơng trình THCS không chỉ đơn giản là
đảm bảo kiến thức trong SGK, đó mới chỉ là những điều kiện cần nhng cha đủ.
Muốn giỏi toán cần phải luyện tập nhiều thông qua việc giải các bài toán đa
dạng, giải các bài toán một cách khoa học, kiên nhẫn, tỉ mỉ, để tự tìm ra đáp số
của chúng. Muốn vậy ngời thầy phải biết vận dụng linh hoạt kiến thức trong nhiều
tình huống khác nhauđể tạo hứng thú cho học sinh. Một bài toán có thể có nhiều
cách giải, mỗi bài toán thờng nằm trong mỗi dạng toán khác nhau nó đòi hỏi phải
biết vận dụng kiến thức trong nhiều lĩnh vực nhiều mặt một cách sáng tạo vì vậy
học sinh phải biết sử dụng phơng pháp nào cho phù hợp.
Trong vic dy hc toỏn thỡ vic tỡm ra phng phỏp dy hc v gii bi
tp toỏn ũi hi ngi giỏo viờn phi chn lc h thng, s dng ỳng phng
phỏp dy hc gúp phn hỡnh thnh v v phỏt trin t duy ca hc sinh. ng
thi thụng qua vic hc toỏn hc sinh c bi dng v rốn luyn v phm cht
o c, cỏc thao tỏc t duy gii bi tp toỏn.
Qua thực tế dy hc v bi dng hc sinh gii tụi thy hc sinh rt lỳng
tỳng trong vic xỏc nh phng phỏp gii mt s bi toỏn phn s hc núi
chung v dng toỏn tỡm s núi riờng. Khi gp cỏc bi toỏn dng tỡm s thng thỡ
cỏc em học sinh hay bế tắc, lúng túng về cách xác định dạng toán, khụng xỏc nh
c phng phỏp lm, khụng xỏc nh c phi bt u t õu v lm nh th
no. Nếu có làm đợc thì rất dài dòng, rắc rối, cách giải cha ngắn gọn, cha hay
Chớnh vỡ vy xõy dng cho hc sinh c phng phỏp lm dng toỏn
ny, tụi ó nghiờn cu v a ra ti: "S dng phng phỏp chn gii
mt s bi toỏn s hc "trong các kỳ thi HSG . ú cú th l cụng c gii
quyt mt s bi toỏn trong dng ny gúp phn nõng cao cht lng hc mụn

toỏn đặc biệt là chất lợng mũi nhọn ca hc sinh trng THCS.
4
2. Mc ớch nghiờn cu ca ti
- Trang b cho hc sinh mt s kin thc v phng phỏp chn nhm nõng cao
nng lc hc mụn toỏn, giỳp cỏc em tip thu bi mt cỏch ch ng sỏng to v l
cụng c gii quyt nhng bi tp cú liờn quan.
- Gõy c hng thỳ , say mê cho hc sinh khi lm bi tp trong SGK, sỏch
tham kho giỳp hc sinh gii c mt s bi tp .
- Gii ỏp c nhng thc mc, sa cha c nhng sai lm hay gp khi gii
bi toỏn tỡm s.
- Hng dn hc sinh cỏch nhn bit dng toỏn v la chn cỏch trỡnh by bi
cho phự hp, khả năng suy luận khi giải toán.
- Khắc phục những khó khăn trớc mắt cho giáo viên và học sinh trong việc dạy và
giải các bài toán số học trong các kỳ thi học sinh giỏi
3. Phm vi nghiờn cu- i tng nghiờn cu :
ti ỏp dng i vi hc sinh THCS cú th trin khai trong cỏc bui
ngoi khoỏ, c bit l trong quỏ trỡnh bi dng hc sinh gii.
õy l mt phng phỏp tng i mi l v khú vi hc sinh, cỏc em cha
c trang b cỏc phng phỏp gii, nờn vic suy lun cũn hn ch v nhiu khi
khụng cú li thoỏt dn n kt qu rt thp.
- Trc khi trin khai ti tụi cú kim tra 30 hc sinh gii ca trng
bi
(thi gian lm bi 30')
Cõu 1: (5 ) Cho a + c = 9. Vit tp hp A cỏc s t nhiờn b sao cho
+ cbaabc

