Rèn luyện cho học sinh lớp 10 kỹ năng giải toán véctơ và sử dụng phương pháp véctơ để giải toán

Lời nói đầu.
Trong chương trình Toán học học được giảng dạy ở trường phổ thông,
Hình học bao giờ cũng là môn học khó khăn hơn đối với học sinh. Nắm được
kiến thức cơ bản đã là một vấn đề khó, vận dụng kiến thức đó một cách linh
hoạt để giải toán còn là một việc khó khăn hơn nhiều. Tìm ra mối liên quan
giữa các nội dung đó để có được các cách giải toán hay, hiệu quả là một việc
làm thiết thực.
Trên cơ sở nội dung, chương trình làm việc của cá nhân và của tổ nhóm
chuyên môn, bản thân tôi đã tìm ra được một vài hướng giải quyết một số vấn
đề trong các bài giảng nhằm nâng cao chất lượng bài giảng cũng như tạo hứng
thú cho học sinh trong việc học tập và nghiên cứu toán học. Những vấn đề
nghiên cứu được, tôi tập hợp và viết lại trong báo cáo sáng kiến kinh nghiệm
này nhằm giúp cho bản thân và đồng nghiệp cũng như học sinh có thêm một
tài liệu tham khảo trong quá trình giảng dạy và học tập môn toán ở trường
THPT.
Nội dung sáng kiến có thể chưa thật đầy đủ so với nội dung của vấn đề
mà tôi lựa chọn nhưng thiết nghĩ, có thể bổ sung vào hành trang của người
giáo viên một công cụ mới có hiệu quả.
Tôi xin chân thành cám ơn thầy giáo Nguyễn Danh Du – Phó hiệu
trưởng, thầy giáo Hoàng Minh Hiển – Phó hiệu trưởng, thầy giáo Phạm Ngọc
Bá – tổ trưởng chuyên môn cùng các thầy giáo, cô giáo trong tổ Toán – Tin
học trường THPT Bỉm Sơn đã đọc trước bản thảo và đóng góp nhiều ý kiến
sát thực tiễn để tôi hoàn thành đề tài này.
Bỉm sơn, tháng 3 năm 2012.
Người thực hiện đề tài
Vò Quý Ph¬ng
Trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá giáo viên: Vũ Quý Phương
Phần I: MỞ ĐẦU
I- Lý do lựa chọn đề tài.
I.1. Tính lịch sử.
“Cùng với KHCN, giáo dục là quốc sách hàng đầu”. Chủ trương đó đã

thể hiện rõ quan điểm, đường lối của Đảng và nhà nước ta, khẳng định tầm
quan trọng của giáo dục đối với sự phát triển của đất nước, bởi lẽ giáo dục
đóng vai trò quyết định trong việc đào tạo lực lượng sản xuất, đem đến sự
thành cơng của cơng cuộc xây dựng đất nước, xây dựng CNXH.
Ngành Giáo dục đã triển khai thực hiện cơng tác đổi mới giáo dục phổ
thơng bao gồm: Đổi mới cơ sở vật chất phục vụ cho dạy học, đổi mới chương
trình sách giáo khoa, đổi mới cơng tác quản lý chỉ đạo, đổi mới phương pháp
dạy học, đổi mới cách kiểm tra đánh giá v.v nhằm giúp học sinh phát triển
một cách tồn diện. Năm học này, Bộ Giáo dục và đào tạo đưa ra khẩu hiệu
“Xây dựng trường học thân thiện và học sinh tích cực” cũng chính là nhằm
hướng học sinh đến sự phát triển tồn diện.
Trong hệ thống các mơn học được đưa vào đào tạo ở trường phổ thơng,
mơn Tốn đóng vai trò hết sức quan trọng, bởi lẽ qua học tốn học sinh sẽ
được phát triển một cách tốt nhất tư duy sáng tạo, linh hoạt, dễ thích ứng với
mọi hồn cảnh, phù hợp với xu thế phát triển của đất nước ta hiện nay. Học
tốt mơn tốn sẽ giúp học sinh học tốt nhiều mơn học khác. Xưa nay đây là
mơn học mà khơng ít học sinh phải ngại ngùng khi nhắc đến, việc học tốn
đối với nhiều học sinh ln là một điều khó khăn. Trong các phân mơn của
tốn học phổ thơng thì Hình học ln được coi là mơn học khó khăn hơn cả.
Tất cả những đánh giá trên có thể xuất phát từ những lý do khách quan
và chủ quan như: Học sinh chưa nắm được phương pháp học tập, giáo viên
còn ơm đồm kiến thức trong giảng dạy, khó khăn về một cơ sở lý luận trong
việc dạy học bộ mơn v.v Học tốn đồng nghĩa với giải tốn. Muốn làm được
bài tập, ngồi việc phải có vốn kiến thức từ các cơng thức, quy tắc, định
nghĩa, khái niệm, định lý còn cần có một phương pháp suy luận đúng đắn.
I.2. Tính cấp thiết.
Bằng việc trao đổi với đồng nghiệp và kinh nghiệp dạy Hình học của
bản thân, tơi nhận thấy chất lượng dạy và học hình học nói chung chưa cao:
hầu hết học sinh đều ngại, sợ học Hình học, khơng biết cách giải một bài tốn
Hình học. Mà việc giải một bài tập Hình học khơng chỉ dựa vào việc có nắm

được các kiến thức cơ bản hay khơng mà còn dựa rất nhiều vào việc nhận ra
được mối liên quan giữa các kiến thức đó và vận dụng chúng như thế nào vào
bài tốn.
I.3. Thực trạng.
Đối với học sinh trường THPT Bỉm Sơn thì:
- Đa số học sinh nắm vững và vận dụng tốt các kiến thức hình học cơ
bản vào việc giải các bài tập. Tuy nhiên, còn có một vài lớp và một số học
S¸ng kiÕn - Kinh nghiƯm d¹y häc, n¨m häc 2011-2012 Trang 2
Trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá giáo viên: Vũ Quý Phương
sinh rải rác ở các lớp vẫn khơng thể nắm vững và vận dụng được các kiến
thức cơ bản của hình học vào việc giải các bài tập.
- Nhiều học sinh khơng nắm được các kiến thức đã học, học trước qn
sau. Kỹ năng vận dụng kiến thức cơ bản vào các hoạt động giải tốn còn yếu.
Về mặt kiến thức: Khái niệm vec-tơ là rất mới mẻ đối với học sinh lớp
10. Qua khảo sát kiến thức và kĩ năng của một số học sinh lớp 10 trường
THPT Bỉm Sơn – Thanh Hóa, năm học 2011 – 2012 sau khi các em đã được
học các kiến thức về vec-tơ tơi nhận thấy các em còn bỡ ngỡ và gặp nhiều
lúng túng. Lấy ví dụ: Trong hai đề kiểm tra kiến thức về vec-tơ ở 2 lớp 10C4
và 10C7 có các bài tốn như sau:
Đề 1: Cho hai hình bình hành ABCD và AB'C'D' có chung đỉnh A.
Chứng minh rằng:
a/
′ ′ ′
= +CC BB DD
uuur uuur uuur
.
b/ Hai tam giác BC'D và B'CD' có cùng trọng tâm.
Đề 2: Cho tam giác OAB. Đặt
= =OA a, OB b
uur uur

