Các phương pháp khác để cm BĐT và tìm Min, Max !

Bài 3: Sử dụng các PP khác c/m BðT và tìm Min, Max – Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1

BTVN SỬ DỤNG CÁC PP KHÁC CM BðT VÀ TÌM MIN, MAX CỦA HÀM SỐ

Bài 1: Cho 3 số dương x,y,z thõa mãn ñiều kiện: xyz=1. Chứng minh rằng:

2 2 2
3 3 3
1
x y z
P
x y y z y z z x z x x y
= + + ≥
+ + + + + +

Giải:

2 3
3 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3
2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3
2 2 2 2 2 2
ì :
à : 0
2 .
x x
V

x y y z x xy y
x y x y y z z x
M x y
x xy y x xy y y yz z z zx x
x y z y z x
x xy y y yz z z zx x x xy y y yz z z zx x
x y y z z x
P
x xy y y yz z z zx x
V
=
+ + + +
− − − −
= − ⇒ + + =
+ + + + + + + +
⇔ + + = + +
+ + + + + + + + + + + +
+ + +
⇔ = + +
+ + + + + +
3 3 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
3 3
3
2 2
1
ì : ( ) . à :
3
2
2 ( ) 2 2 1.

3 3
x y x xy y x xy y
x y m
x xy y x xy y x xy y
x y x y
P x y z xyz P
x xy y
+ − + − +
= + ≥
+ + + + + +
+ +
⇒ ≥ ⇒ = + + ≥ = ⇒ ≥
+ +


Bài 2: Cho 3 số thực a,b,c tùy ý. Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 2
(*)
1 . 1 1 . 1 1 . 1
a c a b b c
a c a b b c
− − −
≤ +
+ + + + + +

Giải:
ðặt:

[ ]

tan
tan (*) sin( ) sin( ) sin( )
tan
ì : sin( ) sin ( ) ( ) ) sin( ) os( ) os( ) sin( )
sin( ) os( ) os( ) sin( ) sin( ) sin( )
a
b
c
V c c
c c
=


= ⇒ ⇔ − + − ≥ −


=

− = − + − = − − + − −
≤ − − + − − ≤ − + −
α
β α β β γ α γ
γ
α γ α β β γ α β β γ α β β γ
α β β γ α β β γ α β β γ

 ðiều phải chứng minh.
Bài 3: Cho 4 số thực a,b,c,d thõa mãn: a
2
+b

2
=1; c – d =3. Chứng minh:
Bài 3: Sử dụng các PP khác c/m BðT và tìm Min, Max – Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Page 2 of 3

9 6 2
4
F ac bd cd
+
= + − ≤

Giải:
Gọi:

(
)
(
)
( )
2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
; ( ) : 1 à ; : 3
ó : ( ) ( ) 2 2
( ) 2( ) 1 9 2
A a b A C x y v B c d B d x y
Ta c AB a c b d a b c d ac bd
a b c d ac bd cd F
⇒ ∈ + = ⇒ ∈ − =

= − + − = + + + − −
= + + − − + − = + −

Vì AB nh
ỏ
nh
ấ
t khi và ch
ỉ
khi A,B thu
ộ
c
ñườ
ng vuông góc v
ớ
i d k
ẽ
t
ừ
O.

2
3 2 3 2 2 22 12 2
1
2 2 4
22 12 2 11 6 2 9 6 2
10 2 5
4 4 4
AB Min OB OA AB
F F F

− −
⇒ = − = − = ⇒ ≥
− − +
⇒ − ≥ ⇒ − ≥ ⇒ ≤

Bài 4
: Cho:
0;
a c b c
≥ ≥ ≥
Ch
ứ
ng minh:

( ) ( )
c a c c b c ab
− + − ≤


Giải:
G
ọ
i:

(
)
( )
,
,
: . . ( ) ( )

a c b c a c b c b
b a c c b a c c a
Do a b a b c a c c b c ab
− ⇒ = + − =
− ⇒ = − + =
≤ ⇔ − + − ≤
 
 
   

Bài 5
: Cho x,y,z thu
ộ
c kho
ả
ng (0;1) thõa mãn
ñ
i
ề
u ki
ệ
n: xy + yz + zx = 1. Tìm Min c
ủ
a:

2 2 2
1 1 1
x y z
P
x y z

= + +
− − −


Giải:

ðặ
t
tan ; tan ; tan
2 2 2
A B C
x y z= = =

Bài 3: S
ử
d
ụ
ng các PP khác c/m B
ð
T và tìm Min, Max – Khóa LT
ð
H
ñả
m b
ả
o – Th
ầ
y Phan Huy Kh
ả
i

Hocmai.vn – Ngôi tr
ườ
ng chung c
ủ
a h
ọ
c trò Vi
ệ
t
Page 3 of 3

( )
2 2 2
3
tan tan tan
1
2 2 2
t anA tan tan
2
1 tan 1 tan 1 tan
2 2 2
ì : ó : t anA tan tan t anA.tan .tan 3 t anA.tan .tan
3 3
t anA tan tan t anA.tan . tan 3 3
2
A B C
P B C
A B C
V Trong ABC ta c B C B C B C
B C B C P

⇒ = + + = + +
− − −
∆ + + = ≥
⇒ + + = ≥ ⇒ ≥

D
ấ
u “=” x
ả
y ra khi và ch
ỉ
khi A=B=C=60
0
hay
1
3
x y z= = =



………………….Hết…………………

Nguồn:
Hocmai.vn