De olimpic toan10 2011 cum GL- LB Ha noi

SỞ GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 10
THPT CAO BÁ QUÁT – GIA LÂM Tháng 03 năm 2011
Thời gian làm bài 120 phút.
Bài 1 ( 4 điểm ) Cho hàm số
2
2 2 1y x x x m= − − − +
1. Khi m=1 vẽ đồ thị (P) và lập bảng biến thiên của hàm số.
2. Tìm m để phương trình:
2
2 2 1= 0x x x m− − − +
có ba nghiệm phân biệt.
Bài 2 ( 4 điểm ) Giải phương trình sau:

( ) ( ) ( ) ( )
+ + + − + = + + − +
2 2 2 2
2 2 3 13 2 5 3 6 2 3 2 5 3x x x x x x x x x x
Bài 3 ( 4 điểm ) Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm:

( )
2
10
3
8 1 3 1
3 2 2 4
x
x
x x
m m x m

> +


+ + +


− + ≤ −

Bài 4 (4 điểm) Cho các số thực x, y thay đổi và thoả mãn (x + y)
3
+ 4xy ≥ 2. Tìm giá
trị nhỏ nhất của biểu thức : A = 3(x
4
+ y
4
+ x
2
y
2
) – 2(x
2
+ y
2
) + 1
Bài 5 (4 điểm )
1. Cho tam giác đều ABC cạnh a, nội tiếp đường tròn
( )
C
tâm O. Chứng minh
rằng với điểm M tùy ý trên đường tròn ta luôn có
2 2 2
MA MB MC+ +

không
phụ thuộc vị trí của M.
2. Trong hệ trục Oxy cho tam giác ABC có đỉnh C(1;2), trung tuyến AM có
phương trình x+2y+1=0, đường phân giác trong góc A có phương trình
2x+y+5=0. Tìm tọa độ đỉnh A và B.
……………. Hết……………………