r
r
và gọi C, D, E là các
điểm sao cho
= = =
1 1
AC 2AB,OD OB,OE OA
2 3
uuur uur uuur uur uuur uur
.
a/ Hãy biểu thị các vec-tơ
OC, CD, DE
uuur uuur uuur
qua các vec-tơ
a, b
r
r
.
b/ Chứng minh rằng ba điểm C, D, E thẳng hàng.
Qua khảo sát 98 học sinh của 2 lớp có được kết quả như sau:
Số bài
Khơng làm
được câu nào
Làm được cả
2 câu
Chỉ làm
được câu a
Chỉ làm
được câu b
Đề 1 42 25 (59,52%) 9 (21,43%) 7 (16,67%) 1 (2,38%)

Đề 2 46 27 (58,70%) 11 (23,91%) 6 (13,04%) 2 (4,35%)
Qua bài làm của học sinh và qua thực tế giảng dạy, tơi nhận thấy bộc lộ
những nhược điểm chính ở học sinh như sau:
- Khơng nắm vững kiến thức vec-tơ, khơng hiểu rõ và cũng khơng phân
biệt chính xác các kí hiệu: AB,
AB, | AB|, AB
uuur uuur
.
- Khơng nắm vững các quy tắc cộng, trừ các vec-tơ, nhân một số với
một vec-tơ, tích vơ hướng của hai vec-tơ. Khi tính tốn một số em tuỳ tiện bỏ
kí hiệu vec-tơ, kĩ năng vận dụng kiến thức vec-tơ để giải tốn còn yếu, nhất là
các bài tốn mà trong đó chưa viết rõ các quan hệ vec-tơ.
- Thậm chí, với bài tốn “Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính
AB = 2R. Gọi M, N là hai điểm trên nửa đường tròn đó sao cho 2 dây cung
AM và BN cắt nhau tại I. Chứng minh:
=AI.AM AI.AB
uur uuur uur uur
.”, có học sinh đã
làm như sau:
AI.AM AI.AB AM AB= ⇔ =
uur uuur uur uuur uuur uuur
(chia cả hai vế cho
AI
uur
) rồi suy ra
đẳng thức khơng xảy ra. Điều đó chứng tỏ học sinh chưa hiểu rõ khái niệm về
tích vơ hướng của các vec-tơ.
S¸ng kiÕn - Kinh nghiƯm d¹y häc, n¨m häc 2011-2012 Trang 3
Trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá giáo viên: Vũ Quý Phương
Trong rất nhiều ngun nhân dẫn đến kết việc học sinh khơng tiếp thu

tốt các kiến thức về vec-tơ, có một ngun nhân là học sinh ít được thực hành
các bài tốn cơ bản về các khái niệm về vec-tơ. Có một lý do ở đây là thời
lượng quy định cho mỗi bài học khơng đủ cho giáo viên và học sinh làm được
việc này. Đặc biệt là đối với các học sinh khơng thực sự khá về mơn Tốn.
Chính vì những lý do trên, nhằm giúp các em lĩnh hội tốt hơn về kiến
thức vec-tơ, có kĩ năng giải bài tập về vec-tơ cũng như sử dụng vec-tơ như
một cơng cụ tốt để giải tốn tơi mạnh dạn lựa chọn và nghiên cứu vấn đề:
“Rèn luyện cho học sinh lớp 10 kỹ năng giải tốn vec-tơ và sử dụng
phương pháp vec-tơ để giải tốn.”
II. Mục đích nghiên cứu.
Khơng có phương pháp tốt, khơng thể có kết quả cao. Biết vận dụng
các kiến thức cơ bản một cách phù hợp sẽ có được cách giải bài tập tốt hơn.
Đặc biệt ở lớp 10, học sinh lần đầu tiên được va chạm với các kiến thức về
vec-tơ, vì vậy mục đích đặt ra là thơng qua việc dạy cho học sinh các vận
dụng các kiến thức cơ bản về vec-tơ để giúp học sinh thấy được:
- Các ký hiệu, bản chất các ký hiệu về vec-tơ.
- Mối quan hệ giữa vec-tơ với các kiến thức khác trong hình học.
- Chuyển đổi giữa các bài tốn hình học thơng thường với một bài tốn
vec-tơ.
- Các phương pháp suy nghĩ để tìm lời giải một bài tốn hình học nhờ
phương pháp vec-tơ.
Từ đó giúp học sinh vượt qua tâm lí ngại và sợ học hình học, đặc biệt là
các bài tốn về vec-tơ.
III. Thời gian, địa điểm nghiên cứu.
Sáng kiến kinh nghiệm này được nghiên cứu, áp dụng thực hiện trong
năm học 2011 – 2012, tại hai lớp 10C4 và 10C7, trường THPT Bỉm Sơn,
Thanh Hóa. Đây là hai lớp có điểm đầu vào bình qn thấp nhất khối 10.
Nội dung sáng kiến được trình bày cho học sinh trong một số giờ học
tự chọn của bộ mơn Tốn và một số buổi học bồi dưỡng (ngồi giờ học chính
khóa).

S¸ng kiÕn - Kinh nghiƯm d¹y häc, n¨m häc 2011-2012 Trang 4
Trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá giáo viên: Vũ Quý Phương
Phần II: NỘI DUNG
I- Một số kiến thức cơ bản cần chú ý.
I.1. Các định nghĩa về vec-tơ, các kí hiệu thường dùng.
Cho 2 điểm A, B thì:
- Ký hiệu AB chỉ độ dài đoạn thẳng AB. Như vậy ký hiệu AB và BA là
như nhau.
- Ký hiệu
AB
uuur
chỉ vec-tơ AB. Như vậy ký hiệu
AB
uuur
và
BA
uuur
, nói chung,
là hai vec-tơ khác nhau.
- Ký hiệu
| AB|
uuur
chỉ độ dài của vec-tơ
AB
uuur
. Như vậy
| AB| AB=
uuur
và, do
đó,

| AB| | BA |=
uuur uuur
.
- Ký hiệu
AB
chỉ độ dài đại số của vec-tơ AB.
I.2. Các phép tốn về vec-tơ.
I.2.1. Phép cộng các vec-tơ.
- Quy tắc ba điểm: Với 3 điểm A, B, C thì:
AB BC AC+ =
uuur uur uuur
.
- Quy tắc hình bình hành: Với ABCD là một hình bình hành thì:
AB AD AC+ =
uuur uuur uuur
.
- Tính chất trung điểm: Với I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì:
+
IA IB 0+ =
uur uur r
.
+
MA MB 2MI+ =
uuur uuur uur
, với điểm M bất kỳ.
I.2.2. Phép trừ các vec-tơ.
Với ba điểm O, A, B thì:
OA OB BA− =
uuur uuur uuur
.

