bat dang thuc va chung minh bat dang thuc

CHÀO MỪNG
CHÀO MỪNG
CÁC BẠN 10A01!
CÁC BẠN 10A01!

BẤT ĐẲNG THỨC
BẤT ĐẲNG THỨC
VÀ CHỨNG MINH BẤT
VÀ CHỨNG MINH BẤT
ĐẲNG THỨC
ĐẲNG THỨC


Nội dung Bài học:
Nội dung Bài học:
I) Ôn tập và bổ sung tính chất của bất đẳng
thức:
II) Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối:
III) Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và
trung bình nhân:


I)Ôn tập và bổ sung tính chất của
I)Ôn tập và bổ sung tính chất của
bất đẳng thức:
bất đẳng thức:
a)Ôn Tập:
-
Giả sử a và b là hai số thực. Các mệnh đề “a>b”,
“a<b”, “a≥b”, “a≤b” được gọi là những bất đẳng

thức.
-
Cũng như các mệnh đề logic khác, một bất đẳng
thức có thể đúng hoặc sai.
-
Chứng minh một bất đẳng thức là chứng minh
bất đẳng thức đó đúng.
-
Dưới đây là một số tính chất đã biết của bất đẳng
thức:


1)Tính chất bắc cầu:a>b và b>c a>c
2)Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng:
3)Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân:
-Nếu c>0 thì a>b
-Nếu c<0 thì a>b
ac bc⇔ >
ac bc⇔ <
⇔


b)Bổ sung tính chất BĐT:
và


0a b> ≥
a b>
c d>
a c b d⇒ + > +

a c b a b c+ > ⇔ > −
0a b> ≥
0c d ac bd> ≥ ⇒ >
0a b a b> ≥ ⇔ >
3 3
a b a b> ⇔ +
nn
ban
>⇒Ν∈
*
và


và




- Nếu A,B là những mệnh đề chứa biến thì “A>B” là một
mệnh đề chứa biến. Chứng minh BĐT A>B(với điều kiện
nào đó của các biến), nghĩa là chứng minh mệnh đề chứa
biến A>B đứng với các giá trị của các biến (thoả mãn điều
kiện đó).
- Từ nay,ta quy ước: Khi nói ta có BĐT A>B (trong đó A và
B là những biểu thức chứa biến) mà không nêu điều kiện
đối với các biến thì ta hiểu rằng BĐt đó xảy ra với mọi giá
trị của biến thuộc
¡

Ví Dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số thực dương a,b,c thì
Bởi vì a>0,b>0,c>0 nên abc>0. Do đó:
Chứng Minh
bc ac ab
a b c
a b c
+ + ≥ + +
( ) ( )
bc ac ab
abc abc a b c
a b c
⇔ + + ≥ + +
bc ac ab
a b c
a b c
+ + ≥ + +
2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )bc ac ab ab ac ab bc ac bc⇔ + + ≥ + +
Vậy Bất Đẳng thức cần chứng mình đúng.
2 2 2
2[( ) ( ) ( ) ] 2[( )( ) ( )( ) ( )( )]bc ac ab ab ac ab bc ac bc
⇔ + + ≥ + +
2 2 2
( ) ( ) ( ) 0ab bc ab ac bc ac⇔ − + − + − ≥
(luôn đúng)


II Bất Đẳng thức về giá trị tuyệt
II Bất Đẳng thức về giá trị tuyệt
đối:

đối:
Từ định nghĩa giá trị tuyệt đối, ta suy ra các tính chất sau đây:
với mọi

(với a > 0)

hoặc x > a (với a > 0)
a a a
− ≤ ≤
a
∈
¡
x a a x a
< ⇔ − < <
x a x a
> ⇔ < −


Sau đây là hai BĐT quan trọng khác về gía trị tuyệt đối
(viết dưới dạng BĐT kép):
Với mọi số thực a,b ta có:
a b a b a b− ≤ + ≤ +
Chứng minh :
a b a b+ ≤ +
Ta có:
2 2 2
2 2 2 2
( ) 2
2 2
a b a ab b

a ab b a ab b
ab ab
⇔ + ≤ + +
⇔ + + ≤ + +
⇔ ≤
a b a b a b
− ≤ + ≤ +
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng nên ta có bất đẳng thức
cần chứng minh.


III) Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và
III) Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và
trung bình nhân( Bất đẳng thức Cô-si)
trung bình nhân( Bất đẳng thức Cô-si)
a) Đối với hai số không âm:
Với mọi a≥ 0, b≥ 0 ta có:
2
a b
ab
+
≥
Trung bình cộng của hay số không âm luôn lớn
Trung bình cộng của hay số không âm luôn lớn
hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng.
hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng.

Trung bình cộng của hai số không âm bằng
Trung bình cộng của hai số không âm bằng
trung bình nhân của chúng khi và chỉ khi hai số

trung bình nhân của chúng khi và chỉ khi hai số
đó bằng nhau
đó bằng nhau
Dấu “=“ xảy ra khi và chỉ khi a=b


Hệ Quả
. - Nếu hai số dương thay
đổi nhưng có tổng không
đổi thì tích của chúng lớn
nhất khi và chỉ khi hai số
đó bằng nhau
- Nếu hai số dương thay đổi
nhưng có tích không đổi
thì tổng của chúng nhỏ
nhất khi và chỉ khi hai số
đó bằng nhau
Ứng Dụng
- Trong tất cả các hình
chữ nhật có cùng chu vi
hình vuông có diện tích
lớn nhất.

- Trong tất cả các hình
chữ nhật có cùng diện
tích, hình vuông có chu
vi nhỏ nhất.


Chứng Minh Hệ Quả 1

2
x y
xy
+
≥
2
4
S
xy ≤
2
S
=
Giả sử hai số dương x và y. Tổng x+y= S không đôỉ.
Ta có:
nên
Do đó tích xy đạt gía trị lớn nhất là khi và chỉ x=y=
Dấu “=“ xảy ra khi và chỉ khi x=y.
2
S


Chứng Minh Hệ Quả 2
Giả sử hai số dương x và y có tích xy=P không đổi
2
x y
xy
+
≥
nên
P

=
2x y P+ ≥
Dấu “=“ xảy ra khi và chỉ khi x=y.
Do đó tổng x+y đạt gía trị nhỏ nhất bằng
2 P
khi và chỉ khi x=y=
P


Ví Dụ2: Trong hình bên,
cho AH=a, BH=b. Hãy tính
các đoạn OD và HC theo a
và b. Từ đó suy ra bất
đẳng thức giữa trung bình
cộng và trung bình nhân
của a và b.
Trong đt(O) có AB là đường kính.
A
B
D
O
H
C
2
.HC AH BH ab= =
Theo hệ thức lượng trong tam giác
Bài giải
Tương tự: Trong
ADBV
2 2 2

. ( )
2
a b
OD OA OB R
+
= = =
2
2
2
4 ( )
2
a b
ab
ab a b
a b
ab
+
 
⇔ ≤
 ÷
 
⇔ ≤ +
+
⇔ ≤
Dựa vào hình, ta thấy
2 2
HC OD HC OD≤ ⇔ ≤
Suy ra: tam giác ABC vuông tại C

1 1
. ( )
2 2
ABC
S HC BA ab a b R ab= = + =
V
'
2 2
ACBC ABC
S S R ab
= =
V
'C
2
1
.
2
ABD
S OD AB R
∆
= =
2
'
2
ADBD
S R=
' '
( )
2
ACBC ADBD

a b
S S ab
+
≤ ≤
A
D
B
C
'D
A
B


b) BĐT Co-si cho 3 số không âm:
Với mọi a ≥ 0, b ≥ 0,c ≥ 0, ta có
Dấu “=“ xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
3
3
a b c
abc
+ +
≥


Chứng Minh:
Đặt
3
3
3
a x

b y
c z

=

=


=

Ta có:
2 2 2
( ) ( ) ( ) 0x y y z x z• − + − + − ≥
2 2 2
0x y z xy yz xz⇔ + + − − − ≥
( ) 0x y z• + + ≥
2 2 2
( )( ) 0x y z x y z xy yz xz+ + + + − − − ≥
3 3 3
3 0x y z xyz⇒ + + − ≥
3 3 3
3x y z xyz⇒ + + ≥
3
3
3
a x
Thay b y
c z

=


=


=

⇒
3
3
a b c
abc
+ +
≥
(1)
(2)
(1),(2) ⇒


Mở Rộng:
Với hai cặp số (a;b) và (x;y) ta có:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ay=bx
2 2 2 2 2
( ) ( )( )ax by a b x y+ ≤ + +


Tạm Biệt!

Tạm Biêt