Nguyên hàm các hàm số vô tỉ

Trần Só Tùng Tích phân
Trang 67
Vấn đề 9: NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ VÔ TỈ

Để xác đònh nguyên hàm của các hàm số vô tỉ ta cần linh hoạt lựa chọn một trong
các phương pháp cơ bản sau:
1. Phương pháp đổi biến.
2. Phương pháp tích phân từng phần.
3. Sử dụng các phép biến đổi.

Hai công thức thường sử dụng:
1.
2
2
xdx
xaC
xa
=±+
±
ò

2.
2
2
dx
lnxxaC.
xa
=+±+
±
ò

1. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
Bài toán 1: Xác đònh nguyên hàm các hàm số vô tỉ bằng phương pháp đổi biến

Dạng 1: Tính tích phân bất đònh các hàm hữu tỉ đối với x và
n
axb
cxd
+
+
có dạng:

n
axxb
IRx,dxvớiadbc0.
cxd
ỉư
+
=-¹
ç÷
+
èø
ò

PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước sau:
· Bước 1: Thực hiện phép đổi biến:
Đặt:
n
n

n
n
axbaxbbdt
ttx
cxdcxd cta
++-
=Þ=Û=
++-

· Bước 2: Bài toán được chuyển về: IS(t)dt.=
ò

Chú ý: Với hai dạng đặc biệt:
axax
IRx,dxhoặcIRx,dx
axax
ỉưỉư
+-
==
ç÷ç÷
-+
èøèø
òò
chúng ta
đã biết với phép đổi biến: x = acos2t.
Trường hợp đặc biệt, với
ax
Idx
ax
+

=
-
ò
, ta có thể xác đònh bằng cách:
Vì
ax
ax
+
-
có nghóa khi
2
axanênxa0,dó(ax)ax.-£<+>+=+
Khi đó:
22
2222
xxaxdxxdx
Idxdxa
ax
ax
axax
++
===+
-
-
--
òòòò

Tích phân Trần Só Tùng
Trang 68
Trong đó:

22
dx
ab+
ò
được xác đònh bằng phép đổi biến x = asint.

22
22
xdx
aaxC.
ax
=--+
-
ò

Ví dụ 1: Tính tích phân bất đònh:
2
3
3
dx
I
x1[x1)1]
=
+++
ò

Giải:
Đặt:
3
3

tx1tx1=+Þ=+. Suy ra:
2
2
22
2
3
3
dx3tdt3tdt
3tdtdx&
t(t1)t1
x1[(x1)1]
===
++
+++

Khi đó:
2
22
3
22
3tdt3d(t)
Iln(t1)Cln[(x1)1]C.
2t1t1
===++=+++
++
òò

Ví dụ 2: Tính tích phân bất đònh:
dx
I

2x2x1
=
+
ò

Giải:
Đặt:
2
t2x1t2x1=+Þ=+. Suy ra:
22
dxtdtdt
2tdt2dx&
(t1)tt1
2x2x1
===
--
+

Khi đó:
2
dt1t112x11
IlnClnC.
2t12t1
2x11
-+-
==+=+
+-
++
ò

Ví dụ 3: Tính tích phân bất đònh:
3
2
4
xdx
I
xx
=
-
ò

Giải:
Ta nhận xét:
211
3
2
4
3
24
xx,xxvàxx===, từ đó 12 là bội số chung nhỏ nhất của các
mẫu số, do đó đặt x = t
12

Suy ra:
17144
1194
8355
3
2
4

xdx12tdt12tdtt
dx12tdt&12ttdt
ttt1t1
xx
ỉư
====++
ç÷
---
èø
-

Khi đó:
4105
945
5
ttt1
I12ttdt12ln|t1|C.
1055t1
ỉưỉư
=++=++-+
ç÷ç÷
-
èøèø
ò

Dạng 2: Tính tích phân bất đònh
dx
I
(xa)(xb)
=

++
ò

PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta xét hai trường hợp:
· Trường hợp 1: Với
xa0
xb0
+>
ì
í
+>
ỵ

Trần Só Tùng Tích phân
Trang 69
Đặt: txaxb=+++
· Trường hợp 2: Với
xa0
xb0
+<
ì
í
+<
ỵ