I.2.3. Phép nhân vec-tơ với một số.
- Cho vec-tơ
u
r
và số k ∈ . Vec-tơ
ku
r
được xác định bởi:
+
ku
r
cùng hướng với vec-tơ
u
r
nếu k ≥ 0 và ngược hướng với
vec-tơ
u
r
nếu k < 0.
+
| ku | | k |.| u |
=
r r
.
- Cho
b 0
≠
r
r
và

a
r
cùng phương với
b
r
. Khi đó, tồn tại duy nhất một số
thực k sao cho:
a kb
=
r
r
.
- Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi
AB
uuur
và
AC
uuur
là
các vec-tơ cùng phương.
I.2.4. Tích vơ hướng của hai vec-tơ.
- Cho trước hai vec-tơ
a, b
r
r
. Từ một điểm O cố định, dựng các vec-tơ
OA a, OB b
= =
uuur uuur
r

r
. Khi đó góc
·
AOB
là góc giữa hai vec-tơ
a, b
r
r
. Ký hiệu:
·
(a, b)
r
r
hoặc
(a, b)
r
r
.
- Tích vơ hướng của hai vec-tơ:
a.b | a |.| b |.cos(a, b)
=
r r r
r r r
.
-
a b a.b 0
⊥ ⇔ =
r r
r r
.

-
2 2
a.a a | a |
= =
r r r r
.
S¸ng kiÕn - Kinh nghiƯm d¹y häc, n¨m häc 2011-2012 Trang 5
Trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá giáo viên: Vũ Quý Phương
I.3. Tọa độ của vec-tơ và của điểm trong mặt phẳng.
Xét hệ tọa độ Oxy.
-
u(x;y) u (x;y) u xi yj
⇔ = ⇔ = +
r r
r r r
.
- M(x; y) ⇔
OM (x;y) OM xi yj
= ⇔ = +
uuur uuur
r r
.
- Với
u(x;y), v(x ;y )
′ ′
r r
, k ∈ :
+
x x
u v

y y
′
=

= ⇔

′
=

r r
+
u v (x x ;y y )
′ ′
± = ± ±
r r
.
+
ku (kx;ky)
=
r
.
+
u.v xx yy
′ ′
= +
r r
.
+
2 2
| u | x y

= +
r
.
+
2 2 2 2
u.v xx yy
cos(u,v)
| u |.| v |
x y . x y
′ ′
+
= =
′ ′
+ +
r r
r r
r r
.
I.4. Học sinh cần được rèn luyện kĩ năng tổng hợp nhiều vec-tơ thành một
vec-tơ và ngược lại, cần biết phân tích một vec-tơ thành nhiều vec-tơ khác
(thường là phân tích một vec-tơ thành hai vec-tơ khác chung gốc nhưng
khơng cùng phương hoặc phân tích thành hiệu hai vec-tơ khác chung gốc). Ở
mỗi bài tập nên phân tích có những cách giải khác nhau giúp học sinh có
những cách nhìn linh hoạt hơn về vec-tơ.
I.5. Cần rèn cho học sinh biết cách chuyển từ ngơn ngữ hình học thơng
thường sang ngơn ngữ vec-tơ và ngược lại. Ví dụ:
TT Kiến thức hình học tổng hợp Vec-tơ
1
M là trung điểm của đoạn
thẳng AB

1)
MA MB 0+ =
uuur uuur
r
2)
AM MB=
uuur uuur
3)
OA OB 2OM+ =
uuur uuur uuur
, với mọi điểm O
2 G là trọng tâm ΔABC
1)
GA GB GC 0+ + =
uuur uuur uuur
r
2)
OA OB OC 3OG+ + =
uuur uuur uuur uuur
, với ∀O
3 AM là trung tuyến của ΔABC
AB AC 2AM+ =
uuur uuur uuur
4 Ba điểm A, B, C thẳng hàng
AB kAC=
uuur uuur
(k ≠ 0)
5 AB // CD
AB kCD ( k 0)
AB mAC ( m )


= ∃ ≠


≠ ∀ ∈


uuur uuur
uuur uuur
¡
6
AB ⊥ CD
AB.CD 0=
uuur uuur
7 ABCD là hình bình hành
AB DC=
uuur uuur
(A ∉ DC)
I- Hướng dẫn học sinh giải các bài tốn về vec-tơ.
I.1. Các bài tốn xác định vec-tơ.
S¸ng kiÕn - Kinh nghiƯm d¹y häc, n¨m häc 2011-2012 Trang 6
Trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá giáo viên: Vũ Quý Phương
1. Làm cho học sinh nắm vững hơn khái niệm vec-tơ cùng hướng, vec-tơ bằng
nhau.
Một trong những ngun nhân khiến học sinh khơng giải được các bài
tốn về vec-tơ là khơng hiểu rõ khái niệm vec-tơ, khơng biết cách xác định
một vec-tơ, khơng hiểu rõ hai vec-tơ bằng nhau, nhầm lần vec-tơ bằng nhau
với đoạn thẳng bàng nhau
Để giải quyết được điều này, tác giả đã cho học sinh làm lại và phân
tích kỹ lời giải của học sinh qua hoạt động số 2 (§1, chương I, SGK Hình học

10 nâng cao): Cho trước vec-tơ
a
r
và điểm O cố định. Xác định điểm A sao
cho
OA a=
uur
r
. Có bao nhiêu điểm A như vậy.
Tác giả vẽ lên bảng hình vẽ sau (tức vẽ sao cho
AO a=
uuur
r
):
Và u cầu một học sinh xác định xem điểm A có thỏa mãn bài tốn
khơng. Sau đó phân tích cho học sinh thấy rõ rằng: Trong hình vẽ trên, vec-tơ
OA
uuur
và vec-tơ
a
r
có độ dài bằng nhau. Tuy nhiên, vec-tơ
OA
uuur
có hướng từ
phải sang trái trong khi vec-tơ
a
r
có hướng từ trái sang phải. Do đó hai vec-tơ
nay khơng bằng nhau nên điểm A như trên khơng thỏa mãn bài tốn.

