Bài giảng Toán kĩ thuật Chương 3 - ĐH Cần Thơ

Chương 3

CHUỖI FOURIER
VÀ BIẾN ĐỔI FOURIER
Nội dung
•
Một số dạng tín hiệu quan trọng
•
Khái niệm hàm tuần hoàn
•
Chuỗi Fourier
•
Tích phân Fourier – Biến đổi Fourier
•
Phân tích phổ tín hiệu
Moọt soỏ daùng tớn hieọu quan troùng

Tớn hiu xung vuụng gúc (t)

Hm dc (Ramp function)

Hm bc nhy n v u(t)

Hm xung lc n v

Tớn hiu Sgn(t)

Tớn hiu xung tam giỏc

Hm m suy gim

Hm m tng dn

Xung hm m

Tớn hiu xung cosin

Cp phõn b (t) chn l

Phõn b lc

Dóy xung vuụng lng cc

Dóy xung vuụng n cc

Tớn hiu sin suy gim theo hm m

Tớn hiu Sinc

Tớn hiu Sinc
2


Tớn hiu Gausse
Moọt soỏ daùng tớn hieọu quan troùng
Tớn hiu xung vuụng gúc (t) Hm dc r(t)

Hm dc r(t-a) nhõn vi h s K cho hm K.r(t-a),
dng súng l ng thng cú dc K v gp
trc t a
2

1

2
1
1
0
)()( ttx =







<
>
==
2
1
t, 1
2
1
, 0
)()(
t
ttx
c
0
)(.)(
b

ct
atx

=
b
a

)(.)(
b
ct
atx

=



<

=
0,0
0,
)(
t
tt
tr
0
r(t)
0 a
r(t-a)

<

=
at
att
atr
,0
,
)(
K
1

Moọt soỏ daùng tớn hieọu quan troùng
Hm bc nhy n v u(t)
0
)(tu
1
1/2



<
>
===
0t, 1
0t, 0
)(1)()( ttutx
0

)(

tXu

)()(

= tXutx
)(tx
0
X

[ ]
[ ]
)(1).()(1.
)().()(.)(




=
=
tttt
X
tuttut
X
tx
Moọt soỏ daùng tớn hieọu quan troùng
Tớnh cht hm xung lc
Raadttadtta ==

;)(.)(.

)(
)(1
)(1)()( t
dt
td
ttud
t
o

===

x(t). (t) = x(0).(t)
x(t).(t t
0
) = x(t
0
). (t t
0
)
)0()().( xdtttx =

)()().(
00
txdttttx =




)(.
0
0
tt
t
t

=








(-t) = (t)
)()().()().()()( txdtxdtxttx ===

x(t)*(t - t
0
) = x(t-t
0
)
Hm xung lc n v
1
(t)
0
t
1)(
0t,
0t, 0
)(
=



=

=



dtt
t

+

=



=

=
1)(
t,
t, 0
)(
0
0
0
0
tt
t
t
tt


1
(t t
0
)
0
t
t

0
Moọt soỏ daùng tớn hieọu quan troùng
Tớn hiu Sgn(t) Tớn hiu xung tam giỏc
1
1
0
)tSgn()t(x
=
t





<
=
>
==
0t,1
0t,0
0t,1
)t(Sgn)t(x
t
1
1
1
0
)()( ttx =

>

=
1t khi, 0
1t khi, ||1
)(
t
tx
t
X
0



<
>
=

0t, 0
0,0t, .
)(


t
eX
tx
t

0;)(1)1()( >=



tetx
t
x(t)
0
X
Hm m suy gim Hm m tng dn
Moọt soỏ daùng tớn hieọu quan troùng
0,
2
.)( >













=

T
T
t
eXtx
t
T0








=
0
0
/
).cos(.)(


t
tXtx
t
0
2


0

2



0
X
Xung hm m Tớn hiu xung cosin
Moọt soỏ daùng tớn hieọu quan troùng
Tớn hiu sin suy gim theo hm m
Tớn hiu Gausse
|
|
-1
1
1
2
)(
t
etx


