Rèn luyện kỹ năng giải bài tập về tiếp tuyến cho học sinh THPT

Giáo viên: Đinh Văn Ba Trung tâm GDTX Thiệu Hóa
A. Đặt vấn đề
Trong chương trình giải tích 12 chuyên đề hàm số là một phần quan trọng
đối với Học sinh. Việc giải các câu hỏi phụ về hàm số thường là vấn đề khó
đòi hỏi học sinh phải có kiến thức tổng hợp, đặc biệt phải biết phân loại từng
dạng một. Trong các dạng toán về câu hỏi phụ về hàm số bài toán về “ tiếp
tuyến” là một bài toán cơ bản đối với học sinh. Để có được cách nhìn tổng
quan về phần này đòi hỏi học sinh phải nắm được các kiến thức cơ bản và các
bài toán tổng quát cho từng dạng.
Đây cũng là một phần quan trọng trong các đề thi học kỳ ,thi tốt nghiệp và đại
học. phần lý thuyết đơn giản nhưng bài tập thì rất đa dạng đòi hỏi học sinh
phải có tính tư duy lôgic. Chính vì vậy tôi nghiên cứu đề tài “ Rèn luyện kỹ
năng giải bài tập về tiếp tuyến cho học sinh THPT” nhằm mục đích giúp HS
phân loại một số dạng toán để đưa ra cách giải nhanh hơn.
B. Nội dung
1. Thực trạng của vấn đề
Trong SGK đại số và giải tích lớp 11 đã đưa ra bài toán về tiếp tuyến khi
biết tiếp điểm. Nếu chưa biết tiếp điểm thì có phương pháp nào để viết được
phương trình tiếp tuyến không? Đây là vấn đề mà học sinh hay lúng túng khi
đi tìm cách giải, nếu ta không nắm vững kiến thức cơ bản thì rất khó có thể
làm được.
2. Giải pháp thực hiện
Đối với giáo viên: Xây dựng hệ thống bài tập với các phương pháp cụ thể
phù hợp cho từng loại, tổ chức cho học sinh hoạt động trong các tiết luyện tập
trên lớp và các tiết dạy bồi dưỡng.
Đối với học sinh: Nắm vững kiến thức cơ bản, các công thức hay sử dụng và
ôn luyện theo từng dạng.
3. Phạm vi thực hiện:
Sáng kiến kinh nghiệm
1
Giáo viên: Đinh Văn Ba Trung tâm GDTX Thiệu Hóa

Tổ chức học sinh thực hiện chuyên đề này sau khi học xong chương trình hàm
số.
4. Nội dung:
Cho đồ thị (C): y= f(x). Gọi M
0
, M là hai điểm phân biệt và cùng thuộc đồ thị
(C). Nếu cố định M
0
và cho M di chuyển trên (C) đến gần M
0
thì vị trí giới
hạn của cát tuyến (M
0
M) là tiếp tuyến (M
0
T) tại điểm M
0
. Tức là:
0
0
lim ( )
M M
MM
→
= Tiếp tuyến M
0
T.
Ta thường gặp các bài toán về tiếp tuyến sau:
Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại tiếp điểm
Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến theo hệ số góc cho trước

Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) đi qua một điểm
cho trước.
Bài toán 4; Viết phương trình tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị tại hai điểm
phân biệt. Từ đó viết phương trình tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị tại một điểm
và cắt đồ thị tại hai điểm khác.
Đối với hai bài toán 1 và 2 ta cần chú ý tới việc viết phương trình tiếp
tuyến tại tiếp điểm và bài toán viết phương trình tiếp tuyến đi qua một
điểm (có thể thuộc đồ thị hoặc không thuộc). Đối với bài toán 4 thì chỉ
xuất hiện ở đồ thị hàm số bậc 4.
Phương pháp giải bài toán 1:
Theo ý nghĩa hình học của đạo hàm thì tiếp tuyến tại M
0
(x
0
;y
0
)
∈
(C):
y= f(x) có hệ số góc là f
‘
(x). Nên phương trình tiếp tuyến tại M
0
(x
0
;y
0
) của
(C) là:
y= f

,
(x
0
)(x- x
0
) + f(x
0
)
Phương pháp giải bài toán 2:
Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc k tiếp xúc với đồ thị (C) tại điểm có hoành
độ x
i
suy ra f
,
(x
i
) = k suy ra x=x
i
là nghiệm của f
,
(x) = k . Giải phương trình
f
,
(x) = k ta tìm được các x
i
và viết được phương trình tiếp tuyến
Sáng kiến kinh nghiệm
2
Giáo viên: Đinh Văn Ba Trung tâm GDTX Thiệu Hóa
Phương pháp giải bài toán 3:

Bài toán: Cho đồ thị (C): y= f(x) và điểm A(a;b) cho trước. Viết phương
trình tiếp tuyến đi qua A(a; b) đến đồ thị (C)
Để giải loại này có 2 phương pháp:
1.Phương pháp tìm tiếp điểm
Phương pháp này có 2 cách
Cách 1: Giả sử tiếp tuyến đi qua A(a;b) tiếp xúc (C) tại tiếp điểm có hoành
độ x
i
suy ra phương trình tiếp tuyến có dạng: y= f
,
(x
i
)(x- x
i
) + f(x
i
) (t)
Do A(a;b)
∈
(t) nên b= f
,
(x
i
)(a- x
i
) + f(x
i
) suy ra x= x
i
là nghiệm của

phương trình b= f
‘
(x)(a- x) + f(x)
⇔
f
‘
(x)(x-a) +b- f(x)=0(*)
Giải phương trình (*) suy ra nghiệm x
∈
{ }
xxxx
ni
, , ,
10
Phương trình tiếp tuyến tại x= x
i
là: y= f
,
(x
i
)(x- x
i
) + f(x
i
)
Cách 2: Đường thẳng đi qua A(a;b) với hệ số góc k có phương trình:
y= k(x-a) +b tiếp xúc với đồ thị (C):
⇔
Hệ phương trình:






