Ứng dụng chuyển động tròn đều trong giải toán dao động cơ học điều hòa

MỞ ĐẦU
1. Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực đề tài.
Trong những năm gần đây, từ năm học 2006- 2007 Bộ GD-ĐT đã áp dụng hình
thức thi trắc nghiệm khách quan trong kì thi tốt nghiệp THPT cũng như kì thi tuyển
sinh đại học, cao đẳng đối với nhiều môn học trong đó có môn Vật lí. Môn Vật lí
được tổ chức thi dưới hình thức trắc nghiệm khách quan với bốn lựa chọn cho mỗi
câu hỏi. Thời lượng làm bài bình quân cho mỗi câu ở kì thi tốt nghiệp THPT là 1.5
phút, ở kì thi tuyển sinh đại học cao đẳng là 1 phút 48 giây. Do vậy để đáp ứng hình
thức thi trắc nghiệm này đòi hỏi học sinh cần phải có kiến thức rộng và xuyên suốt
chương trình, có kĩ năng làm bài, trả lời các câu hỏi trắc nghiệm một cách nhanh
chóng. Để đạt được kết quả như vậy, với mỗi bài toán đề ra, học sinh cần phải hiểu
bài và tìm ra một cách giải nhanh nhất có thể.
Trong chương trình thi đại học cao đẳng môn Vật lí nói chung và phần kiến thức
dao động điều hòa nói riêng, việc tìm thời gian, thời điểm hoặc các đại lượng có liên
quan luôn là một kiến thức khó đối với học sinh. Hiện nay để giải quyết những dạng
bài tập này đã có nhiều tài liệu tham khảo nhưng các tài liệu đó thường sử dụng đan
xen nhiều cách giải mà chưa tập chung ứng dụng các tính chất của chuyển động tròn
đều để giải bài tập, các tài liệu thường tập chung vào nhiều dạng toán hơn là khai thác
một kỹ thuật giải cụ thể và rất nhiều tài liệu còn sử dụng phương pháp đại số.
Hiện nay trong nước đã có khá nhiều đề tài nghiên cứu xung quanh vấn đề này
và đã thu được những kết quả nhất định. Cụ thể như đề tài: “Dùng tương quan giữa
chuyển động tròn đều và dao động điều hòa để giải một số bài toán vật lí” của thầy
giáo Đoàn Ngọc Bé- giáo viên trường THPT Nguyễn Việt Khái hay “Sáng kiến kinh
nghiệm” của cô giáo Bùi Thị Thắm…vv. Tuy nhiên, các tác giả chưa hoặc còn ít khái
quát lại vấn đề, tổng hợp bằng cách nhớ nhanh và đa phần chỉ sử dụng phương pháp
này đối với các bài tập liên quan tới con lắc lo xo, ít đề cập tới các bài tập về con lắc
đơn hay các dang bài tâp chuyển động của nhiều vật.
1
Đối với sinh viên trường Đại học Hùng Vương cũng như vậy. Hiện nay, sinh
viên trong trường chưa có điều kiện nghiên cứu chuyên sâu về lĩnh vực này, cũng
như chưa có đề tài nghiên cứu nào áp dụng mối liên hệ này để giải nhanh những dạng

bài tập nói trên mà đa phần để giải những dạng bài tập đó sinh viên thường sử dụng
phương pháp đại số.
Với tất cả những điều trên đã tạo động lực cho chúng em tiến hành nghiên cứu
phương pháp “ Ứng dụng chuyển động tròn đều trong giải toán dao động cơ học
điều hòa” để giải nhanh các bài toán liên quan đến tìm thời gian, thời điểm đại lượng
dao động đạt giá trị xác định, pha dao động hoặc các đại lượng có liên quan đến thời
gian đối với tất cả những bài toán dao động điều hòa thường gặp.
2. Tính cấp thiết của đề tài.
2.1. Ý nghĩa khoa học.
“Ứng dụng của chuyển động tròn đều trong việc giải bài toán dao động điều
hòa” là một nghiên cứu khoa học rất hữu ích cho nền giáo dục. Nó là một phần trong
bộ môn Vật lí giúp cho việc giảng dạy và học tập đạt hiệu quả. Là tài liệu tham khảo
cho giáo viên phổ thông, học sinh và những người quan tâm.
2.2. Ý nghĩa thực tiễn.
Đề tài này giúp cho các thầy (cô) giáo có phương pháp giảng dạy khoa học, dễ
hiểu đối với các em học sinh THPT trong phần kiến thức dao động điều hòa nói riêng
và bộ môn Vật lí nói chung.
- Đề tài là tài liệu tham khảo, giúp các em học sinh có cách giải đơn giản, khoa học
rút ngắn được thời gian so với phương pháp khác trong giải bài toán dao động điều
hòa. Giúp các em giải nhanh, chính xác đạt được kết quả tốt trong các kì thi đại học,
cao đẳng, định hướng cho các em học sinh THPT có tư duy tốt về cách học tập và
giải những bài toán về dao động điều hòa.
- Đề tài giúp chúng em có một hệ thống bài tập, nghiên cứu để đưa ra những phân
tích gợi ý về phương pháp giải cụ thể của từng dạng với hướng dẫn giải chi tiết của
2
từng bài. Từ đó giúp nhóm nghiên cứu có thể hiểu rõ hơn về dao động điều hòa và
vai trò ứng dụng chuyển động tròn đều đến các dạng bài tập dao động điều hòa. Đồng
thời thông qua đề tài, chúng em có thể được rèn luyện về kỹ năng giải bài tập, bồi
dưỡng nghiệp vụ sư phạm và tập nghiên cứu khoa học đồng thời phát triển tư duy
sáng tạo và năng lực tự làm việc của bản thân.

3. Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài.
3.1. Mục tiêu nghiên cứu.
Sử dụng các tính chất của chuyển động tròn đều để đưa ra cách giải một số
dạng bài toán dao động điều hòa thường gặp.
3.2. Nhiệm vụ nghiên cứu.
Trong nghiên cứu này chúng em tập trung vào việc:
- Nghiên cứu cơ sở lí thuyết về dao động điều hòa, về chuyển động tròn đều và mối
liên hệ giữa chúng.
- Sưu tầm những dạng bài tập dao động cơ học điều hòa trong chương trình Vật lí 12
trung học phổ thông.
- Sử dụng mối liên hệ giữa chuyển động tròn đều và dao động điều hòa làm cơ sở
phân dạng và đưa ra phương pháp giải bài tập dao động cơ học điều hòa có thể ứng
dụng được mối liên hệ đó.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.
4.1. Đối tượng nghiên cứu.
Đề tài nghiên cứu về vai trò và những ứng dụng của chuyển động tròn đều
trong các dạng bài toán dao động cơ học điều hòa.
4.2. Phạm vi nghiên cứu.
Trong đề tài, chúng em sẽ tập trung đưa ra những phân tích chi tiết về kỹ thuật
giải và những ưu điểm của “Ứng dụng chuyển động tròn đều trong giải bài toán dao
động cơ học điều hòa” vào giải nhanh các dạng bài dao động cơ học điều hòa thường
gặp trong chương trình lớp 12 THPT và trong các đề thi đại học, cao đẳng.
5. Nội dung nghiên cứu.
Đề tài nghiên cứu tập trung vào 3 nội dung chính tương ứng với 3 chương lớn
3
với thứ tự lần lượt như sau:
Chương 1: Cơ sở lý thuyết.
Chương 2: Các dạng bài tập dao động cơ học điều hòa.
Chương 3: Ứng dụng chuyển động tròn đều vào giải nhanh các dạng bài tập dao động
cơ học điều hòa.

6. Phương pháp nghiên cứu.
Phương pháp nghiên cứu lí luận : Đọc và nghiên cứu các tài liệu, giáo trình có
liên quan tới chuyển động tròn đều và dao động điều hòa. Lựa chọn các dạng bài tập
trong sách giáo khoa, sách bài tập, sách tham khảo phù hợp với nội dung, kiến thức
của nội dung nghiên cứu và mục đích nghiên cứu.
Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Qua nghiên cứu tài liệu, giáo trình, rút ra
kinh nghiệm để áp dụng vào việc nghiên cứu.


4
NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1.1. Dao động điều hòa.
1.1.1. Các định nghĩa cơ bản trong dao động điều hòa.
+ Dao động: là những chuyển động có giới hạn trong không gian được lặp đi lặp lại
nhiều lần xung quanh vị trí cân bằng.
+ Dao động tuần hoàn: là dao động mà trạng thái của vật được lặp lại như cũ sau
những khoảng thời gian bằng nhau ( trạng thái bao gồm li độ, gia tốc, vận tốc về cả
hướng và độ lớn).
+ Dao động điều hòa: Là dao động mà phương trình có dạng x=Acos (ωt + ) tức là
vế phải là hàm cosin hay sin của thời gian nhân với một hằng số.
1.1.2. Các đại lượng đặc trưng cho dao động điều hòa.
- x: Li độ dao động của vật (x có thể âm - hoặc +).
- A: Biên độ dao động.
A = x
max
<=> cos(ωt + ) =1 (A>0)
- ωt + : Pha dao động tại thời điểm t bất kì.
- : Pha ban đầu tại thời điểm t = 0 ( Đơn vị: rad hoặc độ ).
- ω: Tần số góc của dao động ( Đơn vị: rad/s hoặc độ/s ).

