BÀI GIẢNG-HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
TS. Lê Xuân Đại
Trường Đại họ c Bách Khoa T P HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng
TP. HCM — 2011.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 1 / 29
Khái niệm tổng quát Định nghĩa 1
Định nghĩa 1
Định nghĩa
Hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình và n ẩn là hệ có dạng:











a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ . . . + a
1j

x
j
+ . . . + a
1n
x
n
= b
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
i1
x
1
+ a
i2
x
2
+ . . . + a
ij
x
j
+ . . . + a
in
x
n
= b
i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
m1

x
1
+ a
m2
x
2
+ . . . + a
mj
x
j
+ . . . + a
mn
x
n
= b
m
(1)
với a
ij
∈ K , b
i
∈ K , i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n; x
1
, x
2
, . . . , x
n
là các
biến.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 2 / 29

Khái niệm tổng quát Định nghĩa 1
Định nghĩa 1
Định nghĩa
Hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình và n ẩn là hệ có dạng:











a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ . . . + a
1j
x
j
+ . . . + a
1n
x

n
= b
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
i1
x
1
+ a
i2
x
2
+ . . . + a
ij
x
j
+ . . . + a
in
x
n
= b
i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
m1
x
1
+ a
m2
x

2
+ . . . + a
mj
x
j
+ . . . + a
mn
x
n
= b
m
(1)
với a
ij
∈ K , b
i
∈ K , i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n; x
1
, x
2
, . . . , x
n
là các
biến.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 2 / 29
Khái niệm tổng quát Định nghĩa 1
Định nghĩa
Ma trận A = (a
ij
) ∈ M

m×n
(K ) được gọi là ma trận của hệ (1). Ma trận
A
B
=






a
11
a
12
. . . a
1j
. . . a
1n
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
i1
a
i2
. . . a
ij
. . . a
in
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a

m1
a
m2
. . . a
mj
. . . a
mn










b
1
. . .
b
i
. . .
b
m







m×(n+1)
được gọi là ma trận mở rộng của hệ (1).
Nếu đặt X =





x
1
x
2
.
.
.
x
n





và B =





b

1
b
2
.
.
.
b
m





thì hệ (1) được viết dưới dạng
ma trận A
m×n
X
n×1
= B
m×1
. Hệ (1) được gọi là hệ thuần nhất nếu B = 0
và được gọi là hệ không thuần nhất nếu B = 0. Hệ thuần nhất luôn có
nghiệm

0 0 . . . 0

T
và gọi là nghiệm tầm thường.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 3 / 29
Khái niệm tổng quát Định nghĩa 1

Định nghĩa
Ma trận A = (a
ij
) ∈ M
m×n
(K ) được gọi là ma trận của hệ (1). Ma trận
A
B
=






a
11
a
12
. . . a
1j
. . . a
1n
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
i1
a
i2
. . . a
ij

. . . a
in
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
m1
a
m2
. . . a
mj
. . . a
mn










b
1
. . .
b
i
. . .
b
m







m×(n+1)
được gọi là ma trận mở rộng của hệ (1).
Nếu đặt X =





x
1
x
2
.
.
.
x
n





và B =






b
1
b
2
.
.
.
b
m





thì hệ (1) được viết dưới dạng
ma trận A
m×n
X
n×1
= B
m×1
. Hệ (1) được gọi là hệ thuần nhất nếu B = 0
và được gọi là hệ không thuần nhất nếu B = 0. Hệ thuần nhất luôn có
nghiệm

0 0 . . . 0


T
và gọi là nghiệm tầm thường.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 3 / 29
Khái niệm tổng quát Định nghĩa 1
Định nghĩa
Ma trận A = (a
ij
) ∈ M
m×n
(K ) được gọi là ma trận của hệ (1). Ma trận
A
B
=






a
11
a
12
. . . a
1j
. . . a
1n
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
i1

a
i2
. . . a
ij
. . . a
in
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
m1
a
m2
. . . a
mj
. . . a
mn