l mt s cú ba ch s.
Cõu 2: (5) Tỡm cỏc s t nhiờn x , y sao cho: 2
x
+ 5y = 21

5
*) Nhn xột:
Sau khi kim tra tụi thy hc sinh cũn tn ti nh sau:
- Hc sinh cha bit cỏch lm mt s bi toỏn n gin, li gii cũn trỡnh
by di dũng, rc ri.
- Hc sinh cha bit vn dng nhng kin thc ó hc gii cỏc bi toỏn
c th.
- Hc sinh cha phỏt huy c t duy sỏng to, kh nng hc hi, s tỡm tũi
kin thc mi.
B. giải quyết vấn đề .
* Ph ơng pháp nghiên cứu:
- Phân tích tổng hợp tài liệu
- Phơng pháp nêu vấn đề
- Thu thập thông tin: Dự giờ, thăm lớp, trao đổi với đồng nghiệp
- Điều tra khảo sát qua kiểm tra đối chứng với kết quả học tập của học sinh
6
- Ph¬ng ph¸p thö nghiÖm
I. Một số kiến thức cơ bản cần nhớ:
1. Với
m
, m N; a 0 th× a 1a Î ¹ ³
2.
0 víi aa ³ "
3.
= 100a + 10b + cabc
4. Phương pháp giải bất phương trình
5. Phương pháp giải phương trình bậc hai
II. Các bµi tËp hình thành phương pháp
Bµi tËp 1 : Tìm các số tự nhiên x , y sao cho
a. 2

x
+ 5y = 21
b. 7
x
+ 12
y
= 50
Giải :
- Giáo viên có thể gợi mở để hình thành hướng suy nghĩ cho học sinh
- Giáo viên có thể đặt các câu hỏi gợi ý cho các em cách suy nghĩ tương tự
cho những bài sau:
? So sánh 2
x
với 1 từ đó có kết luận gì về giá trị của 5y
- Giáo viên hướng dẫn học sinh cách xây dựng bảng lựa chọn
a. Vì 2
x
≥ 1 nên 5y ≤ 20 vậy y ≤ 4 . Ta có bảng lựa chọn sau :
y 0 1 2 3
5y 0 5 10 15
2
x
21 16 11 6
x không có 4 không có không có
Đáp số : x = 4; y = 1 ; x = 0; y = 4
Bằng cách tương tự ta có thể làm được phần b
b. Nếu y ≥ 2 thì 12
y
≥ 12
2

> 50 => y < 2 ⇒ y = 0 hoặc y = 1
- Nếu y = 0 thì 12
0
= 1 nên 7
x
= 49 ⇔ x = 2
- Nếu y = 1 thì 12
1
= 12 nên 7
x
= 38 (loại)
Đáp số x = 2 và y = 0
Nhận xét : Với bài trên ngoài việc chặn theo các giá trị của y, ta cũng có thể
chặn theo các giá trị của x như sau :
a) Vì 2
5
= 32 > 21 nên x
≤
4
⇒
x
Î

{
0 , 1 , 2 , 3 , 4
}
và lập bảng lựa chọn để
giải tiếp
b) ta có
3

7 50>
=> x
≤
2 sau đó cũng xét các trường hợp tương tự
Bµi tËp 2 :: Tìm các số tự nhiên x, y, z biết
5. 3x yz
= 7850
7
Giải :
Khi đưa ra bài toán trên tôi thấy đa số học sinh lúng túng không biết cách giải và
thường không biết bắt đầu từ đâu. Sau đó tôi đưa ra gợi ý:
?
3yz
có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất bằng bao nhiêu? (HS
300 3 399yz
≤ ≤
)
? Vậy x có thể có giá trị trong khoảng nào?
Sau khi có gợi ý trên hầu hết các em đều có thể làm được bài toán trên. Tuy
nhiên đa số các em chỉ tìm được cận trên của x mà không tìm cận dưới nên bài
toán trình bày dài hơn. Do đó tôi đưa ra lời giải sau:
Ta thấy nếu x ≥ 3 thì
5. 3x yz
≥ 35.300 = 10500 > 7850 . Vậy x < 3
Ta cũng thấy x > 1 vì nếu x = 1 thì
5.3x yz
≤ 15. 399 = 5985 < 7850 .
Như vậy 1 < x < 3 nên x = 2 . thay vào đề bài ta có 25. = 7850 nên
3yz
= 7850 : 25 = 314 ⇒ = 14 . Vậy x = 2; y = 1; z = 4

