Chương 4 hệ phương trình tuyến tính nguyễn thủy thanh bài tập toán cao câp tâp
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (419.83 KB, 46 trang )
Chương 4. Hệ phương trình tuyến tính
Nguyễn Thủy Thanh
Bài tập toán cao câp tâp 1. NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2006.
Tr 132-176.
Từ khoá: Hệ phương trình tuyến tính, Phương pháp matrân, Phương pháp Gauss,
Phương pháp Gramer, Phương trình tuyến tính, Phương trình tuyến tính thuần
nhất.
Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử dụng cho mục
đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn
phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và
tác giả.
Chu
.
o
.
ng 4
Hˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
nt´ınh
4.1 Hˆe
.
n phu
.
o
.
ng tr`ınh v´o
.
i n ˆa
’
nc´od
i
.
nh th´u
.
c
kh´ac0 ......................132
4.1.1 Phu
.
o
.
ng ph´ap ma trˆa
.
n............133
4.1.2 Phu
.
o
.
ng ph´ap Cramer . . . . . . . . . . . . 134
4.1.3 Phu
.
o
.
ng ph´ap Gauss . . . . . . . . . . . . . 134
4.2 Hˆe
.
t`uy ´y c´ac phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh . . . 143
4.3 Hˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
nt´ınh thuˆa
`
n nhˆa
´
t . . 165
4.1 Hˆe
.
n phu
.
o
.
ng tr`ınh v´o
.
i n ˆa
’
nc´od
i
.
nh
th´u
.
ckh´ac 0
Hˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh trˆen tru
.
`o
.
ng sˆo
´
P d
u
.
o
.
.
cgo
.
il`ahˆe
.
Cramer
1
nˆe
´
usˆo
´
phu
.
o
.
ng tr`ınh b˘a
`
ng sˆo
´
ˆa
’
nv`ad
i
.
nh th´u
.
ccu
’
a ma trˆa
.
nco
.
ba
’
n (ma
trˆa
.
nhˆe
.
sˆo
´
)cu
’
ahˆe
.
l`a kh´ac khˆong.
1
G. Cramer (1704-1752) l`a nh`a to´an ho
.
c Thu
.
yS˜ı.
4.1. Hˆe
.
n phu
.
o
.
ng tr`ınh v´o
.
i n ˆa
’
nc´od
i
.
nh th´u
.
c kh´ac 0 133
Hˆe
.
Cramer c´o da
.
ng
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ ···+ a
1n
x
n
= h
1
,
a
21
x
1
+ a
22
x
2
+ ···+ a
2n
x
n
= h
2
,
... ... ... ... ... ...
a
n1
x
1
+ a
n2
x
2
+ ···+ a
nn
x
n
= h
n
(4.1)
hay du
.
´o
.
ida
.
ng ma trˆa
.
n
AX = H (4.2)
trong d
´o
A =
a
11
a
12
... a
1n
a
21
a
22
... a
2n
···
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n1
a
n2
... a
nn
,X=
x
1
x
2
.
.
.
x
n
,H=
h
1
h
2
.
.
.
h
n
ho˘a
.
c
a
11
a
21
.
.
.
a
n1
x
1
+
a
12
a
22
.
.
.
a
n2
x
2
+ ···+
a
1n
a
2n
.
.
.
a
nn
x
n
=
h
1
h
2
.
.
.
h
n
.
4.1.1 Phu
.
o
.
ng ph´ap ma trˆa
.
n
V`ı detA =0nˆentˆo
`
nta
.
i ma trˆa
.
n nghi
.
ch da
’
o A
−1
. Khi d´ot`u
.
(4.2) ta
thu d
u
.
o
.
.
c
A
−1
AX = A
−1
H ⇒ EX = X = A
−1
H.
Vˆa
.
yhˆe
.
nghiˆe
.
m duy nhˆa
´
tl`a
X = A
−1
H. (4.3)
Tuy nhiˆen viˆe
.
c t`ım ma trˆa
.
n nghi
.
ch d
a
’
o n´oi chung l`a rˆa
´
tph´u
.
cta
.
pnˆe
´
u
cˆa
´
pcu
’
a ma trˆa
.
n A l´o
.
n.
134 Chu
.
o
.
ng 4. Hˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh
4.1.2 Phu
.
o
.
ng ph´ap Cramer
Nghiˆe
.
m duy nhˆa
´
tcu
’
ahˆe
.
Cramer du
.
o
.
.
c x´ac d
i
.
nh theo cˆong th´u
.
c
Cramer:
x
j
=
det(A
j
)
detA
,j=
1,n (4.4)
trong d
´o A
j
l`a ma trˆa
.
nthudu
.
o
.
.
ct`u
.
ma trˆa
.
n A b˘a
`
ng c´ach thay cˆo
.
t
th´u
.
j bo
.
’
icˆo
.
t c´ac hˆe
.
sˆo
´
tu
.
.
do H, v`a c´ac cˆo
.
t kh´ac gi˜u
.
nguyˆen.
4.1.3 Phu
.
o
.
ng ph´ap Gauss
Nˆo
.
i dung chu
’
yˆe
´
ucu
’
aphu
.
o
.
ng ph´ap Gauss (hay thuˆa
.
t to´an Gauss) l`a
khu
.
’
liˆen tiˆe
´
p c´ac ˆa
’
ncu
’
ahˆe
.
. Thuˆa
.
t to´an Gauss du
.
.
a trˆen c´ac ph´ep biˆe
´
n
d
ˆo
’
iso
.
cˆa
´
p hˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh. D
´o l`a c´ac ph´ep biˆe
´
ndˆo
’
i:
1
+
Nhˆan mˆo
.
tphu
.
o
.
ng tr`ınh n`ao d
´ocu
’
ahˆe
.
v´o
.
imˆo
.
tsˆo
´
kh´ac 0.
2
+
Thˆem v`ao mˆo
.
tphu
.
o
.
ng tr`ınh n`ao d
´ocu
’
ahˆe
.
mˆo
.
tphu
.
o
.
ng tr`ınh
kh´ac nhˆan v´o
.
imˆo
.
tsˆo
´
t`uy ´y.
3
+
Dˆo
’
ichˆo
˜
hai phu
.
o
.
ng tr`ınh cu
’
ahˆe
.
.
D
-
i
.
nh l´y. Mo
.
iph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
iso
.
cˆa
´
p thu
.
.
chiˆe
.
ntrˆen hˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh
(4.1) d
ˆe
`
udu
.
ad
ˆe
´
nmˆo
.
thˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh m´o
.
itu
.
o
.
ng d
u
.
o
.
ng.
Viˆe
.
c thu
.
.
chiˆe
.
n c´ac ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
iso
.
cˆa
´
ptrˆenhˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınnh
(4.1) thu
.
.
cchˆa
´
t l`a thu
.
.
chiˆe
.
n c´ac ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
iso
.
cˆa
´
p trˆen c´ac h`ang
cu
’
a ma trˆa
.
nmo
.
’
rˆo
.
ng cu
’
ahˆe
.
.
Do d
´o sau mˆo
.
tsˆo
´
bu
.
´o
.
cbiˆe
´
nd
ˆo
’
itathudu
.
o
.
.
chˆe
.
(4.1) tu
.
o
.
ng d
u
.
o
.
ng
v´o
.
ihˆe
.
tam gi´ac
b
11
x
1
+ b
12
x
2
+ ···+ b
1n
x
n
= h
1
b
22
x
2
+ ···+ b
2n
x
n
= h
2
... ... ...
b
nn
x
n
= h
n
T`u
.
d
´or´ut ra x
n
,x
n−1
,...,x
2
,x
1
.
4.1. Hˆe
.
n phu
.
o
.
ng tr`ınh v´o
.
i n ˆa
’
nc´od
i
.
nh th´u
.
c kh´ac 0 135
C
´
AC V
´
IDU
.
V´ı d u
.
1. Gia
’
ic´achˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh sau b˘a
`
ng phu
.
o
.
ng ph´ap ma trˆa
.
n
1)
x
1
+ x
2
+ x
3
=4,
x
1
+2x
2
+4x
3
=4,
x
1
+3x
2
+9x
3
=2.
(4.5)
2)
3x
1
+2x
2
− x
3
=1,
x
1
+ x
2
+2x
3
=2,
2x
1
+2x
2
+5x
3
=3.
(4.6)
Gia
’
i. 1) Ta k´yhiˆe
.
u
A =
111
124
139
,X=
x
1
x
2
x
3
,H=
4
4
2
.
Khi d
´ophu
.
o
.
ng tr`ınh (4.5) c´o da
.
ng
AX = H.
V`ı detA =2=0nˆenA c´o ma trˆa
.
n nghi
.
ch d
a
’
o v`a do vˆa
.
yhˆe
.
(4.5) c´o
nghiˆe
.
m duy nhˆa
´
t:
X = A
−1
H.
Dˆe
˜
d`ang thˆa
´
yr˘a
`
ng
A
−1
=
3 −31
−
5
2
4 −
3
2
1
2
−1
1
2
v`a do d
´o
x
1
x
2
x
3
=
3 −31
−
5
2
4 −
3
2
1
2
−1
1
2
4
4
2
.
136 Chu
.
o
.
ng 4. Hˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh
Thu
.
.
chiˆe
.
n ph´ep nhˆan ma trˆa
.
no
.
’
vˆe
´
pha
’
itathud
u
.
o
.
.
c
x
1
=3· 4 − 3 · 4+1· 2=2,
x
2
= −
5
2
· 4+4· 4 −
3
2
· 2=3,
x
3
=
1
2
· 4 − 1 · 4+
1
2
· 2=−1.
