toán 10: BÀI tập HYPEBOL

BÀI TẬP HYPEBOL
Bài 1:Lập pt chính tắc của Hypebol (H), biết:
1, Nửa trục thực bằng 4, tiêu cự bằng 10
2, Tiêu cự bằng
132
, một tiệm cận là:
xy
3
2
=
3, tâm sai
5=e
, (H) qua
)6;10(M
4, độ dài trục ảo bằng 12, tâm sai
4
5
=e
5, 1 đỉnh là A(-10; 0) và một tiệm cận là:
xy
5
2
=
6, (H) đi qua 2 điểm
)52;25(A
và
)40;45(B
7, (H) qua M(24;5) và một tiệm cận:
xy
12
5

−=
8, góc giữa 2 tiệm cận bằng 60
0
, (H) qua M(6;3)
9, (H) đi qua
)3;24(M
, có tiêu điểm trùng với tiêu điểm của (E):
2x
2
+7y
2
=70
10, (H) qua
)
5
9
;
5
344
(M
và M nhìn 2 tiêu điểm dưới 1 góc vuông
Bài 2 : Tìm tâm sai của (H):
1
2
2
2
2
=−
b
y

a
x
, biết:
1, khoảng cách giữa tiêu điểm và đỉnh trên trục ảo bằng độ dài trục thực
2, Đỉnh trên trục ảo nhìn F
1
, F
2
dưới 1 góc 120
0
3, Hypebol có hai tiệm cận vuông góc (gọi là Hypebol vuông)
4, độ dài trục thực gấp 2 lần độ dài trục ảo

Bài 3: Cho Hypebol (H):
1
2
2
2
2
=−
b
y
a
x
. M là một điểm tuỳ ý trên (H), (d
1
); (d
2
)
lần lượt là các đường thẳng qua M và song song với 2 tiệm cận của (H).

CMR diện tích hình bình hành tạo bởi (d
1
), (d
2
) và tiệm cận không đổi.
Bài 4: Lập phương trình chính tắc của Hypebol biết tổng độ dài 2 bán trục:
a+b = 7 và phương trình hai tiệm cận là :
.
4
3
xy ±=

Bài 5 : Cho họ đường cong (C
m
):
1
25
2
2
2
2
=
−
+
m
y
m
x
(
5;0 ±≠≠ mm

)
1, Tuỳ theo giá trị của m, hãy xác định khi nào (C
m
) là elip, khi nào là
Hypebol?
2, Giả sử A là 1 điểm tuỳ ý trên đường thẳng x=1 và A không thuộc trục
hoành. CMR qua A có 4 đường cong của họ (C
m
) đi qua. Trong 4 đường ấy
có bao nhiêu elip, bao nhiêu Hypebol?
Bài 6: Trong mp toạ độ Oxy, cho A(-2; 0); B(2; 0) và M(x; y).
1, Xác định toạ độ M biết M nằm phía trên trục hoành và số đo góc
0
90=AMB
; số đo góc MAB = 30
0
.
2, Khi x, y thay đổi sao cho số đo góc MBA gấp đôi số đo góc MAB. Hỏi M
chạy trên đường cong nào?
Bài 7 : Cho Elip (E): x
2
+ 3y
2
= 9
Gọi (H) là hypebol có các tiêu điểm trùng với 2 đỉnh trên trục lớn của (E); 2
tiệm cận chứa 2 đường chéo của hình chữ nhật cơ sở của (E). Viết pt của (H)
Bài 8: Cho Hypebol (H): 5x
2
– y
2

– 4 = 0.
Tìm các đỉnh, tiêu điểm, tâm sai cà phương trình các tiệm cận
Bài 9: Cho (H): 9x
2
– 16y
2
– 144 = 0
1, Tìm các tiêu điểm, các đỉnh, tâm sai và phương trình các tiệm cận của (H)
2, Viết pt chính tắc của Elip có các tiêu điểm trùng với các tiêu điểm của (H)
và ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở của (H).
Bài 10 : Cho (H):
1
94
2
2
=−
y
x
1, Xác định toạ độ các đỉnh, các tiêu điểm, tâm sai và các tiệm cận của (H).
Vẽ (H).
2, Tìm n để đường thẳng y = nx – 1 có điểm chung với (H)
Bài 11: Cho hypebol (H):
)0(1
2
2
2
2
>>=− ba
b
y