* Nhận xét:
Bài toán trên ta đã chặn theo các giá trị của x . Ta cũng có thể chặn như sau:
5.3x yz
= 7850 ⇔
7850 7850
5 25
3 300
x
yz
= ≤ ≈
=> Vậy x = 2 hoặc x = 1. Đến đây việc
giải tiếp dễ dàng . Tuy nhiên không nên chặn theo các giá trị của y hoặc của z
vì nếu như có làm được thì lời giải cũng phức tạp dễ gây nhầm lẫn
* Qua hai bµi tËp trên ta có thể thấy nếu chọn đúng được ẩn để chặn thì bài
toán trở lên đơn giản và lời giải cũng gọn hơn. Từ hai bµi tËp này học sinh đã
hình thành được phương pháp chặn, đồng thời thấy được việc chọn đúng ẩn
để chặn là việc làm rất quan trọng
Bµi tËp 3 : Tìm các số nguyên x, y biết | 5x – 2 | 13
Khi đưa ra bµi tËp trên với học sinh lớp 8 và lớp 9 thì một số học sinh khá giỏi
có thể làm được theo cách giải bất phương trình. Tuy nhiên lời giải khá dài và
phức tạp dễ dẫn đến việc nhầm lẫn. Vì vậy tôi hướng học sinh đến việc sử dụng
phương pháp chặn để làm và có khá nhiều học sinh có thể làm được
Giải :
- Nếu x ≥ 4 thì | 5x – 2 | ≥ | 5.4 – 2 | = | 18 | = 18 > 13 => x 3
- Nếu x
≤
- 3 thì | 5x – 2 | ≥ | 5.( - 3) – 2 | = | – 17 | = 17 > 13 .
⇒
x ≥ - 2
Vậy : - 2 ≤ x ≤ 3 ⇒ x

Î
{ - 2 ; - 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 }. Thử lại, ta có bảng sau :
x - 2 - 1 0 1 2 3
| 5x – 2 |
12 7 2 3 8 13
Cả 6 giá trị trên của x đều thỏa mãn . Vậy x
Î
{ - 2 ; - 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 }.
* Nhận xét: Với phương pháp trên thì học sinh trung bình trở lên của lớp 6, lớp 7
8
cng cú th hiu v gii c bi toỏn trờn.
Bài tập 4 : Tỡm ba s t nhiờn a , b , c bit a + b + c = abc v a > b > c > 0
Vớ d trờn l bi toỏn khỏ quen thuc, nú ó c s dng trong rt nhiu thi
hc sinh gii, thi vo cỏc trng chuyờn vi nhiu cỏch phỏt biu khỏc nhau.
lm c bi trờn thỡ hc sinh phi cú cỏi nhỡn ton din cú th chn n no
cho thích hợp
Gii :
Vỡ a > b > c nờn a + b + c < a + a + a = 3a , m a + b + c = abc abc < 3a
hay bc < 3 . Vy bc
ẻ
{ 1 ; 2 } do abc 0 . Mt khỏc vỡ b > c nờn b = 2 v c = 1.
Thay vo bi ta cú a + 2+ 1 = 2a a = 3 .
ỏp s : a = 3 ; b = 2 ; c = 1
Nhn xột : bài tập ny ta khụng th chn a trc tip bng mt s c th no
m ch s dng tớnh cht : " l s ln nht" trong ba số a, b, c . Ti sao khụng
nờn chn theo b hoc theo c ? bit thờm th mnh ca cỏch chn ny ta
xột bài tập 5 sau õy:
Bài tập 5: Tỡm bit
( )
y

xx xyyx
=
Gii :
Ta thy y > 1 vỡ nu y = 1 thỡ = vụ lý . Vy y 2 .
Ta li thy y < 4 vỡ nu y 4 thỡ