2) Viˆe
´
t ma trˆa
.
n A cu
’
ahˆe
.
v`a t`ım A
−1
:
A =
32−1
11 2
22 5
⇒ A
−1
=
1 −12 5
−117−7
0 −21
.
T`u
.
d
´o suy r˘a
`
ng
x
1
x
2
x
3
=
1 −12 5
−117−7
0 −21
1
2
3
=
−8
12
−1
t´u
.
cl`a
x
1
=8,x
2
=12,x
3
= −1.
V´ı du
.
2.
´
Ap du
.
ng quy t˘a
´
c Cramer, gia
’
ic´achˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh
1)
x
1
+2x
2
+3x
3
=6,
2x
1
− x
2
+ x
3
=2,
3x
1
− x
2
− 2x
3
=2.
(4.7)
2)
x
1
− 2x
2
+3x
3
− x
4
=6,
2x
1
+3x
2
− 4x
3
+4x
4
=7,
3x
1
+ x
2
− 2x
3
− 2x
4
=9,
x
1
− 3x
2
+7x
3
+6x
4
= −7.
(4.8)
Gia
’
i. 1)
´
Ap du
.
ng cˆong th´u
.
c (4.4)
x
j
=
det(A
j
)
detA
,j=
1, 3
4.1. Hˆe
.
n phu
.
o
.
ng tr`ınh v´o
.
i n ˆa
’
nc´od
i
.
nh th´u
.
c kh´ac 0 137
trong d´o
detA =
12 3
3 −11
31−2
=30= 0; detA
1
=
62 3
2 −11
21−2
= 30;
detA
2
=
16 3
22 1
32−2
= 30; detA
3
=
126
2 −12
312
=30.
T`u
.
d
´o suy ra
x
1
=1,x
2
=1,x
3
=1.
2) T´ınh d
i
.
nh th´u
.
ccu
’
ahˆe
.
:
detA =
1 −23−1
23−44
31−2 −2
1 −37 6
=35.
V`ı detA =0nˆen hˆe
.
c´o nghiˆe
.
m duy nhˆa
´
t v`a nghiˆe
.
md
u
.
o
.
.
c t`ım theo
cˆong th´u
.
c (4.4). Ta t´ınh c´ac d
i
.
nh th´u
.
c
det(A
1
)=
6 −23−1
−73−44
91−2 −2
−7 −37 6
=70,
138 Chu
.
o
.
ng 4. Hˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh
det(A
2
)=
16 3−1
2 −7 −44
39−2 −2
1 −77 6
= −35,
det(A
3
)=
1 −26−1
23−74
31 9−2
1 −3 −76
=0,
det(A
4
)=
1 −23 6
23−4 −7
31−29
1 −37−7
= −70.
Do d
´o
x
1
=
det(A
1
)
detA
=2,x
2
=
det(A
2
)
detA
= −1,
x
3
=
det(A
3
)
detA
=0,x
4
=
det(A
4
)
detA
= −2.
V´ı du
.
3.
´
Ap du
.
ng phu
.
o
.
ng ph´ap Gauss gia
’
ic´achˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh
1)
x
1
− 2x
3
= −3,
−2x
1
+ x
2
+6x
3
=11,
−x
1
+5x
2
− 4x
3
= −4.
2)
2x
1
− x
2
+3x
3
− x
4
=9,
x
1
+ x
2
− 2x
3
+4x
4
= −1,
3x
1
+2x
2
− x
3
+3x
4
=0,
5x
1
− 2x
2
+ x
3
− 2x
4
=9.
4.1. Hˆe
.
n phu
.
o
.
ng tr`ınh v´o
.
i n ˆa
’
nc´od
i
.
nh th´u
.
c kh´ac 0 139
Gia
’
i. 1) Lˆa
.
p ma trˆa
.
nmo
.
’
rˆo
.
ng v`a thu
.
.
chiˆe
.
n c´ac ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
i:
A =
10−2
−3
−21 6
11
−15−4
−4
h
2
+2h
1
→ h
2
h
3
+ h
1
→ h
3
−→
10−2
−3
01 2
5
05−6
−7
−→
h
3
− 5h
2
→ h
3
10 −2
−3
01 2
5
00−16
−32
.
T`u
.
d
´o suy ra
x
1
− 2x
3
= −3
x
2
+2x
3
=5
−16x
3
= −32
⇒ x
1
=1,x
2
=1,x
3
=2.
2) Lˆa
.
p ma trˆa
.
nmo
.
’
rˆo
.
ng v`a thu
.
