Tải bản đầy đủ (.doc) (9 trang)

Tài liệu Các bài toán sử dụng các phương pháp khác (Bài tập và hướng dẫn giải) pdf

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (379.19 KB, 9 trang )

TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
BTVN NGÀY 19-03
Sử dụng các phương pháp khác.
Bài 1 : Cho 3 số dương x,y,z thõa mãn điều kiện: xyz=1. Chứng minh rằng:

2 2 2
3 3 3
1
x y z
P
x y y z y z z x z x x y
= + + ≥
+ + + + + +

Bài 2 : Cho 3 số thực a,b,c tùy ý. Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 2
(*)
1 . 1 1 . 1 1 . 1
a c a b b c
a c a b b c
− − −
≤ +
+ + + + + +
Bài 3 : Cho 4 số thực a,b,c,d thõa mãn: a
2
+b
2
=1; c – d =3. Chứng minh:



9 6 2
4
F ac bd cd
+
= + − ≤
Bài 4 : Cho:
0;a c b c
≥ ≥ ≥
Chứng minh:

( ) ( )c a c c b c ab
− + − ≤
Bài 5 : Cho x,y,z thuộc khoảng (0;1) thõa mãn điều kiện: xy + yz + zx = 1. Tìm Min của:

2 2 2
1 1 1
x y z
P
x y z
= + +
− − −
………………….Hết…………………
BT Viên môn Toán hocmai.vn
Trịnh Hào Quang
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
HDG BTVN NGÀY 15-03

Bất đẳng thức Côsi.
Bài 1 : Cho 3 số dương tùy ý x,y,z.
CMR:
3
2 2 2 4
x x x
x y z x y z x y z
+ + ≤
+ + + + + +
Giải:
Ta có:

( ) ( )
1 1 1 1 1
2 4
1
2 4
1 1 3
2 4 4 4
1
2 4
x y z x y x z x y x z
x x x
x y z x y x z
y y y x y y z x z
VT
x y z x y y z x y y z x z
z z z
x y z x z y z
 

= ≤ +
 ÷
+ + + + + + +
 

 
≤ +

 ÷
+ + + +
 


   
+ + +

⇒ ≤ + ⇒ ≤ + + =

 ÷  ÷
+ + + + + + +
   


 

=≤ +
 ÷
+ + + +

 


Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x=y=z
Bài 2 : Cho 3 số dương x,y,z thõa mãn: xyz=1
CMR:
2 2 2
3
1 1 1 2
x y z
y z x
+ + ≥
+ + +
Giải:
Ta có:

2
2
3
2
1
1 4
9 3
1 3 ( ) 3( ) 3 3
( )
1 4 4 4 4 2
1
1 4
x y
x
y
xyz

y z x y z x y z
y VT x y z
z
z x
z
x

+
+ ≥

+



+ + + + + + −

+ ≥ ⇒ ≥ + + − = ≥ =

+


+
+ ≥

+


Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1
Page 2 of 9
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE

P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
Bài 3 : Cho 3 số không âm tùy ý x,y,z thõa mãn: x+y+z=0.
CMR:
2 4 2 4 2 4 3 3
x y z
+ + + + + ≥
Giải:
Đặt:

( )
1 1 1 1
3
6 6 6 6
(1)
1
18
4
, , 0
4 à : 2 2 2 3 3 (1)
1
4
ó : 2 1 1 3 2 3. 3.
3 3. 3 3
x
y
z
a
a b c
b V a b c

abc
c
Ta c a a a a a VT a b c
abc

=
>


= ⇒ + + + + + ≥
 
=


=

 
+ = + + ≥ ⇒ + ≥ ⇒ ≥ + +
 ÷
 
≥ =
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=0
Bài 4 : Cho 3 số dương tùy ý a,b,c:
Tìm Min:
3 3 3 3 3 3
3 3 3
2 2 2
4( ) 4( ) 4( ) 2
a b c
A a b b c c a

b c a
 
= + + + + + + + +
 ÷
 
Giải:

( )
3 3 3 3 3 3
3 3 3
2 2 2
3 3 3 3 3
3
3 3 3 3 3 3
3
3 3 3
3
2 2 2
3 3
4( ) 4( ) 4( ) 2
ì :4( ) 8 ( ) 4( ) 2
4( ) 4( ) 4( ) 2 6
1 1
à 2 6 6 12 12
a b c
A a b b c c a
b c a
V a b ab a b ab
a b b c c a ab bc ca abc
a b c