=
2
t
e)t(x

=
X
-X
-t

0




2


3


4



<

=

0,0
0,sin
)(
0
t
tteX
tx
t


Moọt soỏ daùng tớn hieọu quan troùng

Cp phõn b (t) chn l






++= )
2
1
()
2
1
(
2
1
)(|| ttt







+= )
2
1
()
2
1

(
2
1
)( ttt

|
|
||(t)
0
t
2
1
2
1

2
1
0 t
2
1
2
1

2
1
)t(
2
1

Moọt soỏ daùng tớn hieọu quan troùng

Tớnh cht phõn b lc
( )


=
=
n
ntnxttx )().().(

( )


=
=
n
ntxttx )()(
( ) ( )
tt =
( ) ( )
tnt =+


=
=

n
nt
t
)(.||


0
t
)(||| t
. . . . . .
1
2 3 4 5
-1-2-3
-4
-5
( )


=
=
n
ntt )(|||

Phõn b lc
Moọt soỏ daùng tớn hieọu quan troùng
Dóy xung vuụng lng cc
Dóy xung vuụng n cc
)(tx
0

t
. . . .
. . . .
2
T
T
T
2
T

)(tx
0
t
. . . . . .
T
X
2T
-T
-T

Moọt soỏ daùng tớn hieọu quan troùng
Tớn hiu Sinc
Tớn hiu Sinc
2

Sinc(t)
1
0
0

0
2


0
3


0
4


0



0
2



0
3



0
4

=

==
0,1
0,
sin
)()(
0
0
0
t
t
t
t
tSinctx



Sinc
2
(t)
1
0

0


0
2


0
3


0



0
2



0
3

=

==
0,1
0,
)(
sin
)(
2
0
0
2
0
2
t
t
t
t
tSinctx



Ví dụ
Khaựi nieọm haứm tuan hoaứn
Khỏi nim Lu ý

Khụng phi tt c cỏc hm tun hon u cú
chu k c bn

Nu = n2/2p thỡ 2/ = 2p/n l chu k c bn

ca cos(nt/p) v sin(nt/p). V lỳc ú n.(2p/n) =
2p cng l chu k ca hm cos(nt/p) v
sin(nt/p)

Hm tun hon thỡ khụng cn xỏc nh trờn tt
c cỏc giỏ tr ca bin c lp
f(t)
0 p 2p 4p 6p
t

f(t+2p) = f(t)
Vi 2p: chu k ca f(t)

f (t + 2p) = f (t + 2p + 2p)
= f (t + 4p) . . .
= f(t+2np)
S 2p l chu k c bn
Chuoãi Fourier
•
Chuỗi lượng giác:
∑
∞
=
++
1
0
))sin()cos((
2
n
nn

nxbnxa
a
p
xn
b
p
x
b
p
x
b
p
xn
a
p
x
a
p
x
aa
p
xn
b
p
xn
aa
nn
n
nn
ππππππ

ππ
sin
2
sinsincos
2
coscos
2
1
)sincos(
2
1
21210
1
0
++++++++=
++
∑
∞
=
•
Chuỗi lượng giác mở rộng:
Ta thấy nếu chuỗi hàm lượng giác có tổng f(x) hay hội tụ về f(x) trong một miền nào đó thì f(x) phải là hàm tuần hoàn
chu kỳ là 2π.
Tương tự nếu chuỗi trên hội tụ đến hàm f(x) thì hàm f(x) cũng tuần hoàn với chu kỳ T = 2p.
Công thức Euler mở rộng
0;0cos )(
2pd
d
≠=
∫

+
ndt
p
tn
a
π
0sin )(
2pd
d
=
∫
+
dt
p
tn
b
π
nmdt
p
tn
p
tm
c ≠=
∫
+
;0cos.cos )(
2pd
d
ππ
0;cos )(

