Điều khiển số và các hệ thống rời rạc

1 Mô hình tín hiệu và hệ thống
1.1 Cấu trúc cơ sở của hệ thống ĐK số
Khâu Điều chỉnh:
1. Phương trình sai phân
1 1 0 0 1 1k k k k k k
p u p u p u q e q e q e
µ µ ν ν
− − − −
+ + + = + + +K K
2. Hàm truyền đạt trên miền ảnh z
( )
( )
( )
1
1
0 1
1
1
0 1
DC
Q z
q q z q z
G z
p p z p z
P z
ν
ν
µ
µ
−
− −

− −
−
+ + +
= =
+ + +
K
K
- Khâu Điều chỉnh: Sử dụng vi xử lý (microprocessor: µP), vi điều khiển
(microcontroller: µC) hoặc vi xử lý tín hiệu (digital signal processor: DSP)
- Khâu DAC: Có thể không tồn tại một cách tường minh, mà ẩn dưới dạng thiết bị
có chức năng DA. Ví dụ: khâu điều chế vector điện áp (khi điều khiển digital động cơ
ba pha)
- Khâu ADC: Thường sử dụng đo đạc giá trị thực của đại lượng ra (ví dụ: đo dòng).
Đôi khi tồn tại dưới dạng khác: đo tốc độ quay bằng IE
- Sau khi trích mẫu (lý tưởng) bằng ADC ta thu được chuỗi giá trị số:
( ) ( ) ( ) ( )
[ ] [ ]
0 1 2
0 , 1 , 2 , hay , , ,
k
u k u u u u u u u  =  … = …
   
- Để khảo sát tín hiệu có gián đoạn bằng công cụ Laplace (hay phân tích phổ), đồng
thời tạo điều kiện mô tả hỗn hợp với các khâu liên tục, ta nhân chuỗi với hàm δ(t) và thu
được dãy xung:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
*
0
0

k
k
u t u kT t kT
u t t kT
δ
δ
∞
=
∞
=
=  − 
 
= −
∑
∑
- Mô hình tín hiệu có dạng bậc thang trên miền thời gian:
( ) ( ) ( )
{ }
0
1 1 1
k
k
u t u t kT t k T
∞
=
= − −  − + 
 
∑
- Chuyển sang miền ảnh Laplace:

( )
0
1
sT
skT
k
k
e
U s u e
s
−
∞
−
=
−
=
∑
- Từ đó thu được hàm truyền của khâu giữ chậm:
( )
( )
( )
1
sT
H
U s
e
G s
U s s
−
∗

−
= =
1.2 Mô hình tín hiệu trên miền ảnh z
- Chuyển phương trình mô tả dãy xung u
*
(t) sang miền ảnh Laplace:
( ) ( ) ( ) ( )
0 0
skT
k
k k
u t u kT t kT U s u e
δ
∞ ∞
∗ ∗ −
= =
 
=  −  ⇒ =
 
 
∑ ∑
- Thay:
sT
z e=
ta thu được:

( ) ( )
0
sT
k

k
e z
k
U s U z u z
∞
∗ −
=
=
 
= =
 
∑
Ví dụ: Một tín hiệu gián đoạn về thời gian cho trước bởi:
0 k<0
k 0
k
k
u
a


≥

- Ảnh z của tín hiệu kể trên:
( )
( )
0 0
k
k k
k k

a
U z a z
z
∞ ∞
−
= =
 
= =
 ÷
 
∑ ∑
- Chuỗi trên chỉ hội tụ khi
1a z
<
, tức là ở
vùng phía ngoài đường tròn có bán kính a → vai
trò quan trọng của T đối với ổn định của hệ thống.
1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z
Hệ thống ĐK số bao gồm 2 loại khâu cơ bản:
1. Khâu có bản chất gián đoạn: các tín hiệu vào/ra/trạng thái đều gián đoạn về thời gian và
về mức. Khâu mô tả các thiết bị ĐK digital.
2. Khâu có bản chất liên tục: Mô tả đối tượng điều khiển. Khi gián đoạn hóa sẽ đưa đến
như mô hình bên dưới. Việc gián đoạn hóa xuất phát từ mô hình trạng thái liên tục của đối
tượng.
1.3.1 Mô hình khâu có bản chất gián đoạn
Quy luật tính toán (được gọi là thuật toán) xác định đặc tính truyền đạt của khâu.
a) Mô tả bằng phương trình sai phân
- Sai phân bậc nhất:
+ Sai phân tiến:
1k k k

u u u
+
∆ = −
+ Sai phân lùi:
1k k k
u u u
−
∆ = −
- Sai phân bậc 2:
2
1
2 1
2
k k k
k k k
u u u
u u u
+
+ +
∆ = ∆ − ∆
= − +