10
4
= 10000 >


2 4y p
Vy y
ẻ
{ 2 ; 3 }
- Nu y = 2 ta cú =
x
2
.121 = x.1001 + 220
x
2
.121 = 11(x.91 + 20)
x
2
.11 = x.91 + 20
x
2
.11 91x - 20 = 0
Phng trỡnh trờn khụng cú nghim nguyờn
- Nu y = 3 ta cú = . Nu x 2 thỡ 22 = 10648 cú 5 ch s ( Không

thoả mãn ). Vy x = 1 .
Th vo bi 11 = 1331 hp lý. ỏp s =13
Ta cng cú th gii nh sau : ta cú =

x
3
.11
3
= x.1001 + 330
x
3
.11
3
= 11( x.91 + 30 )
Vy x
3
. 121 = x.91 + 30 = 121x + ( 30 30x)

(30 30x)
M
121


30(1 x)
M
121
m ( 30 ; 121 ) = 1 nờn 1 x
M
121,
9

do x là số có một chữ số nên 1 – x = 0 hay x = 1.
Thử vào bài ta có 11
3
= 1331 hợp lý . Vậy x = 1 và y =3 . Đáp số =13
Nhận xét : Ta cũng có thể chặn như sau : Vì ≤ 9999 < 10000 = 10
4
.
Vậy < 10
4
< nên y < 4 . Mặt khác
( )
y
xx
> 99
1
vì = có 4 chữ số Vậy y ≥ 2 .
Vậy y
Î
{ 2 ; 3 }. Phần còn lại giải như trên .
* Đây là bµi tËp khó nên hầu hết học sinh đều lúng túng không xác định được
phương pháp, cho dù đã biết phương pháp giải nhưng không có kĩ năng nhất
định thì cũng sẽ rất khó để giải bài toán trên
Bµi tËp 6: Tìm số tự nhiên sao cho số đó cộng với tổng các chữ số của nó thì
bằng 249
* Đây là bài toán đã nhiều lần xuất hiện trong các bài thi học sinh giỏi. Sau khi
đã được trang bị phương pháp thì đa số học sinh đều nhận ra được cách làm
Giải :
- Gọi số phải tìm là n và tổng các chữ số của n là s(n) , ta phải có n + s(n) = 249
Ta thấy n phải là số có 3 chữ số vì nếu n có một hoặc hai chữ số thì
n + s(n) ≤ 99 + 9 + 9 = 117 < 249 và tất nhiên n không thể có nhiều hơn 3 chữ số.

Đặt n = thì ta có :
abc
+ a + b + c = 249
Vì a + b + c ≤ 27 nên 200 < < 249 ⇒ a = 2 , Thay vào bài ta được :
+ 2 + b + c = 249 ⇔ 200 +
bc
+ 2 + b + c = 249
⇔ + b + c = 249 – 202
⇔
bc
+ b + c = 47 . Vậy b ≤ 4 . Lại vì b + c lớn nhất là 18 nên nhỏ
nhất là 47 – 18 = 29 vậy b ≥ 2 . Ta có 2 ≤ b ≤ 4 ⇒ b
Î
{ 2 ; 3 ; 4 }
- Nếu b = 2 ta có + 2 + c = 47 ⇔ 22 + 2c = 47 ⇔ 2c = 25 ( loại )
- Nếu b = 3 ta có
3c
+ 3 + c = 47 ⇔ 33 + 2c = 47 ⇔ 2c = 14 ⇔ c = 7
- Nếu b = 4 ta có
4c
+ 4 + c = 47 ⇔ 44 + 2c = 47 ⇔ 2c = 3 ( loại )
Đáp số : số phải tìm là 237
Bµi tËp 7: Tìm các số nguyên x và y biết : 2|x| + 3|y| = 5
Giải :
Nếu y = 0 , ta có 2|x| = 5 ⇔ |x| = 2,5 vô lý vì x
Î
Z
Xét y ≠ 0 thì 3|y| ≥ 3 nên 2|x| ≤ 2 ⇔ |x| ≤ 1. Vậy |x|
Î
{ 0 ;1 }