=
+−=
kx
f
baxkxf
)(
,
)()(
,
có nghiệm
Giải hệ phương trình trên ta tìm được các nghiêm x=x
i
và viết được
phương trình tiếp tuyến: y= f
,
(x
i
)(x- x
i
) + f(x
i
)
2.Phương pháp tìm điều kiện nghiệm kép.
Đường thẳng đi qua A(a;b) với hệ số góc k có phương trình:
y= k(x-a) +b tiếp xúc với đồ thị (C):
⇔

k(x-a) +b=f(x) có nghiệm bội
giải và biện luận ta tìm ra các giá trị của k từ đó viết được phương trình
tiếp tuyến đi qua A
Phương pháp giải bài toán 4
Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong (C)y=ax
4
+bx
3
+cx
2
+d (a
≠
0) tiếp
xúc với đồ thị tại hai điểm phân biệt
Sáng kiến kinh nghiệm
3
Giáo viên: Đinh Văn Ba Trung tâm GDTX Thiệu Hóa
Phương pháp: Giả sử đường thẳng (a): y=kx+m tiếp xúc với (C) y=f(x)tại hai
điểm phân biệt có hoành độ là x
1
, x
2
khi đó f(x)= kx+m (*)có hai nghiệm kép
phân biệt x
1
, x
2
. Giải phương trình (*) bằng cách cho đồng nhất các hệ số ta
tìm được x
1

,x
2
và phương trình tiếp tuyến.
Sau đây là các dạng toán cụ thể:
DẠNG 1: TIẾP TUYẾN HÀM ĐA THỨC BẬC 3
Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm thuộc đồ thị
Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y=f(x)=x
3
-3x+5 khi biết:
1) Hoành độ của tiếp điểm là x
1
=-1; x
2
=2; x
3
=
3
2) Tung độ của tiếp điểm là y
1
=5; y
2
=3; y
3
=7
Giải:
Đạo hàm y’(x)=3x
2
– 3
1) x
1

=-1
⇒
y
1=
53
1
3
1
+−
xx
; y’(-1)=0. Phương trình tiếp tuyến tại M(-1,7) là:
(t
1
): y=y’(-1)
( )
[ ]
1−−x
+ y(-1)
⇔
y = 7
2) y
1
=5
⇔
3
1 1
3 5x x− +
=
5
⇔

x
1
( )
2
1
3x −
=0
⇔
x
1

{ }
3,0 ±∈
Tiếp tuyến tại x
1
=0 là (t
1
): y=y’(0)(x - 0) + 5
⇔
y = -3x + 5
Tiếp tuyến tại x
1
= -
3
là (t
2
): y = y’(-
3
)(x +
3

) + 5

⇔
y = 6x + 6
3
+ 5
Tiếp tuyến tại x
1
=
3
là (t
3
): y = y’(
3
)(x -
3
) + 5
⇔
y = 6x - 6
3
+ 5
Bài 2: Cho (C): y = f(x) = 2x
3
– 3x
2
+ 9x – 4. Viết phương trình tiếp tuyến của
(C) tại các giao điểm của (C) với các đồ thị sau:
1. Đường thẳng (d): y = 7x + 4
2. Parabol (p): y = -x
2

+ 8x – 3
3. Đường cong (C): y = x
3
– 4x
2
+ 6x – 7
Giải:
1. Hoành độ giao điểm của (C) với (d) là nghiệm của phương trình:
2x
3
– 3x
2
+ 9x – 4 = 7x + 4
⇔
(x - 2)( 2x
2
+ x + 4)
Sáng kiến kinh nghiệm
4
Giáo viên: Đinh Văn Ba Trung tâm GDTX Thiệu Hóa

⇔
(x -2)
0
4
3
3
2
1
2

2
=








++






+
x
x

⇔
x = 2.
Tiếp tuyến tại x = 2 có phương trình y = y’(2)(x - 2) + y(2)
= 21(x - 2) + 18 = 21x - 24
Làm tương tự ta cũng giải được các ý 2 và 3.
Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến theo hệ số góc cho trước
Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y=x
3
-3x

2
biết tiếp tuyến
vuông góc với đường thẳng y=
3
1
x
Giải: Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=
3
1
x nên tiếp tuyến có hệ số
góc bằng -3. Gọi tiếp điểm có hoành độ x
0

⇒
y
’
(x
0
)=3
2
0
x
-6
x
0
=-3
⇔
3(x
0
-1)

2
=0
⇔
x
0
=1.
⇒
phương trình tiếp tuyến tại x
0
=1 là:
y= -3(x-1)+y(1)
⇔
y= -3x+1
Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y=x
3
-3x
2
+1 biết tiếp
tuyến song song với đường thẳng y= 9x+2012
Giải: Do tiếp tuyến song song với đường thẳng y= 9x+2012 nên tiếp tuyến
có hệ số góc bằng 9. gọi tiếp điểm có hoành độ x
0

⇒
y
’
(x
0
)=3
2

0
x
-6x
0
=9
⇔
2
0
x
-2x
0
-3=0
⇔
x
0
=-1 hoặc x
0
=3
Tiếp tuyến tại x
0
=-1 là y=9(x+1)-3
⇒
y= 9x+6
Tiếp tuyến tại x
0
=3 là y=9(x-3)+1
⇒
y= 9x-26
Bài toán 3: Phương trình tiếp tuyến đi qua 1 điểm cho trước đến đồ thị.
Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A(

19
;4
12
) đến đồ thị (C) có phương
trình: y=f(x)=2x
3
–3x
2
+5
Giải:
Đường thẳng đi qua A(
19
;4
12
) với hệ số góc k có phương trình
Sáng kiến kinh nghiệm
5
Giáo viên: Đinh Văn Ba Trung tâm GDTX Thiệu Hóa
y = k(x -
4
12
19
+
) tiếp xúc với (C): y = f(x)
⇔
Hệ






=
+






−=
kxf
xkxf
)('
4
12
19
)(
có
nghiệm
⇔+






−=⇒ 4
12
19
)(')( xxfxf

2x
3
–3x
2
+5= 6x(x - 1)(x-
12
19
) + 4
0)1
2
17
4)(1()
12
19
)(1(6)12)(1(
2
=+−−⇔−−=−−⇔ xxxxxxxx







=
=
⇒=
⇔
8
1

2
1
3
2
1
x
x
x
Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A(0;-1) đến C có phương trình:
y= 2x
3
+ 3(m-1)x
2
+ 6(m-2)x-1
Giải: Đường thẳng đi qua A với hệ số góc k có phương trình: y=kx-1 tiếp xúc
với (C) y=f(x)
⇔
Hệ



