Phương pháp và bài tập về phương trình lượng giác nâng cao

WWW.ToanCapBa.Net
Kiến Thức Cơ Bản – Bài Tập Phương Trình Lượng Giác Nâng Cao
KIẾN THỨC CẦN NHỚ
A.CÁC CƠNG THỨC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC
1.CƠNG THỨC CỘNG
cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb
cos(a - b) = cosa.cosb + sina.sinb
sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb
sin(a - b) = sina.cosb - cosa.sinb
tan(a + b) =
tan(a - b) =
2.CƠNG THỨC NHÂN ĐƠI
cos2a = cos
2
a – sin
2
a
= 2cos
2
a –1
= 1 – 2sin
2
a
sin2a = 2.sina.cosa
tan2a =
3.CƠNG THỨC HẠ BẬC
cos
2
a = sin
2
a =

4.CƠNG THỨC NHÂN BA
sin3x = 3sinx – 4sin
3
x cos3x = 4cos
3
x – 3cosx
5.CƠNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH
cosa + cosb = 2.cos .cos
cosa - cosb = -2.sin .sin
sina + sinb = 2.sin .cos
sina - sinb = 2.cos .sin
6.CƠNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG
cosa.cosb = [cos(a - b) + cos(a + b)];
sina.sinb = [cos(a - b) - cos(a + b)]
cosa.sinb = [sin(a - b) + sin(a + b)]
7.BẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG ĐẶC BIỆT
x
rad
-π
- - - - - - -
0
π
độ -180
o
-150
o
-135
o
-120
o

-90
o
-60
o
-45
o
-30
o
0 30
o
45
o
60
o
90
o
120
o
135
o
150
o
180
o
sin 0 -
- -
-1
- -
- 0 1 0
cos -1 - - - 0 1 0 - - - -1

tan 0 1 || - -1 - 0 1 || - -1 - 0
cot || 1 0 - -1 - || 1 0 - -1 - ||
B.PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC.
I:LÍ THUYẾT .
1/Phương trình lượng giác cơ bản .
sin u = sin v ⇔



+−=
+=
ππ
π
2
2
kvu
kvu
( k ∈ Z )
cos u = cos v ⇔ u = ± v + k2π. ( k ∈ Z )
tanu = tanv ⇔ u = v + kπ ( k ∈ Z )
cotu = cotv ⇔ u = v + kπ ( k ∈ Z )
2/ Phương trình đặc biệt :
sinx = 0 ⇔ x = kπ, sinx = 1 ⇔ x =
2
π
+ k2π, sinx = -1 ⇔ x = -
2
π
+ k2π
cosx = 0 ⇔ x =

2
π
+ k π, cosx = 1 ⇔ x = k2π, cosx = -1 ⇔ x = π + k2π .
3/ Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx .
Là phương trình có dạng : acosx + bsinx = c (1) trong đó a
2
+ b
2
≠ 0
Cách 1: Chia cả hai vế của Pt(1) cho
+
2 2
a b
ta được :
GV: Nguyễn Quang Tánh WWW.ToanCapBa.Net 1
WWW.ToanCapBa.Net
Kiến Thức Cơ Bản – Bài Tập Phương Trình Lượng Giác Nâng Cao
ϕ ϕ
ϕ
⇔ + =
+ + +
⇔ + =
+
⇔ − =
+
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2
(1) cos sin
cos .cos sin .sin

cos( )
.
a b c
Pt x x
a b a b a b
c
x x
a b
c
x
a b
Đâylàphươngtrìnhlượng giác cơ bản
Cách 2 :
- Xét phương trình với x = π + k2π , k ∈ Z xem có phải là nghiệm của pt(1) hay không?
- Xét x ≠ π + k2π đặt t = tan
2
x
khi đó:

=


+
=

−
−

=


+

2
2
2
2
2
sin
2
1
tan
1
1
cos
1
t
x
t
t
và x
t
t
x
t
ta được PT bậc hai theo
t:
(c + b)t
2
– 2at + c – b = 0 (2)
Cách 3 : acosx + bsinx = c ⇔

)cos(.
22
ϕ
−+
xba
= c với
22
cos
ba
a
+
=
ϕ
asinx +bcosx = c ⇔
)sin(.
22
ϕ
++
xba
= c với
22
cos
ba
a
+
=
ϕ
.
Chú ý : pt(1) hoặc pt( 2) có nghiệm ⇔ a
2

+ b
2
- c
2
≥ 0 .
Bài tập :Giải các phương trình sau:
1.
2sincos3 =− xx
, 2.
1sin3cos
−=−
xx
3.
xxx 3sin419cos33sin3
3
+=−
, 4.
4
1
)
4
(cossin
44
=++
π
xx
5.
)7sin5(cos35sin7cos xxxx
−=−
, 6.