- Với |x| = 0 thì 3|y| = 5 ⇔ |y| = 5/3 vô lý vì y
Î
Z
- Với |x| = 1 ⇒ x
Î
{ -1; 1 } khi đó |y| = 1 và y
Î
{ -1; 1 } . Thử vào đề bài ta
được
10
các đáp số là : ; ; ;
* Qua các bµi tËp trªn ta thấy phương pháp chặn có vai trò rất quan trọng
trong các bài toán tìm số. Nó không chỉ làm cho bài toán trở nên đơn giản, dễ
hiểu hơn mà còn làm cho lời giải ngắn gọn và đơn giản hơn rất nhiều.
Qua bµi tËp sau ta có thể khẳng định lại một lần nữa vai trò của phương pháp
chặn
Bµi tËp 8: Tìm số tự nhiên biết = 4321
Giải :
abcd abc ab a
+ + +
= 4321 ⇔ = 4321
Ta thấy a < 4 , vì nếu a ≥ 4 thì ≥ 4444 + > 4321
và a > 2 vì nếu a ≤ 2 thì ≤ 2222 + 999 + 99 + 9 = 3329 < 4321
⇒
2 < a < 4
Vậy a = 3 khi đó ta có
bbb cc d
+ +
= 4321 – 3333 = 988 .
Ta thấy b < 9 vì nếu b = 9 thì = 999 > 988 chưa kể .

Lại thấy b > 7 vì nếu b ≤ 7 thì ≤ 777 + 99 + 9 = 885 < 988
⇒
7 < b < 9 .Vậy b = 8 .
Khi đó = 100 điều này chỉ có thể ở trường hợp 100 = 99 + 1 ,
=> vậy c = 9 và d = 1
Đáp số = 3891
Bµi tËp 9: Tìm các số nguyên dương x , y thỏa mãn
1 1 1
3x y
+ =
và x ≥ y
Giải :
Vì x ≥ y > 0 khi đó ≤ và
1 1 1 1 2
x y y y y
+ ≤ + =
. Vậy ≥ = ⇒ y ≤
6
Lại vì > 0 nên < vậy y > 3 , hay y ≥ 4 . Vậy ta có 4 ≤ y ≤ 6
- Nếu y = 4 ta có + = + = ⇔ = ⇔ x = 12
11
- Nếu y = 5 ta có + = + = ⇔ = - = loại vì x ∉ Z
- Nếu y = 6 ta có + = + = ⇔ = ⇔ x = 6
Bài toán có 2 đáp số là ( x ; y) = ( 12 ; 4 ) và ( x; y ) = ( 6 ; 6 )
Bµi tËp 10: Tìm số biết
1 1 1
d
a b c
+ + =
với a > b > c

Giải :
Vì a > b > c > 0 nên c ≥ 1 ; b ≥ 2 ; a ≥ 3 khi đó ta có
1 1 1 1 1 1 11
2
3 2 1 6a b c
+ + < + + = <
mà
1 1 1
d
a b c
+ + =
nên d < 2 ,Vậy d = 1 .
Ta có:
1 1 1
1
a b c
+ + =
với a > b > c .
Lại vì a > b > c > 0 ⇒
1 1 1
a b c
< <
khi đó ta có
1 1 1 1 1 1 3
a b c c c c c
+ + < + + =
mà
1 1 1
1
a b c

+ + =
nên
3
1
c
>
Vậy c = 1 hoặc c = 2
Với c = 1 thì
1 1 1
1
1a b
+ + =
vô lý
Với c = 2 thì
1 1 1 1 1 1
1
2 2a b a b
+ + = ⇒ + =
, mà
1 1 1 1 2
a b b b b
+ < + =
nên
2 1 2
2 4b
> =
do đó b < 4 mà b > c = 2 nên b = 3 . ta có
1 1 1 1 1 1 1
3 2 2 3 6a a
+ = ⇒ = − =

