Ung dung suy luan qui nap trong giai Toan

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI II
KHOA TOÁN
=================
BÀI TẬP NGHIÊN CỨU KHOA HỌC
ỨNG DỤNG SUY LUẬN QUY NẠP TRONG
GIẢI TOÁN HÌNH HỌC
Người thực hiện : Nguyễn Xuân Nam
Lớp : Toán K4 – Bắc Giang
Giáo viên hướng dẫn : Th.S NGUYỄN VĂN HÀ
PHẦN I: CƠ SỞ LÝ LUẬN
I) SUY LUẬN TOÁN HỌC
1) Suy luận là gì?
Suy luận là quá trình suy nghĩ đi từ một hay nhiều mệnh đề cho trước rút ra
mệnh đề mới. Mỗi mệnh đề đã cho trước gọi là tiền đề của suy luận. Mệnh đề
mới được rút ra gọi là kết luận hay hệ quả.
Ký hiệu: X
1
, X
2
, ..., X
n

⇒
Y
Nếu X
1
, X
2,
..., X
n

⇒
Y là hằng đúng thì ta gọi kết luận Y là kết luận logic
hay hệ quả logic
Ký hiệu suy luận logic:

1 2
, ,....,
n
X X X
Y
2) Suy diễn
Suy diễn là suy luận hợp logic đi từ cái đúng chung đến kết luận cho cái
riêng, từ cái tổng quát đến cái ít tổng quát. Đặc trưng của suy diễn là việc rút ra
mệnh đề mới từ cái mệnh đề đã có được thực hiện theo các qui tắc logic.
- Quy tắc kết luận:
,X Y X
Y
⇒

- Quy tắc kết luận ngược:
,X Y Y
X
⇒
- Quy tắc bắc cầu:
,X Y Y Z
X Z
⇒ ⇒
⇒
- Quy tắc đảo đề:
X Y

Y X
⇒
⇒

- Quy tắc hoán vị tiền đề:
( )
( )
X Y Z
Y X Z
⇒ ⇒
⇒ ⇒
- Quy tắc ghép tiền đề:
( )
X Y Z
X Y Z
⇒ ⇒
∧ ⇒
-
X Y Z
X Y
⇒ ∧
⇒

X Y Z
X Z
⇒ ∧
⇒
3) Suy luận quy nạp:
Suy luận quy nạp là phép suy luận đi từ cái đúng riêng tới kết luận chung, từ
cái ít tổng quát đến cái tổng quát hơn. Đặc trưng của suy luận quy nạp là không

có quy tắc chung cho quá trình suy luận, mà chỉ ở trên cơ sở nhận xét kiểm tra để
rút ra kết luận. Do vậy kết luận rút ra trong quá trình suy luận quy nạp có thể
đúng có thể sai, có tính ước đoán.

Vd: 4 = 2 + 2

6 = 3 + 3
10 = 7 + 3
................
Kết luận: Mọi số tự nhiên chẵn lớn hơn 2 đều là tổng của 2 số nguyên tố.
a) Quy nạp không hoàn toàn :
Là phép suy luận quy nạp mà kết luận chung chỉ dựa vào một số trường hợp
cụ thể đã được xet đến. Kết luận của phép suy luận không hoàn toàn chỉ có tính
chất ước đoán, tức là nó có thể đúng, có thể sai và nó có tác dụng gợi lên giả
thuyết.
Sơ đồ:
A
1 ,
A
2 ,
A
3 ,
A
4 ,
A
5
... A
n
là B
A

1 ,
A
2 ,
A
3 ,
A
4 ,
A
5
... A
n
là 1 số phần tử của A
Kết luận: Mọi phần tử của A là B
b) Phép tương tự:
Là phép suy luận đi từ một số thuộc tính giống nhau của hai đối tượng để
rút ra kết luận về những thuộc tính giống nhau khác của hai đối tương đó. Kết
luận của phép tương tự có tính chất ước đoán, tức là nó có thể đúng, có thể sai và
nó có tác dụng gợi lên giả thuyết.
Sơ đồ : A có thuộc tính a, b, c, d
B có thuộc tính a, b, c
Kết luận : B có thuộc tính d .
c) Phép khái quát hóa:
Là phép suy luận đi từ một đối tượng sang một nhóm đối tượng nào đó có
chứa đối tượng này. Kết luận của phép khái quát hóa có tính chất ước đoán, tức là
nó có thể đúng, có thể sai và nó có tác dụng gợi lên giả thuyết.
c) Phép đặc biệt hóa:
Là phép suy luận đi từ tập hợp đối tượng sang tập hợp đối tượng nhỏ hơn
chứa trong tập hợp ban đầu. Kết luận của phép đặc biệt hóa nói chung là đúng,
trừ các trường hợp đặc biệt giới hạn hay suy biến thì kết luận của nó có thể đúng,
có thể sai và nó có tác dụng gợi lên giả thuyết.