tan 3cot 4(sin 3 cos )x x x x
− = +

7.
3(1 cos 2 )
cos
2sin
x
x
x
−
=
8.
2
1
sin 2 sin
2
x x+ =

4/ Phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác :
Phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác là phương trình có dạng : f[u(x)] = 0
với u(x) = sinx hay u(x) = cosx hay u(x) = tanx hay u(x) = cotx.
Đặt t = u(x) ta được phương trình f(t) = 0 .
Bài tập: Giải các phương trình sau:
1. 2cos
2
x +5sinx – 4 = 0 , 2. 2cos2x – 8cosx +5 = 0
3. 2cosx.cos2x = 1+cos2x + cos3x 4. 2(sin
4
x + cos

4
x) = 2sin2x – 1
5. sin
4
2x + cos
4
2x = 1 – 2sin4x 6.
x
x
2
cos
3
4
cos
=
7.
2
3
3 2tan
cos
x
x
= +
8. 5tan x -2cotx - 3 = 0
9.
2
6sin 3 cos12 4x x+ =
10.
4 2
4sin 12cos 7x x+ =

GV: Nguyễn Quang Tánh WWW.ToanCapBa.Net 2
WWW.ToanCapBa.Net
Kiến Thức Cơ Bản – Bài Tập Phương Trình Lượng Giác Nâng Cao
5/ Phương trình đẳng cấp theo sinx và cosx :
a/ Phương trình đẳng cấp bậc hai : asin
2
x +b sinx cosx + c cos
2
x = d .
Cách 1 :
• Xét cos x = 0: Nếu thoả ta lấy nghiệm .
• Xét
cos 0x
≠
chia hai vế của phương trình cho cos
2
x rồi đặt t = tanx.
Cách 2: Thay sin
2
x =
2
1
(1 – cos 2x ), cos
2
x =
2
1
(1+ cos 2x) ,
sinxcosx =
2

1
sin2x ta được phương trình bậc nhất theo sin2x và cos2x .
b/ Phương trình đẳng cấp bậc cao : Dùng phương pháp đặt ẩn phụ t = tanx sau khi đã xét phương
trình trong trường hợp cos x = 0 hay x =
2
π
+ kπ ,k∈Z.
Chú ý:
= + = +
2 2 2
2
* (sin cos ) * (1 tan )
cos
d
d d x x d x
x
Bài tập :
1. 2sin
2
x – 5sinx.cosx – cos
2
x = - 2; 2. 3sin
2
x + 8sinxcosx + ( 8
3
- 9)cos
2
x = 0
2. 4sin
2

x +3
3
sin2x – 2cos
2
x = 4; 4. 6sinx – 2cos
3
x = 5sin2x.cosx.
5.
2 2
1
sin sin 2 2cos
2
x x x+ − =
6/ Phương trình dạng : a( cosx
±
sinx ) + b sinxcosx + c = 0 .
Đặt t = cosx + sinx , điều kiện
22
≤≤−
t
khi đó sinx.cosx =
2
1
2
−t
Ta đưa phưong trình đã cho về phương trình bậc hai theo t .
Chú ý : nếu phương trình có dạng :a( cosx - sinx ) + b sinx.cosx + c = 0
Đặt t = cosx - sinx , điều kiện
22
≤≤−

t
khi đó sinx.cosx =
2
1
2
t
−
Bài tập : Giải các phương trình sau :
1. 3(sinx + cosx ) +2sin2x + 3 = 0
2. sin2x – 12( sinx – cosx ) = -12
3. 2(cosx + sinx) = 4sinxcosx +1
4. sin2x – 12( sinx + cosx )+12 = 0
5. cosx –sinx – 2sin2x – 1 = 0
7. Các phương trình lượng giác khác.
Bài 1: Giải các phương trình sau :
1/ cos 2x + 3cosx +2 = 0 , 2/ 2+ cos 2x = - 5sinx , 3/ 6 – 4cos
2
x – 9sinx = 0,
4/ 2cos 2x + cosx = 1 , 5/ 2tg
2
x + 3 =
xcos
3
, 6/ 4sin
4
+12cos
2
x = 7
Bài 2 : Giải các phương trình sau :
1/ 4(sin3x – cos 2x ) = 5(sinx – 1) . HD : đặt t =sinx

2/
x
x
2
cos
3
4
cos
=
ĐS : x = k3π , x= ±
4
π
+k3π , x = ±
4
5
π
+k3π
GV: Nguyễn Quang Tánh WWW.ToanCapBa.Net 3
WWW.ToanCapBa.Net
Kiến Thức Cơ Bản – Bài Tập Phương Trình Lượng Giác Nâng Cao
3/ 1+ sin
2
x
sinx - cos
2
x
sin
2
x = 2cos
2

(
−
4
π

2
x
) ĐS: sinx =1 v sin
2
x
= 1
4/ 1+ 3tanx = 2sin 2x HD : đặt t = tanx , ĐS : x = -
4
π
+ k π
5/ 2cos 2x – 8cosx + 7 =
xcos
1
ĐS : x = k2π , x = ±
3
π
+k2π
6/ sin2x(cotx +tanx ) = 4cos
2
x ĐS : cosx = 0 , cos 2x =
2
1