, vậy a =
6
Vậy a = 6 , b = 3 , c = 2 , d = 1 và : = 6321
Bµi tËp 11: Tìm các số nguyên tố a , b , c ( có thể bằng nhau ) thỏa mãn
abc < ab + bc + ca và a ≥ b ≥ c
Giải :
Vì a ≥ b ≥ c . Ta có :
12
ab + bc + ca ≤ ab + ab + ab = 3ab . Mà ab + bc + ca > abc nên ta có abc <
3ab
⇔ c < 3 mà c nguyên tố nên c = 2 .
Thay vào bài ta được 2ab < ab +2( a + b) ⇔ ab < 2(a + b) ≤ 2( a + a) = 4a .
Vậy ab < 4a nên b < 4 ⇒ b
Î
{ 2 ; 3 } .
 Nếu b = 2, thay vào đề bài ta được 2.2.a < 2a + 2.2 + 2.a , hay 4a < 4a + 4
đúng với mọi số nguyên tố a
 Nếu b = 3, thay vào bài ta được 2.3.a < 3a + 6 + 2a, hay 6a < 6 + 5a ⇔ a <
6 , do a nguyên tố không nhỏ hơn b = 3 nên a = 3 hoặc 5
Đáp số : b = c = 2 và a là số nguyên tố tùy ý
c = 2 , b = 3 và a = 3 hoặc a = 5
Bµi tËp 12: Cho 4 số nguyên dương có tổng bằng 9. Chứng minh rằng trong 4 số
đó có ít nhất hai số bằng nhau
Giải :
Giả sử trong 4 số đã cho không có 2 số nào bằng nhau. Gọi 4 số đã cho là
a, b, c, d với a > b > c > d . Ta có : d ≥ 1 ; c ≥ 2 ; b ≥ 3 ; a ≥ 4 .
Như vậy a + b + c + d ≥ 1 + 2 + 3 + 4 = 10 . Theo bài ra ta có a + b + c + d = 9
nên sẽ có 9 ≥ 10 vô lý . Vậy giả sử trong 4 số đã cho không có 2 số nào bằng
nhau là không đúng nên phải có ít nhất 2 số trong các số đã cho là bằng nhau .
( đpcm)

III. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1 : Tìm biết = 1037
Bài 2 : Tìm
xyz
biết
4 . 5yz x
= 17395
Bài 3 : Tìm số tự nhiên có 3 chữ số biết rằng số đó cộng với hai lần tổng
các chữ số của nó thì bằng 405
Bài 4 : Tìm số
abcd
biết
.ab cb ddd
=
Bài 5 : Tìm hai số tự nhiên x , y biết
Bài 6 : Cho hai số nguyên dương khác nhau là a và b .
Chứng minh > 2
Bài 7 : Cho a, b, c là các số nguyên dương . Chứng minh rằng
1 <
a b c
b c c a a b
+ +
+ + +
< 2
Bài 8 : Tìm các số nguyên x và y biết | 5x + 2 | ≤ 13
13
IV) Kết quả - bài HC KINH NGHIM:
- Khi cha thực nghiệm đề tài này các em học sinh thờng tỏ ra chán lản và lúng
túng khi gặp dạng toán tìm số nâng cao.Sau một thời gian áp dụng những biện
pháp trên vào thực tế giảng dạy tôi thấy. Hứng thú học tập của học sinh đợc nâng

lên rõ rệt ở các đối tợng học sinh nhất là các em trong đội tuyển. Các em trở lên
tin tởng hơn ,vững vàng hơn ,say mê hăng hái học môn toán . Điều đó chứng tỏ
nếu có cách giải phù hợp cho một bài toán ,với từng đối tợng học sinh thì chắc
chắn kết quả thu đợc của giáo viên rất tốt hiệu quả giáo dục đợc nâng lên.
- Khi áp dụng chuyên đề này vào thực tiễn các em tỏ ra phấn khởi, tự tin, yêu
thích bộ môn toán hơn
Sau khi trin khai ti, tụi li cho 30 hc sinh gii ca trng lm bi kim tra
vi mc khú hn tụi thu c kt qu nh sau:
bi:
14
(Thi gian lm bi 30')
Cõu 1: Tỡm
abc
bit
4 . 5bc a
= 17395
Cõu 2: Tỡm s b chia v thng trong phộp chia sau:
9 * * : 17 = * * (Bit rng thng l mt s nguyờn t)
Cõu 3: Tỡm s t nhiờn bit tng ca s ú v cỏc ch s ca nú bng 2020
*) Kt qu:
a, Khi cha áp dụng sáng kiến:
im < 5 5
Ê
im < 8 8
Ê
im
Ê
10
30 HS
SL % SL % SL %