b
1
. . .
b
i

. . .
b
m






m×(n+1)
được gọi là ma trận mở rộng của hệ (1).
Nếu đặt X =





x
1
x
2
.
.
.
x
n






và B =





b
1
b
2
.
.
.
b
m





thì hệ (1) được viết dưới dạng
ma trận A
m×n
X
n×1
= B
m×1
.
Hệ (1) được gọi là hệ thuần nhất nếu B = 0

và được gọi là hệ không thuần nhất nếu B = 0. Hệ thuần nhất luôn có
nghiệm

0 0 . . . 0

T
và gọi là nghiệm tầm thường.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 3 / 29
Khái niệm tổng quát Định nghĩa 1
Định nghĩa
Ma trận A = (a
ij
) ∈ M
m×n
(K ) được gọi là ma trận của hệ (1). Ma trận
A
B
=






a
11
a
12
. . . a
1j

. . . a
1n
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
i1
a
i2
. . . a
ij
. . . a
in
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
m1
a
m2
. . . a
mj
. . . a
mn











b
1
. . .
b
i
. . .
b
m






m×(n+1)
được gọi là ma trận mở rộng của hệ (1).
Nếu đặt X =





x
1
x
2
.
.
.
x

n





và B =





b
1
b
2
.
.
.
b
m





thì hệ (1) được viết dưới dạng
ma trận A
m×n
X

n×1
= B
m×1
. Hệ (1) được gọi là hệ thuần nhất nếu B = 0
và được gọi là hệ không thuần nhất nếu B = 0. Hệ thuần nhất luôn có
nghiệm

0 0 . . . 0

T
và gọi là nghiệm tầm thường.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 3 / 29
Khái niệm tổng quát Định nghĩa 1
Định nghĩa
Ma trận A = (a
ij
) ∈ M
m×n
(K ) được gọi là ma trận của hệ (1). Ma trận
A
B
=






a
11

a
12
. . . a
1j
. . . a
1n
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
i1
a
i2
. . . a
ij
. . . a
in
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
m1
a
m2
. . . a
mj
. . . a
mn











b
1
. . .
b
i
. . .
b
m






m×(n+1)
được gọi là ma trận mở rộng của hệ (1).
Nếu đặt X =





x
1
x
2

.
.
.
x
n





và B =





b
1
b
2
.
.
.
b
m






thì hệ (1) được viết dưới dạng
ma trận A
m×n
X
n×1
= B
m×1
. Hệ (1) được gọi là hệ thuần nhất nếu B = 0
và được gọi là hệ không thuần nhất nếu B = 0.
Hệ thuần nhất luôn có
nghiệm

0 0 . . . 0

T
và gọi là nghiệm tầm thường.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 3 / 29
Khái niệm tổng quát Định nghĩa 1
Định nghĩa
Ma trận A = (a
ij
) ∈ M
m×n
(K ) được gọi là ma trận của hệ (1). Ma trận
A
B
=







a
11
a
12
. . . a
1j
. . . a
1n
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
i1
a
i2
. . . a
ij
. . . a
in
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
m1
a
m2
. . . a
mj
. . . a
mn











b
1
. . .
b
i
. . .
b
m






m×(n+1)
được gọi là ma trận mở rộng của hệ (1).
Nếu đặt X =






x
1
x
2
.
.
.
x
n





và B =





b
1
b
2
.
.
.
b
m






thì hệ (1) được viết dưới dạng
ma trận A
m×n
X
n×1
= B
m×1
. Hệ (1) được gọi là hệ thuần nhất nếu B = 0
và được gọi là hệ không thuần nhất nếu B = 0. Hệ thuần nhất luôn có
nghiệm

0 0 . . . 0

T
và gọi là nghiệm tầm thường.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 3 / 29
Khái niệm tổng quát Định nghĩa 2
Định nghĩa 2
Định nghĩa
Véc-tơ α =






α
1
α
2
.
.
.
α
n





, α
i
∈ K , i = 1, 2, . . . , n được gọi là 1 nghiệm của hệ
(1) nếu Aα = B.
Định nghĩa
Hệ (1) được gọi là hệ tương thích nếu nó có ít nhất 1 nghiệm và được gọi
là hệ không tương thích nếu nó không có nghiệm.
Định nghĩa
Hệ (1) tương thích và chỉ có 1 nghiệm được gọi là hệ xác định, còn nếu nó
có nhiều hơn 1 nghiệm gọi là hệ không xác định
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 4 / 29
Khái niệm tổng quát Định nghĩa 2
Định nghĩa 2
Định nghĩa
Véc-tơ α =






