Tài liệu Các bài toán về hệ số trong khai triển nhị thức Newton (Bài tập và hướng dẫn giải) pptx

TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 02 tháng 04 năm 2010
BTVN NGÀY 02-04
Các bài toán về hệ số trong khai triển nhị thức Newton.
Bài 1 : Tìm hệ số của x
3
trong khai triển:

2
2
n
x
x
 
+
 ÷
 
. Biết n thõa mãn:
1 3 2 1 23
2 2 2
2
n
n n n
C C C
−
+ + + =
Bài 2 : Cho
0 1 2 2
2 2 2 6561
n n

n n n n
C C C C
+ + + =
.
Tìm hệ số của số hạng chứa x
7
và tổng tất cả các hệ số của các số hạng trong khai triển:

2
3
n
x
x
 
−
 ÷
 

Bài 3 : Tìm số hạng có số mũ của x gấp 2 lần số mũ của y trong khai triển:

28
3
y
x
x
 
−
 ÷
 
Bài 4 : Tìm hệ số của x

2008
trong khai triển Newton của đa thức:

( )
( )
670
670
2
( ) 2 1f x x x
= − +
Bài 5 : Tìm hệ số của số hạng chứa x
4
trong khai triển:
( )
2
( ) 1 2 3
n
f x x x
= + +

Biết rằng n là số tự nhiên thõa mãn đẳng thức:

2 2 2 3 3 3
. 2 . . 100
n n
n n n n n n
C C C C C C
− −
+ + =
………………….Hết…………………

BT Viên môn Toán hocmai.vn
Trịnh Hào Quang

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
HDG CÁC BTVN
• BTVN NGÀY 02-04
Bài 1 : Tìm hệ số của x
3
trong khai triển:

2
2
n
x
x
 
+
 ÷
 
. Biết n thõa mãn:
1 3 2 1 23
2 2 2
2
n
n n n
C C C
−

+ + + =
Giải:

( )
2 0 1 2 2 2 1 2 1 2 2
2 2 2 2 2
2 0 1 2 2 2 1 2 1 2 2
2 2 2 2 2
2 2 1 2 1 2 1
2 2
2
1 2 1 2 1 23
2 2
(1 ) . . . .
(1 ) . . . .
ó :
(1 ) (1 ) 2
2
1 2 2 2
2
n n n n n
n n n n n
n n n n n
n n n n n
n n n n
n n
n
n n
n n
x C C x C x C x C x

x C C x C x C x C x
Ta c
x x xC x C
Cho x C C
− −
− −
− −
− −

+ = + + + + +

−

− = − + − − +


+ − − = + +
= ⇒ + + = = = ⇒
12 12
12 12
2 2 12 3 12
12 12
0 0
3 5 7
12
1 23 12
2 2
. . .2 .
3 12 3 5 à : .2 101376
k

k k k k k
k k
n n
x C x C x
x x
k k HS x l C
−
− −
= =
− = ⇒ =
   
⇒ + = =
 ÷  ÷
   
⇒ − = ⇒ = ⇒ =
∑ ∑
Bài 2 : Cho
0 1 2 2
2 2 2 6561
n n
n n n n
C C C C
+ + + =
.
Tìm hệ số của số hạng chứa x
7
và tổng tất cả các hệ số của các số hạng trong khai triển:

2
3

n
x
x
 
−
 ÷
 

Giải:
Page 2 of 7
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010

( )
0 1 2 2 1 1
0 1 2 2
8
8 8
8
2 2 8 8 3 8
8 8
0 0
7 3 5
8
8
8
0
ó : (1 ) . . . .
2 6561 2 2 2 3 8

3
3 . ( 1) 3
3 8 7 5 à : 3 1512
ác ( 3)
n n n n n
n n n n n
n n n
n n n n
k
k k k k k k k
k k
k k
k
Ta c x C C x C x C x C x
khi x C C C C n
x C x x C x
x
k k HS x l C
c HS C
− −
−
− − −
= =
−
=
+ = + + + + +
= ⇒ = + + + = ⇒ =
 
⇒ − = − = −
 ÷

 
⇒ − = ⇒ = ⇒ − = −
= −
∑ ∑
8
8 8
((1 3) ( 2) 256= − = − =
∑ ∑

Bài 3 : Tìm số hạng có số mũ của x gấp 2 lần số mũ của y trong khai triển:

28
3
y
x
x
 
−
 ÷
 
Giải:

28
28 28
3 28 3 28 28 4 28 28
28 28
0 0
ó : ( ) .( 1) . .( 1) . .
( ) 2 ( ) 4 28 2(28 ) 14
k

k k k k k k k
k k
y y
Ta c x C x C x y
x x
Do SM x SM y k k k
−
− − − −
= =
 
− = − = −
 ÷
 
= ⇒ − = − ⇔ =
∑ ∑
=> Số hạn cần tìm là:

14
28
C
Bài 4 : Tìm hệ số của x
2008
trong khai triển Newton của đa thức:

( )
( )
670
670
2
( ) 2 1f x x x

= − +
Giải:

670 2008 3 3 ó ài án :Coi n n ta c b to
= ⇒ = −
Tìm hệ số a
3n-3
của x
3n-3
trong khai triển đa thức:
( )
( )
2
( ) 2 1
n
n
f x x x
= − +
Page 3 of 7
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
Ta có:

( )
( )
( ) ( )
( )
( )
2

2 2 0 1 1 2 3 2 4 2
0 1 2 2
3 1 1 3 2 667 2
3 3 670
( ) 2 1
2 2 ( 2) ( 2) ( 2) .
1
( 2) . 2 2.670 49005140
n
n
n n
n n n n n
n n n n
n
n n
n n n n
n n n n n
n n n n n n
f x x x
x x C C x C x C x
x C C x C x C x
a C C C C C n C
− −
− − − −
−
= − +
− = − + = − + − + − + +
+ = + + + +
⇒ = + − = − = − =
Bài 5 : Tìm hệ số của số hạng chứa x

4
trong khai triển:
( )
2
( ) 1 2 3
n
f x x x
= + +

Biết rằng n là số tự nhiên thõa mãn đẳng thức:

2 2 2 3 3 3
. 2 . . 100(*)
n n
n n n n n n
C C C C C C
− −
+ + =
Giải:


( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
2 2 2
2 2 3 3 2 3
2 3 3
4
4 2
2 2

4
0
4
4 8 2
4
0 0
(*) 2 . 100 100
( 1) ( 1)( 2)
10 10 60 0 4
2 6
( ) 1 2 3 3 . 1 2
.3 . . (2 ) .
n n n n n n
n n
k
k
k
k
k k k m m
k
k m
C C C C C C
n n n n n
C C n n n
f x x x C x x
C x x C
=
− −
= =
⇔ + + = ⇔ + =

− − −
⇒ + = ⇔ + = ⇔ − − = ⇒ =
⇒ = + + = +
=
∑
∑ ∑


Page 4 of 7
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
( )
4
4 2 8
4
0 0
2 0 2 3 2 4 4 0 4
4 2 4 3 4 4
2 8 4 2 4
. .3 .2 . 0 4 0 4
0 0
2 4 2; 0
2 4
0 4 3; 2
2 4
0 4; 4
. .3 3 . .4 . .3 .2 54 144 16 214
k
k m k m m k

k
k m
m k k m
C C x k k
m k m k
m k k m
m k
k k m
k
m k k m
HS C C C C C C
− − +
= =
− + = − =
 
 
= ⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤
 
 
≤ ≤ ≤ ≤
 
= − = =
 
= −



⇒ ≤ ≤ ⇔ ⇒ = =
 


≤ ≤



≤ ≤ = =
 
⇒ = + + = + + =
∑∑


• BTVN NGÀY 05-04
Bài 1 : Tìm n nguyên dương thõa mãn:

1 2 2 2 1 3 2 2 2 2 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1
2 1 2
2 1
2 2 .3.2 3 .3 .2 2 3 .2
(2 1) 3 2011
n n n n n
n n n n
n n
n
C C C nC
n C
− − −
+ + + +
+
+
− + − −

+ + =

Giải:
Xét khai triển:
( )
2 1
0 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1
2 .2 .2 . .2. .
n
n n n n n n
n n n n
x C C x C x C x
+
+ + +
+ + + +
− = − + + −
Đạo hàm 2 vế:

( )
( )
2 1
0 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1
2
1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2
2 1 2 1 2 1 2 1
1 2 2 2 1
2 1 2 1 2 1
2 .2 .2 . .2. .