=
−=
kxf
kxxf
)('
1)(
có nghiệm
⇔−=⇒ 1)(')( xxfxf
⇔=−− 0)(1)(' xfxxf

x
2
[4x+3(m-1)]=0





−
=
=
⇔
4
)1(3
0
2
1
m
x
x
Từ
)(
,
x
f
=6x
2
+6(m-1)x+ 6(m-2) suy ra
Với x
1

= 0
⇒
f
’
(0)=6(m-2)
⇒
Tiếp tuyến (t
1
): y= 6(m-2)x-1
Với x
2
=
4
)1(3 m−
⇒






−
4
)1(3
,
m
f
=
8
3−

(3m
2
-22m+35)
⇒
y=
8
3−
(3m
2
-22m+35)x-1
Bài 3: Cho hàm số (C) y=f(x) =x
3
-3x
2
+2
a. Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A(
2;
9
23
−
) đến (C).
Sáng kiến kinh nghiệm
6
Tiếp tuyến (t
1
): y = y’(1)(x-
12
19
) + 4
4=⇔ y

Giáo viên: Đinh Văn Ba Trung tâm GDTX Thiệu Hóa
b. Tìm trên đường thẳng y=-2 các điểm kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vuông
góc với nhau.
Giải: a. Đường thẳng đi qua A(
2;
9
23
−
) với hệ số góc k có phương trình:
y= k(x-
9
23
)-2 tiếp xúc với (C) y= f(x)
⇔
Hệ phương trình:






=
−−=
kxf
xkxf
)(
2)
9
23
()(

,
có nghiệm
2)
9
23
)(()(
,
−−=⇒ xxfxf
⇔
0)(2)
9
23
)((
,
=−−− xfxxf
⇔
3x
3
-16x
2
+23x-6=0 (1)
Giải phương trình (1) ta được x=2; x=3 và x=
3
1
Với x=2 suy ra tiếp tuyến (t
1
): y=y
’
(2)(x-
9

23
)-2
⇔
y=-2
Với x=3 suy ra tiếp tuyến (t
2
): y=y
’
(3)(x-
9
23
)-2
⇔
y=9x-25
Với x=
3
1
suy ra tiếp tuyến (t
3
): y=y
’
(
3
1
)(x-
9
23
)-2
⇔
y=

27
61
3
5
+
−
x
b. Lấy bất kì M(m;-2) thuộc đường thẳng y=-2 đường thẳng đi qua M(m;-2)
với hệ số góc k có phương trình: y=k(x-m)-2 tiếp xúc với (C): y= f(x)
⇔
Hệ
phương trình:



=
−−=
kxf
mxkxf
)('
2)()(
có nghiệm
2))(()(
,
−−=⇒ mxxfxf
⇔
0)(2))((
,
=−−− xfmxxf
⇔

(x-2)[2x
2
-(3m-1)x+2]=0



=+−−=
=
⇔
02)13(2)(
2
2
xmxxg
x
Do không thể có tiếp tuyến nào vuông góc với tiếp tuyến y=-2 song song với
Ox
Sáng kiến kinh nghiệm
7
Giáo viên: Đinh Văn Ba Trung tâm GDTX Thiệu Hóa
Nên để từ M(m; -2) kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc với (C) thì g(x)=0 phải có
2 nghiệm phân biệt x
1
;x
2
và các tiếp tuyến tại các điểm có hoành độ x
1
;x
2
vuông góc với nhau.
Ta có:-1= y’(x

1
).y’(x
2
) = (3x
2
1
- 6x
1
)( 3x
2
2
- 6x
2
) = 9x
1
x
2
[x
1
x
2
– 2(x
1
+x
2
) + 4]
= 9[1 – (3m - 1) + 4] = 9[6 – 3m] = 54 -27m

⇒
m =

27
55
Với m =
27
55
thì
∆
g = (3m - 1)
2
– 16 > (3.2 - 1)
2
– 16 = 9 > 0
Vậy điểm M(
2;
27
55
−
)

Bài 4: Cho hàm số y = -x
3
+ 3x + 2 (C). Tìm trên trục hoành các điểm kẻ
được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C).
Giải:
Lấy bất kỳ A(a;0)
Ox
∈
. Đường thẳng đi qua A(a;0) với hệ số góc k có
phương trình y = k(x - a) tiếp xúc với (C): y = f(x)
⇔

Hệ phương trình:




=
−=
kxf
axkxf
)('
)()(
có nghiệm
⇒
f(x) = f’(x)(x - a)
⇔
f(x) – f’(x)(x- a) = 0
⇔
2x
3
– 3ax
2
+ 3a + 2 = 0
⇔
(x + 1)[2x
2
– (3a + 2)x + 3a + 2] = 0
⇔
(x + 1).g(x) = 0
Từ điểm A(a;0) kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C)
⇔

g(x) = 0 có 2 nghiệm phân
biệt và khác (-1)
⇔




−
<≠−
>
⇔



≠+=−
>−+=∆
3
2
1
2
0)1(6)1(
0)63)(23(
a
a
ag
aa
Bài 5: Cho (C): y = x
3
-12x + 12. Tìm trên đường thẳng y = -4 các điểm có
thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C).

Giải:
Sáng kiến kinh nghiệm
8
Giáo viên: Đinh Văn Ba Trung tâm GDTX Thiệu Hóa
Lấy bất kì M(m;-4)
∈
đường y = -4. Đường thẳng đi qua M(m;-4) với hệ số
góc k có phương trình y = k(x - m) – 4 tiếp xúc với đồ thị (C)
⇔
Hệ phương
trình



=
−−=
kxf
mxkxf
)('
4)()(
có nghiệm
⇒
f(x)= f’(x)(x-m) – 4
⇔
f(x)(x - m) – f(x) – 4 = 0
⇔
(x - 2)[2x
2
– (3m - 4)x – (6m - 8)] = 0
⇔

(x - 2)g(x) = 0
Từ M(m; -4) kẻ được 3 tiếp tuyến đi qua (C)
⇔
g(x) = 0 có 2 nghiệm phân
biệt và khác 2
⇔





≠<
−<
⇔



≠−=
>+−=∆
2
3
4
4
01224)2(
0)123)(43(
m
m
mg
mm
Bài 6: Cho (C): y = x

3
– 6x
2
+ 9x -1
Từ 1 điểm bất kỳ trên đường thẳng x = 2 kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến
(C).
Giải:
Lấy bất kỳ M(2; m)
∈
đường thẳng x = 2. Đường thẳng đi qua M(2;m) với hệ
số góc k có phương trình y = k(x - 2) + m tiếp xúc với đồ thị (C): y = f(x).
⇔
Hệ



