Bài tập về giới hạn hay nhất

Bài toán. Cho dãy số x
n
:
1
2x =
;
1
2
n n
x x
+
= +
,
*
x N∀ ∈
. Tìm lim x
n
?
Cách 1: Sử dụng tính đơn điệu và bị chặn:
Ta có x
1
< 2 → hiển nhiên
Giả sử x
k
< 2 → ta chứng minh x
k+1
< 2 ⇔
2 2 2
k k
x x+ < ↔ <
(đúng)

Vậy
*
2
n
x n N< ∀ ∈
Ta có x
1
< x
2
(đúng)
Giả sử x
k-1
< x
k
ta chứng minh x
k
< x
k+1
1 1
2 2
k k k k
x x x x
− −
+ < + ↔ < →
Đpcm
Vậy dãy {x
n
} đơn điệu tăng và bị chặn trên nên có giới hạn L. Ta có phương
trình tìm L:
2

2 2 0L L L L= + ⇔ − − =
2
1
L
L
=

⇔

= −

Do {x
n
} dương nên giới hạn L = 2
Cách 2: Tìm số hạng tổng quát của dãy sau đó sử dụng giới hạn cơ bản
+ Ta có
1
2
2 2
2
x cos
π
= =
(đúng)
+ Bằng quy nạp ta dễ dàng chứng minh được
*
n
n 1
x 2.cos , n N
2

+
π
= ∀ ∈
+ lim
1
lim 2. 2
2
+
 
= =
 ÷
 
n
n
x cos
π
Cách 3: Sử dụng nguyên lý kẹp
+ Ta chứng minh x
n
< 2 (như trên)
+ Ta chứng minh:
*
1
1
2
2
−
− < ∀ ∈
n
n

x n N
bằng quy nạp
với
1
1 2 2
1
= → − <n
(đúng)
Giả sử bất đẳng thức đúng đến k ta có:
1
1
2
2
−
− <
k
k
x
ta cần chứng minh
1
1 1
2 2 2
2 2
+
− < ⇔ − < +
k k
k k
x x
Vì
1 2 2 1

1 1 1 1 1
2 2 2 4 4
2 2 2 2 2
− − −
− < + − ⇔ − + < −
k k k k k
k 2 2k k 1 k k
1 1 1 1 1
4 2 2
2 2 2 2 2
− −
−
⇔ + < − ⇔ − + < − ⇔ >
(đúng ∀k ≥ 2)
Mà
k
k 1
1
2 2 2 x
2
−
+ − < +
→ Điều phải chứng minh
Vậy
n
k 1
1
2 x 2
2
−

− < <
Mà
n
n 1
1
lim2 lim 2 2 limx 2
2
−
 
= − = ⇒ =
 ÷
 
Cách 4: Sử dụng định nghĩa
+ ∀ξ > 0 bé tùy ý tồn tại N
(
ξ
)
sao cho ∀
n
> N
(
ξ
)
thì
n
x 2− < ξ
(*)
+ Ta chứng minh x
n
< 2 (theo chứng minh trên)

+ (*) ⇔ 2 – x
n
< ξ
+ Chứng minh
n
n 1
1
x 2
2
−
> −
(theo chứng minh trên)
Do đó:
n
n 1 n 1
1 1
2 x 2 2
2 2
− −
 
− < − − =
 ÷
 
Chọn
n 1
2
n 1
1 1 1
2 n 1 log
2

−
−
< ξ ↔ > ⇔ − >
ξ ξ
Chọn:
2
1
N 1 log 1
 
= + +
 
ξ
 
Ta có:
n
2 x− < ξ
, ∀n > N → Điều phải chứng minh
Nhận xét 1: Từ các cách giải trên có thể phân tích để tìm chìa khóa của bài
toán đó là: giới hạn của dãy số trên nếu có được tìm từ phương trình:

L 2 L
L 2
L 0

= +
⇔ =

>

Nhận xét 2: Từ cách giải (1) ta có thể mở rộng bài toán như sau:

Bài toán 1.1: Cho x
1
= a > 0;
n n 1
x a x n 2;n N
−
= + ∀ ≥ ∈
tìm lim x
n
(giải
tương tự cách 1)
Bài toán 1.2:
Cho {x
n
} xác định với
1
n 1 n
x a
x a bx
+

=


= +


với n ∈ N
*
; a > 0; b > 0

Tìm lim x
n
. (giải tương tự cách 1)
Bài toán 1.3: Chứng minh dãy {x
n
}
n 1 2 n
x a a a= + + +
với a
i
> 1
i 1;n∀ =
có giới hạn nếu:

ln(ln )
lim ln2
n
a
n
<
Nhận xét 3: Từ cách giải (2) ta có thể giải bài toán sau:
Bài toán 1.4: Cho
n
x 2 2 2= + + +
(n dấu căn)
a) Tìm
1 2 n
n
x .x x
lim

2
 
 ÷
 
b) Đặt
n
n
y 2 2 2 2 2= − + + +
. Tìm lim y
n
?
Giải:
a) Từ kết quả
1
2. os
2
n
n
x c
π
+
=
Ta có
n
2 3 n 1
1 2 n
n n
2 .cos .cos cos
x .x x
2 2 2

lim lim
2 2
+
π π π
 
=
 ÷
 
=
n
2 3 n 1 n 1
n
n 1
2 .cos .cos cos .sin
2 2 2 2
lim
2 .sin
2
+ +
+
π π π π
π

n
n 1 n 1
n 1
sin
1 2 2
2
lim .