Sau đó, tác giả u cầu học sinh xác định điểm A thỏa mãn bài tốn: Đa
số học sinh đã xác định được điểm A như hình vẽ sau:
Qua đó, tác giả nhấn mạnh cho học sinh rằng: nếu vec-tơ
a
r
được xác
định bởi điểm đầu là M và điểm cuổi là N thì
OA a=
uuur
r
khi và chỉ khi tứ giác
MNAO là hình bình hành (cần chú ý chặt chẽ đến thứ tự các đỉnh của hình
bình hành). Hơn nữa qua việc xác định như thế, học sinh nhận ra ngay ln có
một và chỉ một điểm A thỏa mãn bài tốn.
Ngồi ra, tác giả cũng đã đưa ra các tình huống sau để giúp học sinh
rèn luyện và hiểu rõ hơn các khái niệm về vec-tơ:
S¸ng kiÕn - Kinh nghiƯm d¹y häc, n¨m häc 2011-2012 Trang 7
Trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá giáo viên: Vũ Quý Phương
- Điểm O trùng với điểm M thì A là điểm nào? (A
≡
N)
- Điểm O trùng với điểm N thì A là điểm nào? (A đối xứng với M qua
N hay N là trung điểm của MA)
- Xác định vị trí điểm O để điểm A trùng với điểm M? (O đối xứng với
N qua M hay M là trung điểm của ON)
2. Làm cho học sinh nắm vững hơn khái niệm tổng, hiệu hai vec-tơ.
Việc xác định tổng, hiệu của các vec-tơ đối với nhiều học sinh cũng là
một vấn đề khó khăn. Qua giảng dạy về vec-tơ, tác giả nhận thấy học sinh hầu
như vẫn khơng phân biệt rõ dựng tổng của các vec-tơ với tổng hai cạnh của
một tam giác.

Để giúp học sinh nắm vững hươn khái niệm tổng hai vec-tơ và một số
tiếp xúc của chúng, đặc biệt là quy tắc ba điểm và cách dựng vec-tơ tổng của
hai vec-tơ, tác giả cho học sinh làm lại nội dung của hoạt động 4 (§2, chương
I, SGK Hình học 10 nâng cao).
Trước hết, tác giả vẽ lên bảng hình vẽ như sau:
u cầu học sinh:
- Xác định các điểm A, B, C sao cho:
OA a, AB b, BC c
= = =
uuur uuur uur
r
r r
.
- Dựng các vec-tơ
a b, b c
+ +
r r
r r
.
Sau khi học sinh thực hiện u cầu và giáo viên chỉnh sửa những sai
sót, được hình vẽ như sau:
Sau khi học sinh đã nắm được các khái niệm về vec-tơ một cách tương
đối chắc chắn, tác giả tiến hành cho học sinh rèn luyện khả năng vận dụng
kiến thức vec-tơ vào giải tốn thơng qua một số ví dụ, bài tốn cụ thể. Hơn
nữa, với mỗi ví dụ, bài tốn, tác giả ln cố gắng hướng dẫn học sinh tìm
S¸ng kiÕn - Kinh nghiƯm d¹y häc, n¨m häc 2011-2012 Trang 8
Trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá giáo viên: Vũ Quý Phương
nhiều cách giải khác nhau, qua đó vận dụng được nhiều kiến thức cơ bản và
hiểu rõ thêm về bản chất của loại kiến thức mình áp dụng.
* Trước hết, tác giả cho học sinh thực hành việc xác định tổng của các vec-tơ

thơng qua một bài tốn cụ thể, qua đó củng cố thêm về khái niệm tổng của các
vec-tơ, các quy tắc thường dùng của tổng các vec-tơ.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC lấy hai điểm D và E sao cho ln
có: BD = DE = EC. Hãy dựng vec-tơ
u AB AC AD AE= + + +
uuur uuur uuur uuur
r
.
Giải:
Cách 1: Gợi ý học sinh:
- Trong phép dựng tổng của hai vec-tơ, với hai vec-tơ có chung gốc thì
nên xem xét đến quy tắc nào? (Quy tắc hình bình hành)
- Vận dụng quy tắc đó vào trong bài tốn này cụ thể ra sao? (Nhóm mỗi
2 vec-tơ xác định bởi hai cạnh của hình bình hành lại với nhau)
Qua hướng dẫn, học sinh đã thực hiện được phép dựng và nêu lời giải
như sau:
Dựng hình bình hành ABIC thì ADIE cũng là hình bình hành.
Từ quy tắc hình bình hành, ta có ngay:
AB AC AI, AD AE AI u 2AI+ = + = ⇒ =
uuur uuur uur uuur uuur uur uur
r
.
Từ đó: Dựng K đối xứng với A qua I thì:
u 2AI AK= =
uur uuur
r
.
Cách 2: Gợi ý học sinh: Có thể giải cách khác được khơng?
Học sinh đã biến đổi:
u AB AC AD AE AB AE AC AD= + + + = + + +

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
r
.
Từ đó, dựng các hình bình hành ABME và ACND thì:
AB AE AM+ =
uuur uuur uuur
,
AC AD AN+ =
uuur uuur uuur
.
Như vậy:
u AM AN= +
uuur uuur
r
.
Vẫn cách suy nghĩ đó, dựng tiếp hình bình hành AMKN thì:
u AK=
uuur
r
.
S¸ng kiÕn - Kinh nghiƯm d¹y häc, n¨m häc 2011-2012 Trang 9
Trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá giáo viên: Vũ Quý Phương
Cách 3: Gợi ý học sinh:
- Hãy phân tích đề bài theo một hướng khác: Với các giả thiết của đề
bài, nhận xét gì về các điểm D, E trên cạnh BC? (D là trung điểm của BE và
E là trung điểm của CD)
- Với nhận xét đó, nhớ lại và xác định xem có thể vận dụng kiến thức
nào để xác định tổng của hai vec-tơ? (tính chất trung điểm)
Qua hướng dẫn, học sinh đã thực hiện được phép dựng và nêu lời giải
như sau:

Biến đổi:
u AB AC AD AE AB AE AC AD= + + + = + + +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
r
.
Do D là trung điểm của AE và E là trung điểm của CD nên ta có:
AB AE 2AD, AC AD 2AE+ = + =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
.
Từ đó, dựng M đối xứng với A qua D và N đối xứng với A qua E thì:
AB AE AM, AC AD AN+ = + =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
.
Như vậy:
u AM AN= +
uuur uuur
r
.
Từ đó, dựng hình bình hành AMKN ta có:
u AK=
uuur
r
.
* Một trong các loại tốn mà học sinh khá lúng túng là bài tốn biểu diễn một
vec-tơ qua các vec-tơ khơng cùng phương.
S¸ng kiÕn - Kinh nghiƯm d¹y häc, n¨m häc 2011-2012 Trang 1 0
Trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá giáo viên: Vũ Quý Phương
Với loại tốn này, nhiều học sinh lúng túng khi khơng thể áp dụng một
quy tắc rất cơ bản của phép cộng và phép trừ hai vec-tơ: Với ba điểm O, A, B
bất kỳ, ta ln có:

AO OB AB, OA OB BA+ = − =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
. Cả hai quy tắc đó, mấu
chốt vẫn là quy tắc ba điểm của phép cộng các vec-tơ. Chính vì điều này, kết
hợp với đối tượng học sinh yếu nên trước khi cho học sinh làm các bài tốn
cụ thể, tác giả đã cho học sinh thực hành khá nhiều việc lấy tổng, hiệu của hai
vec-tơ, phân tích một vec-tơ thành tổng, hiệu của hai vec-tơ đại loại như:
AO OB AB; MI KM KM MI KI; EF EO OF
AM AN NM; CD ID IC
+ = + = + = = +
− = = −
uuur uuur uuur uur uuur uuur uur uur uur uuur uur
uuur uuur uuur uuur uur uur
( )
1
AI AM AN ; EM EN 2EI; KM 2KI KN
2
= + + = = −
uur uuur uuur uuur uuur uur uuur uur uuur
(Với I là trung
điểm của đoạn thẳng MN).
Ngồi ra, cũng cần hướng dẫn học sinh xem xét phát hiện các vec-tơ
cùng phương, cùng hướng trong bài tốn để sử dụng vào việc biểu diễn.
Để rèn luyện loại tốn này, trước hết, tác giả đã cho học sinh thực hành
qua một bài tốn khá đơn giản sau đây.
Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi E là trung điểm của BC. Đặt
AB a, AO b
= =
uuur uuur
r

r
. Hãy biểu diễn vec-tơ
AE
uuur
theo các vec-tơ
a
r
và
b
r
.
Giải:
Cách 1: Gợi ý học sinh:
- Trong bài tốn này, có các vec-tơ nào cùng với các vec-tơ
AB, AO
uuur uuur
.
- Hãy sử dụng quy tắc ba điểm của phép cộng để biểu diễn
AE
uuur
qua
tổng hoặc hiệu của các vec-tơ cùng phương với các vec-tơ
AB, AO
uuur uuur
(hoặc là
chính các vec-tơ đó).
Qua hướng dẫn, học sinh đã thực hiện được lời giải như sau:
1 1 1
AE AO OE AO AB b a a b
2 2 2

= + = + = + = +
uuur uuur uuur uuur uuur
r r
r r
Cách 2: Gợi ý học sinh: Trong cách giải trên đã vận dụng quy tắc ba điểm
trong bước biến đổi đầu tiên. Hãy xem xét các giả thiết của bài tốn để có thể
biến đổi cách khác. Chú ý đến các yếu tố: trung điểm, song song, đối xứng
S¸ng kiÕn - Kinh nghiƯm d¹y häc, n¨m häc 2011-2012 Trang 1 1
Trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá giáo viên: Vũ Quý Phương
Qua hướng dẫn, học sinh đã thực hiện được lời giải như sau:
( ) ( )
1 1 1 1
AE AB AC AB 2AO (a 2b) a b
2 2 2 2
= + = + = + = +
uuur uuur uuur uuur uuur
r r
r r
.
Tiếp theo, cho học sinh thực hành việc biểu diễn vec-tơ qua các vec-tơ
khơng cùng phương bằng ví dụ:
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O có trực tâm là H. Đặt
HA a,HB b,HC c
= = =
uuur uuur uuur
r
r r
. Chứng minh rằng:
1
HO (a b c)

2
= + +
uuur
r
r r
.
Giải :
Cách 1: Gợi ý học sinh:
- Trong bài tốn này, có các vec-tơ nào cùng với các vec-tơ
HA, HB, HC
uuur uuur uuur
. Nếu chưa có thì cố gắng để tạo ra. Có thể thơng qua các vec-
tơ, điểm đã có hoặc các điểm đặc biệt liên quan đến giả thiết. (Lựa chọn các
trung điểm của các cạnh)
- Hãy sử dụng quy tắc ba điểm của phép cộng để biểu diễn
HO
uuur
qua
tổng hoặc hiệu của các vec-tơ, trong đó có vec-tơ cùng phương với
HA
uuur
hoặc
HB
uuur
hoặc
HC
uuur
. (Biểu diễn được
′ ′
= +HO HA A O

uuur uuur uuur
)
- Bước tiếp theo, làm tương tự để biểu diễn vec-tơ trong tổng (hoặc
hiệu đó) chưa cùng phương với
HA, HB, HC
uuur uuur uuur
theo
HA, HB, HC
uuur uuur uuur
hoặc các
vec-tơ cùng phương với
HA, HB, HC
uuur uuur uuur
.
- Chú ý đến tính chất: Nếu
b 0
≠
r
r
và
a
r
cùng phương với
b
r
thì ln tồn
tại duy nhất số k ∈  để
a kb
=
r

r
. Hơn nữa, với ba vec-tơ
a, b, c
r
r r
khơng cùng
phương cho trước thì mỗi vec-tơ
u
r
đều biểu diễn được duy nhất qua các vec-
tơ
a, b, c
r
r r
đó.
Qua hướng dẫn, học sinh đã thực hiện được lời giải như sau:
Gọi A' là trung điểm của BC thì:
HO HA A O
′ ′
= +
uuur uuur uuur
S¸ng kiÕn - Kinh nghiƯm d¹y häc, n¨m häc 2011-2012 Trang 1 2
Trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá giáo viên: Vũ Quý Phương
Mặt khác: theo tính chất trung điểm:
( )
1 1
HA HB HC (b c)
2 2
′
= + = +

uuur uuur uuur
r
r
.
Hơn nữa OA' // AH nên
A O ma
′
=
uuur
r
. Do đó, ta có:
1 1 1
HO HA A O (b c) ma ma b c
2 2 2
′ ′
= + = + + = + +
uuur uuur uuur
r r
r r r r
(1)
Tương tự: Gọi B', C' lần lượt là trung điểm của AC, AB thì:
1 1
HO HB B O a nb c
2 2
′ ′
= + = + +
uuur uuur uuur
r
r r
(2)

1 1
HO HC C O a b pc
2 2
′ ′
= + = + +
uuur uuur uuur
r
r r
(3)
Từ (1), (2), (3) suy ra:
1
m n p
2
= = =
. Vậy
1
HO (a b c)
2
= + +
uuur
r
r r
.
Cách 2: Gợi ý học sinh:
- Vì đường tròn có tính đối xứng nên nếu xét điểm O ở vai trò trung
điểm thì có thể có cách suy nghĩ khác khơng?
- Muốn thế, hãy tìm cách tạo ra O là trung điểm của một đoạn thẳng có
gắn với các vec-tơ
HA, HB, HC
uuur uuur uuur

.
Qua hướng dẫn, học sinh đã thực hiện được lời giải như sau:
Kẻ đường kính BD của đường tròn. Khi đó, ta có:
·
·
o
BAD BCD 90
= =