1.1.3. Phương trình dao động.
Li độ: x = Acos(ωt + ).
Vận tốc: v = x’ = -Aωsin (ωt + ).
Gia tốc: a = x” = v’= -Aω
2
cos(ωt + ) = - ω
2
x.
Chú ý:
5
- Gia tốc a luôn hướng về vị trí cân bằng.
- Vận tốc nhanh pha hơn li độ 1 góc π/2, gia tốc nhanh pha hơn vận tốc một góc π/2
và li độ một góc π.
- Dao động điều hòa là dạng cơ bản của dao động tuần hoàn.
1.1.4. Con lắc lo xo.
Xét chuyển động của vật nặng trong con lắc lò xo nằm ngang. Con lắc có một
đầu gắn vật, một đầu cố định.
Kéo vật ra khỏi vị trí cân bằng một đoạn x, khi đó lò xo tác dụng vào vật một lực đàn
hồi có xu hướng kéo vật về vị trí cân bằng: F= -kx ( k là độ cứng của lò xo ).
Như đã biết: a = x"
Bỏ qua ma sát, áp dụng định luật II Newton:
mx" = -kx.<=> x" + (k/m)x = 0
Đặt: ω
2
= k/m phương trình trở thành:
x" + ω x = 0. (1.1)
Đây là phương trình động lực học của dao động điều hòa.
Nghiệm của phương trình có dạng: x = Acos (ωt + ).
Hay dao động của con lắc lò xo là dao động điều hòa.
1.1.5. Con lắc đơn

Con lắc đơn gồm một vật nặng có kích thước nhỏ khối lương m treo ở đầu một sợi
dây mềm không dãn có độ dài l và khối lượng không đáng kể.
Vị trí cân bằng của con lắc đơn là vị trí mà dây treo thẳng đứng QO, vật nặm ở vị trí
O là thấp nhất.
6
αÔ
0
0
Q
α
Nếu đưa vật nặng ra khỏi vị trí cân bằng tới vị trí A trên quỹ đạo tròn tâm Q bán kính
l với
»
OA
= S
O
, rồi thả tự do thì vật nặng dao động trên cung tròn
¼
AOB
, qua lại vị trí
cân bằng O( hình 1.2).
Vật nặng ở vị trí M xác định bởi OM= s gọi là li độ cong.
Dây treo ở QM xác định bởi góc
¼
OQM
= α gọi là li độ góc.T
Các lực tác dụng lên vật m là:
- Trọng lực P có độ lớn bằng mg và hướng thẳng đứng xuống dưới.
- Phản lực R của dây hướng theo MQ.
Ta luôn có:

P
ur
=
Pn
uur
+
Pt
uur
.
Nhận thấy với góc α nhỏ ta có thể coi sin α= α.
Áp dụng định luật II Newton ta có:
m.s” =- mg.sin α =- mg α= -mg.
s
l
hay: s”+ ω
2
s = 0 (1.2)
với ω
2
=g/l
Đây chính là phương trình động lực học của dao động con lắc đơn. Hay nói cách
khác con lắc đơn dao động điều hòa.


7
A
Q
B
VTCB
M

P
n
→

n
P
t
R
O
Hình 1.1. Các lực tác dụng lên vật m Hình 1.2. Hình ảnh con lắc đơn
1.2. Chuyển động tròn đều.
1.2.1. Khái niệm.
Chuyển động tròn là đều khi chất điểm đi được những cung tròn có độ dài bằng
nhau trong những khoảng thời gian bằng nhau tùy ý.
1.2.2. Một số đại lượng đặc trưng của chuyển động tròn đều.
- Chu kì, tần số của chuyển động tròn đều.
+ Chu kì là khoảng thời gian để chất điểm đi hết một vòng trên đường tròn.
Kí hiệu: T.
+ Tần số là số vòng chất điểm quay được trong một đơn vị thời gian.
Kí hiệu: f.
+ Mối liên hệ giữa chu kì và tần số: T = 1/f
+ Tốc độ góc của chuyển động tròn đều: Tốc độ góc w là góc quay được của bán
kính trong 1 đơn vị thời gian.
Công thức: ω = ∆ /∆t (1.3)
trong đó: ∆ : góc quét được trong 1 đơn vị thời gian
∆t: thời gian.
Đơn vị của ω: rad/s.
1.3. Biểu diễn dao động điều hòa bằng véc tơ quay.
8
P

Để biểu diễn dao động điều hòa người ta dùng một véctơ quay có độ dài là
A (biên độ) quay đều quanh điểm O (O là gốc tọa độ của trục Ox) với tốc độ góc ω.
Tại t = 0, góc giữa Ox và OM là (pha ban đầu).
Tại thời điểm t, góc giữa trục Ox và là ωt + (pha dao động). Khi đó độ dài đại
số của hình chiếu véc tơ quay trên trục Ox là:OP = A cos (wt + ) hay độ dài đại
số của hình chiếu trên trục x của véc tơ quay biểu diễn dao động điều hòa chính
là li độ x của dao động.
Hình 1.3. Biểu điễn dao động
điều hòa bằng vectơ quay
1.4. Liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều.
Điểm M chuyển động tròn đều trên đường tròn có bán kính A và tốc độ góc ω.
Tại thời điểm ban đầu chất điểm ở vị trí điểm M
0
và tạo với trục ngang một góc φ.
Tại thời điểm t chất điểm ở vị trí M và góc tạo với trục ngang Ox là (ωt + φ).




