Tìm giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số

CHUY£N §Ò
Båi d ìng
häc sinh
giái m«n
to¸n thcs

CHñ §Ò
T×M GI¸ TRÞ LíN
NHÊT GI¸ TRÞ NHá
NHÊT CñA BIÓU
THøC §¹I Sè

CHñ §Ò
T×M GI¸ TRÞ LíN NHÊT GI¸ TRÞ
NHá NHÊT CñA BIÓU THøC §¹I
Sè
PhÇn i
Lý thuyÕt

LÝ THUYẾT
1. Các bất đẳng thức giá trị tuyệt đối
A B A B+ ≥ +
A B A B− ≤ −
A B A B− ≤ −
1.1
1.2
1.3

LÝ THUYẾT
2. Bất đẳng thức Cauchy (Cosi)

2 .a b a b+ ≥
2.1 Áp dụng cho 2 số dương:
Cho a > 0; b > 0 ta có:
1 2 3 1 2 3
. .
n
n n
a a a a n a a a a+ + + + ≥
2.2 Áp dụng cho n số dương:
Cho a
1
; a
2
; a
3
; …; a
n
> 0 ta có:
Dấu “=” xảy ra khi a = b
Dấu “=” xảy ra khi a
1
= a
2
= a
3
= ….= a
n

LÝ THUYẾT
3. Bất đẳng thức Bunyakovsky (Bunhiacôpski)

( )
( ) ( )
2
2 2 2 2
.ax by a b x y+ ≤ + +
3.1 Áp dụng cho 2 cặp số a, x; b,y. Ta có:
( )
( ) ( )
2
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
.
n n n n
a b a b a b a a a b b b+ + + ≤ + + + + + +
3.2 Áp dụng cho n cặp số
Cho a
1
; a
2
; a
3
; …; a
n
và b
1
; b
2
; b
3
; …; b

n
. Ta có:
Dấu “=” xảy ra khi
a b
x y
=
Dấu “=” xảy ra khi
1 2
1 2

n
n
a
a a
b b b
= = =

LÝ THUYẾT
4. Đa thức bậc hai một biến
P = ax
2
+ bx + c
P đạt giá trị lớn nhất khi a < 0
P đạt giá trị nhỏ nhất khi a > 0

Chứng minh:
2
2 2 2
2 2
2

4 4 2 4
b b b b b
P ax bx c a x x c a x c
a a a a a
 
 
= + + = + + + − = + + −
 ÷
 ÷
 
 
Ta có:
+ Nếu a > 0 =>
2 2
4 4 2
b b b
P c MinP c Khi x
a a a
−
≥ − ⇒ = − =
+ Nếu a < 0 =>
2 2
4 4 2
b b b
P c MaxP c Khi x
a a a
−
≤ − ⇒ = − =

Tæng hîp

1.3
1. Các bất đẳng thức giá trị tuyệt đối
A B A B+ ≥ +
1.1
A B A B− ≤ −
1.2
A B A B− ≤ −
1.3
2. Bất đẳng thức Cauchy (Cosi)
2 .a b a b+ ≥
2.1 Áp dụng cho 2 số dương:
Cho a > 0; b > 0 ta có:
Dấu “=” xảy ra khi a = b
1 2 3 1 2 3
. .
n
n n
a a a a n a a a a+ + + + ≥
2.2 Áp dụng cho n số dương:
Cho a
1
; a
2
; a
3
; …; a
n
> 0 ta có:
Dấu “=” xảy ra khi a
1

= a
2
= a
3
= ….= a
n
( )
( ) ( )
2
2 2 2 2
.ax by a b x y+ ≤ + +
3. Bất đẳng thức Bunhiacôpski
3.1 Áp dụng cho 2 cặp số a, x; b,y. Ta có:
Dấu “=” xảy ra khi
a b
x y
=
( )
( ) ( )
2
2 2 2 2
1 1 1 1
.
n n n n
a b a b a a b b+ + ≤ + + + +
3.2 Áp dụng cho n cặp số
Cho a
1
;…; a
n

và b
1
; …; b
n
. Ta có:
Dấu “=” xảy ra khi
1 2
1 2

n
n
a
a a
b b b
= = =
4. Đa thức bậc hai một biến
P = ax
2
+ bx + c
P đạt giá trị lớn nhất khi a < 0
P đạt giá trị nhỏ nhất khi a > 0

Đáp án: MinC = 11 khi
9
3
2
x≤ ≤
Bài 1: a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
5 3 2 9C x x x= + + − + −
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 3 2 1D x x= + − −
Đáp án: MaxD = 4 khi
1
2
x ≥
Bài tập vận dụng

Đáp án: MinA =
1 2
3 3
khi x
−
=
Bài 2: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A = 3x
2
– 4x + 1
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2
1
6 17
B
x x
=
− +
Đáp án: MaxB =
1
3
8
khi x =

Bài tập vận dụng

Phần ii
Bài tập vận dụng
CHủ Đề
TìM GIá TRị LớN NHấT GIá TRị
NHỏ NHấT CủA BIểU THứC ĐạI
Số

Bài 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
2 2
100 10
) 3 3 2010
) 10 2011
a A x xy y x y
b B a a
= + + − − +
= − +
Đáp án: MinA = 2007 khi x = 1; y = 1
1a = ±
Đáp án: MinB = 2002 khi
Bài tập vận dụng

Bài tập vận dụng
Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
các biểu thức sau:
2
4
2
2

)
1
2 3
)
1
x
a D
x
x
b E
x
=
+
+
=
+
1
khi 1
2
x = ±
Đáp án: MinD = 0 khi x = 0
MaxD =
Đáp án: MinE = 2 khi
MaxE = 3 khi x = 0
x ∈¡