⇒ CD // AH và AD // HC.
Do đó tứ giác AHCD là hình bình hành. Vậy
HA HC HD
+ =
uuur uuur uuur
.
Mặt khác:
HB HD 2HO
+ =
uuur uuur uuur
.
Suy ra:
HA HB HC 2HO
+ + =
uuur uuur uuur uuur
hay
1
HO (a b c)
2
= + +
uuur

r
r r
.
I.2. Các bài về độ dài của vec-tơ.
Vấn đề tiếp theo mà học sinh khá lúng túng trong giải tốn về vec-tơ là
khơng phân biệt rõ ràng khái niệm vec-tơ với độ dài của vec-tơ. Chính vì thế,
nhiều học sinh vẫn cho rằng
AB BC AC
+ >
uuur uur uuur
(với ABC là một tam giác). Để
S¸ng kiÕn - Kinh nghiƯm d¹y häc, n¨m häc 2011-2012 Trang 13
Trửụứng THPT Bổm Sụn Thanh Hoaự giaựo vieõn: Vuừ Quyự Phửụng
khc phc iu ú, trc ht, tỏc gi cng c li cho hc sinh rng di ca
mt vec-t l di ca on thng xỏc nh vec-t ú (khong cỏch t im
u ti im cui ca vec-t) v cho hc sinh thc hnh bng cỏc vớ d rt
n gin nh sau:
- Cho hai im phõn bit A v B. Hóy xỏc nh di cỏc vec-t:
AB
uuur
,
BA, 0
uuur
r
. (Phi phõn tớch hc sinh hiu rừ rng
= =
AB BA AB
uur uur
)
- Cho ba im phõn bit A, B, C. Hóy xỏc nh di cỏc vec-t:

AB
uuur
,
AC, BC, u BC AB
= +
uuur uur uur uuur
r
. (Phi phõn tớch, nhn mnh hc sinh hiu rừ rng
BC AB AB BC AC
+ = + =
uuur uur uur uuur uuur
nờn
|u | AC AC= =
uuur
r
. Hn na, cn phõn tớch
qua nhiu trng hp bng cỏc hỡnh v khỏc nhau: Ba im A, B, C khụng
thng hng bt k; to thnh tam giỏc cõn, tam giỏc u; thng hng bt k,
thng hng cỏch u nhau )
Tip theo, khi hc sinh ó nm vng khỏi nim di vec-t, tỏc gi
cng c li cho hc sinh rng hai vec-t bng nhau khi v ch khi chỳng cú
cựng hng v cựng di, hai vec-t i nhau nu chỳng ngc hng v
cú cựng di. ng thi cho hc sinh thc hnh qua vớ d sau:
Vớ d 4: Cho t giỏc li ABCD cú hai ng chộo AC v BD ct nhau ti O.
t
AB a,BD b,DC c,CA d
= = = =
uuur uuur uuur uuur
r r
r r

. Chng minh rng:
| a d | | b d | | c d | | a | | b | | c | | d |
+ + + + + < + + +
r r r r r r
r r r r
.
Gii: Gi ý hc sinh:
- T gi thit v quy tc ba im ca phộp cng, hóy ỏnh giỏ mt
trong ba di v trỏi. (Vi hng dn ny, a s hc sinh ó ỏnh giỏ c
ba di v a n mt kt qu khụng nh mong mun, giỏo viờn phi
hng dn thờm)
- Hóy xem xột n s c bit ca cỏc vec-t xỏc nh nờn
a, b, c, d
r r
r r

ỏnh giỏ tng ca hai di cũn li. Chỳ ý n tớnh cht cỏc cnh ca mt
tam giỏc.
Qua hng dn, hc sinh ó thc hin c li gii nh sau:
Ta cú:
AB BD DC CA 0 a b c d 0 b d
+ + + = + + + = +
uuur uuur uuur uuur
r r r r
r r
r r
v
a c
+
r r

l cỏc vec-t i nhau
| b d | | a c | | a | | c |
+ = + +
r r
r r r r
(1)
Sáng kiến - Kinh nghiệm dạy học, năm học 2011-2012 Trang 1 4
Trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá giáo viên: Vũ Quý Phương
Mặt khác:
CA AB CB, DC CA DA
+ = + =
uuur uuur uur uuur uuur uuur
⇒
| a d | | c d | | CB | | DA | CB DA BC AD
+ + + = + = + = +
uur uuur
r r
r r
.
Lại có: BC + AD < (OB + OC) + (OA + OD) = BD + AC
⇒
| a d | | c d | | b | | d |
+ + + < +
r r r r
r r
(2)
Từ (1) và (2) ta có:
| a d | | b d | | c d | | a | | b | | c | | d |
+ + + + + < + + +
r r r r r r

r r r r
.
* Với kiến thức về độ dìa vec-tơ, có thể hướng dẫn để học sinh vận dụng vào
giải các bài tốn khác. Sau khi cho học sinh rèn luyện thêm các bài tập để
khắc sâu khía niệm vec-tơ, tác giả đã cho học sinh vận dụng kiến thức độ dài
vec-tơ vào bài tốn sau và học sinh đã thực hiện hiệu quả.
Ví dụ 5: Cho tứ giác lồi ABCD. Chứng minh rằng:
1. Nếu AD
2
+ BC
2
=AB
2
+ DC
2
thì hai đường chéo AC và BD vng
góc với nhau.
2. Nếu
MA MC MB MD
+ = +
uuur uuur uuur uuur
(với điểm M bất kỳ) thì tứ giác ABCD
là hình bình hành.
Giải: Gợi ý học sinh:
- Dựa vào tính chất “Bình phương vơ hướng của vec-tơ bằng bình
phương độ dài của nó” hãy biến đổi tổng các bình phương trong giả thiết
thành hiệu của bình phương các vec-tơ để có thể tạo ra các vec-tơ xác định
bởi AC và BD.
- Lưu ý rằng:
a b a.b 0

⊥ ⇔ =
r r
r r
.
Qua hướng dẫn, học sinh đã thực hiện được lời giải như sau:
1. Từ giả thiết suy ra: BC
2
– BA
2
= DC
2
– DA
2
⇔
2 2 2 2
BC BA DC DA
− = −
uur uuur uuur uuur
⇔
( ) ( ) ( ) ( )
BC BA BC BA DC DA DC DA
− + = − +
uur uuur uur uuur uuur uuur uuur uuur
⇔
( ) ( )
AC BC BA AC DC DA
+ = +
uuur uur uuur uuur uuur uuur
⇔
( )