9
x
-A VTCB +A
+
M
O
x
P
φ

Hình 1.4. Mối liện hệ giữa dao dộng điều hòa và chuyển động tròn đều

Khi đó hình chiếu của điểm M xuống Ox: x =
OP
= Acos(ωt + ϕ) là một dao động
điều hòa.
Do vậy: Dao động điều hòa x = Acos(ωt + φ) đã được biểu diễn bằng véctơ quay trên
vòng tròn lượng giác .
Phương pháp: - Vẽ một vòng tròn có bán kính: A
- Trục Ox nằm ngang làm gốc.
- Xác định vị trí xuất phát trên vòng tròn bằng pha ban đầu.
Chú ý : - Chiều dương từ trái sang phải.
- Chiều quay là chiều ngược chiều kim đồng hồ.
- Khi vật chuyển động ở trên trục Ox : theo chiều âm.
- Khi vật chuyển động ở dưới trục Ox : theo chiều dương.
- Từ mối liên hệ trên dẫn tới 1 số hệ quả sau:
+ Thời gian vật dao động điều hòa từ vị trí có li độ x
1
và vận tốc v
1
tới vị trí có li độ
x
2
và vận tốc v
2
bằng thời gian OH quay đều được góc ∆ =
¼
1 2
M OM
với tốc độ góc
ω : ∆ = ω.∆.t => ∆t = ∆ / ω.
+ Nếu biết góc quay của OM trong thời gian ∆t tính từ thời điểm đầu t=0 ta có thể tìm

được thời điểm vật qua vị trí có li độ x với vận tốc v, từ đó có thể tính được số lần vật
qua vị trí x trong khoảng thời gian t hoặc tính được quãng đường vật dao động điều
hòa đi được trong thời gian ∆t
Tổng quát: “Ứng dụng hình chiếu chuyển động tròn đều vào giải nhanh các dạng bài
tập dao động cơ học điều hòa” là một công cụ rất mạnh, đặc biệt trong các dạng toán
liên quan đến thời gian không những trong chương Dao động cơ mà trong các
chương về Dao động điện từ hay Dòng điện xoay chiều chúng ta cũng sẽ gặp lại ứng
dụng của nó. Do vậy việc hiểu rồi áp dụng được ứng dụng này là một nghiên cứu
quan trọng và cần thiết giúp học sinh phổ thông nói chung đặc biệt là các em học
10
sinh lớp 12 nói riêng giải nhanh, tiết kiệm thời gian rất phù hợp với hình thức thi trắc
nghiệm Vật lí hiện nay.
CHƯƠNG II : CÁC DẠNG BÀI TẬP DAO ĐỘNG CƠ HỌC ĐIỀU HÒA.
2.1. Bài toán thiết lập phương trình dao động điều hòa.
Giải bài toán viết phương trình dao động bằng phương pháp đại số:
+ Bước 1: Chọn hệ quy chiếu: trục Ox, mốc thời gian
Phương trình dạng: x = Acos (ωt + )
+ Bước 2: Tìm các đại lượng đặc trưng: ω =
k
m
hoặc ω =
2
T
π
= 2πf (rad)
Áp dụng công thức độc lập với thời gian để xác định tần số góc, biên độ và
li độ dao động: A =
2
2
2

v
x
ω
+
(2.1)
+ Bước 3: Tìm pha ban đầu từ điều kiện ban đầu bằng cách giải hệ phương trình:
x=Acos
v= -Aωsin => Viết phương trình dao động.
Bài tập 1: Cho 1 con lắc lò xo đặt nằm ngang có k = 80(N/m), m = 100 (g). Kéo con
lắc sang phải lệch khỏi vị trí cân bằng 7 cm rồi buông nhẹ. Chọn Ox nằm ngang,
chiều dương từ phải sang trái, gốc tọa độ ở VTCB, gốc thời gian là lúc thả vật. Viết
phương trình dao động:
11
* A: x = 7cos (20 t+ π ) C: x = 7 sin (20 + π/2)
B: x = 7cos (20t - π) D: x = 7sin ( t- π/3)
Bài tập 2: Cho một vật dao động điều hòa với chu kì T = 2s (lấy π
2
= 10). Tại thời
điểm ban đầu t = 0 vật dao động với gia tốc a = - 0,1 (m/s
2
), vận tốc v = -
3
π
(cm/s).
Viết phương trình dao động của vật ?

A: x = 2cos ( ) C: x = 2cos ( )
* B: x = 2cos ( ) D: x = 2cos ( )
2.2. Bài toán tìm thời gian dao động.
Bài tập 3 (TSĐH – 2008): Một con lắc lò xo treo thẳng đứng. Kích thích cho con lắc