.
chiˆe
.
n c´ac ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
iso
.
cˆa
´
p:
2 −13−1
9
11−24
−1
32−13
0
5 −21−2
9
h
1
→ h
2
h
2
→ h
1
−→
11−24
−1
2 −13−1
9
32−13
0
5 −21−2
9
−→
h
2
− 2h
1
→ h
2
h
3
− 3h
1
→ h
3
h
4
− 5h
1
→ h
4
11−24
−1
0 −37 −9
11
0 −15 −9
3
0 −711−22
14
h
2
→ h
3
h
3
→ h
2
−→
140 Chu
.
o
.
ng 4. Hˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh
−→
11−24
−1
0 −15 −9
3
0 −37 −9
11
0 −711−22
14
h
3
− 3h
2
→ h
3
h
4
− 7h
2
→ h
4
−→
11 −24
−1
0 −15−9
3
00 −818
2
00−24 41
−7
−→
h
4
− 3h
3
→ h
4
11−24
−1
0 −15 −9
3
00−818
2
00 0−13
−13
T`u
.
d
´o suy ra r˘a
`
ng x
1
=1,x
2
= −2, x
3
=2,x
4
=1.
B
`
AI T
ˆ
A
.
P
Gia
’
i c´ac hˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh sau
1.
x
1
− x
2
+2x
3
=11,
x
1
+2x
2
− x
3
=11,
4x
1
− 3x
2
− 3x
3
=24.
.(D
S. x
1
=9,x
2
=2,x
3
=2)
2.
x
1
− 3x
2
− 4x
3
=4,
2x
1
+ x
2
− 3x
3
= −1,
3x
1
− 2x
2
+ x
3
=11.
.(D
S. x
1
=2,x
2
= −2, x
3
=1)
3.
2x
1
+3x
2
− x
3
=4,
x
1
+2x
2
+2x
3
=5,
3x
1
+4x
2
− 5x
3
=2.
.(D
S. x
1
= x
2
= x
3
=1)
4.1. Hˆe
.
n phu
.
o
.
ng tr`ınh v´o
.
i n ˆa
’
nc´od
i
.
nh th´u
.
c kh´ac 0 141
4.
x
1
+2x
2
+ x
3
=8,
−2x
1
+3x
2
− 3x
3
= −5,
3x
1
− 4x
2
+5x
3
=10.
.(D
S. x
1
=1,x
2
=2,x
3
=3)
5.
2x
1
+ x
2
− x
3
=0,
3x
2
+4x
3
= −6,
x
1
+ x
3
=1.
.(D
S. x
1
=1,x
2
= −2, x
3
=0)
6.
2x
1
− 3x
2
− x
3
+6 =0,
3x
1
+4x
2
+3x
3
+5 =0,
x
1
+ x
2
+ x
3
+2 =0.
.(D
S. x
1
= −2, x
2
=1,x
3
= −1)
7.
x
2
+3x
3
+6 =0,
x
1
− 2x
2
− x
3
=5,
3x
1
+4x
2
− 2x =13.
.(D
S. x
1
=3,x
2
=0,x
3
= −2)
8.
2x
1
− x
2
+ x
3
+2x
4
=5,
x
1
+3x
2
− x
3
+5x
4
=4,
5x
1
+4x
2
+3x
3
=2,
3x
1
− 3x
2
− x
3
− 6x
4
= −6.
.
(D
S. x
1
=
1
3
, x
2
= −
2
3
, x
3
=1,x
4
=
4
3
)
9.
x
1
− 2x
2
+3x
3
− x
4
= −8,
2x
1
+3x
2
− x
3
+5x
4
=19,
4x
1
− x
2
+ x
3
+ x
4
= −1,
3x
1
+2x
2
− x
3
− 2x
4
= −2.
.
(D
S. x
1
= −
1
2
, x
2
=
3
2
, x
3
= −
1
2
, x
4
=3)
10.
x
1
− x
3
+ x
4
=3,
2x
1
+3x
2
− x
3
− x
4
=2,
5x
1
− 3x
4
= −6
x
1
+ x
2
+ x
3
+ x
4
=2.
.
(D
S. x
1
=0,x
2
=1,x
3
= −1, x
4
=2)
142 Chu
.
o
.
ng 4. Hˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh
11.
2x
1
+3x
2
+8x
4
=0,
x
2
− x
3
+3x
4
=0,
x
3
+2x
4
=1,
x
1
+ x
4
= −24
.
(D
S. x
1
= −19, x
2
= 26, x
3
= 11, x
4
= −5)
12.
3x
1
+ x
2
− x
3
+ x
4
=0,
2x
1
+3x
2
− x
4
=0,
x
1
+5x
2
− 3x
3
=7,
3x
2
+2x
3
+ x
4
=2,
.
(D
S. x
1
= −1, x
2
=1,x
3
= −1, x
4
=1)
13.
x
1
− 2x
2
+ x
3
− 4x
4
− x
5
=13,
x
1
+2x
2
+3x
3
− 5x
4
=15,
x
2
− 2x
3
+ x
4
+3x
5
= −7,
x
1
− 7x
3
+8x
4
− x
5
= −30,
3x
1
− x
2
− 5x
5
=4.
.
