Các bài toán tìm thể tích có kết hợp việc tìm Min, Max

Bài 6: Thể tích khối đa diện có kết hợp Min, Max – Khóa LTĐH Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải.
BÀI TẬP VỀ NHÀ BÀI THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
CÓ KẾT HỢP MIN, MAX
(Các em tự vẽ hình vào các bài tập)
Bài 1: Cho Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA=h và
( )
SA ABCD⊥
. M là điểm thay đổi trên cạnh CD. Đặt CM=x.
1. Hạ
SH BM⊥
. Tính SH theo a, h và x.
2. Xác định vị trí của M để thể tích tứ diện SABH đạt Max. Tìm Max đó.
Giải:
1. Ta có:
( )
SA ABCD
AH BM
SH BM
⊥

⇒ ⊥

⊥


.
Mà
2
2 2
1 1
2 2

ΔABM
AB.AD a
S BM .AH AB.AD AH
BM
a x
= = ⇒ = =
+
Tam giác SAH vuông
4 4 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
a a a h h x
SH SA AH h SH
a x a x
+ +
= + = + ⇒ =
+ +
2. Ta có:
0
90AHB H= ⇒R
chạy trên đường tròn đường kính AB nằm trong mặt phẳng
(ABCD).
( )
1 1 1
3 3 2
SABHΔABH
V SA.S SA. AB.HI HI AB= = ⊥
SABH
V
đạt Max

max
HI⇔
khi đó H là trung điểm của nửa đường tròn đường kính AB hay I
là trung điểm của AB hay HI=a/2 hay M trùng với D và x=a
2
12
Max
ha
V⇒ =
Bài 2: Cho hình Tứ diện S.ABC có các góc phẳng ở đỉnh S vuông.
1. Chứng minh rằng:

3
ΔABC ΔSBC ΔSAB ΔSAC
S S S S
≥ + +
2. Cho SA=a, SB+SC=k. Đặt SB=x. Tính thể tích tứ diện S.ABC theo a,k,x. Xác định
SB,SC để thể tích tứ diện S.ABC Max.
Giải:
1. Gọi H là trực tâm
ΔABC
, Nối dài AH cắt BC tại K
1AH BC( )⇒ ⊥

( )
2
SA SB
SA SBC SA BC( )
SA SC
⊥


⇒ ⊥ ⇒ ⊥

⊥

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Bài 6: Thể tích khối đa diện có kết hợp Min, Max – Khóa LTĐH Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải.
Tứ (1) và (2) ta có:
( ) ( )
BC SAH SAK BC SH⊥ ≡ ⇒ ⊥
Chứng minh tương tự ta cũng có:
AC SH SH ( ABC )⊥ ⇒ ⊥
.
Tam giác SAK vuông, chiều cao SH nên:
( ) ( ) ( )
2
2
2
2 2 2
ΔSBC ΔHBC ΔABC
SK.BC KH .BC KA.BC
SK KH .KA . S S S
     
= ⇔ = ⇔ =
 ÷  ÷  ÷
     
Tương tự:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
ΔSAB ΔABC ΔHAB ΔSAC ΔHAC ΔABC

S S S ; S S S= =
Cộng các vế với nhau ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
ΔSAB ΔSBC ΔSAC ΔABC
S S S S+ + =
Theo BĐT Côsi ta có:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2 2
1 1 1 3
ΔSAB ΔSBC ΔSAC ΔSAB ΔSBC ΔSAC ΔABC
S S S S S S S+ + ≤ + + + + =
2.

( )
[ ]
2
2
2
1 1 1
6 6 6 6
6 2 2
SABC
SABC
ak
V SA.SB.SC ax k x a x k x
ak k k
MaxV x k x x SB SC

= = − ≤ + − =
⇒ = ⇔ = − ⇔ = ⇔ = =
………………….Hết…………………
Nguồn: Hocmai.vn
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Page 2 of 2