9 30 18 60 3 10

b, Sau khi áp dụng sáng kiến:
im < 5 5
Ê
im < 8 8
Ê
im
Ê
10
30 HS
SL % SL % SL %
1 3 20 67 9 30
*) Nhn xột:
Sau khi trin khai ti trong quỏ trỡnh bi dng hc sinh gii ca trng tụi
thy so vi trc khi trin khai ti hc sinh cú mt s tin b sau:
- Hc sinh ó bit s dng phng phỏp chn trong mt s bi toỏn s hc
núi chung v dng toỏn tỡm s núi riờng.
- Hc sinh gii cỏc bi toỏn tỡm s nhanh hn, xỏc nh ngay c hng
lm v la chn cỏch trỡnh by n gin nht.
- Hc sinh tip tc phỏt trin t duy sỏng to, tng cng hc hi bn khỏc,
t tỡm tũi kin thc mi.
Sau khi trin khai kinh nghim S dng phng phỏp chn gii toỏn s
hc ti nh trng tụi ó rỳt ra mt s bi hc sau:
* Đối với giáo viên:
- Nghiên cứu kỹ về việc đổi mới phơng pháp dạy môn toán, nghiên cứu ch-
ơng trình của bộ môn toán mà mình phụ trách nói chung và từng dạng bài nói
15
riêng. Xác định rõ mục tiêu từng bài và từng dạng cho các đối tợng học sinh.
- Thờng xuyên kiểm tra học sinh để bổ sung kiến thức hợp lý và kịp thời.

- Nghiên cứu kĩ tài liệu tham khảo, sách giáo khoa để học hỏi phơng pháp
giải mới, phơng pháp hay.
- Nhiệt tình hớng dẫn học sinh phơng pháp học, linh hoạt, sáng tạo tìm
cách giải hay, chính xác.
- dy hc sinh gii cú hiu qu cn phi dy cho học sinh cỏch hc,
cỏch tỡm tũi kin thc mi, t xõy dng cho mỡnh phng phỏp mi khụng cú
trong sỏch giỏo khoa, phỏt trin cỏc kin thc ó hc vo chng minh cỏc tớnh
cht hay cụng thc Toỏn hc khỏc. T ú cú bin phỏp vn dng v khai thỏc cỏc
tớnh cht hay cụng thc vo gii cỏc bi tp c th.
- Cn tng cng giỏo dc hc sinh tinh thn t hc, t nghiờn cu kin
thc vỡ õy l con ng lm ch v chim lnh tri thc mt cỏch hiu qu nht.
* Đối với học sinh:
- Tự giác, tích cực học tập, ôn luyện lý thuyết và bài tập có liên quan đến
dạng toán tìm số.
- Báo cáo kết quả học tập của mình qua việc giải các bài tập
- Suy nghĩ các bài tập tơng tự, mạnh dạn đề xuất bài toán mới.
V. những kiến nghị, đề xuất
Để thực hiện đề tài này ngày càng có hiệu quả hơn tôi xin mạnh dạn nêu
một số đề xuất, kiến nghị sau:
* Đối với nhà trờng:
- Tiếp tục đẩy mạnh phong trào tự học, tự bồi dỡng của giáo viên
- Tiếp tục chỉ đạo kiểm tra,đánh giá việc thực hiện các chuyên đề của tổ.
- Mạnh dạn mở các cuộc giao lu liên trờng để giáo viên có điều kiện trao
đổi, học hỏi kinh nghiệm giảng dạy của đồng nghiệp.
* Đối với ngành (Sở và Phòng):
Khi tổ chức bồi dỡng chuyên môn nghiệp vụ cho giáo viên nên tăng cờng
tính thực tiễn hơn nữa
16
C- KT LUN :
Trờn õy l kinh nghim S dng phng phỏp chn gii toỏn s hc

