Bài 2. Luyện tập

Chương 2:
TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT
Bài 2:
HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP
TRƯỜNG THPT ABC
TỔ TOÁN – TIN
NĂM HỌC 2012 - 2013
BÀI 2: HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP
Luyện tập:
1. Cho số nguyên dương n và số nguyên k với . CMR :
0 k n
≤ ≤
2. Cho số nguyên n và k với . CMR :
1 k n
≤ ≤
1
1
k k k
n n n
C C C
−
+
= +
Chứng minh:
1. Ta có :
( )
!
! !
k
n
n

C
k n k
=
−
( ) ( ) ( )
! !
! ( ) ! ! !
n k
n
n n
C
n k n n k k n k
−
= =
− − − −
Vậy :
k n k
n n
C C
−
=
2. Ta có :
( )
( )
1
1 !
! 1 !
k
n
n

C
k n k
+
+
=
− +
( ) ( ) ( )
( )
( )
1
! 1 !
! !
! ! 1 ! 1 ! ! 1 !
k k
n n
n n k n k
n n
C C
k n k k n k k n k
−
− + +
+ = + =
− − − + − +
( )
( )
( )
( )
( )
( )
! 1 ! 1 1 !

! 1 ! ! 1 ! ! 1 !
n n k k n n n
k n k k n k k n k
− + + + +
= = =
− + − + − +
( ) ( ) ( )
! 1 1 !n k n k n k− − + = − +
( )
1 ! !k k k
− =
kn
n
k
n
CC
−
=
BÀI 2: HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP
Bài 5 (sgk):
Có bao nhiêu khả năng có thể xảy ra đối với thứ tự giữa các đội trong một giải
bóng đá có 5 đội bóng ? ( giả sử rằng không có hai đội nào có điểm trùng nhau).
Hướng dẫn: Theo giả thiết bài toán thì không có hai đội nào có điểm trùng nhau
Nên khả năng hai đội cùng hạng là không thể xảy ra và khả năng xếp hạng từ
thứ nhất đến thứ năm của các đội là như nhau.
Bài giải : Vì không có hai đội nào bằng điểm nhau, nên kết quả xếp thứ tự từ
1 đến 5 giữa 5 đội trong một giải bóng đá là số hoán vị của 5 phần tử.
Vậy khả năng xảy ra là: P
5
= 5! = 120 (kết quả)

Bài 6 (sgk): Giả sử có 8 vận động viên tham gia chạy thi. Nếu không kể
trường hợp có 2 vận động viên về đích cùng một lúc thì có bao nhiêu kết
quả có thể xảy ra đối với các vị trí thứ nhất, thứ nhì và thứ ba ?
Hướng dẫn :
Theo đề bài thì không có trường hợp 2 vận động viên về đích
cùng một lúc, nên khả năng hai vận động viên có cùng một ví trí
xếp hạng là không thể xảy ra.
Trong 8 vận động viên, ta cần chọn ra 3 người để xếp vào 3 vị
trí nhất, nhì, ba… Vậy nên dùng chỉnh hợp hay tổ hợp ?
BÀI 2: HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP
Giải:
Việc chọn và sắp xếp 3 vận động viên trong 8 vận động viên tham
gia chạy thi là số chỉnh hợp chập 3 của 8 phần tử.
Vậy số kết quả có thể xảy ra :
3
8
336A =
Chỉnh hợp
Bài 7 (sgk): Trong mặt phẳng cho tập hợp P gồm n điểm. Hỏi
a) Có bao nhiêu đoạn thẳng mà 2 đầu mút thuộc tập P ?
b) Có bao nhiêu vectơ khác vectơ – không mà điểm đầu và điểm cuối
thuộc tập P ?
Hướng dẫn:
BÀI 2: HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP
Đoạn thẳng :
AB BA
=
Vectơ :
AB BA≠
uuur uuur

Giải:
a) Việc chọn 2 điểm trong n điểm của tập hợp P để tạo thành một
đoạn thẳng là số tổ hợp chập 2 của n phần tử.
Vậy có :
( )
( )
2
1
!
2! 2 ! 2
n
n n
n
C
n
−
= =
−
(đoạn thẳng)
b) Việc chọn 2 điểm trong n điểm của tập hợp P để tạo thành một
vec tơ khác vectơ - không là số chỉnh hợp chập 2 của n phần tử.
Vậy có :
( )
( )
2
!
1
2 !
n
n