dao động điều hòa theo phương thẳng đứng. Chu kỳ và biên độ dao động của con lắc
lần lượt là 0,4 (s) và 8 (cm). Chọn trục x'x thẳng đứng chiều dương hướng xuống, gốc
tọa độ tại vị trí cân bằng, gốc thời gian khi vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương
lấy g= 10m/s
2
và π
2
= 10. Thời gian ngắn nhất kể từ khi t= 0 đến khi lực đàn hồi của
lò xo có độ lớn cực tiểu là:
*A: 7/30(s) B: 4/15(s) C: 3/10(s) D: 1/30(s).
2.3. Bài toán xác định quãng đường.
Bài tập 4( Phân loại và phương pháp giải nhanh bài tập Vật lí 12): Một con lắc dao
động điều hòa theo phương ngang với W= 1 (J), F
đhmax
= 10(N), mốc thế năng là tại
VTCB. Gọi Q là đầu cố định của lò xo. Khoảng cách giữa 2 lần liên tiếp Q chịu tác
12
dụng của lực kéo lò xo có độ lớn 5 (N) là 0,1 (s). Vậy quãng đường lớn nhất mà
vật nhỏ đi được trong 0,4 (s) là:
A: 40 cm B: 20 cm *C: 115 cm D: 60 cm
2.4. Bài toán xác định tốc độ trung bình và vận tốc trung bình.
Bài tập 5 (TSĐH – 2012): Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T. Gọi V
tb
là
tốc độ trung bình của chất điểm trong 1 chu kì, V là vận tốc tức thời của chất điểm.
Trong 1 chu kì khoảng thời gian mà V ≥
4
π
V
tb

là:
*A: 2T/3 B: T/3 C: T/6 D: T/2
Bài tập 6 (TSĐH – 2013): Một vật nhỏ dao động điều hòa với phương trình có dạng
x = A cos 4πt (t tính bằng s). Tính từ t = 0 khoảng thời gian ngắn nhất để gia tốc của
vật bằng một nửa độ lớn gia tốc cực đại là:
A: 0,083 (s) B: 0,104 (s) C: 0,167 (s) D: 0,125 (s).
2.5. Bài toán xác định thời điểm vật đi qua vị trí bất kì có li độ x.
Bài tập 7 : Cho con lắc lò xo treo thằng đứng gắn một vật khối lượng m= 200(g). Kéo
vật xuống dưới vị trí cân bằng 5cm rồi thả nhẹ, k= 100 (N/m), chiều dương hướng
lên, gốc tọa độ tại vị trí cân bằng, gốc thời gian là lúc buông vật. Xác định thời điểm
vật đi qua vị trí cân bằng lần thứ 4 kể từ thời điểm ban đầu.
2.6. Bài toán tính số lần vật đi qua vị trí bất kì có li độ x.
Bài tập 8: Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình: x= 4cos( 6 + )
(cm).Trong một giây đầu tiên kể từ thời điểm ban đầu chất điểm đi qua vị trí có li độ
x=3 cm bao nhiêu lần?
A.5 lần B.6 lần C.7 lần D.4 lần
2.7. Bài toán về lực.
13
2.7.1. Lực hồi phục ( lực kéo hay lực phục hồi).
- Là hợp lực tác dụng lên vật có xu hướng đưa vật về VTCB: F= - kx (2.2)
- Độ lớn: F = k|x| F
hpmax
= kA tại vị trí biên.
F
hpmin
= 0 tại vị trí cân bằng.
2.7.2: Lực đàn hồi.
Đĩnh nghĩa: lực đàn hồi là hợp lực của lò xo tác dụng lên giá treo có xu hướng kéo
vật về vị trí ban đầu( vị trí lò xo không biến dạng).
Độ lớn: Tại vị trí có li độ x: F

đh
= k |∆l ± x| (2.3)
- Con lắc nằm ngang: F
đh
= F
hp
= kx
- Con lắc treo thẳng đứng:
+ Chiều dương hướng lên: F
đh
= k|∆l – x|
+ Chiều dương hướng xuống: F
đh
= k|∆l + x|

Hình 2.1. Con lắc lò xo trên măt phẳng nghiêng
- Con lắc treo trên mặt phẳng nghiêng: mgsin a = k∆l
+ Chiều dương hướng xuống: F
đh
= k|∆l + x|
+ Chiều dương hướng lên : F
đh
= k|∆l - x|
Nhận thấy đối với tất cả các dạng con lắc lo xo ta luôn nhận được kết quả:
14
F
đhmax
= k|∆l + A| (2.4)
F
đhmin

= (2.5)
Bài tập 9( TSĐH – 2011): Một con lắc lò xo nằm trên mặt phẳng ngang gồm 1 lò xo
nhẹ 1 đầu cố định, đầu kia gắn với vật nhỏ có khối lượng m
1
. Ban đầu giữ m
1
tại vị trí
mà lò xo bị nén 8cm, đặt vật nhỏ m
2
(có khối lượng bằng m
1
) trên mặt phẳng nằm
ngang và quan sát với m
1
. Buông nhẹ để 2 vật bắt đầu chuyển động theo trục của lò
xo (bỏ qua ma sát). Ở thời điểm lò xo có chiều dài cực đại lần đầu tiên thì khoảng
cách giữa 2 vật m
1
, m
2
là:
A: 4,6cm B: 3,2cm C: 5,7cm D: 2,3cm
Bài tâp 10( Giải toán Vật lí 12): Cho con lắc lò xo treo thằng đứng gồm vật nhỏ
m=100(g); độ cứng k= 100 (N/m), kéo vật ra khỏi VTCB x= 2(cm) rồi buông nhẹ,
chiều dương hướng lên, gốc tọa độ tại vị trí cân bằng, gốc thời gian là lúc thả vật.
Tính:
a, F
đh
và F
hp