=
+−=
kxf
mxkxf
)('
)2()(
có nghiệm
⇒
f(x) = f’(x)(x - 2) + m
⇔
f(x) – f’(x)(x - 2) = m
⇔
g(x) = -2x
3

+ 12x
2
– 24x + 17 = m
Ta có g’(x) = -6(x - 2)
2

0≤

⇒
Bảng biến thiên
x -
∞
2 +
∞

)(
,
xg
- 0 -
g(x) +
∞
-
∞
Sáng kiến kinh nghiệm
9
Giáo viên: Đinh Văn Ba Trung tâm GDTX Thiệu Hóa
Nghiệm của phương trình tìm tiếp điểm cũng là hoành độ giao điểm của
đường thẳng y = m với đồ thị y = g(x). Nhìn bảng biến thiên suy ra g(x) = m
chỉ có đúng 1 nghiệm. Vậy từ M(2;m) bất kỳ
∈

đường thẳng x = 2 chỉ kẻ
được duy nhất 1 tiếp tuyến đến đồ thị (C): y = f(x).
Bài 7: Tìm trên đồ thị (C): y = f(x) = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a
≠
0)
Các điểm kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến đồ thị (C).
Giải:
Lấy bất kỳ điểm M(m;f(m))
∈
(C): y = f(x). Đường thẳng đi qua M(m;f(m))
với hệ số góc k có phương trình: y = k(x-m) + f(m) tiếp xúc với (C).
⇔
Hệ



=
+−=
kxf
mfmxkxf
)('
)()()(
có nghiệm
⇒
f(x) = f’(x)(x-m) + f(m)

⇔
f’(x)(x-m) – [f(x) – f(m)] = 0
⇔
(3ax
2
+ 2bx + c)(x-m) – [a(x
3
– m
3
)] + b(x
2
– m
2
) + c(x - m)] = 0
⇔
(x - m)[2ax
2
– (am – b)x – m(am + b)] = 0
⇔
(x - m)
2
[2ax + (am + b)] = 0





+
=
=

⇔
a
bam
x
mx
2
2
1
Từ điểm M(m,f(m)) kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (C)
⇔
x
1
= x
2

⇔
a
b
mbam
a
bam
m
3
3
2
)( −
=⇔−=⇔
+−
=
Vậy M(

)
3
(,
3 a
b
f
a
b −−
)
∈
(C) là điểm kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (C).
Nhận xét : f’(x) = 6ax + 2b = 0
⇒
Điểm uốn
; ( )
3 3
b b
U f
a a
− −
 
 ÷
 
Vậy trên đồ thị hàm bậc 3 điểm uốn là điểm duy nhất kẻ được đúng 1 tiếp
tuyến đến đồ thị.
Bài tập tự luyện:
Sáng kiến kinh nghiệm
10
Giáo viên: Đinh Văn Ba Trung tâm GDTX Thiệu Hóa
Bài 1: Cho hàm số:

3
3 1y x x= − +
(C). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị
hàm số biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
1
1
9
y x
−
= +
.
Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số:
3 2
3 2y x x= − +
biết tiếp
tuyến vuông góc với đường thẳng 5y-3x+4=0
Bài 3: Cho hám số:
3
3 1y x x= − + +
(C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C)
biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y=-9x+1
DẠNG 2: TIẾP TUYẾN HÀM ĐA THỨC BẬC 4
Bài toán 1: Phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm thuộc đồ thị.
Bài 1: Cho 2 đồ thị





+==

−+==
mxxgyP
xxxfyC
2
22
2)(:)(
)1()1()(:)(

a. Tìm m để (C) và (P) tiếp xúc nhau.
b. Viết phương trình tiếp tuyến chung tại các điểm chung của (C) với (P).
Giải:
a. (C) và (P) tiếp xúc nhau
⇔



=
=
)(')('
)()(
xgxf
xgxf
có nghiệm

⇔



−==
==

⇔





=−
+−=
⇔





=−
+=+−
3,2
1,0
0)2(4
14
444
212
2
2
24
3
224
mx
mx
xx

xxm
xxx
mxxx
Vậy với m = -3 hoặc m = 0 thì (C) và (P) tiếp xúc nhau.
b. Xét m = 1, x
0
= 0
⇒
(P): y = g(x) = 2x
2
+ 1
Phương trình tiếp tuyến chung tại x
0
= 0: y = g’(0)(x - 0) + g(0)
⇔
y = 1
+ Xét m = -3, x
0
=
2

⇒
(P): y = g(x) = 2x
2
– 3
Phương trình tiếp tuyến chung tại x
0
=
2
:

y = g’(
2
)(x-
2
)+g(
2
)= 4
2
x - 7
+ Xét m = -3, x
0
= -
2

⇒
(P) = y = g(x) = 2x
2
– 3
Phương trình tiếp tuyến chung tại x
0
=-
2
:
y = g’(-
2
)(x+
2
)+g(
2
)=4

2
x-7
Sáng kiến kinh nghiệm
11
Giáo viên: Đinh Văn Ba Trung tâm GDTX Thiệu Hóa
Bài 2: Cho đồ thị (C): y = -x
4
+ 2mx
2
– 2m + 1. Tìm m để các tiếp tuyên với
đồ thị tại A(1;0), B(-1;0)
⊥
với nhau.
Giải:
Do A(1;0)
∈
(C); B(-1;0)
∈
(C) nên các tiếp tuyến tại A và B vuông góc với
nhau
⇔
y’(1).y’(-1) = (4m - 4)(-4m + 4) = -1

⇔
-16m
2
+ 32m – 15 = 0
⇔
m =
4

5
hoặc m =
4
3
.

Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến theo hệ số góc cho trước.
Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y =
5
2
1
3
1
4
1
234
−++− xxxx
biết
tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 2x – 1.
Giải:
Đạo hàm y’(x) = x
3
– x
2
+ x + 1
Giả sử tiếp tuyến (t) song song y = 2x – 1 tiếp xúc với (C) tại x
0
⇒
y’(x
0

) = 2
⇔
x
0
3
– x
0
2
+ x
0
+ 1 = 2
⇔
(x
0
- 1)(x
0
2
+ 1) = 0

⇔
x
0
= 1
⇒

Phương trình (t): y = 2(x – 1) + y(1)
⇔
y = 2x -
12
67

Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = x
4
– 2x
2
+ 4x – 1 biết tiếp
tuyến vuông góc với đường thẳng y = -
3
4
1
+x
Giải:
Đạo hàn y’(x) = 4x
3
– 4x + 4
Do tiếp tuyến (t) vuông góc với y = -
3
4
1
+x
nên (t) có hệ số góc k = 4.
Giả sử (t) tiếp xúc (C) tại điểm có hoành độ x
0

⇒
y’(x
0
) = 4
⇒
4x
0

3
– 4x
0
+ 4 = 4
⇔
4x
0
(x
0
2
- 1) = 0
⇔
x
0
= 0; x
0
=
1±
Tại x
0
= 0
⇒
Tiếp tuyến (t
1
): y = 4x + y(0) = 4x – 1
Sáng kiến kinh nghiệm
12
Giáo viên: Đinh Văn Ba Trung tâm GDTX Thiệu Hóa
Tại x
0

= -1
⇒
Tiếp tuyến (t
2
)
:
y = 4(x + 1) + y(-1) = 4x – 2
Tại x
0
= 1
⇒
Tiếp tuyến (t
3
): y = 4(x - 1) + y(1) = 4x – 2
Do (t
2
) = (t
3
) nên chỉ có 2 tiếp tuyến là y = 4x – 1 và y = 4x – 2
Bài 3: Cho (C
m
): y = x
3
+ mx
2
– m – 1.
Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại A song song với đường thẳng y = 2x với A
là điểm cố định có hoành độ dương của (C
m
).

Giải:
Xét phương y
0
= x
0
3
+ mx
0
2
– m – 1
m
∀

⇔
m(x
0
2
- 1) + (x
0
4
– 1 – y
0
) = 0
m
∀
⇔
2
0
0
4

4
0 0
0 0
1
1 0
1 0
1 0
x
y x
x y
x

= ±
− = 
 
⇔ ⇒
 
= − =

− − =



Điểm cố định A(1;0)
Tiếp tuyến với đồ thị tại A song song với y = 2x
⇔
y’(1) = 2

⇔
4 + 2m = 2

⇔
m = -1.
Bài toán 3: Phương trình tiếp tuyến đi qua 1 điểm cho trước.
Bài 1: Cho đồ thị (C): y = f(x) =
24
2
1
2
1
xx −
. Viết phương trình tiếp tuyến đi
qua O(0;0) đến đồ thị (C).
Giải: Đường thẳng đi qua O(0;0) với hệ số góc k có phương trình y = kx tiếp
xúc với đồ thị (C): y = f(x)



=
=
⇔
kxf
kxxf
)('
)(
có nghiệm
⇒
f(x) = f’(x).x
Sáng kiến kinh nghiệm
13
Giáo viên: Đinh Văn Ba Trung tâm GDTX Thiệu Hóa

⇔
f’(x).x – f(x) = 0
⇔
(2x
3
- x)x - (
24
2
1
2
1
xx −
) = 0
⇔






−
∈⇔=−⇔=−
3
3
,
3
3
;00)13(
2
1

0
2
1
2
3
224
2
xxxxx
Tại x
1
= 0
⇒
Tiếp tuyến (t
1
): y = f’(0).x
⇔
y = 0
Tại x
2
=
3
3−

⇒
Tiếp tuyến (t
2
): y = f’(
3
3−
).x =

x
9
3−
Tại x
3
=
3
3

⇒
Tiếp tuyến (t
3
): y = f’(
3
3
).x =
x
9
3
Bài 2: Cho đồ thị (C): y = f(x) = (2 – x
2
)
2

Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A(0;4) đến đồ thị (C).
Giải:
Đường thẳng đi qua A(0;4) với hệ số góc k có phương trình y = kx + 4 tiếp
xúc với đồ thị (C): y = f(x)
⇔
Hệ




=
+=
kxf
kxxf
)('
4)(
có nghiệm
⇒
f(x) = f’(x)x + 4
⇔
f’(x).x + 4 – f(x) = 0
⇔
(4x
3
– 8x)x + 4 – (4 – 4x
2
+ x
4
) = 0
⇔
x
2
(3x
2
- 4) = 0
⇔










−
=
=
=
3
32
3
32
0
3
2
1
x
x
x
Tại x
1
= 0
⇒
tiếp tuyến: y = f(0).x + 4
⇔
y = 4

Tại x
2
=
3
32

⇒
tiếp tuyến: y = f(
3
32
)x + 4
⇔
y =
4
9
316
+
−
x
Tại x
3
=
3
32−

⇒
tiếp tuyến: y = f(
3
32−
)x + 4

⇔
y =
4
9
316
+x
Sáng kiến kinh nghiệm
14
Giáo viên: Đinh Văn Ba Trung tâm GDTX Thiệu Hóa
Bài toán 4: Phương trình tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị tại 2 điểm phân
biệt.
Bài 1: Cho đồ thị (C): y = f(x) = x
4
– 4x
3
+ 3
Viết phương trình tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị tại 2 điểm phân biệt và tìm
hoành độ của 2 tiếp điểm.
Giải:
Đường thẳng y = kx + m tiếp xúc với đồ thị (C): y = f(x) tại 2 điểm phân biệt.
⇔
f(x) = kx + m có 2 nghiệm kép x
1
, x
2
phân biệt.
⇔
x
4
– 4x

3
–kx + 3 – m = 0 có 2 nghiệm kép x
1
, x
2
phân biệt.
⇔
x
4
– 4x
3
–kx + 3 – m = (x-x
1
)
2
(x-x
2
)
2

∀
x
⇔
x
4
– 4x
3
–kx + 3 – m =[x
2
-Sx+P]

2

∀
x (S=x
1
+x
2
, P= x
1
.x
2
)
⇔
x
4
– 4x
3
–kx + 3 – m =x
4
- 2Sx
3
+(S
2
+2P)x
2
-2SPx+P
2