a
x
. Cho k là một số thực dương.
Xét các đường thẳng (d
1
): y = kx; (d
2
):
x
k
y
1
−=
a. Hãy tìm k sao cho (d
1
) và (d
2
) đều cắt (H).
b. Gọi A và C lần lượt là giao điểm của (d
1
) với (H) (A nằm trong góc phần
tư thứ nhất). Gọi B và D lần lượt là giao điểm của )d
2
) với(H)(B nằm trong
góc phần tư thứ hai).Hãy tìm k sao cho hình thoi ABCD có diện tích nhỏ
nhất
Bài 12. Cho Hypebol (H):
1
164
2

2
=−
y
x
.
1. Tìm phương trình đường chéo của hình chữ nhật tâm O có 4 đỉnh thuộc
(H) sao cho hệ số góc các đường chéo là số nguyên.
2. Gọi (D) là một đường thẳng bất kỳ cắt hai tiệm cận tại P, Q; cắt (H) tại R,
S. Chứng minh rằng: PR=QS.
3. Lấy điểm K thuộc (H). Từ K kẻ hai đường thẳng lần lượt song song với
hai tiệm cận. Chứng minh diện tích hình bình hành giới hạn bởi hai đường
thẳng đó và hai tiệm cận có diện tích không đổi.
4. Giả sử hai đường thẳng qua tâm O và vuông góc với nhau cắt (H) tại 4
điểm tạo thành một hình thoi. Viết phương trình hai đường thẳng đó khi hình
thoi có diện tích nhỏ nhất.
5. Cho A(-2,0). Tìm hai điểm B, C thuộc nhánh phải của (H) sao cho tam
giác ABC là tam giác đều.
Bài 13:. Trong mặt phẳng Oxy cho Hyperbol (H) :
1
94
2
2
=−
y
x
Gọi d là đường thẳng qua O có hệ số góc k; d' là đường thẳng qua O và
vuông góc với d.
a) Tìm điều kiện của k để d và d' đều cắt (H).
b) Tính theo k diện tích của hình thoi với 4 đỉnh là 4 giao điểm của d;d' và
(H).

Bài 14. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Hyperbol (H) có phương trình :
9x
2
- 16y
2
= 144
a) Tìm tọa độ đỉnh , tiêu điểm , tâm sai ,tiệm cận của (H).
b) Lập phương đường tròn (C) , đường kính F
1
F
2
. Với F1,F
2
là hai tiêu điểm
của (H)
Bài 15. Trong mặt phẳng Oxy cho hypebol (H) có phương trình :
1
2
2
2
2
=−
b
y
a
x
Tiêu điểm F
1
.Tìm điểm M trên (H) sao cho độ dài MF
1

ngắn nhất , dài nhất
Bài 16:. Trong mặt phẳng Oxy cho Elip (E) :
1
49
2
2
=+
y
x
Và Hyperbol (H) :
1
41
2
2
=−
y
x
Lập phương trình đường tròn đi qua giao điểm của Elip và Hyperbol
Bài 17. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho Hyperbol (H) có phương trình :
20x
2
- 25y
2
= 100
a) Tính khoảng cách từ điểm có hoành độ
10=x
đến 2 tiêu điểm .
b) Tìm b để phương trình đường thẳng : y=x+b có điểm chung với Hyperbol
trên.
Bài 18. Trong mặt phẳng Oxy cho Hyperbol (H) có phương trình :

(H):
1
2
2
2
2
=−
b
y
a
x
a) Tính khoảng cách từ điểm M thuộc (H) đến tiệm cận của nó.
b) Từ điểm M kẻ các đường thẳng song song với 2 tiệm cận và cắt chúng tại
P;Q . Tính diện tích tứ giác OPMQ
Bài 19 : Cho Hypebol (H):
1
916
2
2
=−
y
x
. Lập pt chính tắc elip (E), biết (E) có
2 tiêu điểm là 2 tiêu điểm của (H) và (E) đi qua các đỉnh của hình chữ nhật
cơ sở của (H).
Bài 20: Cho Hypebol (H):
1
2
2
2

