Các bài toán về hệ số trong khai triển nhị thức Newton

Bài 7. Các bài toán về hệ số trong khai triển nhị thức Newton – Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải.
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1

CÁC BÀI TOÁN VỀ HỆ SỐ TRONG KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON


Bài 1: Tìm hệ số của x
3
trong khai triển:
2
2
 
+
 
 
n
x
x

Biết n thõa mãn:
1 3 2 1 23
2 2 2
2
−
+ + + =
n
n n n
C C C
Giải:

( )

2 0 1 2 2 2 1 2 1 2 2
2 2 2 2 2
2 0 1 2 2 2 1 2 1 2 2
2 2 2 2 2
2 2 1 2 1 2 1
2 2
2
1 2 1 2 1 23
2 2
(1 ) . . . .
(1 ) . . . .
ó :
(1 ) (1 ) 2
2
1 2 2 2
2
− −
− −
− −
− −

+ = + + + + +

−

− = − + − − +


+ − − = + +
= ⇒ + + = = = ⇒

n n n n n
n n n n n
n n n n n
n n n n n
n n n n
n n
n
n n
n n
x C C x C x C x C x
x C C x C x C x C x
Ta c
x x xC x C
Cho x C C
12 12
12 12
2 2 12 3 12
12 12
0 0
3 5 7
12
1 23 12
2 2
. . .2 .
3 12 3 5 à : .2 101376
−
− −
= =
− = ⇒ =
   

⇒ + = =
   
   
⇒ − = ⇒ = ⇒ =
∑ ∑
k
k k k k k
k k
n n
x C x C x
x x
k k HS x l C

Bài 2: Cho
0 1 2 2
2 2 2 6561
+ + + =
n n
n n n n
C C C C
.
Tìm hệ số của số hạng chứa x
7
và tổng tất cả các hệ số của các số hạng trong khai triển:

2
3
 
−
 

 
n
x
x

Giải:

( )
0 1 2 2 1 1
0 1 2 1
8
8 8
8
2 2 8 8 3 8
8 8
0 0
7 3 5
8
8
8
8
0
ó : (1 ) . . . .
1 6561 3 8
3
3 . ( 1) 3
3 8 7 5 à : 3 1512
ác ( 3)
− −
−

−
− − −
= =
−
=
+ = + + + + +
= ⇒ = + + + + + = ⇒ =
 
⇒ − = − = −
 
 
⇒ − = ⇒ = ⇒ − = −
= −
∑ ∑
n n n n n
n n n n n
n n n
n n n n n
k
k k k k k k k
k k
k k
k
Ta c x C C x C x C x C x
n C C C C C n
x C x x C x
x
k k HS x l C
c HS C
8 8

((1 3) ( 2) 256= − = − =
∑ ∑

Bài 3: Tìm số hạng có số mũ của x gấp 2 lần số mũ của y trong khai triển:
28
3
 
−
 
 
y
x
x

Giải:

28
28 28
3 28 3 28 28 4 28 28
28 28
0 0
ó : ( ) .( 1) . .( 1) . .
( ) 2 ( ) 4 28 2(28 ) 14
−
− − − −
= =
 
− = − = −
 
 

= ⇒ − = − ⇔ =
∑ ∑
k
k k k k k k k
k k
y y
Ta c x C x C x y
x x
Do SM x SM y k k k

Bài 7. Các bài toán về hệ số trong khai triển nhị thức Newton – Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải.
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 2 of 2
=> Số hạn cần tìm là:
14
28
C

Bài 4: Tìm hệ số của x
2008
trong khai triển Newton của ña thức:
(
)
( )
670
670
2
( ) 2 1
= − +f x x x

Giải:

(
)
( )
(
)
(
)
670
670 670
2 3 2 3 2
670 670 2
3(670 ) 2 3(670 )
670 670 2
0 0 0
670 2
3 2010
670 2
0 0
ó : ( ) 2 1 2 1 ( 1)
. .( 1) . . ( 1) .
( 1) .
3 2010 2008 3
0 670
0 2
− −
= = =
− +
= =
 

= − + = + − + = + −
 
= − = −
= −
− + = −


⇒ ≤ ≤ ⇔


≤ ≤

∑ ∑ ∑
∑∑
k
k k k k k m m m
k
k k m
k
m k m m k
k
k m
Ta c f x x x x x x x x
C x x C x C x
C C x
m k k
k
m k
1 1 2 4
670 2 670 4

2 3 2
0 3 2 2
0 670 0 670
0 2
0 2 1 0 2
1; 1
1 2 : . . 222775
2; 4
= = −
 
≤ − ≤

 
≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ ⇔
  
≤ ≤

 
≤ ≤ ≤ ≤
 
= =

⇔ ≤ ≤ ⇒ ⇒ − + =

= =

m m k
k k
k k
m k

m k m k
k m
k HS C C C C
k m


Bài 5
: Tìm h
ệ
s
ố
c
ủ
a s
ố
h
ạ
ng ch
ứ
a x
4
trong khai tri
ể
n:
(
)
2
( ) 1 2 3= + +
n
f x x x

Bi
ế
t r
ằ
ng n là s
ố
t
ự
nhiên thõa mãn
ñẳ
ng th
ứ
c:
2 2 2 3 3 3
. 2 . . 100(*)
− −
+ + =
n n
n n n n n n
C C C C C C

Giải:

(
)
(
)
(
)

( ) ( )
( )
2 2 2
2 2 3 3 2 3
2 3 3
4
4 2
2 2
4
0
4
4 8 2
4
0 0
(*) 2 . 100 100
( 1) ( 1)( 2)
10 10 60 0 4
2 6
( ) 1 2 3 3 . 1 2
.3 . . (2 ) .
=
− −
= =
⇔ + + = ⇔ + =
− − −
⇒ + = ⇔ + = ⇔ − − = ⇒ =
⇒ = + + = +
=
∑
∑ ∑

n n n n n n
n n
k
k
k
k
k k k m m
k
k m
C C C C C C
n n n n n
C C n n n
f x x x C x x
C x x C


( )
4
4 2 8
4
0 0
2 0 2 3 2 4 4 0 4
4 2 4 3 4 4
2 8 4 2 4
. .3 .2 . 0 4 0 4
0 0
2 4 2; 0
2 4
0 4 3; 2
2 4

0 4; 4
. .3 3 . .4 . .3 .2 54 144 16 214
− − +
= =
− + = − =
 
 
= ⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤
 
 
≤ ≤ ≤ ≤
 
= − = =
 
= −



⇒ ≤ ≤ ⇔ ⇒ = =
 

≤ ≤



≤ ≤ = =
 
⇒ = + + = + + =
∑∑
k

k m k m m k
k
k m
m k k m
C C x k k
m k m k
m k k m
m k
k k m
k
m k k m
HS C C C C C C



………………….Hết…………………

Nguồn:
Hocmai.vn