∀
x

⇔







−=
=
=+
=
mP
kSP
PS
S
3
2
02
42
2
2
⇔








−=−=
−==
−==
=+=
13
82
2
2
2
21
21
Pm
SPk
xxP
xxS
⇔







−−=
+=
−=
18
:
31
31

2
1
xy
PTTT
x
x
Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho hàm số:
4 2
4 4y x x= − +
(C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) đi
qua điểm A(0;4)
Bài 2: Cho hàm số:
4 2
1 3
3
2 2
y x x= − +
(C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C)
đi qua điểm A(0;
3
2
)
DẠNG 3: TIẾP TUYẾN CỦA HÀM PHÂN THỨC BẬC NHẤT/BẬC NHẤT.
Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm thuộc đồ thị.
Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số
1
12
+
−

=
x
x
y
tại tiếp điểm
có hoành độ bằng 1
Giải: Tiếp tuyến có dạng:y= f
‘
(x
0
)(x- x
0
) + f(x
0
)
Sáng kiến kinh nghiệm
15
Giáo viên: Đinh Văn Ba Trung tâm GDTX Thiệu Hóa
Ta có f
‘
(1)=
4
3
;f(1)=
2
1

PTTT:
2
1

)1(
4
3
+−= xy
⇔
4
1
4
3
−= xy
Bài 2: Tìm a,b để đồ thị (C): y =
1−
+
x
bax
cắt Oy tại A(0;-1) đồng thời tiếp
tuyến tại A có hệ số góc bằng 3.
Giải:
Yêu cầu bài toán
⇔



−=
=
⇔



=−−

−=−
⇔







=
−
+−
=
−=
−
+
=
4
1
3
1
3
)10(
)(
)0('
1
10
0.
)0(
2

a
b
ba
b
ba
y
ba
y
Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến theo hệ số góc k cho trước.
Bài 1: Cho (C): y =
12
54
+
−−
x
x
. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song
(
∆
): y=3x+2
.
Giải:đường thẳng y=3x+m tiếp xúc (C)
⇔
3x+m=
12
54
+
−−
x
x

có nghệm kép
⇔
(3x+m)(2x+1)=-4x-5 có nghiệm kép
⇔
6x
2
+(2m+7)x+(m+5)=0 có nghiệm kép
⇔
∆
=(2m+7)
2
-24(m+5)=0
⇔
4m
2
+4m-92=0
⇔
m
2
+m-23=0
⇔
m=
2
931±−
Vậy hai tiếp tuyến là:
1 93
3
2
y x
− ±

= +
Bài 2: Cho (C):
45
32
−
−
=
x
x
y
Viết phương trình tiếp tuyến của (C)
)(∆⊥
:y=-2x
Giải:Đường thẳng
mxy +=
2
1
tiếp xúc (C)
⇔
45
32
2
1
−
−
=+
x
x
mx
có nghiệm kép

⇔
(x + 2m)(5x - 4) = 2(2x - 3) có nghiệm kép
⇔
5x
2
+ 2(5m - 4)x – (8m - 6) = 0 có nghiệm kép
⇔
∆
= (5m - 4)
2
+
5(8m - 6) = 0
⇔
25m
2
– 14 = 0
⇔
m =
14±
/5
Sáng kiến kinh nghiệm
16
Giáo viên: Đinh Văn Ba Trung tâm GDTX Thiệu Hóa
Vậy có hai tiếp tuyến
)(∆⊥
: y = -2x là y =
)5/14(
2
1
±x

Bài toán 3: Phương tình tiếp tuyến đi qua 1 điểm cho trước.
Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A(0;1) đến đồ thị (C): y =
12
34
−
+−
x
x
Giải:
Đường thẳng đi qua A(0;1) với hệ số góc k có phương trình y = kx + 1 tiếp
xúc với đồ thị (C): y =
12
34
−
+−
x
x

⇔
kx + 1 =
12
34
−
+−
x
x
có nghiệm kép

⇔
(kx + 1)(2x - 1) = -4x + 3 có nghiệm kép

⇔
2kx
2
– (k - 6)x – 4 = 0 có nghiệm kép

⇔
k
0
≠
và
∆
= (k - 6)
2
+ 32k = k
2
+ 20k + 36 = 0

⇔
k = - 2; k = -18
Vậy có 2 tiếp tuyến là y = -2x + 1 và y = -18x + 1
Bài 2: Tìm trên đường thẳng x=3 các điểm kẻ được tiếp tuyến đến (C):
y =
2
12
−
+
x
x
Giải:

Lấy bất kỳ điểm A(3,a) thuộc đừng thẳng x = 3. Đường thẳng đi qua A(3;a)
với hệ số góc k có phương trình y = k(x - 3) + a tiếp xúc với (C): y =
2
12
−
+
x
x

⇔
phương trình k(x - 3) + a =
2
12
−
+
x
x
có nghiệm kép
⇔
[kx – (3k - a)](x -2) = 2x + 1 có nghiệm kép
⇔
kx
2
– [5k – (a - 2)]x + [6k – (2a + 1)] = 0 có nghiệm kép
⇔
k
0≠
và
∆
= [5k – (a -2)]

2
– 4k[6k – (2a + 1)] = 0
⇔
g(k) = k
2
– 2(a - 12)k + (a - 2)
2
= 0 và k
0
≠
Qua A(3,a) kẻ được ít nhất1 tiếp tuyến đến (C)
⇔
g(k) = 0 có nghiệm k
0≠
Sáng kiến kinh nghiệm
17
Giáo viên: Đinh Văn Ba Trung tâm GDTX Thiệu Hóa
⇔
7
7
7
0)2()0(
020140
020140
2
≤⇔



=

<
⇔








≠−=
=−=∆
>−=∆
a
a
a
ag
a
a
Bài 3: Tìm trên Oy những điểm kẻ đúng 1 tiếp tuyến đến đồ thị (C): y =
1
1
−
+
x
x
Giải:
Lấy bất kỳ A(0,a)
∈
Oy. Đường thẳng đi qua A(0,a) với hệ số góc k có

phương trình y = kx + a tiếp xúc với (C): y =
1
1
−
+
x
x

⇔
kx + a =
1
1
−
+
x
x
có
nghiệm kép
⇔
(kx + a)(x - 1) = x + 1 có nghiệm kép
⇔
kx
2
– [k – (a - 1)x – (a + 1)]x – (a + 1) = 0 có nghiệm kép
⇔
k
0
≠
và
∆