rồi so sánh F
đh
với F
hp
tại vị trí cao nhất và thấp nhất
b, F
đh
, F
hp
ở vị trí cân bằng.
Bài tập 11 (TSĐH- 2008): Cho con lắc lò xo treo thằng đứng dao động với biên độ
A = 12(cm). Biết F
đhmax
/F
đhmin
= 4. Tính độ dãn của lò xo khi vật ở vị trí cân bằng?
A: 20 cm B: 15 cm C: 7,2 cm D: 10 cm
2.8. Bài toán năng lượng trong dao động điều hòa.
+ Động năng: W
đ
=
2 2 2 2
1 1
sin (
2 2
)mv m A t
ω ω ϕ
+=
(2.6)
+ Thế năng: W

t
=
2 2 2 2
1 1
cos (
2 2
)kx m A t
ω ω θ
+=
(2.7)
+ Sự bảo toàn cơ năng: Cơ năng của vật dao động luôn luôn được bảo toàn.
15
W= W
đ
+ W
t
=
2
1
2
kA
= hằng số. (2.8)
Bài tập 12 : (SGK Vật lí 12 NC): Một vật có khối lượng 750 (g) dao động điều hòa
với biên độ 4cm và chu kì T = 2(s). Tính năng lượng của dao động.
Bài tập 13 (SGK Vật lí 12 NC): Tính thế năng, động năng, cơ năng của con lắc lò xo
ở 1 vị trí bất kì và thử lại rằng cơ năng không đổi trong chuyển động.
Bài tập 14 ( Phân loại và phương giải nhanh BTVL 12): Một chất điểm dao động
điều hòa trên trục Ox với biên độ dao động A = 10 cm, chu kì T = 2 (s), gốc thế năng
tại vị trí cân bằng, vận tốc trung bình trong khoảng thời gian nhỏ nhất khi vật chuyển
động từ vị trí W

đ
= 3W
t
tới vị trí W
đ
=
1
Wt
3
?
2.9. Bài toán hệ dao động thay đổi tham số.
2.9.1. Con lắc lò xo di chuyển theo xe
+ Khi xe chuyển động thẳng đều hoặc đứng yên:
(2.9)
+ Khi xe chuyển động biến đổi đều thì hệ xuất hiện
Biến đổi như trên ta nhận được:
Gia tốc chuyển động của hệ: a
hệ
=
2 2
g a
+
(2.10)
Bài tập 15 (200 bài tập Vật lí chọn lọc) : Cho một con lắc lò xo treo trên trần 1 toa
xe. Nếu xe đứng yên . Hỏi nếu xe chuyển động nhanh dần đều theo
phương ngang với thì tại vị trí cân bằng lò xo dãn 1 đoạn bằng bao
nhiêu?
16
Bài tập 16 Cho một con lắc lò xo trên trần 1 toa xe. Nếu xe đứng yên .
Hỏi nếu xe chuyển động chậm dần đều theo phương ngang với thì

bằng bao nhiêu?
2.9.2. Con lắc lò xo chuyển động theo thang máy sẽ xuất hiện lực quán tính.
Ba trường hợp:
• Thang máy chuyển động nhanh dần đều: cùng chiều chuyển động 
chuyển động.
(2.11)
• Thang máy chuyển động chậm dần đều: chuyển động chuyển
động.
(2.12)
• Thang máy rơi tự do (chuyển động nhanh dần đều đi xuống): cùng chiều
chuyển động vật chuyển động ngược chiều
. (2.13)
Bài tập 17 Cho một con lắc lò xo treo trên trần 1 thang máy, khi đứng yên
nếu thang máy chuyển động chậm dần đều đi lên với gia tốc
thì là bao nhiêu? Tính khi thang máy rơi tự do.
2.9.3. Con lắc lò xo dao động dưới tác dụng của lực đẩy acsimet.
Bài tập 18: Cho một con lắc lò xo treo thẳng đứng có gắn một vật nặng hình trụ
m=500(g) được nhúng 1 phần trong chất lỏng sau đó dìm vật xuống 1 đoạn a = 5 cm
17
rồi buông nhẹ. Chọn chiều dương hướng xuống, gốc tọa độ tạivị trí cân bằng, gốc
thời gian là lúc buông vật. Chứng minh vật dao động điều hòa, tính chu kỳ, viết
phương trình dao động cho biết S=25(cm
2
);k=25(N/m), g= 10(m/s
2
); =1000(kg/m
3
).
Phương pháp giải:
Tại VTCB lò xo dãn 1 đoạn . Áp dụng định luật II Newton:

Chiếu phương trình lên chiều dương:
.
+ Trong quá trình dao động vật chìm xuống thêm đoạn x
Lò xo dãn ∆l+ x và vật chìm 1 đoạn a+ x
Áp dụng định luật II Newton:
Chiếu lên chiều dương ta được:
Vậy vật trên dao động điều hòa.
Phương trình dao động có dạng: x= 5cos( 10
π
t) cm.
2.10. Bài toán tổng hợp dao động điều hòa.
Giải bài toán trên bằng phương pháp lượng giác:
Một vật tham gia đồng thời 2 dao động điều hòa cùng phương cùng tần số:
X
1
= A
1
cos (ωt + )
X
2
= A
2
cos (ωt + )
18
Cộng vế với vế của 2 phương trình ta được:
x = A
1
cos (ωt+ ) + A
2
cos (ωt + )

= A cos (ωt + )
Với A = (2.14)
Tanφ= ( A
1
sin + A
2
sin ) / (A
1
cos + A
2
cos ) (2.15)
Bài tập 23 : Cho vật nhỏ có khối lượng m= 200(g) thực hiện đồng thời 2 dao động
điều hòa x
1
= 3 cos (15t + ) (cm); x
2
= A
2
cos (15t + . Cơ năng của vật có độ
lớn W = 0,06075 (J). Xác định A
2.
Bài tập 24 (Giải toán Vật lí 12): Cho 2 chất điểm P
1
, P
2
dao động điều hòa với
phương trình lần lượt x
1
= 5 cos (10 ) (cm) và x
2

= 5sin (10 - ) (cm). Độ dài đại
số đoạn P
1
P
2
= x
2
- x
1
= ?
2.11. Khảo sát bài toán chuyển động của hai vật dao động điều hòa.
Bài tập 25 Hai chất điểm cùng thực hiên dao động điều hòa trên cùng một trục Ox,
cùng biên độ A nhưng dao động khác tần số với f
1
= 3 Hz, f
2
= 6 Hz. Lúc đầu cả hai
chất điểm cùng qua vị trí có li độ
2
A
theo chiều dương. Tìm thời điểm đầu tiên hai vật
đó gặp nhau?
Bài tập 26 Hai con lắc đơn có chiều dài hơn kém nhau 22 cm. Trong cùng một
khoảng thời gian con lắc thứ nhất thực hiên được 30 dao động thì con lắc thứ hai thực
hiện được 36 dao động. Hỏi sau bao lâu hai con lắc cùng gặp nhau tại một điểm?
19
CHƯƠNG III: ỨNG DỤNG CHUYỂN ĐỘNG TRÒN ĐỀU VÀO GIẢI NHANH
CÁC DẠNG BÀI TẬP DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA.
Nhận xét chung: “Ứng dụng chuyển động tròn đều để giải nhanh những bài tập
dao động điều hòa” là một công cụ mà không phải học sinh nào cũng có thể nắm

được một cách thuần thục và nhanh nhạy do các em rất lúng túng khi dùng đường
20
tròn lượng giác và khó tưởng tượng được sự tương tự giữa hai loại chuyển động
này Do vậy để giúp các em dễ dàng hơn khi tiếp cận, có cái nhìn tổng quát hơn và
có cơ sở vững chắc hơn để giải quyết các bài tập chương sau thì dưới đây chúng ta sẽ
nghiên cứu cụ thể về phương pháp giải hữu ích này, những dạng bài tập, những bài
toán có thể được ứng dụng và ứng dụng nó như thế nào trong từng dạng để giải nhanh
những dạng bài tập đó?
Để các em có thể sử dụng phương pháp này một cách hiệu quả nhất. Dưới đây chúng
tôi có cung cấp một đường tròn lượng giác chứa tương đối đầy đủ những đại lượng có
thể sử dụng trong quá trình giải một số bài tập dao động điều hòa.
Hình 3.1 Biểu diễn những đại lượng đặc trưng trên vòng tròn lượng giác
Trên hình 3.1 mô tả vắn tắt một số thông tin và kết quả về giá trị của pha ban
đầu theo điều kiện ban đầu (như vị trí và chiều chuyển động) của dao động và các
mối liên hệ giữa vị trí của vật với vận tốc và động năng – thế năng. Dựa vào các kết
quả này chúng ta có thể có được các thông tin quan trọng và chính xác về bài toán.
Đồng thời giúp chúng ta có thể giải bài toán nhanh hơn và chính xác hơn.
3.1. Bài toán thiết lập phương trình dao động điều hòa.
21
a, Phương pháp giải.
Vẽ đường tròn tâm O, bán kính A, trục Ox
- Xác định tọa độ x
o
trên trục Ox, hướng vectơ vận tốc ban đầu v
0
(hướng chuyển
động lúc t= 0).
- Tại x
o
kẻ nửa đường thẳng vuông góc với Ox cắt nửa đường tròn tại Mo. Nếu v

0
ngược chiều Ox thì ta kẻ thêm lên phía trên và ngược lại.
- Góc pha xOM
o
= : pha ban đầu.
Viết phương trình dao động x= A cos(ωt+ ).
b, Ví dụ minh họa.
Bài tập 1 (TSĐH – 2008) Một chất điểm dao động điều hòa với biên độ A= 4 cm và
chu kỳ T= 2 (s), chọn gốc thời gian là lúc chất điểm đi qua vị trí cân bằng theo chiều
dương. Viết phương trình dao động của chất điểm?
A: x= 4cos( πt+
2
π
) B: x= 4cos(πt-
2
π
)
C: x= 4cos( 4πt+
2
π
) D: x= 4cos(4πt-
2
π
)
Hướng dẫn giải
Bước 1: Vẽ hình (như hình vẽ)
Bước 2: Xác định các đại lượng đặc trưng.
Biên độ dao động A= 4(cm)
ω =
2