(D
S. x
1
=1,x
2
= −1, x
3
=2,x
4
= −2, x
5
=0)
14.
x
1
+ x
2
+4x
3
+ x
4
− x
5
=2,
x
1
− 2x
2
− 2x
3
+3x
5
=0,
4x
2
+3x
3
− 2x
4
+2x
5
=2,
2x
1
− x
3
+3x
4
− 2x
5
= −2,
3x
1
+2x
2
− 5x
4
+3x
5
=3.
.
(D
S. x
1
=
2
5
, x
2
= −
3
5
, x
3
=
4
5
, x
4
=0,x
5
=0)
4.2. Hˆe
.
t`uy ´y c´ac phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh 143
4.2 Hˆe
.
t`uy ´y c´ac phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh
Tax´ethˆe
.
t`uy ´y c´ac phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh gˆo
`
m m phu
.
o
.
ng tr`ınh v´o
.
i
n ˆa
’
n
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ ···+ a
1n
x
n
= b
1
,
a
21
x
1
+ a
22
x
2
+ ···+ a
2n
x
n
= b
2
,
... ... ... ... ...
a
m1
x
1
+ a
m2
x
2
+ ···+ a
mn
x
n
= b
m
,
(4.9)
v´o
.
i ma trˆa
.
nco
.
ba
’
n
A =
a
11
a
12
... a
1n
... ... ... ...
a
m1
a
m2
... a
mn
v`a ma trˆa
.
nmo
.
’
rˆo
.
ng
A =
a
11
a
12
... a
1n
b
1
... ... ... ...
...
a
m1
a
m2
... a
mn
b
m
Hiˆe
’
n nhiˆen r˘a
`
ng r(A) r(
A)v`ımˆo
˜
id
i
.
nh th´u
.
c con cu
’
a A d
ˆe
`
ul`adi
.
nh
th´u
.
c con cu
’
a
A nhu
.
ng khˆong c´o d
iˆe
`
u ngu
.
o
.
.
cla
.
i. Ta luˆon luˆon gia
’
thiˆe
´
t
r˘a
`
ng c´ac phˆa
`
ntu
.
’
cu
’
a ma trˆa
.
n A khˆong d
ˆo
`
ng th`o
.
ib˘a
`
ng 0 tˆa
´
tca
’
.
Ngu
.
`o
.
i ta quy u
.
´o
.
cgo
.
id
i
.
nh th´u
.
c con kh´ac 0 cu
’
amˆo
.
t ma trˆa
.
nm`a
cˆa
´
pcu
’
an´ob˘a
`
ng ha
.
ng cu
’
a ma trˆa
.
nd
´ol`adi
.
nh th´u
.
c con co
.
so
.
’
cu
’
a n´o.
Gia
’
su
.
’
d
ˆo
´
iv´o
.
i ma trˆa
.
nd
˜a cho ta d˜acho
.
nmˆo
.
tdi
.
nh th´u
.
c con co
.
so
.
’
.
Khi d
´o c´ac h`ang v`a c´ac cˆo
.
t m`a giao cu
’
ach´ung lˆa
.
p th`anh di
.
nh th´u
.
c
con co
.
so
.
’
d
´odu
.
o
.
.
cgo
.
il`ah`ang, cˆo
.
tco
.
so
.
’
.
D
-
i
.
nh ngh˜ıa. 1
+
Bˆo
.
c´o th´u
.
tu
.
.
n sˆo
´
(α
1
,α
2
,...,α
n
)du
.
o
.
.
cgo
.
i l`a nghiˆe
.
m
cu
’
ahˆe
.
(4.9) nˆe
´
u khi thay x = α
1
,x= α
2
,...,x= α
n
v`ao c´ac phu
.
o
.
ng
tr`ınh cu
’
a (4.9) th`ı hai vˆe
´
cu
’
amˆo
˜
iphu
.
o
.
ng tr`ınh cu
’
a (4.9) tro
.
’
th`anh
d
ˆo
`
ng nhˆa
´
t.
144 Chu
.
o
.
ng 4. Hˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh
2+ Hˆe
.
(4.9) du
.
o
.
.
cgo
.
il`atu
.
o
.
ng th´ıch nˆe
´
u c´o ´ıt nhˆa
´
tmˆo
.
t nghiˆe
.
mv`a
go
.
il`akhˆong tu
.
o
.
ng th´ıch nˆe
´
u n´o vˆo nghiˆe
.
m.
3
+
Hˆe
.
tu
.
o
.
ng th´ıch d
u
.
o
.
.
cgo
.
il`ahˆe
.
x´ac d
i
.
nh nˆe
´
u n´o c´o nghiˆe
.
m duy
nhˆa
´
t v`a go
.
il`ahˆe
.
vˆo d
i
.
nh nˆe
´
u n´o c´o nhiˆe
`
uho
.
nmˆo
.
t nghiˆe
.
m.
D
-
i
.
nh l´y Kronecker-Capelli.