= [k – (a -1)
2
] + 4(a + 1)k = 0
⇔
k
0≠
và g(k) = k
2
+ 2(a + 3)k + (a - 1)
2
= 0
Qua A(0,a) kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (C)
⇔
g(k) = 0 có đúng 1 nghiệm k
0≠



=+=∆
>+=∆
⇔
0)1(8'
0)1(8'
a
a




−=

=
⇔
1
1
a
a



−=
=
⇔
1
1
a
a
Vậy từ các điểm A
1
(0,-1), A
2
(0,1) kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (C).
Bài 4: Tìm trên đường thẳng y = 2 các điểm kẻ được tiếp tuyến đến (C):y=
34
43
−
+
x
x
Giải:
Lấy bất kỳ A(a,2) thuộc đường thẳng y = 2. Đường thẳng đi qua A(a,2) với hệ

số góc k có phương trình y = k(x - a) + 2 tiếp xúc với (C): y =
34
43
−
+
x
x
⇔
k(x -a) + 2 =
34
43
−
+
x
x
hay [kx – (ak - 2)](4x - 3) = 3x + 4 có nghiệm kép
⇔
4kx
2
– [(4a + 3)k - 5]x + (3ak - 10) = 0 có nghiệm kép
Sáng kiến kinh nghiệm
18
và g(0) = (a -1)
2

0
≠
và g(0)= (a - 1)
2
= 0

Giáo viên: Đinh Văn Ba Trung tâm GDTX Thiệu Hóa
⇔
k
0≠
và
∆
= g(k) = (4a - 3)
2
k
2
– 10(4a - 13)k + 25 = 0
Qua A(a,2) kẻ được tiếp tuyến đến (C)
⇔
g(k) = 0 có nghiệm k
0
≠
⇔
' 2000( 2) 0
2
2
' 2000( 2) 0
2
(0) 25 0
a
a
a
a
a
g
∆ = − − >


>


⇔ ⇔ ≥
∆ = − − =



=



= ≠


Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho hàm số
2
2
x
y
x
+
=
−
(C). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C)
biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-6;5)
Bài 2: Cho hàm số
2

1
x
y
x
+
=
−
(C). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C)
tại giao điểm của đồ thị với trục tung.
DẠNG 4: TIẾP TUYẾN HÀM PHÂN THỨC BẬC 2/BẬC 1
Bài toán 1: Phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm thuộc đồ thị
Bài 1: Cho đồ thị (Cm): y =
mx
mmxx
+
+− 2
2
a. Chứng minh rằng: nếu (Cm) cắt Ox tại x
0
thì tiếp tuyến (Cm) tại điểm đó có
hệ số góc là k
0
=
mx
mx
+
−
0
0
22

b. Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 2 điểm và tiếp tuyến tại 2 điểm đó vuông góc với
nhau.
Giải:
a. (Cm) cắt Ox = (x
0
,0)
(*)
0
02
0
2
0
0
2
0
0
0
2
0



≠+
=+−
⇔=
+
+−
⇒
mx
mmxx

mx
mmxx
k
0
= y’(x
0
) =
2
0 0 0 0 0
2
0 0
(2 2 )( ) ( 2 ) 2 2
( )
x m x m x mx m x m
x m x m
− + − − + −
=
+ +
b. Giả sử (C) cắt Ox tại x
1,
x
2
(**)
0
02
0)(
2,1
2,1
2
2,1

2,1





≠+
=+−
⇒=⇒
mx
mmxx
xy
)(xg⇒
= x
2
– 2mx + m = 0 có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
khác (-m)
Sáng kiến kinh nghiệm
19
Giáo viên: Đinh Văn Ba Trung tâm GDTX Thiệu Hóa
Tiếp tuyến tại x
1
, x
2
vuông góc với nhau
)(').('1
211

xyxyk ==−⇔
=
))((
))((422
.
22
21
21
2
2
1
1
mxmx
mxmx
mx
mx
mx
mx
++
−−
=
+
−
+
−
⇔
-(x
1
+ m)(x
2

+m) = 4(x
1
-m)(x
2
-m)
⇔
5x
1
x
2
– 3m(x
1
+ x
2
) + 5m
2
= 0
⇔
5m – 3m(2m) + 5m
2
= 0
⇔
m(5 - m) = 0
⇔
m
{ }
0;5∈
Với m = 0 thì g(x) = x
2
= 0

⇔
x
1
= x
2
= 0 = -m loại do (**)
Với m = 5 thì g(x) = x
2
– 10x + 5 = 0
⇔
x
1,2
= 5
m−≠± 52
(thoả mãn).
Vậy đáp số m = 5.
Bài 2: Cho (C): y =
)1;0(
32
2
≠≠
−
+−
mm
mx
mxx
Chứng minh rằng: Tiếp tuyến tại giao điểm của (C) với Oy cắt tiệm cận đứng
tại điểm có tung độ bằng 1.
Giải:

2
2 3
lim lim :
x m x m
x x m
y TCĐ x m
x m
→ →
− +
= = ∞ ⇒ =
−
+ Đạo hàm: y’(x) =
m
y
mx
mmxx 2
)0('
)(
242
2
2
=⇒
−
+−
+ Tiếp tuyến tại A = (C)
Oy∩
có hoành độ x
A
= 0 nên có phương trình là:
(t): y = y’(0)(x - 0) + y(0)

1
2
:)( −=⇔ x
m
yt
+ Giao điểm của (t) với TCĐ: x = m có tung độ là y =
11.
2
=−m
m
Bài 3: Cho (C): y =
mx
mxx
+
++−
4
43
2
Tìm m để tiếp tuyến tại x = 0 vuông góc với tiệm cận của đồ thị (C).
Giải:
y = f(x) =



⇒
+
−
++
−
TCX

TCĐ
mx
mm
x
)4(16
764
16
7
4
3
2
Sáng kiến kinh nghiệm
20
: x=
4
m−
: y =
16
7
4
3 m
x +
−
Giáo viên: Đinh Văn Ba Trung tâm GDTX Thiệu Hóa
+ Đạo hàm: y’(x) =
2
2
2
22
16

)0('
)4(
)16(612
m
m
y
mx
mmxx −
=⇒
+
−+−−
+ Tiếp tuyến
TCĐ⊥
: x =
40160)0('
4
2
±=⇔=−⇔=⇔
−
mmy
m
+ Tiếp tuyến
TCX⊥
: y =
3
4
)0('
16
7
4