2pd
d
2
≠=
∫
+
npdt
p
tn
d
π
0sin.cos )(
2pd
d
=
∫
+
dt
p
tn
p
tm
e
ππ
nmdt
p
tn
p
tm
f ≠=

∫
+
;0sin.sin )(
2pd
d
ππ
0;sin )(
2pd
d
2
≠=
∫
+
npdt
p
tn
g
π
Định lý Dirichlet
•
Nếu f(t) là hàm tuần hoàn, bị chặn và có một số điểm xác định không liên tục trong một chu kỳ của
nó thì khi đó chuỗi Fourier của f(t) sẽ hội tụ đến f(t) tại tất cả những điểm mà f(t) liên tục. Còn tại
những điểm mà f(t) không liên tục, chuỗi Fourier của nó sẽ hội tụ đến giá trị trung bình của giới
hạn trái và giới hạn phải của f(t) tức nếu tại điểm t=t
0
hàm số bị gián đoạn thì:
2
)()(
2
)(lim)(lim

)(
00
0
00
+−
+−
+
=
+
==
→→
tftf
tftf
ttS
tttt
n
Chuỗi Fourier (khai triển Fourier)
Cho hàm số f(t) tuần hoàn với chu kỳ T = 2p thỏa điều kiện Dirichlet. Khi đó hàm f(t) có thể biểu
diễn dưới dạng chuỗi Fouier theo công thức sau:
∑
∞
=









++=
1
0
sincos
2
1
)(
n
nn
p
tn
b
p
tn
aatf
ππ













==

==
==
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
+ +
+ +
+ +
pd
d
Td
d
n
pd
d
Td
d
n
pd
d
Td
d
dt
T
tn
tf
T
dt
p
tn

tf
p
b
dt
T
tn
tf
T
dt
p
tn
tf
p
a
dttf
T
dttf
p
a
2
2
2
0
2
sin)(
2
sin)(
1
2
cos)(

2
cos)(
1
)(
2
)(
1
ππ
ππ
Lưu ý
•
Tại điểm hàm f(t) không liên tục thì chuỗi đó bằng trung bình của giới hạn trái và phải
•
Thành phần a
0
chính là trị trung bình của hàm f(t) trong một chu kỳ. Vì thế nó chính là thành phần
DC của tín hiệu điện.
•
Người ta hay chọn đoạn lấy tích phân trong khoảng (-p, p) hoặc từ (0, T).
∫
−
=
p
p
dttf
p
a ).(
1
0
∫

−
=
p
p
n
dt
p
tn
tf
p
a
π
cos)(
1
∫
−
=
p
p
n
dt
p
tn
tf
p
b
π
sin)(
1
Ví dụ

•
Tìm khai triển Fourier của hàm f(x) bên dưới. Biết f(x)=f(x+2π)
•
Nhận xét: hàm f(x) tuần hoàn với chu kỳ T=2p=2π và thỏa định lý Dirichlet, nên có thể khai triển Fourier.
•
Áp dụng công thức, ta tìm các hệ số Fourier:
•
Vậy khai triển Fourier của hàm f(x) có dạng:
Ví dụ
Định lý 1
•
Nếu f(t) là hàm tuần hoàn chẵn theo t thì
b
n=0

•
Khi đó:
Định lý 2
•
Nếu f(t) là hàm tuần hoàn lẽ theo t thì
a
n=0

•
Khi đó:
∫∫
==
−
pp
p

dttf
p
dttf
p
a
0
0
).(
2
).(
1
∫∫
==
−
pp
p
n
dt
p
tn
tf
p
dt
p
tn
tf
p
a
0
cos)(

2
cos)(
1
ππ
∫∫
==
−
pp
p
n
dt
p
tn
tf
p
dt
p
tn
tf
p
b
0
sin)(
2
sin)(
1
ππ