Đề khảo sát lần 2 (09-10)

ĐỀ KHẢO SÁT HS KHÁ GIỎI LẦN 2 NĂM 2010
MÔN: TOÁN - LỚP 12
Thời gian làm bài: 150 phút
A/ PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH
Câu I (2 điểm) Cho hàm số:
3
3 2y x x= − +
(1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
2) Viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến đi qua A(2; 4). Hãy tính diện tích
hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và tiếp tuyến của (C) tại A(2; 4).
Câu II (3 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
1)
( ) ( )
sin 3 cos 2sin 3 cos3 1 sin 2cos3 0x x x x x x− + + − =
2)
2 2
2
2
1
xy
x y
x y
x y x y

+ + =

+


+ = −


3)
3.8 4.12 18 2.27 0
x x x x
+ − − =
Câu III (Khối A: 2 điểm; Khối B,D: 3 điểm)
1) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh
a
, A’M
⊥
(ABC) và A’M
3
2
a
=
, với M là trung điểm của BC. Tính thể tích khối đa diện ABA’B’C theo
a
và tính góc hợp bởi
cạnh bên với đáy ABC.
2) Tính tích phân sau: I
1
2
0
1
dx
x x
=
+ +
∫
Câu IV (1 điểm) (TS khối B và khối D không phải làm câu này)

Chứng minh bất đẳng thức sau:
(
)
2
1
ln 1 1 lnx x
x
+ + < +
với
0x >
B/ PHẦN DÀNH RIÊNG: (Thí sinh chỉ được chọn câu V.a hoặc V.b)
Câu V.a. Chương trình chuẩn (2 điểm)
1) Giải phương trình sau:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
3 2 2 3
2log 2 5 log 3 2log 9 5 log 2
x x
x x x x
− −
− + − = + − −
2) Trong không gian Oxyz cho điểm A
( )
1;3; 2− −
; B
( )
9;4;9−
và mặt phẳng (P):
2 1 0x y z− + + =
.

Tìm điểm K trên mặt phẳng (P) để AK + BK nhỏ nhất.
Câu V.b. Chương trình nâng cao (2 điểm)
1) Cho
*
,k n ∈¥
;
1 k n≤ ≤
Chứng minh rằng:
( ) ( ) ( )
1 2
1 2 2
. . 1 2. . . 1 . . . 1 . . . (1)
n n n k
k k n n
n n n n
C x x C x x k C x x n C x n x
− − −
− + − + + − + + =
2) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng
a
. Các điểm M thuộc AD’ và N thuộc DB
sao cho AM = DN = k
( )
0 2k a< <
. Bằng Phương pháp tọa độ hãy tìm k để đoạn MN ngắn nhất,
khi MN ngắn nhất hãy chứng tỏ rằng MN là đường vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau
AD’ và DB hãy tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau này theo
a
.
HD: Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho A

( )
0;0;0
; B
( )
;0;0a
; D
( )
0; ;0a
và A’
( )
0;0;a
Lưu ý: Nếu thí sinh làm cả 2 câu V.a và V.b Thì phần làm riêng sẽ không được chấm.
(Thí sinh không được sử dụng bất cứ tài liệu gì)
Hết
Họ và tên thí sinh: SBD: