Nguyên hàm các hàm số vô tỷ
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (321.14 KB, 6 trang )
NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ VÔ TỈ.
Bài toán 1:
Xác định nguyên hàm các hàm số vô tỉ dựa trên tam thức bậc hai.
Một số công thức thường được dùng trong phần này:
1/
2
2
xdx
x a C
xa
2/
2
2
ln | |
dx
x x a C
xa
3/
2 2 2
ln | |
22
xa
x adx x a x x a C
4/
2
1
arcsin
1
dx x C
x
5/
2
1
arccos
1
dx x C
x
Mở rộng công thức 4 và 5:
6/
22
1
arcsin 0
x
Ca
a
ax
7/
22
arccos 0
dx x
Ca
a
ax
.
Chú ý:
Dạng
11
2
a x b
dx
ax bx c
ta có thể làm như sau:
B1:
Biến đổi:
11
2a x b ax b
.
2a x b
.
Đồng nhất hệ số ta có:
1
1
2aa
bb
( trong đó
11
; ; ;a b a b
đã biết.)
B2:
Giải hệ phương trình trên tìm
;
B3:
Ta có:
11
22
2ax b
a x b
I dx dx
ax bx c ax bx c
22
2ax b dx
dx
ax bx c ax bx c
Đặt
1
2
2
2
2ax b
I dx
ax bx c
dx
I
ax bx c
B4:
+ Tính
1
2
2ax b
I dx
ax bx c
.
Đặt
2
2t ax bx c dt ax b dx
.
Từ đó suy ra:
1
2
dt
I t C
t
2
2 ax bx c C
+ Tính
2
2
dx
I
ax bx c
Biến đổi:
2
2
2
4
b
ax bx c a x
a
a
.
Tuỳ thuôc vào dấu của a và
mà ta có tích phân
2
I
thuộc dạng cơ bản 2;4;5;6;7
Bài tập áp dụng:
Tính các tích phân bất định sau:
1/
2
22
dx
xx
2/
2
21
1
x
dx
xx
3/
2
2
22
2
xx
dx
xx
4/
2
1
dx
xx
5/
2
2
34
1
xx
dx
xx
6/
2
4
1
1
x
dx
xx
7/
2
22x x dx
8/
2
21
1
x
dx
xx
9/
2
32
32
x
dx
xx
10/
2
2
21
2
xx
dx
xx
11/
2
12
dx
xx
12/
2
34
dx
xx
13/
2
23
22
x dx
xx
14/
2
14
dx
xx
15/
2
1
23
x dx
xx
16/
2
2
23
1
xx
dx
x
17/
2
2
22
4
x x dx
x
18/
2
2
2 3 1
4
x x dx
x
19/
2
2
1
1
x x dx
x
20/
2
2
1
1
x x dx
x
Bài toán 2:
Xác định nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến.
Dạng 1:
Tính tích phân bất định các hàm hữu tỉ đối với x và
n
ax b
cx d
có dạng:
,
n
ax b
I R x dx
cx d
với
0ad bc
.
Phương pháp giải:
B1: Thực hiện phép đổi biến:
n
ax b
t
cx d
n
n
n
ax b b dt
tx
cx d ct a
.
Từ đó suy ra:
?dx dt
.
B2:
Thay biến x bởi t. Đưa về tích tích phân bất định đối với hàm hữu tỉ. Mà tích phân
này đã được học từ tiết trước.
Bài tập áp dụng:
Tính các tích phân bất định sau:
1/
3
11
dx
xx
2/
3
23
x
dx
xx
3/
3
1
xdx
x
4/
12
xdx
x
5/
3
dx
xx
6/
3
1
dx
x
7/
11
dx
xx
8/
1
x
dx
x
9/
11
xdx
x
10/
9
dx
xx
11/
1
xdx
x
12/
2
2
1
x dx
x
13/
1x xdx
14/
4
1
dx
x
. 15/
2
1
dx
x
16/
2
3x x dx
Dạng 2:
Tính tích phân bất định các hàm hữu tỉ đối với x và
2
ax bx c
có dạng:
2
,I R x ax bx c dx
Phương pháp ( Sử dụng phương pháp Euler):
Ta xét các trường hợp sau:
1/ Nếu a>0 đặt
2
ax bx c t x a
hoặc
t x a
2/ Nếu c>0 đặt
2
ax bx c tx c
hoặc
tx c
3/ Nếu tam thức
2
ax bx c
có biệt số
0
thì
2
12
ax bx c a x x x x
. Khi đó
đặt:
2
1
ax bx c t x x
.
Bài tập áp dụng:
Tính các tích phân bất định sau:
1/
22
4x x dx
2/
2
2x x dx
3/
2x x dx
4/
2
1
dx
x x x
5/
2
1 1 2
dt
xx
6/
2
2
1 4 3
x dx
x x x
7/
2
1 4 3
dx
xx
8/
2
2 2 4
dx
x x x
9/
2
1
dx
x x x
10/
2
2
32
32
x x x
dx
x x x
Dạng 3:
Tính tích phân bất định:
2
11
dx
I
a x b ax bx c
.
Phương pháp giải.
Bước 1: Thực hiện phép đổi biến:
1
1
t
a x b
2
1 dt
ax b pdx
tt
;
11
xb
at
.
Khi đó:
2
11
dx
I
a x b ax bx c
2
2
1 1 1
2
11
11
dt
ab
a t b b c
a t a t
Sau khi rút gọn ta được:
22
2
;0
;0
dt
t
a t b t c
dt
t
a t bt c
B2: Tính các tích phân vừa tìm được.
Bài tập áp dụng:
Tính các tích phân bất định sau:
1/
2
1 2 2
dx
x x x
2/
2
1 2 2
dx
x x x
3/
2
1 4 5
dx
x x x
4/
2
2 3 3 1
dx
x x x
5/
2
2 4 3
dx
x x x
6/
2
1 3 2
dx
x x x
7/
2
2 1 2 2
dx
x x x
8/
42
21
dx
x x x
Dạng 4:
Tính tích phân bất định sau:
11
2
22
a x b
I dx
a x b ax bx c
Phương pháp giải:
B1:
Biến đổi:
1 1 2 2
a x b a x b
22
a x b
Đồng nhất hệ số:
21
21
aa
bb
( trong đó:
1 2 1 2
; ; ;a a b b
là các hằng số ).
Giải hệ phương trình trên tìm
,
B2:
11
2
11
a x b
I dx
a x b ax bx c
22
11
dx
dx
ax bx c a x b ax bx c
B3: Tính
1
2
dx
I
ax bx c
2
2
11
dx
I
a x b ax bx c
Dễ thấy
12
;II
là hai dạng tích phân đã được nói đến ở phần trên.
Bài tập áp dụng:
Tính các tích phân bất định sau:
1/
2
23
1 2 2
x dx
x x x
2/
2
21
1 3 2
x dx
x x x
3/
2
2
1 2 3
x dx
x x x
4/
2
23
2 1 2
x dx
xx
5/
2
35
12
x
dx
x x x
6/
2
2
11
x
dx
xx
7/
2
34
21
x dx
xx
8/
2
21
14
x dx
xx
BÀI TẬP PHẦN TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
1.
32
5
2
4xx
dx
2.
2
3
2
2
1xx
dx
3.
2
1
2
1
2
5124)32( xxx
dx
4.
2
1
3
1xx
dx
5.
2
1
2
2008dxx
6.
2
1
2
2008x
dx
7.
1
0
22
1 dxxx
8.
1
0
32
)1( dxx
9.
3
1
22
2
1
1
dx
xx
x
10.
2
2
0
1
1
dx
x
x
11.
1
0
32
)1( x
dx
12.
2
2
0
32
)1( x
dx
13.
1
0
2
1 dxx
14.
2
2
0
2
2
1 x
dxx
15.
2
0
2cos7
cos
x
xdx
16.
2
0
2
coscossin
dxxxx
17.
2
0
2
cos2
cos
x
xdx
18.
2
0
cos31
sin2sin
dx
x
xx
19.
7
0
3
2
3
1 x
dxx
20.
3
0
23
10 dxxx
21.
1
0
12x
xdx
22.
1
0
2
3
1xx
dxx
23.
7
2
112x
dx
24.
dxxx
1
0
815
31
25.
3ln
0
1
x
e
dx
27.
1
1
2
11 xx
dx
28.
2ln
0
2
1
x
x
e
dxe
29.
1
4
5
2
8412 dxxx
30.
e
dx
x
xx
1
lnln31
31.
3
0
2
35
1
dx
x
xx
32.
dxxxx
4
0
23
2
33.
0
1
3
2
)1( dxxex
x
34.
3ln
2ln
2
1ln
ln
dx
xx
x
35.
3
0
2
2
cos
32
cos
2cos
dx
x
tgx
x
x
36.
2ln
0
3
)1(
x
x
e
dxe
37.
3
0
2cos2
cos
x
xdx
38.
2
0
2
cos1
cos
x
xdx
39.
dx
x
x
7
0
3
3
2
40.
a
dxax
2
0
22