AC BC BA DC DA 0+ − − =
uuur uur uuur uuur uuur
⇔
( )
AC BC CD BA AD 0+ + + =
uuur uur uuur uuur uuur
⇔
AC.2BD 0 AC.BD 0= ⇔ =
uuur uuur uuur uuur
⇔ AC ⊥ BD.
2. Ta có:
MA MC MB MD MA MB MD MC BA CD
+ = + ⇔ − = − ⇔ =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
. Vậy
ABCD là hình bình hành.
II- Vận dụng các kiến thức về vec-tơ để giải các bài tốn.
Đối với các em học sinh khá giỏi có thể hướng dẫn các em khai thác
sâu hơn kiến thức vec-tơ, coi đó là một cơng cụ hữu hiệu để giải các bài tốn
khác. Chẳng hạn: Chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương
trình, hệ phương trình, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, nhận
dạng tam giác … Điều này sẽ giúp các em học sinh học tập hứng thú hơn.
S¸ng kiÕn - Kinh nghiƯm d¹y häc, n¨m häc 2011-2012 Trang 1 5
Trửụứng THPT Bổm Sụn Thanh Hoaự giaựo vieõn: Vuừ Quyự Phửụng
Cỏc kin thc c bn m cỏc em cn nm vng vn dng cú th k
n gm:
- Tớch vụ hng ca hai vec-t:
a.b | a |.| b |.cos(a;b)
=
r r r

r r r
ta suy ra c cỏc
iu sau: +
a.b | a |.| b |

r r
r r
(I)
+
| a.b | | a |.| b |

r r
r r
(II)
T (I) ta cú:
2 2
2a.b 2 | a |.| b | (a b) (| a | | b |)
+ +
r r r r
r r r r

| a b | | a | | b |
+ +
r r
r r
(III)
Du bng (I) v (III) xy ra
a kb
=
r

r
vi k > 0.
Du bng (II) xy ra
a kb
=
r
r
vi k 0.
- Hc sinh lp 10 ó quen cụng thc tớnh din tớch tam giỏc sau:
1 1 1
S absinC bcsin A acsinB
2 2 2
= = =

Nu t
AB b, AC c= =
uuur uuur
r
r
ta cú cỏc cụng thc tớnh din tớch tam giỏc
ABC nh sau:
1
S b.c.tan A
2
=
r
r
.
Tht vy:
1

2 | b |.| c |.sin A
2S
2
b.c | b |.| c |.cosA
sin A
tan A
cosA

ữ

= = =
r
r
r r
r r

1
S b.c.tan A
2
=
r
r
- Trong h trc ta Oxy, nu
u (x;y), v (x ;y )

= =
r r
thỡ:
+
u.v xx yy

= +
r r
.
+
2 2
| u | x y= +
r
.
Cú th hng dn hc sinh vn dng cỏc kin thc trờn lm cỏc bi
tp sau:
Vớ d 6: Cho a, b, c, d l cỏc s thc bt k, chng minh rng:
(ac + bd)
2
(a
2
+ b
2
)(c
2
+ d
2
).
Ch rừ du ng thc xy ra khi no.
Gii: Gi ý hc sinh:
- Hóy xem xột (ac + bd)
2
, (a
2
+ b

2
), (c
2
+ d
2
) cú liờn quan gỡ n cỏc khỏi
nim ca vec-t khụng? (Cú v nh biu thc ta ca tớch vụ hng v
di ca vec-t)
- T nhn xột ú, hóy to ra cỏc iu kin s dng c kt qu ó
nhn xột.
Qua hng dn, hc sinh ó thc hin c li gii nh sau:
Sáng kiến - Kinh nghiệm dạy học, năm học 2011-2012 Trang 1 6
Trửụứng THPT Bổm Sụn Thanh Hoaự giaựo vieõn: Vuừ Quyự Phửụng
Trong h trc ta Oxy, t
u (a;b), v (c;d)
= =
r r
. Khi ú:
2 2 2 2
| u | a b , | v | c d= + = +
r r
.
Hn na:
u.v ac bd | u.v | | ac bd |= + = +
r r r r
.
T ú, theo (II) ta cú:
2 2 2 2
| u.v | | u |.| v | | ac bd | a b . c d + + +
r r r r

Bỡnh phng 2 v ta cú: (ac + bd)
2
(a
2
+ b
2
)(c
2
+ d
2
).
Du bng xy ra khi
u kv
=
r r
hay ad = bc.
Vớ d 7: Gii phng trỡnh:
2
x 1 x 3 x 2 1 x
+ + = +
(*)
Gii: Gi ý hc sinh:
- Nu xem xột v trỏi ca phng trỡnh l biu thc ta ca tớch vụ
hng ca hai vec-t thỡ ú l cỏc vec-t vú ta nh th no?
- Vi nhn xột ú thỡ v phi cú th biu din qua cỏc vec-t ú khụng?
- T cỏc nhn xột ú, hóy to ra cỏc iu kin s dng c kt qu
ó nhn xột.
Qua hng dn, hc sinh ó thc hin c li gii nh sau:
Tp xỏc nh: D = [1; 3].
Trong h trc ta Oxy, t

( )
u (x;1), v 1 x; 3 x
= = +
r r
thỡ:
2
| u | 1 x , | v | 2= + =
r r
v
u.v x 1 x 3 x
= + +
r r
.
Khi ú: (*)
u.v | u |.| v |
=
r r r r
.
iu ny xy ra khi
u kv
=
r r
vi k > 0
1 x 3 x
x 1
+
=
vi x > 0.
1 + x = x
2

(3 x) (x 1)(x
2
2x 1) = 0
x 1
x 1 2
=


=

Kt hp iu kin, phng trỡnh cú nghim l: x = 1 v
x 1 2
=
.
Vớ d 8: Tỡm giỏ tr ln nht ca hm s:
x
y x 4 1
2
= +
.
Gii: Gi ý hc sinh:
- Trc ht, hóy bin i thu gn biu thc xỏc nh hm s. (Mong
mun phi a c v dng:
y x 2 2. 2 x
= +
)
- Vi hm s nh th, cú th a v biu thc ta ca tớch vụ hng
ca hai vec-t no?
- T cỏc nhn xột ú, hóy to ra cỏc iu kin s dng c kt qu
ó nhn xột.

Qua hng dn, hc sinh ó thc hin c li gii nh sau:
Tp xỏc nh ca hm s: D = [0; 2].
Ta cú:
y x 2 2. 2 x
= +
.
Sáng kiến - Kinh nghiệm dạy học, năm học 2011-2012 Trang 1 7
Trửụứng THPT Bổm Sụn Thanh Hoaự giaựo vieõn: Vuừ Quyự Phửụng
Trong h trc ta Oxy, t
( )
u (1;2 2), v x; 2 x
= =
r r

u.v x 2 2. 2 x y u.v
= + =
r r r r
Mt khỏc:
| u | 3, | v | 2
= =
r r
.
p dng (I) ta cú:
y 3 2