7/ 2cos
2

2x +cos 2x = 4sin
2
2xcos
2
x
8/ cos 3x – cos 2x = 2
9/ 4sinx + 2cos x =2 + 3tanx HD :đặt t = tan
2
x

10/ sin2x+ 2tanx = 3
11/ sin
2
x + sin
2
3x = 3cos
2
2x HD :đặt t =cos 2x


12/ tan
3
( x -
4
π
) = tanx - 1 ĐS : x = kπ v x =
4
π
+ kπ
13/ sin 2x – cos 2x = 3sinx + cosx – 2 HD : Đưa về PT bậc hai theo sinx.

14/ sin2x + cos 2x + tanx = 2 ĐS : x =
4
π
+ kπ
15/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0
II. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC n THEO SINX ,COSX.
Giải các phương trình sau :
1/ sin
2
x + 2sin 2x –3 +7cos
2
x = 0 .
2/ cos
3
x – sin
3
x = cosx + sinx.
3/ sinxsin2x + sin3x = 6cos
3
x
4/ sin
3
x + cos
3
x = 2( sin
5
x + cos
5
x ) ĐS : x=
4

π
+
2
π
k

5/ sin
3
(x -
4
π
) =
2
sinx ĐS : x =
4
π
+kπ
6/ 3cos
4
x – sin
2
2x + sin
4
x = 0 ĐS :x = ±
3
π
+ kπ v x=
4
π
+

2
π
k

7/ 3sin
4
x +5cos
4
x – 3 = 0 .
8/ 6sinx – 2cos
3
x = 5sin 2x cosx
III. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG – PT PHẢN ĐỐI XỨNG .
Giải các phương trình sau :
1/ cos
3
x + sin
3
x = sin 2x + sinx + cosx 2/ 2cos
3
x + cos 2x +sinx = 0
3/ 1 + sin
3
x + cos
3
x =
2
3
sin2x 4/ 6( cos x – sinx ) + sinxcosx + 6 = 0
5/ sin

3
x – cos
3
x = 1 + sinxcosx 6/
3
10
cossin
sin
1
cos
1
=+++
xx
xx

7/ tanx + tan
2
x + tan
3
x + cotx+cot
2
x +cot
3
x = 6
8/
x
2
sin
2
+ 2tan

2
x + 5tanx + 5cotx + 4 = 0
9/ 1 + cos
3
x – sin
3
x = sin 2x 10/ cos
3
x – sin
3
x = - 1
GV: Nguyễn Quang Tánh WWW.ToanCapBa.Net 4
WWW.ToanCapBa.Net
Kin Thc C Bn Bi Tp Phng Trỡnh Lng Giỏc Nõng Cao
11/ 2cos 2x + sin
2
x cosx + cos
2
x sinx = 2( sinx + cosx ).


IV.PHệễNG TRèNH TCH VAỉ PHệễNG TRèNH LệễẽNG GIAC KHAC .
Giaỷi caực phửụng trỡnh sau:
1/ sin 2x +2cos2x = 1 + sinx 4cosx 2/ sin 2x cos 2x = 3sinx +cosx 2
3/ sin
2
x + sin
2
3x 3cos
2

2x = 0 4/ cos3x cos
3
x sin3xsin
3
x = cos
3
4x +
4
1

5/ sin
4
2
x
+ cos
4
2
x
= 1 2sinx 6/ cos3x 2cos 2x + cosx = 0
7/ sin
6
x + cos
6
x = sin
4
x + cos
4
x 8/ sin
4
x + cos

4
x cos
2
x = 1 2sin
2
x cos
2
x
9/ 3sin3x -
3
cos 9x = 1 + 4sin
3
x. 10/
x
x
xx
sin
cos1
sincos
=

+

11/ sin
2
)
42
(

x
tan
2
x cos
2
2
x
= 0 12/ cotx tanx + 4sinx =
xsin
1

13 / sinxcosx + cosx = - 2sin
2
x - sinx + 1 14 / sin 3x = cosxcos 2x ( tan
2
x + tan2x )
15/
32cos)
2sin21
3sin3cos
(sin5
+=
+
+
+
x
x
xx
x
16/ sin

2
3x cos
2
4x = sin
2
5x cos
2
6x
17 / cos3x 4cos2x +3cosx 4 = 0. 18/
2
4
4
(2 sin 2 )sin3
tan 1
cos
x x
x
x

+ =
19/ tanx +cosx cos
2
x = sinx (1+tanx.tan
2
x
) 20/ cotx 1 =
2
cos2 1
sin sin 2
1 tan 2

x
x x
x
+
+
GV: Nguyn Quang Tỏnh WWW.ToanCapBa.Net 5