Đặt: t(xa)(xb)=-++-+
Ví dụ 4: Tính tích phân bất đònh:
2
dx

I
x5x6
=
-+
ò

Giải:
Biến đổi I về dạng:
dx
I
(x2)(x3)
=
--
ò

Ta xét hai trường hợp:
· Với
x20
x3
x30
->
ì
Û>
í
->
ỵ
. Đặt: tx2x3=-+-
suy ra :
11(x2x3)dxdx2dt
dtdx

t
2x22x32(x2)(x3)(x2)(x3)
-+-
ỉư
=+=Û=
ç÷
---+--
èø

Khi đó:
dt
I22ln|t|C2ln|x2x3|C
t
==+=-+++
ò

· Với
x20
x2
x30
-<
ì
Û<
í
-<
ỵ
. Đặt: tx23x=-+-
suy ra :
11[2x3x]dxdx2dt
dtdx

t
22x23x2(x2)(x3)(x2)(x3)
-+-
éù
=+=Û=-
êú
------
ëû

Khi đó:
dt
I22ln|t|C2ln|2x3x|C
t
=-=-+=--+-+
ò

Dạng 3: Tính tích phân bất đònh các hàm hữu tỉ đối với x và
22
ax- có dạng:
22
IR(x,ax)dx,vớiadbc0.=--¹
ò

PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước sau:
· Bước 1: Thực hiện phép đổi biến:

22
x|a|sintvớit
(hoặccóthểtxax)

22
x|a|costvới0t
pp
é
=-££
ê
=+-
ê
=££p
ë

· Bước 2: Bài toán được chuyển về: IS(sint,cost)dt.=
ò


Tích phân Trần Só Tùng
Trang 70
Ví dụ 5: Tính tích phân bất đònh:
3
2
xdx
I.
1x
=
-
ò

Giải:
· Cách 1: Đặt: xsint,t
22

pp
=-<<
Suy ra:
33
3
2
xdxsint.cosdt1
dxcostdt&sintdt(3sintsin3t)dt
cost4
1x
====-
-

Khi đó:
131
I(3sintsin3t)dttgtCcostcos3tC
4412
=-=+=-++
ò


332
3111
cost(4cost3cosxt)CcostcostCcost1costC
41233
ỉư
=-+-+=-+=-+
ç÷
èø

22222
111
(1sint)1C(1x)11xC(x2)1xC
333
éùéù
=--+=---+=-+-+
êúêú
ëûëû

Chú ý: Trong cách giải trên sở dó ta có:

2
22
costcost
tcost0
22
cost1sint1x
ì
=
pp
ï
-<<Þ>Þ
í
ï =-=-
ỵ

· Cách 2: Đặt
222
t1xx1t=-Þ=-

Suy ra:
3222
2
222
xdxx.xdxx.xdx(1t)(tdt)
2xdx2tdt&(t1)dt
t
1x1x1x
--
=====-
---

Khi đó:
23222
111
I(t1)dtttC(t3)tC(x2)1xC
333
=-=-+=-+=-+-+
ò

Dạng 4: Xác đònh nguyên hàm các hàm số hữu tỉ đối với x và
22
ax+ có dạng:
22
IR(x,ax)dx,vớiadbc0.=+-¹
ò

PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước sau:
· Bước 1: Thực hiện phép đổi biến:

22
x|a|tgtvớit
(hoặccóthểtxax)
22
x|a|cotgtvới0t
pp
é
=-<<
ê
=++
ê
=<<p
ë

· Bước 2: Bài toán được chuyển về: IS(sint,cost)dt.=
ò

Ví dụ 6: Tính tích phân bất đònh:
2
I1xdx.=+
ò

Giải:
Trần Só Tùng Tích phân
Trang 71
· Cách 1: Đặt: xtgt,t.
22
pp
=-<< Suy ra:

2
23
dtdt
dx&1xdx.
costcost
=+=
Khi đó:
3422
dtcostdtcostdt
I
costcost(1sint)
===
-
òòò

Đặt: u = sint. Suy ra:
2222
costdtdu
ducostdt&
(1sint)(u1)(u1)
==
-+-

Khi đó:
22
du1u12u
IlnC
4u1(u1)(u1)
(u1)(u1)
éù+

==-+
êú
-+-
+-
ëû
ò


22
2
22
2
2
2
2222
1sint12sint
lnC
4sint1(sint1)(sint1)
xx
12
1
1x1x
lnC
x
xx
4
1
11
1x
1x1x

1x1x
ln2x1xC
4
x1x
11
(2ln|x1x|2x1x)C(ln|x1x|x1x)C.
42
éù+
=-+
êú
-+-
ëû
éù
+
êú
++
êú
=-+
ỉưỉư
êú
-
+-
ç÷ç÷
êú
+
++
èøèø
ëû
ỉư
++

ç÷
=+++
ç÷
-+
èø
=+++++=+++++

· Cách 2: Đặt:
2
2222
t1
tx1xtx1x(tx)1xx
2t
-
=++Þ-=+Þ-=+Þ=

22
2
t1t1
1xt
2t2t
-+
Þ+=-=
Suy ra:
222
222
2
xx1x2tt1
dt1dxdxdxdxdt
1xt12t

1x
+++
ỉư
=+==Û=
ç÷
++
+
èø


2222
2
233
t1t11(t1)121
1xdx.dtdttdt
2t44t2ttt
+++
ỉư
+===++
ç÷
èø

Khi đó:
2
32
121111
Itdtt2ln|t|C
4t42t2t
ỉưỉư
=++=+-+

ç÷ç÷
èøèø
ò


222
2
22
111
t4ln|t|C4x1x4lnx1xC
88t
1
(lnx1xx1x)C.
2
éù
ỉư
éù
=-++=+++++
ëû
ç÷
êú
èø
ëû
=+++++

· Cách 3: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần
Đặt :
2
2
xdx

du
ux1
x1
dvdx
vx
ì
ì=
ïï
=+
Þ
+
íí
=
ï
ï
ỵ
=
ỵ

Tích phân Trần Só Tùng
Trang 72
Khi đó:
2
2
2
xdx
Ixx1
x1
=+-
+

ò

Với
22
2
2
22
xdx[(x1)1]dxdx
Jx1dx
x1
x1x1
+-
===+-
+
++
òòòò


2
Ilnxx1C(2)=-+++
Thay (2) vào (1) ta được:

2222
Ixx1(Ialn)xx1C2Ixx1lnxx1C=+--+++Û=+++++

22
x1
Ix1lnxx1C.
22
Û=+++++

Chú ý:
1. Trong cách giải thứ nhất sở dó ta có:

2
2
1x
1xcostvàsint
cost
1x
+==
+

là bởi:
2
2
costcost
tcost0
x
22
sinttgt.cost
1x
ì
=
pp ï
-<<Þ>Þ
í
==
ï
+
ỵ

2. Cả ba phương pháp trên (tốt nhất là phương pháp 2) được áp dụng để giải bài toán
tổng quát:

2222
2
axdx
xadxlnxxaxaC;lnxxaC.
22
xa
+=+++++=+++
+
òò

3. Với tích phân bất đònh sau tốt nhất là sử dụng phương pháp 1:

222k1
dx
,vớikZ.
(ax)
+
Ỵ
+
ò

4. Với tích phân bất đònh: (xa)(xb)dx++
ò
ta có thể thực hiện như sau:
Đặt:
2

ab(ba)
tx&A
24
+-
=+=-
suy ra:
2
dtdx&(xa)(xb)dxtAdt=++=+
Khi đó:
222
At
ItAdtlnttAtAC
22
=+=+++++
ò


2
(ba)ab2xab
lnx(xa)(xb)(xa)(xb)C.
824
-+++
=+++-++++

Dạng 5: Tính tích phân bất đònh các hàm hữu tỉ đối với x và
22
xa- có dạng:
22
IR(x,xa)dx,vớiadbc0.=--¹
ò

Trần Só Tùng Tích phân
Trang 73
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước sau:
· Bước 1: Thực hiện phép đổi biến:

22
|a|
xvớit;\{0}
sint22
(hoặccóthểtxa)
|a|
xvớit[0;]\{}.
cost2
é pp
éù
=Ỵ-
ê
êú
ëû
=-ê
p
ê
=Ỵp
ê
ë

· Bước 2: Bài toán được chuyển về: IS(sint,cost)dt.=
ò

Ví dụ 7: Tính tích phân bất đònh:
22
xdx
I
2x13x1
=
-+-
ò

Giải:
· Cách 1: Đặt:
222
tx1tx1=-Þ=-
Suy ra:
2
2222
xdxxdxtdt
2tdt2xdx&
2t3t1
2x13x12(x1)3(x11
===
++
-+--+-+

Khi đó:
2
tdt
I
2t3t1

=
++
ò

Ta có:
2
ttab(a2b)tab
(2t1)(t1)2t1t1(2t1)(t1)
2t3t1
+++
==+=
++++++
++

Đồng nhất đẳng thức, ta được:
a2b1a1
ab0b1
+==-
ìì
Û
íí
+==
ỵỵ

Khi đó:
2
t11
.
2t1t12t3t1
=-+

++++

Do dó:
2
1111(t1)
Idtln|2t1|ln|t1|ClnC
2t1)t122|2t1|
+
ỉư
=-+=-++++=+
ç÷
+++
èø
ò


22
2
1(x11)
ln
2
2x11
-+
=
-+

· Cách 2: Vì điều kiện |x| > 1, ta xét hai trường hợp:
– Với x > 1:
Đặt:
1

x,t[0;)
cost2
p
=Ỵ. Suy ra:
2
sintdt
dx,
cost
=

22
2
22
22
2
1sint
.dt
xdx(1tgt)tgt.dt(1tgt)tgt.dt
costcost
2
2(1tgt)13tgt2tgt3tgt1
2x13x1
13tgt
cost
++
===
+-+++
-+-
-+