T
π
= π (rad/s), =
2
π
(rad) .Vậy phương trình dao động:
x = 4cos(πt -
2
π
). Chọn B
c, Bài tập vận dụng.
22
-A
A
Hình 3.2 Trạng thái ban đầu
Bài tập 2: Một lò xo có khối lượng không đáng kể treo vật có khối lượng m= 80(g).
Vật dao động điều hòa với f=4,5 Hz. Trong quá trình l
max
= 46cm, l
min
= 30cm, lấy gia
tốc trọng trường g= 9,8m/s
2
. Chọn gốc tọa độ tại vị trí cân bằng, chiều dương hướng
xuống, gốc thời gian là lúc lò xo ngắn nhất. Viết phương trình dao động.
Bài tập 3: Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T theo phương trình có dạng
x = 4cos(10πt + ) (cm). Tại thời điểm ban đầu vật tại vị trí x = -2(cm) và đi theo
chiều dương của trục tọa độ, pha ban đầu φ có giá trị nào?
A: = π (rad) B: = (rad) C: = (rad) D: = (rad).
3.2. Bài toán tìm thời gian.

Đây là dạng toán điển hình nhất, dạng toán cơ bản nhất là tiền đề cho các dạng toán
khác trong việc ứng dụng chuyển động tròn đều vào giải bài tập dao động điều hòa.
Phân tích bài toán thành những dạng cụ thể sau đây:
3.2.1. Bài toán tìm thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí x
1
tới vị trí x
2
.
a, Phương pháp giải.
Khi vật dao động điều hoà từ x
1
đến x
2
thì tương ứng với vật chuyển động tròn đều
từ M đến N ( x
1
và x
2
là hình chiếu của M và N lên trục Ox) .
Thời gian ngắn nhất vật dao động từ x
1
đến x
2
bằng thời gian vật chuyển động tròn
đều từ M đến N:
t
MN
=Δt =
∆ϕ
ω

=
·
MON
360
T với
1
1
2
2
x
cos
A
x
cos
A

ϕ =




ϕ =



- Xác định vị trí vật lúc đầu t = 0 thì
0
0
x ?
v ?

=


=

Hình 3.3 Mô tả chuyển động.
23
MN
XO Nx
1
x
2
-A
- Xác định vị trí vật tại thời điểm t (x
t
đã biết), xác định góc quét Δφ =
¼
’MOM
= ?
- Xác định thời gian:
2 1
−
∆
∆ = =
t
ϕ ϕ
ϕ
ω ω
=
2

∆ ϕ
π
T .
b, Ví dụ minh họa.
Bài tập 4: Một chất điểm dao động điều hòa trên đoạn thẳng với phương trình
x 6cos(10t ) cm
4
π
= −
. Tìm thời gian ngắn nhất kể từ lúc t = 0 đến khi chất điểm có tọa
độ x=3
2
cm ?
Hướng dẫn giải:
Giả sử ban đầu tại thời điểm t= 0 chất điểm ở vị trí M và tại thời điểm chất điểm có
tọa độ x=3
2
cm là tại N như hình vẽ.
N



M
-6 0 3
2
6 x
Hình 3.4. Quá trình chuyển động từ M đến N.
Tại thời điểm ban đầu trạng thái của vật:
3 2
0

x
v

=


>


tại điểm M.
Từ hình ta thấy từ M đến N chất điểm quét được một góc φ=
2
π
. Áp dụng mối liên hệ
giữa chuyển động tròn đều và dao động điều hòa ta được:
24
O
t=
ϕ
ω
=
20
π

Vậy chọn B.
3.2.2. Bài toán tính thời gian đi được một quãng đường S cho trước.
a, Phương pháp giải.
+Bước 1: Lấy
4
S

A
 
 
 
= n : Phần nguyên => S
1
=n.4A suy ra t
1
=nT.
+Bước 2: S
2
= S – S
1
.
Xác định tại thời điểm t = 0 vật đang ở đâu và đi theo chiều nào?
+Bước 3: Vẽ đường tròn xác định S
2
từ thời điểm ban đầu
Xác định được góc tìm được t
2
Vậy thời gian cần tìm t = t
1
+ t
2
.
b, Ví du minh họa.
Bài tập 6 Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox với phương trình dao động
có dạng x=5 cos( 2πt+ ) (cm). Xác định khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi hết
quãng đường S=70 cm?
Hướng dẫn giải:

Chu kì dao động: T= =1(s).
Lấy phần nguyên:
4
S
A
 
 
 
= 3 => S
1
= n.4A = 3.4.5= 60(cm) . Suy ra t
1
= nT= 3.1= 3(s)
Do đó số quãng đường còn lại :S
2
= S – S
1
= 10( cm)
25