Trong toán học phép đặc biệt hóa có thể xảy ra các trường hợp đặc biệt giới
hạn hay suy biến: Điểm có thể coi là đường tròn có bán kính là 0; Tam giác có
thể coi là tứ giác khi một cạnh có độ dài bằng 0;Tiếp tuyến có thể coi là giới hạn
của cát tuyến của đường cong khi một giao điểm cố định còn giao điểm kia
chuyển động đền nó.
II) Hai phương pháp chứng minh toán học
1) Phương pháp chứng minh tổng hợp:
Nội dung: Phương pháp chứng minh tổng hợp là phương pháp chứng minh
đi từ điều đã cho trước hoặc điều đã biết nào đó đến điều cần tìm, điều cần chứng
minh.
Cơ sở: Quy tắc lôgíc kết luận
Sơ đồ: A
⇒
B
⇒
C
⇒
...
⇒
Y
⇒
X
Trong đó A là mệnh đề đã biết hoặc đã cho trước; B là hệ quả lôgíc của A;
C là hệ quả lôgíc của B; ..... ; X là hệ quả lôgíc của Y.
Vai trò và ý nghĩa:
+ Phương pháp chứng minh tổng hợp dễ gây ra khó khăn là đột ngột,
không tự nhiên vì mệnh đề chọn làm mệnh đề xuất phát nếu là mệnh đề đúng nào
đó thì nó phụ thuộc vào năng lực của từng học sinh.
+ Phương pháp chứng minh tổng hợp ngắn gọn vì thường từ mệnh đề
tiền đề ta dễ suy luận trực tiếp ra một hệ quả logic của nó.

+ Phương pháp chứng minh tổng hợp được sử dụng rộng rãi trong trình
bày chứng minh toán học, trong việc dạy và học toán ở trường phổ thông.

2) Phương pháp chứng minh phân tích đi lên:
Nội dung: Phương pháp chứng minh phân tich đi lên là phương pháp chứng
minh suy diễn đi ngược lên đi từ điều cần tìm, điều cần chứng minh đến điều đã
cho trước hoặc đã biết nào đó.
Cơ sở: Quy tắc lôgíc kết luận.
Sơ đồ: X
⇐
Y
⇐
...
⇐
B
⇐
A
Trong đó: X là mệnh đề cần chứng minh; Y là tiền đề lôgíc của X ; ..... ;
A là tiền đề lôgíc của B; A là mệnh đề đã biết hoặc đã cho trước;
Vai trò và ý nghĩa:
+ Phương pháp chứng minh phân tích đi lên tự nhiên, thuận tiện vì
mệnh đề chọn làm mệnh đề xuất phát là mệnh đề cần tìm, mệnh đề cần chứng
minh, hay mệnh đề kết luận.
+ Phương pháp chứng minh phân tích đi lên thường rát dài dòng vì
thường từ mệnh đề chọn là mệnh đề kết luận ta có thể tìm ra nhiều mệnh đề khác
nhau làm tiền đề logic của nó.
+ Phương pháp chứng minh phân tích đi lên được sử dụng rộng rãi
trong phân tích tìm ra đường lối chứng minh toán học, trong việc dạy và học toán
ở trường phổ thông.
Ví dụ: Bài toán

“ Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không chứa nước sau 12 giờ thì đầy
bể. Biết rằng lượng nước mỗi giờ chảy vào bể của vòi 1 gấp 1, 5 lần lượng nước
của vòi 2 chảy vào bể. Hỏi sau mỗi vòi chảy một mình trong bao lâu sẽ đầy bể?”

3) Phương pháp chứng minh phân tích đi xuống :
Nội dung: Phương pháp chứng minh phân tich đi xuống là phương pháp
chứng minh suy diễn đi từ điều cần tìm đến điều đã biết nào đó.
Cơ sở: Quy tắc lôgíc kết luận.
Sơ đồ: X
⇒
Y ...
⇒
B
⇒
A
Trong đó: X là mệnh đề cần tìm, mệnh đề cần chứng minh; Y là hệ quả
lôgíc của X ; ..... ; A là hệ quả lôgíc của B và A là mệnh đề đã biết nào đó.
Nếu A sai thì X sai. Nếu A đúng thì X có thể đúng có thể sai. Lúc này chúng ta
phải dùng phương pháp tổng hợp đi từ A tới X.