V A abc Min A
b c a
abc abc
 
= + + + + + + + +
 ÷
 
+ ≥ ⇒ + ≥
⇒ + + + + + ≥ + + ≥
 
 
+ + ≥ ⇒ ≥ + ≥ ⇒ =
 ÷
 ÷
 
 

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1.
Bài 5 : Cho 3 số dương tùy ý x,y,z.
Tìm Min của:
1 1 1
2 2 2
x y z
P x y z
yz zx xy
   
 
= + + + + +
 ÷  ÷
 ÷

 
   
Giải:
Page 3 of 9
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
Ta có:

( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
3
2
3
2
3
2
3
1 1
2 2 2
1 1 1 1 1 3 1
ì : 3 ( ) à 1 .
2 2 2
( )
3 1 9 9
3 ( ) . .
2 2 2
( )

x y z x y z x y z x y z
P x y z
xyz xyz xyz xyz xyz
V x y z xyz V
xyz xyz xyz
xyz
P xyz MinP
xyz
 
+ + + + + +
= + + + = + = + + +
 ÷
 
 
+ + ≥ + = + + ≥
 ÷
 
⇒ ≥ = ⇒ =
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1
BTVN NGÀY 17-03
Sử dụng chiều biến thiên.
Bài 1 : Tìm Min, Max của:

( )
(
)
2
2 2 2 2
3 12
xy

A
x y x x y
=
+ + +
Giải:

(
)
( )
(
)
(
)
( ) ( )
2
2
2 2
2
2 2
2 2
2
2
2
2
2 2
1
ó : . :
3 1 1 12
1 1 12
1

1
1 3 12
1 3 1 1 12
3 1 1 12
1 1 12 1 1
. : 1 12 ( 1) 3 ( )
3 12 4 3
1
'( ) 0 3 ( ) (
3
y
Ta c A Coi t
x
x y
y x
t t
t
A
t t
t t
t
t
t u
Coi u t u A f u
t u
u
f u A f u f
u
= =
 

 
 
 
 ÷
 + ÷ + +
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
 
 
− +
⇒ = = =
 
+ −
+ + +
+ + +
 ÷
 
+ − −
= = + ≥ ⇒ = =
+ +
= −

⇒ = ⇔ ⇒ = ≤

=


1 1
3) ax .
6 18
à : lim ( ) 0 0
u
M A
V f u MinA
→∞
= ⇒ =
= ⇒ =
Bài 2 : Cho 3 số thực thõa mãn: x
2
+ y
2
+ z
2
=1.
Tìm Min, Max của:
( ) ( )P x y z xy yz zx
= + + − + +
Page 4 of 9
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
Giải:
Đặt:

2 2 2 2
2 2
3( ) 3 3; 3

1 2 1
à ( ) '( ) 0 1 3; 3
2 2
ax (1) 1
ó :
( 3) ( 3 1)
t x y z t x y z t
t t t
V P t f t f t t
M P f
Qua BBT ta c
MinP f
 
= + + ⇒ ≤ + + = ⇒ ∈ −
 
− − + +
 
= − = = ⇒ = ⇔ = ∈ −
 
= =



= − = − +



Bài 3 : Cho 2 số dương x,y thõa mãn: x+y=5/4. Tìm Min của:

4 1

4
A
x y
= +
Giải:
Ta có:

( )
2
2
5
16
16 60 5
4
.
5
4 4 (5 4 )
4 ( )
4
4 0 , 5
16 16 1 16 1
: à : ( )
5 4 5
5
0
16 1 16
'( ) 0 (1) 1 5
5
4
5

3
y y
y x y
A
xy y y
y y
a y a b
a b
Coi V A f a
b y a b
ab b a a a
a
f a MinA f
a
a
a
+ −
+ +
= = =


= < <
 
+
⇒ = = + = + =
 
= − + =

 
=



⇒ = − = ⇒ ⇒ = = + =

= −


Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x=1; y=1/4
Bài 4 : CMR: Với mọi tam giác ABC ta luôn có:

1 os 1 os 1 os
2 2 2
3 3
A A A
c c c
A A A
+ + +
+ + >
Giải:
Xét hàm số:
2
cos 1
2
x
y x
= + −
Page 5 of 9

×