α
1
α
2
.
.
.
α
n





, α
i
∈ K , i = 1, 2, . . . , n được gọi là 1 nghiệm của hệ
(1) nếu Aα = B.
Định nghĩa
Hệ (1) được gọi là hệ tương thích nếu nó có ít nhất 1 nghiệm và được gọi
là hệ không tương thích nếu nó không có nghiệm.
Định nghĩa
Hệ (1) tương thích và chỉ có 1 nghiệm được gọi là hệ xác định, còn nếu nó
có nhiều hơn 1 nghiệm gọi là hệ không xác định
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 4 / 29
Khái niệm tổng quát Định nghĩa 2

Định nghĩa 2
Định nghĩa
Véc-tơ α =





α
1
α
2
.
.
.
α
n





, α
i
∈ K , i = 1, 2, . . . , n được gọi là 1 nghiệm của hệ
(1) nếu Aα = B.
Định nghĩa
Hệ (1) được gọi là hệ tương thích nếu nó có ít nhất 1 nghiệm và được gọi
là hệ không tương thích nếu nó không có nghiệm.
Định nghĩa

Hệ (1) tương thích và chỉ có 1 nghiệm được gọi là hệ xác định, còn nếu nó
có nhiều hơn 1 nghiệm gọi là hệ không xác định
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 4 / 29
Khái niệm tổng quát Định nghĩa 2
Định nghĩa 2
Định nghĩa
Véc-tơ α =





α
1
α
2
.
.
.
α
n





, α
i
∈ K , i = 1, 2, . . . , n được gọi là 1 nghiệm của hệ
(1) nếu Aα = B.

Định nghĩa
Hệ (1) được gọi là hệ tương thích nếu nó có ít nhất 1 nghiệm và được gọi
là hệ không tương thích nếu nó không có nghiệm.
Định nghĩa
Hệ (1) tương thích và chỉ có 1 nghiệm được gọi là hệ xác định, còn nếu nó
có nhiều hơn 1 nghiệm gọi là hệ không xác định
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 4 / 29
Hệ phương trình Cramer Định nghĩa
Định nghĩa
Hệ phương trình Cramer là hệ phương trình tuyến tính có số ẩn, số phương
trình bằng nhau và ma trận của hệ là không suy biến. Tức là hệ có dạng











a
11
x
1
+ a
12
x
2

+ . . . + a
1i
x
i
+ . . . + a
1n
x
n
= b
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
i1
x
1
+ a
i2
x
2
+ . . . + a
ii
x
i
+ . . . + a
in
x
n
= b
i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a
n1
x
1
+ a
n2
x
2
+ . . . + a
ni
x
i
+ . . . + a
nn
x
n
= b
n
(2)
trong đó A = (a
ij
) ∈ M
n
(K ) và detA = 0.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 5 / 29
Hệ phương trình Cramer Định nghĩa
Định nghĩa
Hệ phương trình Cramer là hệ phương trình tuyến tính có số ẩn, số phương
trình bằng nhau và ma trận của hệ là không suy biến. Tức là hệ có dạng












a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ . . . + a
1i
x
i
+ . . . + a
1n
x
n
= b
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a

i1
x
1
+ a
i2
x
2
+ . . . + a
ii
x
i
+ . . . + a
in
x
n
= b
i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n1
x
1
+ a
n2
x
2
+ . . . + a
ni
x
i

+ . . . + a
nn
x
n
= b
n
(2)
trong đó A = (a
ij
) ∈ M
n
(K ) và detA = 0.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 5 / 29
Hệ phương trình Cramer Định nghĩa
Định nghĩa
Hệ phương trình Cramer là hệ phương trình tuyến tính có số ẩn, số phương
trình bằng nhau và ma trận của hệ là không suy biến. Tức là hệ có dạng











a
11

x
1
+ a
12
x
2
+ . . . + a
1i
x
i
+ . . . + a
1n
x
n
= b
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
i1
x
1
+ a
i2
x
2
+ . . . + a
ii
x
i
+ . . . + a