2
Hˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh (4.9)
tu
.
o
.
ng th´ıch khi v`a chı
’
khi ha
.
ng cu
’
a ma trˆa
.
nco
.
ba
’
nb˘a
`
ng ha
.
ng cu
’
a
ma trˆa
.
nmo
.
’
rˆo
.
ng cu
’
ahˆe
.
,t´u
.
cl`ar(A)=r(
A).
D
ˆo
´
iv´o
.
ihˆe
.
tu
.
o
.
ng th´ıch ngu
.
`o
.
itago
.
i c´ac ˆa
’
nm`ahˆe
.
sˆo
´
cu
’
ach´ung lˆa
.
p
nˆen d
i
.
nh th´u
.
c con co
.
so
.
’
cu
’
a ma trˆa
.
nco
.
ba
’
nl`aˆa
’
nco
.
so
.
’
, c´ac ˆa
’
n c`on
la
.
id
u
.
o
.
.
cgo
.
il`aˆa
’
ntu
.
.
do.
Phu
.
o
.
ng ph´ap chu
’
yˆe
´
ud
ˆe
’
gia
’
ihˆe
.
tˆo
’
ng qu´at l`a:
1.
´
Ap du
.
ng quy t˘a
´
c Kronecker-Capelli.
2. Phu
.
o
.
ng ph´ap khu
.
’
dˆa
`
nc´acˆa
’
n (phu
.
o
.
ng ph´ap Gauss).
Quy t˘a
´
c Kronecker-Capelli gˆo
`
m c´ac bu
.
´o
.
c sau.
1
+
Kha
’
o s´at t´ınh tu
.
o
.
ng th´ıch cu
’
ahˆe
.
. T´ınh ha
.
ng r(
A)v`ar(A)
a) Nˆe
´
u r(
A) >r(A)th`ıhˆe
.
khˆong tu
.
o
.
ng th´ıch.
b) Nˆe
´
u r(
A)=r(A)=r th`ı hˆe
.
tu
.
o
.
ng th´ıch. T`ım d
i
.
nh th´u
.
c con
co
.
so
.
’
cˆa
´
p r n`ao d
´o (v`a do vˆa
.
y r ˆa
’
nco
.
so
.
’
tu
.
o
.
ng ´u
.
ng xem nhu
.
d
u
.
o
.
.
c
cho
.
n) v`a thu d
u
.
o
.
.
chˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh tu
.
o
.
ng d
u
.
o
.
ng gˆo
`
m r phu
.
o
.
ng tr`ınh
v´o
.
i n ˆa
’
nm`a(r × n)-ma trˆa
.
nhˆe
.
sˆo
´
cu
’
an´och´u
.
a c´ac phˆa
`
ntu
.
’
cu
’
ad
i
.
nh
th´u
.
c con co
.
so
.
’
d
˜a c h o
.
n. C´ac phu
.
o
.
ng tr`ınh c`on la
.
i c´o thˆe
’
bo
’
qua.
2
+
T`ım nghiˆe
.
mcu
’
ahˆe
.
tu
.
o
.
ng d
u
.
o
.
ng thu d
u
.
o
.
.
c
a) Nˆe
´
u r = n, ngh˜ıa l`a sˆo
´
ˆa
’
nco
.
so
.
’
b˘a
`
ng sˆo
´
ˆa
’
ncu
’
ahˆe
.
th`ı hˆe
.
c´o
nghiˆe
.
m duy nhˆa
´
t v`a c´o thˆe
’
t`ım theo cˆong th´u
.
c Cramer.
b) Nˆe
´
u r<n, ngh˜ıa l`a sˆo
´
ˆa
’
nco
.
so
.
’
b´e ho
.
nsˆo
´
ˆa
’
ncu
’
ahˆe
.
th`ı ta
chuyˆe
’
n n − r sˆo
´
ha
.
ng c´o ch´u
.
aˆa
’
ntu
.
.
do cu
’
a c´ac phu
.
o
.
ng tr`ınh sang
vˆe
´
pha
’
id
ˆe
’
thu du
.
o
.
.
chˆe
.
Cramer d
ˆo
´
iv´o
.
i c´ac ˆa
’
nco
.
so
.
’
. Gia
’
ihˆe
.
n`ay ta
thu d
u
.
o
.
.
c c´ac biˆe
’
uth´u
.
ccu
’
a c´ac ˆa
’
nco
.
so
.
’
biˆe
’
udiˆe
˜
n qua c´ac ˆa
’
ntu
.
.
do.
2
L. Kronecker (1823-1891) l`a nh`a to´an ho
.
cD´u
.
c,
A. Capelli (1855-1910) l`a nh`a to´an ho
.
c Italia.
4.2. Hˆe
.
t`uy ´y c´ac phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh 145
D´o l`a nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at cu
’
ahˆe
.
. Cho n − r ˆa
’
ntu
.
.
do nh˜u
.
ng gi´a tri
.
cu
.
thˆe
’
t`uy ´y ta t`ım d
u
.
o
.