Phần II: ỨNG DỤNG TRONG DẠY HỌC
Ví dụ 1: Dự đoán kết quả bài toán sau và cho lời giải của nó:
'' Cho đường tròn tâm O cố định. Điểm A cố định trên đường tròn. Dây BC
có độ dài là a không đổi chạy trên đường tròn. Gọi M là trung điểm của dây BC
và H là trực tâm của ∆ABC . Chứng minh rằng HM luôn đi qua 1 điểm cố định.
Hd:
Dự đoán: Xét vị trí đặc biệt khi dây BC
vuông góc với AO. Khi đó ∆ABC là tam giác cân
tại A và dễ thấy cả trực tâm H và trung điểm M
của BC đều thuộc đường AO. Vậy điểm cố định

phải thuộc AO. Ta gọi I là giao của AO và đường
tròn tâm O. Ta dự đoán rằng I là điểm cố định
cần tìm.
Chứng minh: Gọi K là trung điểm của AH.
Ta dễ dàng chứng minh được rằng OMHK là
hình bình hành.
Suy ra OK // MH. Mặt khác dễ thấy OK // HI ( vì OK là đường trung bình của
∆HAI ). Do đó suy ra H, M, I thẳng hàng.
Ví dụ 2: Dự đoán kết quả bài toán sau và cho lời giải của nó:
'' Cho ∆ABC vuông cân tại A. Điểm M chạy trên BC.Từ M kẻ ME, MF lần
lượt song song với AB, AC. Chứng minh rằng đường thẳng d qua M vuông góc
với EF luôn đi qua một điểm cố định ''.
Hd:
- Dự đoán :
Khi M ≡ B : EF trùng với AB. Suy ra d trùng
với đường thẳng vuông góc với AB tại B.
Khi M ≡ C : EF trùng với AC. Suy ra d trùng
với đường thẳng vuông góc với AB tại B.
Vậy ta có thể dự đoán rằng: Điểm cố định
phải tìm là giao điểm D của hai đường thẳng này.
Dễ thấy giao điểm D là điểm đối xứng với A qua
BC, từ đó ta thấy ngay tứ giác ACDB là hình vuông.
- Chứng minh: Ta chứng minh rằng đường thẳng d đi qua điểm D.
Kéo dài EM cắt CD tại E', kéo dài FM cắt BD tại F'. Dễ thấy tứ giác MFCE' và
MEBF' là 2 hình vuông và tứ giác ME'DF' là hình chữ nhật.
Mà theo kết quả của 1 bài toán đã biết: Với 2 hình vuông MFCE' và MBEF'
dựng trên 2 cạnh của ∆MEF, khi d vuông góc với EF thì d sẽ đi qua trung điểm
của E'F'.
Mặt khác ta đã biết ME'DF' lại là hình chữ nhật, do đó MD đi qua trung điểm
của E'F'.

Vậy suy ra đường thẳng d qua M và trung điểm của E'F' phải trùng với MD.
Tức là đường thẳng d đi qua điểm cố định D.
K
A
B
C
H
M
O
I
A
B
D
C
F
M
E'E
F'
d
Ví dụ 3: Dự đoán kết quả bài toán và cho lời giải của nó:
" Cho ∆ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Điểm M chạy trên cung nhỏ
BC. Lấy M
1
, M
2
đối xứng của M qua AB, AC. Chứng minh rằng M
1
M
2
luôn đi qua

1 điểm cố định."
Hd:
Khi M ≡ B: M
1
M
2
trùng với
đường cao hạ từ B xuống AC.
Khi M ≡ C: M
1
M
2
trùng với
đường cao hạ từ C xuống AB.
Vậy dự đoán điểm cố định
phải tìm là trực tâm H của ∆ABC.
Chứng minh:
Ta đã biết 1 tính chất hình học là lấy đối xứng trực tâm H qua 3 cạnh của
tam giác được 3 điểm H
1
,

H
2
,

H
3
đều thuộc đường tròn ngoại tiếp ∆ABC.
Mà ta lại có A, H

2
, C, M cùng thuộc 1 đường tròn nên suy ra A, H, C, M
2
cũng
thuộc 1 đường tròn. Suy ra
CHM
2
∧
=
CAM
2
∧
.
Mặt khác ta có
CAM
2
∧
=
CAM
∧
, suy ra
CAM
∧
=
CHM
2
∧
.Tương tự như vậy ta có
BAM
∧

=
BHM
1
∧
.
Do đó suy ra:
BHM
1
∧
+
CHM
2
∧
=
BAM
∧
+
CAM
∧
=
BAC
∧
.
Dễ thấy
BAC
∧
+
BHC
∧
= 180

0
nên suy ra
BHM
1
∧
+
CHM
2
∧
+
BHC
∧
= 180
0
. Vậy
3 điểm M
1
, M
2
, H thẳng hàng.

Ví dụ 4: Dự đoán kết quả và cho lời giải bài toán sau:
'' Cho góc nhọn
x yO
∧
cố định, 2 điểm A, B lần lượt chạy trên Ox, Oy sao cho
luôn có OA - OB = k - không đổi. Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn
AB luôn đi qua 1 điểm cố định ''
Hd:
- Dự đoán :

A
B
C
H
2
H
3
H
M
B
1
C
1
M
1
M
2
A
B
O
x
y
y'
K
I
E
F