2
=−
b
y
a
x

CMR: Tích khoảng cách từ 1 điểm M
0
bất kỳ trên (H) đến 2 đường tiệm cận
là 1 số không đổi.
Bài 21: Cho Hypebol (H):
1
36
2
2
=−
y
x
. Tìm toạ độ điểm M thuộc (H) sao cho
M nhìn 2 tiêu điểm F
1
, F
2
của (H) dưới 1 góc 90
0
.
Bài 22: Cho Elip (E): 4x
2
+ 9y

2
= 36. Lập pt Hypebol có 2 tiêu điểm trùng
với 2 tiêu điểm cua (E) và đi qua
)1;22( −A
Bài 23: Cho (H):
1
124
2
2
=−
y
x
. Tìm M trên (H) sao cho khoảng cách từ M đến
tiêu điểm trái gấp đôi khoảng cách từ M đến tiêu điểm phải của (H).
Bài 24:Cho A(-a; 0); B(a;0) Gọi ( C) là đường tròn thay đổi qua A, B; MM’
là đường kính của ( C) luôn song song với Ox. Tìm quỹ tích M và M’
Bài 25: Cho M(
)tan;
cos
tb
t
a
, (
)
2
)12(
π
+≠ kt
. Tìm quỹ tích điểm M.
Bài 26: Tìm quỹ tích tâm các đường tròn chắn trên Ox và Oy hai đoạn thẳng

có độ dài lần lượt là 2a và 2b
Bài 27: Cho Hypebol (H):
1
2
2
2
2
=−
b
y
a
x
.
CMR: với mọi M trên (H) ta có:
1, OM
2
– MF
1
.MF
2
= a
2
– b
2
.
2, (MF
1
+ MF
2
)

2
= 4(OM
2
+ b
2
)
Bài 28: Cho (H):
1
54
2
2
=−
y
x
. Tìm điểm M trên (H) nhìn 2 tiêu điểm dưới 1
góc 120
0
.
Bài 29: Cho (H):
1
169
2
2
=−
y
x
. Một đường thẳng d qua tiêu điểm F
1
, vuông
góc với trục thực cắt (H) tại M, N. Tính MN.

Bài 30: Cho (E): 16x
2
+ 9y
2
= 144
1, Viết pt chính tắc của (H) có cùng hình chữ nhật cơ sở với (E).
2, Tìm M trên (H) nhìn 2 tiêu điểm dưới 1 góc 60
0
.
3, Tìm M trên (H) sao cho 2 bán kính qua tiêu vuông góc với nhau.
Bài 31: Cho F(4; 0) và đường thẳng (d): 4x – 9 = 0.
Tìm tập hợp các điểm M trên mp toạ độ sao cho tỷ số khoảng cách từ M đến
F và từ M đến (d) bằng
3
4
Bài 32: Tính diện tích hình chữ nhật có đỉnh nằm trên (H):
1
1620
2
2
=−
y
x
, hai
cạnh đi qua 2 tiêu điểm và song song với Oy
Bài 33: Cho (H):
1
425
2
2

=−
y
x
và đường thẳng (d): 2x + 15y – 10 = 0
1, CMR: (d) luôn cắt (H) tại 2 điểm phân biệt A, B (x
A
>0). Tính AB
2, Tìm C trên (H) sao cho tam giác ABC cân ở A.
Bài 34 : Cho (H): x
2
– 2y
2
= 6 và M(3;1). Lập pt đường thẳng (d) qua M cắt
(H) tại 2 điểm A và B sao cho MA = MB.
Bài 35: Cho (H): x
2
– 4y
2
= 32 và đường thẳng (d): x + 6y = 0.
1, CMR: (d) luôn cắt (H) tại 2 điểm phân biệt A, B. Tính AB.
2, Tìm điểm C nằm trên (H) sao cho tam giác ABC có diện tích bằng 30.

Bài 36: Cho A(4; 1) và (H):
1
42
2
2
=−
y
x

. Tìm M trên (H) sao cho AM ngắn
nhất.