- Sai phân bậc n:
( )
1 1
1
0
1
n n n
k k k

n
v
k n
u u u
n
u
ν
ν
ν
− −
+
+ −
=
∆ = ∆ − ∆
 
 
= −
 
 ÷
 
 
∑
Một phương trình sai phân có ít nhất 2 giá trị
k n
u
+
và
k
u
được gọi là phương trình

sai phân bậc n.
- Phương trình sai phân bậc n sử dụng sai phân tiến:
0 1 1 0 1 1k n n k n k k m m k m k
a x a x a x b u b u b u
+ − + + − +
+ + + = + + +
K K
- Phương trình sai phân bậc n sử dụng sai phân lùi:
0 1 1 0 1 1k k n k n k k m k m
a x a x a x b u b u b u
− − − −
+ + + = + + +
K K
- Giải phương trình sai phân bằng phương pháp tính truy hồi (recursive method):
+ Giả sử ta xuất phát từ phương trình sai phân lùi với
0
1a
=
0 1 1 1 1 2 2k k k m k m k k n k n
x b u b u b u a x a x a x
− − − − −
= + + + − − − −
K K
+ Quá trình tính
k
x
được bắt đầu từ k = 0, lần lượt nâng thêm 1:
0 0 0
1 0 1 1 0 1 0
0

1
k x b u
k x b u b u a x
= ⇒ =
= ⇒ = + −
M
- Giải phương trình sai phân trên miền ảnh z
+ Bước 1: Chuyển đồng thời 2 vế của phương trình sai phân sang miền ảnh z:
{ } { }
0 1 1 0 1 1k n n k n k k m m k m k
Z a x a x a x Z b u b u b u
+ − + + − +
+ + + = + + +K K
+ Bước 2: Giả thiết các giá trị ban đầu
0 1 0 1
, , , , ,x x u uK K

bằng 0, ta có:
( ) ( )
1
0 1
1
0 1
m m
m
n n
n
b z b z b
X z U z
a z a z a

−
−
+ + +
=
+ + +
K
K
+ Bước 3: Áp dụng biến đổi ngược để tìm
k
x

Chú ý: Có thể giải phương trình sai phân trên miền ảnh z, xuất phát từ phương trình
sai phân tiến hoặc lùi, kết quả thu được bao giờ cũng là duy nhất.
b) Mô tả hàm truyền đạt trên miền ảnh z
- Với:
( ) { } ( ) { }
;
k k
X z Z x U z Z u= =
là ảnh z của chuỗi giá trị (tín hiệu digital) đầu ra/đầu vào, ta sẽ có hàm truyền đạt sau:
( )
( )
( )
1
0 1
1
0 1
m
m
n

n
X z
b b z b z
G z
U z a a z a z
− −
− −
+ + +
= =
+ + +
K
K
- Tương tự hệ liên tục, hàm truyền đạt G(z) có thể coi là ảnh z của hàm trọng lượng
gián đoạn
[ ]
k
g
(chuỗi trọng lượng). Vậy:
( )
{ }
1
0
k
k k k i i
i
g Z G z x g u
−
−
=
= ⇒ =

∑
Chú ý: Trên cơ sở các phương trình vector sai phân, có thể mô tả khâu gián đoạn nhiều
chiều tuyến tính bởi:
( ) ( ) ( )
m = n
.X z G z U z=
Trong đó, G(z) là ma trận truyền đạt gián đoạn.
Ví dụ:
( )
( )
( )
4
1
1 1
4 1
X z
z
G z
U z z
−
−
−
= =
−
( )
[ ]
( )
1 4 4
1 1
1 1

4 1 1 4
1 1 1 1
, , , ,0,0,
4 4 4 4
k k
k
k
z z
g Z z
z z
g
− − −
 
⇒ = − = −
 
− −
 
⇒ = K
→ khi
1
k k
u =
ta có:
1 2 1 0
0 0
1 1 0
2 2 1 0
3 3 2 1 0
4 4 3 2 1 0
0,25

0,50
0,75
1
1

k k k k
x g g g g g
x g
x g g
x g g g
x g g g g
x g g g g g
− −
= + + + + +
= =
= + =
= + + =
= + + + =
= + + + + =
K
M K M
c) Mô tả bằng mô hình trạng thái
Hệ MIMO:
* *
1
* *
k k k
k k k
+