m tụi ó ỏp dng ging dy trờn thc t hin nay trng THCS trong quỏ
trỡnh ụn luyn, bi dng hc sinh gii. Tôi nghĩ rằng với mỗi vấn đề , mỗi
chuyên đề toán học chúng ta đều dạy theo từng dạng , đi sâu mỗi dạng và tìm
ra hớng t duy ,hớng giải và phát triển bài toán .Sau đó ra bài tập tổng hợp để
học sinh biệt phân dạngvà tìm ra cách giải thích hợp cho mỗi bài thì chắc chắn
học sinh sẽ nắm vững vấn đề . Và tôi tin chắc rằng toán học sẽ là niềm say mê
với tất cả học sinh .Việc vận dụng sáng kiến kinh nghiệm này đã mang lại
nhiều hiệu quả trong việc giải các bài toán có liên quan và giải các bài toán
thuộc dạng này. Phần đông các em đều có hứng thú làm bài tập nếu nh bài tập
có phơng pháp giải hoặc vận dụng các phơng pháp giải của một loại toán khác
Đối với khối lợng đại trà thì việc học của các em chỉ là những vấn đề
xung quanh SGK nếu nhận đợc sự dìu dắt tận tình cụ thể thì việc học của các
em đỡ vất vả hơn có hứng thú hơn. Đây là dạng toán chúng ta cần quan tâm nó
đa dạng và phong phú đề cập đến kiến thức trong trờng phổ thông nó có tính
tổng hợp, cần phải vận dụng nhiều đơn vị kiến thức cùng một lúc và giải quyết
vấn đề.
Với cách học và cách hớng dẫn học sinh làm bài nh vậy không những nâng
cao kiến thức cho các em mà còn là hình thức củng cố, khắc sâu kiến thức cho
các em.
Tụi cựng cỏc ng nghip ó thu c kt qu sau :
+ Hc sinh tip thu bi nhanh d hiu hn, hng thỳ tớch cc trong hc tp v
yờu thớch b mụn toỏn .
+ Hc sinh trỏnh c nhng sai sút c bn, bit la chn li gii ngn gn v
cú k nng vn dng thnh tho cng nh phỏt huy c tớnh tớch cc ca hc
17
sinh .
+ Hc sinh cú c cỏi nhỡn tng quỏt hn v dng toỏn ó c hc v t hỡnh
thnh cho mỡnh mt phng phỏp mi
Tuy nhiờn t c kt qu nh mong mun, ũi hi ngi giỏo viờn
cn xõy dng cho hc sinh t kin thc c n kin thc mi t c th n tng

quỏt, t d n khú v phc tp, to cho hc sinh cỏch tip cn mt bi toỏn phự
hp vi trỡnh nhn thc ca hc sinh .
Ngi thy cn phỏt huy chỳ trng tớnh ch ng tớch cc v sỏng to ca
hc sinh t ú cỏc em cú nhỡn nhn bao quỏt, ton din v nh hng gii toỏn
ỳng n. Lm c nh vy l chỳng ta ó gúp phn nõng cao cht lng giỏo
dc trong nh trng.
Trong ti ny chc chn khụng trỏnh khi nhng hn ch nht nh.Vy
tụi rt mong c s giỳp cng nh nhng gúp ý ca cỏc thy, cụ trong ban
giỏm kho, cỏc bn ng nghip tụi rỳt kinh nghim trong quỏ trỡnh ging dy
nhng nm hc sau. hon thnh kinh nghim ny ngoi vic t nghiờn cu ti
liu, qua thc t ging dy tụi cũn nhn c s giỳp ca cỏc ng chớ trong
Ban giỏm hiu nh trng, cỏc thy cụ giỏo trong t toỏn ca trng.
Thông qua nghiên cứu đề tài này, bản than tôi thực sự rút ra đợc nhiều kiến
thức quý báu, giúp tôi hoàn tành tốt hơn cho công việc giảng dạy sau nay.
Tôi rất mong nhận đợc sự đóng góp ý kiến quý báu của thày, cô và bạn bè
đồng nghiệp để vốn kiến thức của tôi ngày càng hoàn thiện và phong phú hơn.
Với kinh nghiệm nho nhỏ nh vậy tôi xin đợc trao đổi cùng các đồng
nghiệp.Tôi rất mong đợc sự góp ý chân thành của các đồng nghiệp và các thầy cô
đã có nhiều kinh nghiệm trong giảng dạy .
Tôi xin chân thành cảm ơn !

18
19
20
21