(2 1) 2 .2 2 .2 . 2 .2. (2 1) .
3 2 1 .2 2 .2 .3 2
n
n n n n n n
n n n n
n
n n n n n n
n n n n
n n
n n n
x C C x C x C x
n x C C x nC x n C x
Cho x n C C nC
+
+ + +
+ + + +
− − +
+ + + +
−
+ + +
− = − + + −
⇒ − + − = − + + + − +
= ⇒ + = − − −
2 2 1 2 1 2
2 1
.2.3 (2 1) .3 2011
1005
n n n n
n
n C

n
− +
+
+ + =
⇒ =
Page 5 of 7
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
Bài 2 : Tính tổng:

0 1 2
1 1 1 1
1 2 3 1
1. 2. 3. ( 1).

n
n n n n
n
C C C n C
S
A A A A
+
+
= + + + +
Với:
0 1 2
211
n n n
C C C

+ + =
Giải:
1 1
0
1 1
0 1 2
0 1 2 2
20
( 1) ( 1) ( 1)
ì :
( 1)!
!
(1 1) 2
( 1)
à : 211 1 211 420 0
2
20 2
k k k
n
k
n n n
n
k
k k
n n n
n n n n
n n n
k C k C k C
S v C
k

A A
k
S C C C C
n n
M C C C n n n
n S
=
+ +
+ + +
= = =
+
⇒ = + + + + = + =
−
= + + ⇔ + + = ⇔ + − =
⇔ = ⇒ =
∑
Bài 3 : Chứng minh hệ thức:

2 3 4 2
2.1 3.2 4.3 ( 1) ( 1)2
n n
n n n n
C C C n n C n n
−
+ + + + − = −
Giải:
0 1 2 2 1 1
ó : (1 ) . . . .
n n n n n
n n n n n

Ta c x C C x C x C x C x
− −
+ = + + + + +
Đạo hàm 2 vế ta có:

1 1 2 1 2 1
(1 ) 2 . ( 1) . .
n n n n n
n n n n
n x C C x n C x nC x
− − − −
+ = + + + − +
Đạo hàm lần nữa ta có:

2 2 3 1 3 2
( 1)(1 ) 2.1 3.2 ( 1)( 2) ( 1) .
n n n n n
n n n n
n n x C C x n n C x n n C x
− − − −
− + = + + + − − + −
Cho x=1 ta có:

2
( 1)2
n
VT n n VP dpcm
−
= − = ⇒
Page 6 of 7

TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
Bài 4 : Tính tổng:

( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 2 3
2 3
n
n n n n
S C C C n C
= + + + +
Giải:

2
ó :(1 ) .(1 ) (1 )
n n n
Ta c x x x
+ + = +
Đạo hàm 2 vế ta có:

2
2 (1 ) '.(1 ) (1 ) '
n n n
x x x
   
+ + = +
   
1 2 1 2 1

0 1 2 2 1 1
2 1 2 2 1 2 2 2 2 1
2 2 2 2
1
(1 ) ' 2 . ( 1) . . (1)
à : (1 ) . . . . (2)
(1 ) ' 2 . (2 1) . 2 .
(1) à (2) à:
n n n n n
n n n n
n n n n n
n n n n n
n n n n n
n n n n
n
x C C x n C x nC x
M x C C x C x C x C x
x C C x n C x nC x
Qua v HS x l C
− − −
− −
− − −
−

 
+ = + + + − +
 


+ = + + + + +



 
+ = + + + − +

 

⇒ ⇒
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 2 3
1
2
2 2 2 2
1 2 3
2
2 3
à (3) : à:
2 3
n
n n n n
n n
n
n n
n n n n n
C C n C
M qua HS x l nC
S C C C n C nC
−

+ + + +
⇒ = + + + + =
Bài 5 : Tính tổng:

2 2 2 2
1 2 3

2 3 4 1
n
n n n n
C C C C
S
n
       
= + + + +
 ÷  ÷  ÷  ÷
+
       
Cách làm bài này tương tự bài trên nhưng các bạn dung phương pháp đạo hàm 2 vế.
………………….Hết…………………

BT Viên môn Toán hocmai.vn
Trịnh Hào Quang


Page 7 of 7