= +

= +

q A q B u
x C q D u
Hệ SISO:
* *
1
* *
k k k
k k k
x d u
+

= +

= +

q A q B u
c q
- Mô hình thu được từ phương trình sai phân, hay hàm truyền đạt (trên miền ảnh z)
mô tả thuật toán mà khâu thực hiện (thuật toán ĐC, lọc số v.v ).
- Có thể thực hiện biến đổi sang các dạng chuẩn tắc (chuẩn ĐK, chuẩn QS) thông
dụng để mô tả hoặc tính toán.
1.3.2 Mô hình khâu có bản chất liên tục và tín hiệu vào dạng bậc thang
a) Đặc điểm của trạng thái nhớ
- Dạng bậc thang của tín hiệu vào do quá trình nhớ tạo nên. Trên miền ảnh Laplace
có dạng:
( )

( )
( )
( )
( )
( )
0
1 1
H
sT sT
skT
k H
k
G s
U s
U s
e e
U s u e G s
s U s s
∗
− −
∞
−
∗
=
− −
= → = =
∑
14 2 43
142 43
Kết luận: khi xét đối tượng điều khiển không bao giờ được phép quên khâu giữ chậm (đặc

trung cho quá trình nhớ)
b) Mô tả bằng hàm truyền đạt
( ) ( ) ( )
X s G s U s
∗
=
- Với
( )
X s
là ảnh Laplace của biến ra,
( )
U s
∗
là ảnh Laplace của xung đầu vào.
Gọi ảnh Laplace của đáp ứng bước nhẩy đơn vị (của hàm quá độ h(t) là H(s) ta có:
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
1
.
sT sT
sT
H
G s H s e H s e H s
e
G s G s G s
s

X z G z U z
− −
−
= − = −
−
= =
=
- Với
( )
G z
được tính theo một trong hai cách mô tả ở hình bên dưới
Ví dụ: Đối tượng ĐK là khâu quán tính bậc nhất. Theo cách đi thuộc nhánh bên trái:
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
1
1 1
1 1
1 1
1 1
t T
G s H s h t e t
sT s sT
= ⇒ = ⇒ = −
+ +
- Chuỗi sau gián đoạn hóa:
1
1

kT T
kT
k
h e
−
= −
- Chuyển sang ảnh z:
( )
1
1
T T
z z
H z
z z e
−
= −
− −
- Hàm truyền đạt của đối tượng trên ảnh z:
( )
1
1 1
1 1
1
T T
T T T T
z e
G z
z e z e
−
− −

− −
= − =
− −
- Lưu ý, khi hàm truyển đạt có dạng phân thức hữu tỷ sẽ có khả năng tách thành các
phân thức tối giản như sau:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
.
B s B s
G s H s
A s s A s
= ⇒ =
+ H(s) có các cực
v
s
bất kỳ, khác nhau:
.
1
v
s T
v
z
Z
s s z e
 
=

 
− −
 

+ H(s) có các cực
v
s
lặp lại m lần:
( )
( )
1
.
1
1 1
1 !
v
m
m
s T
m
v
v
z
Z
m s z e
s s
−
−
 
∂

 
=
 
− ∂ −
−
 
 
Tiếp tục ví dụ trước bằng cách đi sang phải:
- Tách H(s) thành các phân thức tối giản:
( )
( )
1
1 1
1 1 1
1 1
T
H s
s s T s s T
= = −
+ +
- Tìm H(z) nhờ tìm ảnh của các phân thức tối giản:
( )
{ }
( )
1
1
T T
z z
Z H s H z
z z e

−
= = −
− −
- Hàm truyền đạt của đối tượng trên miền ảnh z:
( )
1
1
1
T T
T T
e
G z
z e
−
−
−
=
−
c) Mô tả mô hình trạng thái gián đoạn
- Cho trước đối tượng MIMO:
( ) ( ) ( )
t t t= +q Aq Bu
g
- Nghiệm tổng quát với
0
t t
>
và
( )
At

t eΦ =
:
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
0
0 0 0 0 0
0,1,2,
t
t t
t
t
t e t e d t t t t t t
k
τ
τ τ
−
−
 
= + = − + −
 
=
∫
A
A
q q BuΦ q H u
K

- Với
0 k
t t
=
và chọn
1k
t t
+
=
ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 1 1
1
k k k k k k k
T T
k k k
t t t t t t t
T T
+ + +
+
= − + −
= +
qΦ q H u
qΦ q H u
142 43 142 43
- Với:
( ) ( )
1
T T