in
x
n
= b
i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n1
x
1
+ a
n2
x
2
+ . . . + a
ni
x
i
+ . . . + a
nn
x
n
= b
n
(2)
trong đó A = (a
ij
) ∈ M
n
(K ) và detA = 0.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 5 / 29
Hệ phương trình Cramer Định lý Cramer
Định lý Cramer
Định lý
Hệ Cramer (2) có nghiệm duy nhất x
i
=
|A
i
|
|A|
, i = 1, 2, . . . , n trong đó định
thức |A
i
| nhận được từ |A| bằng cách thay cột thứ i bởi cột hệ số tự do
B =

b
1
b
2
. . . b
n

T
|A| =











a
11
a
12
. . . a
1i
. . . a
1n
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
i1
a
i2
. . . a
ii
. . . a
in
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n1
a
n2
. . . a
ni

. . . a
nn










⇒ |A
i
| =










a
11
a
12
. . . b

1
. . . a
1n
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
i1
a
i2
. . . b
i
. . . a
in
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n1
a
n2
. . . b
n
. . . a
nn











TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 6 / 29
Hệ phương trình Cramer Định lý Cramer
Định lý Cramer
Định lý
Hệ Cramer (2) có nghiệm duy nhất x
i
=
|A
i
|
|A|
, i = 1, 2, . . . , n trong đó định
thức |A
i
| nhận được từ |A| bằng cách thay cột thứ i bởi cột hệ số tự do
B =

b
1
b
2
. . . b
n

T
|A| =











a
11
a
12
. . . a
1i
. . . a
1n
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
i1
a
i2
. . . a
ii
. . . a
in
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n1
a
n2
. . . a

ni
. . . a
nn










⇒ |A
i
| =










a
11
a
12

. . . b
1
. . . a
1n
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
i1
a
i2
. . . b
i
. . . a
in
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n1
a
n2
. . . b
n
. . . a
nn











TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 6 / 29
Hệ phương trình Cramer Định lý Cramer
Định lý Cramer
Định lý
Hệ Cramer (2) có nghiệm duy nhất x
i
=
|A
i
|
|A|
, i = 1, 2, . . . , n trong đó định
thức |A
i
| nhận được từ |A| bằng cách thay cột thứ i bởi cột hệ số tự do
B =

b
1
b
2
. . . b
n

T
|A| =











a
11
a
12
. . . a
1i
. . . a
1n
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
i1
a
i2
. . . a
ii
. . . a
in
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n1
a
n2

. . . a
ni
. . . a
nn










⇒ |A
i
| =










a
11
a

12
. . . b
1
. . . a
1n
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
i1
a
i2
. . . b
i
. . . a
in
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n1
a
n2
. . . b
n
. . . a
nn











TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 6 / 29
Hệ phương trình Cramer Định lý Cramer
Định lý Cramer
Định lý
Hệ Cramer (2) có nghiệm duy nhất x
i
=
|A
i
|
|A|
, i = 1, 2, . . . , n trong đó định
thức |A
i
| nhận được từ |A| bằng cách thay cột thứ i bởi cột hệ số tự do
B =

b
1
b
2
. . . b
n

T
|A| =











a
11
a
12
. . . a
1i
. . . a
1n
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
i1
a
i2
. . . a
ii
. . . a
in
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n1
a

n2
. . . a
ni
. . . a
nn










⇒ |A
i
| =










a
11

a
12
. . . b
1
. . . a
1n
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
i1
a
i2
. . . b
i
. . . a
in
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n1
a
n2
. . . b
n
. . . a
nn











TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 6 / 29
Hệ phương trình Cramer Định lý Cramer
Chứng minh. Hệ (2) ⇔ AX = B ⇔ X = A
−1
B hay
X =
P
A
|A|
.B =
1
|A|






