Đề thi HSG lớp 12 V1 Tp Hà Nội - Từ năm 1988-2007

sở giáo dục và đào tạo hà nội
..........................
kỳ thi học sinh giỏi thành phố
(Vòng I)
Năm học 1998-1999
...................
Ngày thi: 9 - 12 - 1998
Môn thi: Toán lớp 12
Thời gian làm bài: 180 phút
______________________
Bài I ( 5 điểm ):
Cho họ đờng cong (C
m
): y=x
3
-3x
2
+mx+4-m ( m là tham số )
Đờng thẳng (d): y=3-x cắt một đờng cong bất kỳ (C) của họ (C
m
) tại ba điểm
phân biệt A,I,B (theo thứ tự), tiếp tuyến tại A và tiếp tuyến tại B của (C) lần lợt
cắt đờng cong tại điểm thứ hai là M và N. Tìm tham số m để tứ giác AMBN là
hình thoi.
Bài II ( 5 điểm ): Giải hệ phơng trình

e
x
y
x y
x y

x y

=
+ = +
< <









sin
sin
( )
;
10 1 3 2
5
4
6 4


Bài III (5 điểm ): Chứng minh bất đẳng thức

1
1 4
1
1 8

1
1 12
2
+
+
+
+

>
cos cos cosa a a
Với a làm vế trái có nghĩa
Có thể thay số 2 ở vế phải bằng một số vô tỷ để có một bất đẳng thức đúng
và mạnh hơn không?
Bài IV (5 điểm ):
Cho hai đờng tròn thay đổi (C) và (C) luôn tiếp xúc với một đờng thẳng
lần lợt tại hai điểm A và Acố định. Tìm quĩ tích giao điểm M của (C) và (C)
biết rằng chúng luôn cắt nhau dới một góc cho trớc ( là góc tạo bởi hai tiếp
tuyến của hai đờng tròn tại M ).
___________________________________________
Họ và tên thí sinh: ........................................................
Phòng thi: ............. Số Báo danh: ................................
sở giáo dục và đào tạo hà nội
..........................
kỳ thi học sinh giỏi thành phố-lớp
12 (Vòng I)
Năm học 1999-2000
...................
Ngày thi: 11 - 12 - 1999
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút

______________________
Bài I (5 điểm)
Cho hai hàm số f(x)=
x1
x
+
và g(x)=arctgx
1. Chứng minh đồ thị của chúng tiếp xúc nhau.
2. Giải bất phơng trình: f(x)g(x)+x
Bài II (5 điểm)
Cho tam giác ABC thoả mãn:
3
2
2
c
2
b
2
a
2
C
gcot
2
B
gcot
2
A
gcot)abc(
)gCcotgBcotgA(cot3
)mmm(4

=
++
++
(m
a
, m
b
, m
c
là 3 trung tuyến ứng với 3 cạnh a, b, c ; A, B, C là 3 góc của tam
giác)
Chứng minh tam giác ABC đều.
Bài III (5 điểm)
Tìm tham số a sao cho phơng trình:
)2ax)(3410a5x(
a42x)2a(2xx4
44a
log
2
22
1
+++

+
++

= 0
có ít nhất một nghiệm nguyên.
Bài IV (5 điểm)
Trong hệ toạ độ trực chuẩn xOy cho đờng tròn (C) có phơng trình: x
2
+y
2
=4
1. Tìm tham số m để trên đờng thẳng y=m có đúng 4 điểm sao cho qua mỗi
điểm đó có hai đờng thẳng tạo với nhau góc 45
0
và chúng đều tiếp xúc với đ-
ờng tròn (C).
2. Cho hai điểm A(a; b), B(c; d) thuộc đờng tròn (C) chứng minh:
63bdac43dc43ba4
++
________________________________________________
Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội
Kỳ thi chọn đội tuyển lớp 12 thành phố
tham dự kỳ thi học sinh giỏi Quốc gia năm học 2000-2001.
Môn thi: Toán
Ngày thi: 29 tháng 12 năm 2000
Thời gian làm bài: 180phút
______________________
Câu I (4 điểm):
Cho các số thực a
1

, a
2
, ... ,a
n
; b
1
, b
2
, ... , b
n
; c
1
, c
2
, ... , c
n
thoả mãn điều
kiện a
i
>0 và a
i
c
i
b
i
2
, i=1, 2, 3, ..., n.
Chứng minh rằng: (a
1
+a

2
+...+a
n
).(c
1
+c
2
+...+c
n
)(b
1
+b
2
+...+b
n
)
2
Câu II (4 điểm):
Gọi N
*
là tập hợp tất cả các số nguyên dơng.
Hãy tìm tất cả các hàm f : N
*
N
*
thoả mãn điều kiện:



+

=+
lẻ n nếu12n
chẵn n nếun
)n(f))n(f(f
12
Câu III (4 điểm):
Một hình lập phơng kích thớc 8x8x8 đợc chia thành lới các hình lập ph-
ơng đơn vị. Ta gọi một cột của lới là một hình hộp chữ nhật với các cạnh nằm
trên các đờng lới có kích thớc là: 1x8x8 hoặc 8x1x8 hoặc 8x8x1. Chứng minh
rằng ta có thể đánh dấu 64 hình lập phơng đơn vị sao cho trong 8 hình lập ph-
ơng đánh dấu tuỳ ý có 2 hình lập phơng cùng nằm trên một cột và trong bất kỳ
một cột nào đều có 8 hình lập phơng đợc đánh dấu.
Câu IV (4 điểm):
Cho P(x) là một đa thức bậc n với hệ số thực có n nghiệm thực phân biệt
trong khoảng (1; ).
Giả sử Q(x)=(x
2
+1).P(x).P(x)+x.{[P(x)]
2
+[P(x)]
2
}, xR
Chứng minh rằng đa thức Q(x) có ít nhất 2n-1 nghiệm thực phân biệt.
Câu V (4 điểm):
Cho tam giác ABC. Giả sử P là một điểm di động trên đoạn thẳng AB, Q
là một điểm di động trên đoạn thẳng AC. Gọi T là giao điểm của hai đoạn thẳng
BQ và CP. Hãy tìm vị trí của P và Q sao cho PQT có diện tích lớn nhất.
________________________________________________
sở giáo dục và đào tạo hà nội

kỳ thi học sinh giỏi thành phố-lớp 12 (Vòng I)
Năm học 2001-2002
Môn thi: Toán
Ngày thi: 8 - 12 - 2001
Thời gian làm bài: 180 phút
______________________
Bài I (4 điểm)
Cho hàm số y=x
4
-2m
2
x
2
+n
Tìm giá trị của các tham số m và n, để đồ thị của hàm số có 3 điểm cực trị là
các đỉnh của một tam giác đều ngoại tiếp đợc một đờng tròn có tâm là gốc toạ
độ.
Bài II (4 điểm)
Tìm tất cả các giá trị của a và b thoả mãn điều kiện:
2
1
a

và
1
b
a
>
sao cho biểu thức P=
)ba(b

1a2
3

+
đạt giá trị nhỏ nhất.Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Bài III (4 điểm)
Giải bất phơng trình:
1x2
6
1x
xlog2
3

<

+
Bài IV (4 điểm)
Tìm tất cả các giá trị của x, để với mọi giá trị của y luôn tồn tại giá trị
của z thoả mãn:
sin(x+y+z)=
2
1
y
+
cos(2x+
xcos2
2
3
y
)

3

+

Bài V (4 điểm)
Cho Elip (E) có 2 tiêu điểm là F
1
và F
2
. Hai điểm M, N trên (E). Chứng
minh rằng 4 đờng thẳng MF
1
, MF
2
, NF
1
và NF
2
cùng tiếp xúc với một đờng
tròn.
sở gD-ĐT hà nội kỳ thi học sinh giỏi thành phố-lớp 12
Năm học 2002-2003
Môn thi: Toán
Ngày thi: 7 - 12 - 2002
Thời gian làm bài: 180 phút
______________________
Bài I (4 điểm)
Cho hàm số y=
2x
3x)m121(mx

22
+
+++
Tìm giá trị của tham số m để tiệm cận xiên của đồ thị hàm số tiếp xúc với đ-
ờng tròn có tâm I(0; 1) và có bán kính lớn nhất.
Bài II (4 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn, chứng minh bất đẳng thức
tg
5
A+ tg
5
B+ tg
5
C 9 (tgA+tgB+tgC)
Bài III (4 điểm)
Tìm quỹ tích điểm M(x; y) có toạ độ thoả mãn hệ:





=
=++
ysinx.33y7cosycos
x314xx
35
Bài IV (4 điểm)
Tìm tham số a (a 0) để bất phơng trình a
3
x

4
+6a
2
x
2
-x+9a+3 0
nghiệm đúng với x [2008; 2009]
Bài V (4 điểm)
Trong hệ toạ độ Oxy cho Hypebol (H) có phơng trình: xy=k
2
(k0). Một
đờng tròn (C) tâm J cắt (H) tại 4 điểm A
1
, A
2
, A
3
, A
4
. Chứng minh:
1. Nếu J thuộc A
1
A
3
thì O thuộc A
2
A
4
2. Các trực tâm của 4 tam giác A
1

A
2
A
3
, A
1
A
2
A
4
, A
1
A
3
A
4
, A
2
A
3
A
4
cùng
nằm trên một đờng tròn.