.
c c´ac gi´a tri
.
tu
.
o
.
ng ´u
.
ng cu
’
aˆa
’
nco
.
so
.
’
.T`u
.
d
´o t h u
d
u
.
o
.
.
c nghiˆe
.
m riˆeng cu
’
ahˆe
.
.
Tiˆe
´
p theo ta tr`ınh b`ay nˆo
.
i dung cu
’
aphu
.
o
.
ng ph´ap Gauss.
Khˆong gia
’
mtˆo
’
ng qu´at, c´o thˆe
’
cho r˘a
`
ng a
11
= 0. Nˆo
.
i dung cu
’
a
phu
.
o
.
ng ph´ap Gauss l`a nhu
.
sau.
1
+
Thu
.
.
chiˆe
.
n c´ac ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
iso
.
cˆa
´
p trˆen c´ac phu
.
o
.
ng tr`ınh cu
’
a
hˆe
.
d
ˆe
’
thu du
.
o
.
.
chˆe
.
tu
.
o
.
ng d
u
.
o
.
ng m`a b˘a
´
td
ˆa
`
ut`u
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh th´u
.
hai
mo
.
iphu
.
o
.
ng tr`ınh d
ˆe
`
u khˆong ch´u
.
aˆa
’
n x
1
.K´yhiˆe
.
uhˆe
.
n`ay l`a S
(1)
.
2
+
C˜ung khˆong mˆa
´
ttˆo
’
ng qu´at, c´o thˆe
’
cho r˘a
`
ng a
22
= 0. La
.
i thu
.
.
c
hiˆe
.
n c´ac ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
iso
.
cˆa
´
p trˆen c´ac phu
.
o
.
ng tr`ınh cu
’
ahˆe
.
S
(1)
(tr`u
.
ra phu
.
o
.
ng tr`ınh th´u
.
nhˆa
´
td
u
.
o
.
.
cgi˜u
.
nguyˆen!) nhu
.
d
˜a l`am trong bu
.
´o
.
c
1
+
ta thu du
.
o
.
.
chˆe
.
tu
.
o
.
ng d
u
.
o
.
ng m`a b˘a
´
td
ˆa
`
ut`u
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh th´u
.
ba
mo
.
iphu
.
o
.
ng tr`ınh d
ˆe
`
u khˆong ch´u
.
aˆa
’
n x
2
,...
3
+
Sau mˆo
.
tsˆo
´
bu
.
´o
.
ctac´othˆe
’
g˘a
.
pmˆo
.
t trong c´ac tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p sau
d
ˆa y .
a) Thˆa
´
yngayd
u
.
o
.
.
chˆe
.
khˆong tu
.
o
.
ng th´ıch.
b) Thu d
u
.
o
.
.
cmˆo
.
thˆe
.
“tam gi´ac”. Hˆe
.
n`ay c´o nghiˆe
.
m duy nhˆa
´
t.
c) Thu d
u
.
o
.
.
cmˆo
.
t“hˆe
.
h`ınh thang” da
.
ng
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ ... + a
1n
x
n
= h
1
,
b
22
x
2
+ ... + b
2n
x
n
= h
2
,
... ... ... ...
b
rr
x
r
+ ···+ b
rn
x
n
= h
r
,
0=
h
r+1
,
... ...
0=
h
m
.
Nˆe
´
u c´ac sˆo
´
h
r+1
,...,h
m
kh´ac 0 th`ı hˆe
.
vˆo nghiˆe
.
m. Nˆe
´
u h
r+1
=
··· =
h
m
=0th`ıhˆe
.
c´o nghiˆe
.
m. Cho x
r+1
= α,...,x
m
= β th`ı
thu d
u
.
o
.
.
chˆe
.
Cramer v´o
.
iˆa
’
nl`ax
1
,...,x
r
. Gia
’
ihˆe
.
d´o ta thu du
.
o
.
.
c
146 Chu
.
o
.
ng 4. Hˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh
nghiˆe
.
m x
1
= x
1
; x
2
= x
2
,...,x
r
= x
r
v`a nghiˆe
.
mcu
’
ahˆe
.
d˜achol`a
(
x
1
, x
2
,...,x
r
,α,...,β).
Lu
.
u´yr˘a
`
ng viˆe
.
c gia
’
ihˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh b˘a
`
ng phu
.
o
.
ng
ph´ap Gauss thu
.
.
cchˆa
´
t l`a thu
.
.
chiˆe
.
n c´ac ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
iso
.
cˆa
´
p trˆen c´ac
h`ang cu
’
a ma trˆa
.
nmo
.
’
rˆo
.
ng cu
’
ahˆe
.
d
u
.
an´ovˆe
`
da
.
ng tam gi´ac hay da
.
ng
h`ınh thang.
C
´
AC V
´
IDU
.
V´ı du
.