A
11
A
21
. . . A
i1
. . . A
n1

. . . . . . . . . . . . . . . . . .
A
1i
A
2i
. . . A
ii
. . . A
ni
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
A
1n
A
2n
. . . A
in
. . . A
nn











b

1
b
2
.
.
.
b
n





hay
x
i
=
1
|A|
n

k=1
A
ki
b
k
=
1
|A|











a
11
a
12
. . . b
1
. . . a
1n
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
i1
a
i2
. . . b
i
. . . a
in
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n1
a

n2
. . . b
n
. . . a
nn










=
|A
i
|
|A|
với i = 1, 2, . . . , n
Chú ý. Nếu B = 0, detA = 0 thì hệ (2) có nghiệm duy nhất X = 0. Nếu
B = 0, detA = 0 thì hệ (2) có vô số nghiệm.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 7 / 29
Hệ phương trình Cramer Định lý Cramer
Chứng minh. Hệ (2) ⇔ AX = B ⇔ X = A
−1
B hay
X =
P

A
|A|
.B =
1
|A|






A
11
A
21
. . . A
i1
. . . A
n1
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
A
1i
A
2i
. . . A
ii
. . . A
ni
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
A

1n
A
2n
. . . A
in
. . . A
nn











b
1
b
2
.
.
.
b
n






hay
x
i
=
1
|A|
n

k=1
A
ki
b
k
=
1
|A|










a
11

a
12
. . . b
1
. . . a
1n
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
i1
a
i2
. . . b
i
. . . a
in
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n1
a
n2
. . . b
n
. . . a
nn











=
|A
i
|
|A|
với i = 1, 2, . . . , n
Chú ý. Nếu B = 0, detA = 0 thì hệ (2) có nghiệm duy nhất X = 0. Nếu
B = 0, detA = 0 thì hệ (2) có vô số nghiệm.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 7 / 29
Hệ phương trình Cramer Định lý Cramer
Chứng minh. Hệ (2) ⇔ AX = B ⇔ X = A
−1
B hay
X =
P
A
|A|
.B =
1
|A|







A
11
A
21
. . . A
i1
. . . A
n1
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
A
1i
A
2i
. . . A
ii
. . . A
ni
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
A
1n
A
2n
. . . A
in
. . . A
nn












b
1
b
2
.
.
.
b
n





hay
x
i
=
1
|A|
n

k=1

A
ki
b
k
=
1
|A|










a
11
a
12
. . . b
1
. . . a
1n
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
i1
a
i2

. . . b
i
. . . a
in
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n1
a
n2
. . . b
n
. . . a
nn










=
|A
i
|
|A|
với i = 1, 2, . . . , n
Chú ý. Nếu B = 0, detA = 0 thì hệ (2) có nghiệm duy nhất X = 0. Nếu

B = 0, detA = 0 thì hệ (2) có vô số nghiệm.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 7 / 29
Hệ phương trình Cramer Định lý Cramer
Chứng minh. Hệ (2) ⇔ AX = B ⇔ X = A
−1
B hay
X =
P
A
|A|
.B =
1
|A|






A
11
A
21
. . . A
i1
. . . A
n1
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
A
1i

A
2i
. . . A
ii
. . . A
ni
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
A
1n
A
2n
. . . A
in
. . . A
nn











b
1
b
2

.
.
.
b
n





hay
x
i
=
1
|A|
n

k=1
A
ki
b
k
=
1
|A|











a
11
a
12
. . . b
1
. . . a
1n
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
i1
a
i2
. . . b
i
. . . a
in
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n1
a
n2
. . . b
n

. . . a
nn










=
|A
i
|
|A|
với i = 1, 2, . . . , n
Chú ý. Nếu B = 0, detA = 0 thì hệ (2) có nghiệm duy nhất X = 0. Nếu
B = 0, detA = 0 thì hệ (2) có vô số nghiệm.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 7 / 29
Hệ phương trình Cramer Định lý Cramer
Ví dụ
Giải hệ phương trình



2x − 2y − z = −1
y + z = 1
−x + y + z = −1

Giải. Ta có
|A| =






2 −2 −1
0 1 1
−1 1 1






= 1; |A
1
| =






−1 −2 −1
1 1 1
−1 1 1







= 2;
|A
2
| =






2 −1 −1
0 1 1
−1 −1 1






= 4; |A
3
| =







2 −2 −1
0 1 1
−1 1 −1






= −3;
Vậy x =
|A
1
|
|A|
= 2, y =
|A
2
|
|A|
= 4, z =
|A
3
|
|A|
= −3
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 8 / 29