. Du bng xy ra khi
u kv
=
r r
vi k > 0

1 k x
2
2 2. x 2 x x D
9
2 2 k 2 x

=

= =

=


Vy, giỏ tr ln nht ca hm s l
3 2
ti
2
x
9
=
.
Vớ d 8: Vi a, b l cỏc s thc dng, tỡm giỏ tr nh nht ca hm s:
2 2 2 2
y x 2ax 2a x 2bx 2b
= + + +
Gii: Gi ý hc sinh:
- Trc ht, hóy bin i thu gn biu thc xỏc nh hm s. (Mong
mun phi a c v dng:
2 2 2 2

y ( a x ) a ( x b ) b
= + + +
)
- Vi hm s nh th, cú th thy c chỳng liờn quan n khỏi nim
no ca vec-t?
- T cỏc nhn xột ú, hóy to ra cỏc iu kin s dng c kt qu
ó nhn xột.
Qua hng dn, hc sinh ó thc hin c li gii nh sau:
Ta cú:
2 2 2 2
y (a x) a (x b) b
= + + +
.
Tp xỏc nh ca hm s: D = .
Trong h trc ta Oxy, t
u (a x;a), v (x b;b)
= =
r r
. Khi ú:
y | u | | v |
= +
r r
.
Mt khỏc, ta cú:
2 2
u v (a b;a b), | u | (a x) a
+ = + = +
r r r
,
2 2 2 2

| v | (x b) b , | u v | 2(a b )
= + + = +
r r r
.
Hn na theo (III):
2 2
| u | | v | | u v| y | u v | 2(a b )
+ + + = +
r r r r r r
.
Du bng xy ra khi v ch khi
u kv
=
r r
vi k > 0

a 2ab
a x (x b) x
b a b
= =
+
.
Vy hm s cú giỏ tr nh nht l
2 2
2(a b )
+
, t c ti
2ab
x
a b

=
+
.
Sáng kiến - Kinh nghiệm dạy học, năm học 2011-2012 Trang 1 8
Trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá giáo viên: Vũ Quý Phương
Phần III: KẾT QUẢ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN
Trong năm học 2011-2012, tác giả được giao giảng dạy Tốn ở các lớp
10C4, 10C7 là các lớp có chất lượng đầu vào (điểm thi tuyển sinh vào lớp 10,
mơn Tốn) là thấp so với mặt bằng chung của nhà trường. Sau khi học xong
phần vec-tơ thì kết quả của học sinh ở hai lớp đã được nêu trong phần đầu của
bản Sáng kiến kinh nghiệm này.
Tác giả đã sử dụng nội dung Sáng kiến để dạy cho lớp 10C4, còn lớp
10C7 vẫn dạy theo giáo án trước đây. Sau khi thực hiện xong nội dung giáo
án, tác gải đã khảo sát lại chất lượng của hai lớp với thời lượng 60 phút bằng
đề kiểm tra sau:
Câu 1 : Cho hai tam giác ABC và A'B'C' có AA', BB', CC' đơi một song
song và bằng nhau. Gọi I, K lần lượt là trọng tâm của hai tam giác đó và O
là trung điểm của IK.
1/ Chứng minh rằng :
OA OB OC OA OB OC 0
′ ′ ′
+ + + + + =
uur uur uuur uuur uuur uuur
r
.
2/ Gọi M là trung điểm của A'B' và G là điểm thỏa mãn :
C G 3GI
′
=
uuur uur

.
Chứng minh rằng ba điểm O, M, G thẳng hàng.
Câu 2 : Cho
a, b
r
r
là hai vec-tơ khơng cùng phương. Chứng minh rằng
các vec-tơ
x a b= +
r
r r
và
y 2a 3b= −
r
r r
khơng cùng phương. Khi đó, hãy phân
tích vec-tơ
a
r
theo hai vec-tơ
x, y
r r
.
Câu 3 : Chứng minh rằng với mọi số thực x, y, z ta có :
2 2 2 2 2 2
x xy y y yz z z zx x+ + + + + ≥ + +
Kết quả thu được như sau :
Lớp Số bài
Khơng
làm

đúng
câu nào
Làm đúng cả
3 câu
Làm đúng
được 2 câu
Chỉ là đúng
1 câu
Điểm
cao nhất
10C4 45 0 22 (48,89%) 14 (31,11%) 9 (20,00%) 9,25
10C7 44 0 19 (43,18%) 17 (38,64%) 8 (18,18%) 9,0
S¸ng kiÕn - Kinh nghiƯm d¹y häc, n¨m häc 2011-2012 Trang 1 9
Trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá giáo viên: Vũ Quý Phương
Phần IV: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT
Trên đây là một số kinh nghiệm và suy nghĩ của cá nhân tơi trong q
trình giảng dạy và cơng tác trong năm học vừa qua. Trong q trình giảng dạy
tơi nhận thấy với những kinh nghiệm trên, học sinh đã bước đầu thành thạo
trong giải tốn vec-tơ và sử dụng vec-tơ là một cơng cụ hữu hiệu để giải tốn
đồng thời phát huy tính tích cực, sáng tạo trong học tập của học sinh. Thơng
qua một số bài tốn tơi muốn hình thành cho học sinh tư đuy lơgic, q trình
tập dượt sáng tạo tốn học. Điều đó góp phần nâng cao chất lượng dạy và học.
Tuy nhiên, những ý kiến này chưa hẳn đã là phù hợp với tất cả mọi đối
tượng học sinh, đặc biệt là các học sinh khá giỏi. Việc áp dụng nội dung sán
kiến này vào giảng dạy cần được bố trí hợp lý về mặt thời gian. Nếu trường
nào khơng bố trí giờ học tự chọn thì khá khó khăn về mặt thời gian để có thể
áp dụng được. Hơn nữa, rất cần đến sự kiên trì của giáo viên vì đối tượng học
sinh áp dụng trong sáng kiến này là những học sinh có tố chất, tư duy tốn
học chưa thật tốt, ngại học tốn, đặc biệt là hình học.
Với những kết quả đã thu được, tơi mạnh dạn nêu lên nội dung sáng

kiến của mình và mong được sự đóng góp ý kiến của các đồng nghiệp để nội
dung được hồn thiện hơn trong những lần chỉnh sửa sau.
S¸ng kiÕn - Kinh nghiƯm d¹y häc, n¨m häc 2011-2012 Trang 2 0
Trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá giáo viên: Vũ Quý Phương
TÀI LI ỆU THAM KHẢO
[1] Phan Huy Khải (chủ biên) – Bài tập Hình học 10 nâng cao - Nhà xuất
bản Giáo dục Việt Nam - 2011.
[2] Nguyễn Văn Lộc - Phương pháp vec-tơ trong giải tốn hình học phẳng
- Nhà xuất bản Giáo dục - 2007.
[3] Tạp chí Tốn học và Tuổi trẻ.
[4] Nguyễn Hải Châu, Nguyễn Thế Thạch (đồng chủ biên) - Kiểm tra đánh
giá thường xun và định kỳ mơn Tốn lớp 10 - Nhà xuất bản Giáo dục -
2008.
S¸ng kiÕn - Kinh nghiƯm d¹y häc, n¨m häc 2011-2012 Trang 2 1