A n n
n
= = −
−
(vectơ)
Bài 8 (sgk): Trong một Ban chấp hành đoàn gồm 7 người, cần chọn
3 người vào ban thường vụ.
a) Nếu không có sự phân biệt về chức vụ của 3 người trong ban thường
vụ thì có bao nhiêu cách chọn ?
b) Nếu chọn 3 người vào ban thường vụ với các chức vụ: Bí thư, Phó bí
thư và Ủy viên thường vụ thì có bao nhiêu cách chọn ?
Hướng dẫn:
BÀI 2: HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP
Giải:
a) Việc chọn 3 người trong 7 người để bầu ban thường vụ
là số tổ hợp chập 3 của 7 phần tử.
Vậy có :
3
7
35C
=
(cách chọn)
b) Việc chọn 3 người trong 7 người để bầu vào ban thường vụ với
các chức vụ: BT, PBT, UVTV là số chỉnh hợp chập 3 của 7 phần tử.
Vậy có :
3
7
210A
=
(cách chọn)

a) Không ràng buộc về chức vụ
b) Có sự ràng buộc về chức vụ
BÀI 2: HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP
Bài 11 (sgk): Xét mạng đường nối các tỉnh A,B,C,D,E,F. Trong đó số
Viết trên một cạnh cho biết số con đường nối 2 tỉnhnăm ở 2 đầu mút
của cạnh.Hỏi có bao nhiêu cách đi từ tỉnh A đến tỉnh G ?
.
C
A
B
D
2
3
3
4
F
E
G
2
5
2
2
.
.
.
.
.
.
Phương án 1:
A B D E G

Phương án 2:
A B D F G
Phương án 3:
A C D E G
Phương án 4:
A C D F G
Giải:
2 3 2
5
2
3 2
2
3
4 2
5
3
4
2
2
Lộ trình 1(A B D E G) có : 2.3.2.5 = 60 cách đi
→
→ → →
Lộ trình 2(A B D F G) có : 2.3.2.2 = 24 cách đi
→
→ → →
Lộ trình 3(A C D E G) có : 3.4.2.5 = 120 cách đi
→
→ → →
Lộ trình 4(A C D F G) có : 3.4.2.2 = 48 cách đi
→

→ → →
Vậy có:
252 cách
đi từ A đến G
BÀI 2: HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP
Cho tập hợp A = { 1; 3; 4; 7; 8 } . Có bao nhiêu cách lập ra một số có 3 chữ số
khác nhau từ tập A, sao cho:
a) Số tạo thành là số chẵn.
b) Số tạo thành là một số không có chữ số 4.
c) Số tạo thành là một số nhỏ hơn 378.
Giải:
Gọi:
1 2 3
n a a a=
là số cần tìm .
a) n là số chẵn
Chọn a
3
: có 2 cách, chọn vào 2 vị trí còn lại với 4 chữ số còn lại là số chỉnh hợp
chập 2 của 4 phần tử.
Vậy có : số
2
4
2. 24A =
b) n là số không có chữ số 4
là số chỉnh hợp chập 3 của 4 phần tử.
Vậy có : số
3
4
24A

=
BÀI 2: HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP
Cho tập hợp A = { 1; 3; 4; 7; 8 } . Có bao nhiêu cách lập ra một số có 3 chữ số
khác nhau từ tập A, sao cho:
a) Số tạo thành là số chẵn.
b) Số tạo thành là một số không có chữ số 4.
c) Số tạo thành là một số nhỏ hơn 378.
Giải:
Gọi:
1 2 3
n a a a=
là số cần tìm .
c) n nhỏ hơn 378
Ta có :
{ }
1
1;3a ∈
Ta xét 2 trường hợp:
Trường hợp 1 Trường hợp 2
a
1
= 1 : có 1 cách chọn
Chọn vào 2 vị trí còn lại với 4 chữ
số còn lại là số chỉnh hợp chập 2
của 4 phần tử
⇒
Có : số
2
4
1. 12A =

a
1
= 3 : có 1 cách chọn
Nếu a
2
= 7 : có 1 cách chọn
Chọn a
3
: có 2 cách chọn
8≠
⇒
Có : 1.2.3 = 6 số
Nếu a
2
là 1 hoặc 4 có 2 cách chọn
Chọn a
3
: có 3 cách chọn
Vậy có tất cả: 12 + 2 + 6 = 20 số
⇒
Có : 1.1.2 = 2 số