3
=⇒+
−
y
m
x

⇔
3(m
2

- 16) = 4m
2

⇔
m
2
= -48 vô nghiệm
⇒
ĐS: m =
4±

Bài 4: Tìm trên đồ thị (C): y =
1
22
2
+
++
x
xx

các điểm sao cho tiếp tuyến tại đó
vuông góc với tiệm cận xiên của (C).
Giải:
y = f(x) =
1
22
2
+
++
x
xx
= (x + 1) +
TCX
x
→
+1
1
: y = x + 1
+ Tiếp tuyến tại x = x
0
có hệ số góc f’(x
0
) sẽ vuông góc với y = x + 1

)('
0
xf⇔
= -1
⇔
1 -

2
1
)1(1
)1(
1
2
0
2
0
+⇔−=
+
x
x






+−⇒=⇒+−=
−
−−⇒
−
=⇒−−=
⇔
)
2
23
,
2

2
1(
2
23
2
2
1
)
2
23
,
2
2
1(
2
23
2
2
1
200
100
Myx
Myx
Bài toán 2: Phương trình tiếp tuyến theo hệ số góc cho trước.
Bài 1: Cho (C): y =
2
33
2
+
++

x
xx
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc
với đường thẳng (
∆
): 3y – x + 6 = 0
Giải:
Do hệ số góc của (
∆
): y =
2
3
1
−x
là
3
1
nên tiếp tuyến
)(∆⊥
có hệ số góc là
(-3).
Đường thẳng y = -3x + m tiếp xúc với (C)
mx
x
xx
+−=
+
++
⇔ 3
2

33
2
có nghiệm
kép
⇔
4x
2
– (m - 9)x – (2m - 3) = 0 có nghiệm kép
Sáng kiến kinh nghiệm
21
Giáo viên: Đinh Văn Ba Trung tâm GDTX Thiệu Hóa
⇔
∆
= (m - 9)
2
+ 16(2m - 3) = 0
⇔
m
2
+ 14m + 33 = 0
⇔
m = -11; m = -3
⇒
Có 2 tiếp tuyến
)(∆⊥
là y = -3x – 11 và y = -3x – 3.
Bài 2: Cho (C): y =
2
772
2

−
+−
x
xx
.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song
song với đường thẳng y = x + 4
Giải:
y =
2
772
2
−
+−
x
xx
= 2x – 3 +
2
1
−x
. Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương
trình y’(x) = 1
⇔
2 -



=
=
⇔=
−

3
1
1
)2(
1
2
x
x
x
Tiếp tuyến tại x = 1 có phương trình :y = (x - 1) – 2 = x – 3
Tiếp tuyến tại x = 3 có phương trình :y = (x - 3) + 4 = x + 1
Bài toán 3: Tiếp tuyến đi qua 1 điểm cho trước.
Bài tập: Chứng minh rằng: Từ điểm A(1, -1) luôn kẻ được 2 tiếp tuyến vuông
góc nhau đến đồ thị (C): y =
1
1
2
+
++
x
xx
Giải:
Đường thẳng đi qua A(1,-1) với hệ số góc k có phương trình y = k(x - 1) – 1
Tiếp xúc (C): y =
1
1
2
+
++
x

xx

⇔
k(x -1) – 1 =
1
1
2
+
++
x
xx
có nghiệm kép
⇔
[kx – (k + 1)](x + 1) = x
2

+ x + 1 có nghiệm kép
⇔
(k - 1)x
2

– 2x – (k + 2) = 0 có nghiệm kép
⇔




+−=
−−=
⇔




=−+==∆
≠−
2/)51(
2/)51(
01)(
01
2
1
2
k
k
kkkg
k
Do k
1
k
2
= -1 nên từ A(1,-1) luôn kẻ được hai tiếp tuyến
⊥
nhau đến (C).
Sáng kiến kinh nghiệm
22
Giáo viên: Đinh Văn Ba Trung tâm GDTX Thiệu Hóa
Bài tập tự luyện:
1.Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ A(1;1) đến (C):
2
54

2
−
+−
=
x
xx
y

2. Cho đồ thị (C)
2
2
2
+
−+
=
x
xx
y
. Tìm các điểm A
∈
Ox kẻ được hai tiếp tuyến
đến (C).
5. Hiệu quả đạt được
Sau khi thực hiện xong chuyên đề trên học sinh đã nâng cao được khả năng tư
duy khi làm các bài toán về tiếp tuyến
Kết quả thu được ở hai lớp như sau:
Lớp Giỏi Khá Trung bình Yếu
C1 10% 62% 28% 0%
C3 25% 35% 32% 8%
C. Kết luận:

Các bài toán về viết phương trình tiếp tuyến đóng vai trò quan trọng đối với
học sinh, nó chiếm một phần kiến thức trong các kỳ thi.
Mục đích của đề tài này là giúp học sinh có kỹ năng giải các bài toán liên
quan đến phần tiếp tuyến.
Trên đây là một số dạng toán mà tôi thấy phù hợp đối với tất cả các học sinh
đặc biệt là những học sinh khá, và giỏi, nhằm ôn luyện cho học sinh để từ đó
học sinh có thể định hướng cho các bài toán khác. Khi làm đề tài có những
vấn đề chưa hợp lí, rất mong được sự góp ý của các thầy cô để việc dạy học
có được hiệu quả cao hơn.
Thiệu Hoá, ngày 01/04/2012
Người viết
Đinh Văn Ba
Sáng kiến kinh nghiệm
23
Giáo viên: Đinh Văn Ba Trung tâm GDTX Thiệu Hóa
Tài liệu tham khảo:
1. Khảo sát hàm số Tác giả: Võ Đại Mau NXB trẻ
2. Giới thiệu đề thi tuyển sinh môn toán năm học 2001-2002
Tác giả Doãn Minh Cường NXB Hà Nội
3. Hàm số Tác giả: Trần Phương NXB Hà Nội
4.Giới thiệu đề thi môn toán năm học: 1997-2002
Tác giả: Nguyễn Trọng Bá- Trần Tuấn Điệp
NXBGD
5. Khảo sát hàm số .
Nhóm tác giả Trần Văn Hạo- Nguyễn Cam-
Trần Đức Huyên NXBGD
Sáng kiến kinh nghiệm
24