2 .sin sin
2 2
lim
2
+ +
+
π
= = =
π π
π π
π
b)
n n n 1
n n 1
y 2 2 2cos 2 .sin
2 2
+
+
π π
= − =
n 1
n
n 1
sin
2
limy lim .
2
+
+
π

⇒ = π = π
π
Nhận xét 4: Vấn đề đặt ra là làm thế nào để xây dựng các dãy có giới hạn
bằng α và có bao nhiêu dãy có cùng giới hạn bằng α. Sau đây là một số cách
xây dựng các dãy có giới hạn cho trước.
Hướng 1: Từ phương trình tìm giới hạn ta có nghiệm L = 2 ta xây dựng các
dãy có giới hạn bằng 2 như sau:
+ Xuất phát từ L – 2 = 0 → (L – 2) (L + 1) = 0 ⇒ L
2
– L – 2 = 0
L L 2
L L 2

= +
⇒

= − +


Chọn
L 2 L= +
đặt
1 n n 1
x 2;x 2 x , n N,n 2
−
= = + ∀ ∈ ≥
(Không xét)
Tìm lim x
n
(ta có ví dụ trên)

+ Hoặc (L – 2) (L + a) = 0 (với a > 0)
2
L (a 2)L 2a 0↔ + − − =
L 2a (a 2)L
L 2a (a 2)L(không xét)

= − −
⇔

= − − −


Ta chọn
L 2a (2 a)L= + −
Đặt x
1
= 2a

n n 1
x 2a (2 a)x
−
= + −
với
n 2
n N
≥


∈


Tìm lim x
n
(ta có bài toán 1-2)
Hướng 2: ta có

2
4 4 1 4
2 4 2
2
 
α = → α = ⇒ α = ⇒ α = α + ⇐ α = α +
 ÷
α α α
 
Từ đó xét dãy số:
1
x = α
n n 1
n 1
1 4
x x n 2,n N
2 x
−
−
 
= + ∀ ≥ ∈
 ÷
 
Với cách tương tự ta xây dựng được dãy hội tụ tiến về căn bậc k của n như
sau:

Dãy {x
n
}:
0
n n 1
k 1
n 1
x
1 m
x x n 2,n N
2 x
−
−
−
= α


 

= + ∀ ≥ ∈
 ÷

 

Một cách tương tự khi cần cho dãy có giới hạn bằng
2
ta xây dựng dãy số
0
2
n 1

n n 1
x 2
n 2
x
x 1 x
n N
2
−
−

=

∀ ≥


= + −


∈


(Điều phải chú ý là giá trị x
0
và giá trị α trong các kiến thiết trên không phải
lấy tùy ý)
Hướng 3: ta có thể dùng phương pháp xấp xỉ nghiệm Newton để xây dựng
các dãy số.
Để tìm nghiệm của phương trình F(x) = 0 thì chọn giá trị x
0
tương đối gần với

nghiệm đó và xây dựng dãy truy hồi.
n
n 1 n
'
n
F(x )
x x
F (x )
+
= −
Khi đó {x
n
} sẽ dần đến nghiệm của phương trình F(x) = 0
Chẳng hạn xét
2
F(x) x 4= −
thì
2
'
F(x) x 4
F (x) 2x
−
=
ta được:
2
n n
n 1 n n 1
n n
x 4 x 4
x x x

2x 2 2x
+ +
−
= − ⇔ = +
n 1 n
n
1 4
x x
2 x
+
 
⇔ = +
 
 
(trùng với kết quả ở hướng 2)
Hướng 4: Xây dựng dãy truy hồi từ cặp nghiệm của phương trình bậc 2 giả sử
ta có phương trình: x
2
+ bx – 1 = 0 gọi x
1
, x
2
là nghiệm của phương trình, với
a ∈R, a ≠ 0 xét
n n n 1 n 1
2 2 2 2 2 2
n 1 2 n 1 2
x a(x x ) x a x x 2
+ +
 

= + ⇒ = + +
 
2 2 2 2
n 1
n n 1 n
x
x a 2 a.X 2a x
a
+
+
 
↔ = + ⇔ + =
 
 
2
n
n 1
x
x 2a
a
+
⇔ = −
(*)
Như vậy {x
n
} thỏa mãn công thức truy hồi (*)
Chọn
1
a ;b 4
2

= = −
Thì {x
n
} xác định như sau:
0
2
n 1 n
x 2
x 2x 1
+
=


= −

tìm số hạng tổng quát của dãy
Tương tự nếu xét
( )
n n
3 3
n 1 2
x a x x= +
thì ta có
3
n
n 1 n
2
x
x 3x
a

+
= +
Thực chất là ta xây dựng dãy truy hồi tuyến tính bậc n đối với 2 nghiệm của
phương trình bậc 2.
Nguồn: Bồi dưỡng Giáo Viên SGD Nghệ An năm 2010