1. Gia
’
ihˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh
3x
1
− x
2
+ x
3
=6,
x
1
− 5x
2
+ x
3
=12,
2x
1
+4x
2
= −6,
2x
1
+ x
2
+3x
3
=3,
5x
1
+4x
3
=9.
Gia
’
i. 1. T`ım ha
.
ng cu
’
a c´ac ma trˆa
.
n
A =
3 −11
1 −51
240
213
504
,
A =
3 −11
6
1 −51
12
240
−6
213
3
504
9
Ta thu d
u
.
o
.
.
c r(
A)=r(A) = 3. Do d
´ohˆe
.
tu
.
o
.
ng th´ıch.
Ta cho
.
nd
i
.
nh th´u
.
c con co
.
so
.
’
l`a
∆=
1 −51
240
213
v`ı∆=36=0v`ar(A) = 3 v`a c´ac ˆa
’
nco
.
so
.
’
l`a x
1
,x
2
,x
3
.
4.2. Hˆe
.
t`uy ´y c´ac phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh 147
2. Hˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh d
˜a cho tu
.
o
.
ng d
u
.
o
.
ng v´o
.
ihˆe
.
x
1
− 5x
2
+ x
3
=12,
2x
1
+4x
2
= −6,
2x
1
+ x
2
+3x
3
=3.
Sˆo
´
ˆa
’
nco
.
so
.
’
b˘a
`
ng sˆo
´
ˆa
’
ncu
’
ahˆe
.
nˆen hˆe
.
c´o nghiˆe
.
m duy nhˆa
´
tl`ax
1
=1,
x
2
= −2, x
4
=1.
V´ı d u
.
2. Gia
’
ihˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh
x
1
+2x
2
− 3x
3
+4x
4
=7,
2x
1
+4x
2
+5x
3
− x
4
=2,
5x
1
+10x
2
+7x
3
+2x
4
=11.
Gia
’
i. T`ım ha
.
ng cu
’
a c´ac ma trˆa
.
n
A =
12−34
24 5 −1
510 7 2
,
A =
12−34
7
24 5 −1
2
510 7 2
11
Tathud
u
.
o
.
.
c r(
A)=r(A) = 2. Do d
´ohˆe
.
tu
.
o
.
ng th´ıch.
Ta c´o thˆe
’
lˆa
´
yd
i
.
nh th´u
.
c con co
.
so
.
’
l`a
∆=
2 −3
45
v`ı∆=22= 0 v`a cˆa
´
pcu
’
ad
i
.
nh th´u
.
c=r(A) = 2. Khi cho
.
n ∆ l`am
d
i
.
nh th´u
.
c con, ta c´o x
2
v`a x
3
l `a ˆa
’
nco
.
so
.
’
.
Hˆe
.
d
˜a cho tu
.
o
.
ng d
u
.
o
.
ng v´o
.
ihˆe
.
x
1
+2x
2
− 3x
3
+4x
4
=7,
2x
1
+4x
2
+5x
3
− x
4
=2
hay
2x
2
− 3x
3
=7− x
1
− 4x
4
,
4x
2
+5x
3
=2− 2x
1
+ x
4
.
148 Chu
.
o
.
ng 4. Hˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh
2. Ta c´o thˆe
’
gia
’
ihˆe
.
theo quy t˘a
´
c Cramer. D˘a
.
t x
1
= α, x
4
= β ta
c´o
2x
2
− 3x
3
=7− α − 4β,
4x
2
+5x
3
=2− 2α + β.
Theo cˆong th´u
.
c Cramer ta t`ım d
u
.
o
.
.
c
x
2
=
7 − α − 4β −3
2 − 2α + β 5
22
=
41 − 11α − 17β
22
,
x
3
=
27− α − 4β
42− 2α + β
22
=
−24 + 18β
22
·
Do d
´otˆa
.
pho
.
.
p c´ac nghiˆe
.
mcu
’
ahˆe
.
c´o da
.
ng
α;
41 − 11α − 17β
22
;
9β − 12
11
; β
∀ α, β ∈ R
V´ı du
.
3. B˘a
`
ng phu
.
o
.
ng ph´ap Gauss h˜ay gia
’
ihˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh
4x
1
+2x
2
+ x
3
=7,
x
1
− x
2
+ x
3
= −2,
2x
1
+3x
2
− 3x
3
=11,
4x
1
+ x
2
− x
3
=7.
Gia
’
i. Trong hˆe
.
d
˜a cho ta c´o a
11
=4=0nˆen dˆe
’
cho tiˆe
.
ntadˆo
’
ichˆo
˜
hai phu
.
o
.
ng tr`ınh d
ˆa
`
u v`a thu du
.
o
.
.
chˆe
.
tu
.
o
.
ng d
u
.
o
.
ng
x
1
− x
2
+ x
3
= −2,
4x
1
+2x
2
+ x
3
=7,
2x
1
+3x
2
− 3x
3
=11,
4x
1
+ x
2
− x
3
=7.