−
=  − 
 
H AΦ I B
Ưu điểm: Dễ dàng tìm được mô hình gián đoạn của các đối tượng MIMO
d) Quan hệ giữa mô hình trạng thái và mô hình hàm truyền đạt
- Mô hình đầy đủ của đối tượng MIMO có dạng:
( ) ( )
1k k k
k k k
T T
+
 = +


= +


qΦ q H u
x Cq Du
với phương trình đặc tính:
[ ]
det 0z − =IΦ
- Ma trận truyền đạt G(z) trên miền ảnh z của đối tượng MIMO:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )

( )
( )
( )
1
1
Khâu
quán tính
( )
det
( )
det
z z T T
z z z
adj z T
T
z T
z z T T
adj z T
T
z T
−
−

=  −  +
 


= ⇒

 − 

 
= +

 − 

 


=  − 
 


→

 − 
 
=

 − 

 

G C IΦ H D
x G u
IΦ
C H D
IΦ
G C IΦ H
IΦ
C H

IΦ
- Hàm truyền đạt G(z) trên miền ảnh z của đối tượng SISO:
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
1
1
Khâu
quán tính
( )
det
( )
det
T
T
G z z T T d
x z
G z
adj z T
u z
c T d
z T

G z z T T
adj z T
c T
z T
−
−

=  −  +
 


= ⇒

 − 
 
= +

 − 

 


=  − 
 


→

 − 
 

=

 − 

 

c IΦ h
IΦ
h
IΦ
c IΦ h
IΦ
h
IΦ
1.3.3 Mô tả hệ trong khoảng giữa hai thời điểm trích mẫu
- Đặc điểm không tường minh của phép biến đổi z ngược
- Giữa thời điểm trích mẫu:
( )
;0 1t k T
ε ε
= + ≤ ≤
- Chọn số lương ε đủ lớn, ta có thể mô tả x(t) bởi:
( )
( )
[ ]
k
x k T x
ε
ε
+

 
+ ⇔
 

Biến đổi z mở rộng

{ }
( ) ( ) ( )
0
, ,
0,1,2 ,0 1
k
k k
k
Z x X z x z G z U z
k
ε ε
ε ε
ε
∞
−
+ +
=
 
= =
 
= ≤ ≤
∑
L
- Hai trường hợp đặc biệt có thể dùng để kiểm tra:

( )
{ }
( )
( ) { } ( )
1 0
0 ,0
1 ,1
k
k
X z Z x X z
X z Z x z X z x
ε
ε
+
= ⇒ = =
= ⇒ = =  − 
 
1.3.4 Mô tả hệ gián đoạn có trễ(tín hiệu vào dạng bậc thang)
- Hệ với thời gian trễ T
d
(Dead-Time):
( )
;
0,1,2, ;0 1
d d
d
T d T
d
ε
ε

= −
= ≤ ≤L
được mô tả bởi:
( )
0
,
d
d
k k d e d
i
x g z G z
ε
∞
−
− +
=
 
= =
 
∑
- Áp dụng các kiến thức về biến đổi z mở rộng và nguyên lý tịnh tiến của ảnh z, ta
thu được hàm truyền đạt
( )
d
G z
sau:
( )
{ }
( )
,

d
d
d k d d
G z Z g z G z
ε
ε
−
− +
= =
- Khi
d
T
là số nguyên lần của T:
1)
d
T
xuất hiện ở đầu vào:
( ) ( )
1k k k d
T
k k
T T
+ −
= +
=
qΦ q h u
x c q
2)
d
T

xuất hiện ở đầu ra:
( ) ( )
1k k k
T
k d k
T T
+
+
= +
=
qΦ q h u
x c q
3) Trong cả hai trường hợp: Bậc của Φ nâng lên thành
( ) ( )
xn d n d
+ +
Khi
d
T
là số nguyên lần của T, chỉ cần bổ xung
d
z
−
. Khi
d
T
không là số nguyên lần
của T, sử dụng
d
ε

(thay vì
ε
) để tìm ảnh z mở rộng. Trong cả 2 trường hợp, sẽ xuất hiện
điểm cực lặp lại d lần tại gốc tọa độ.
2 Điều khiển có hồi tiếp đại lượng ra
2.1 Xét ổn định của hệ thống điều khiển số
2.1.1 Ổn định truyền đạt
- Hệ SISO:
( )
( )
( )
det
T
adj z
G z d
z
−
= +
−
IΦ
c h
IΦ
- Hệ MIMO:
( )
( )
( )
det
adj z
G z
z

−
= +
−
IΦ
C H D
IΦ
- Về cơ bản, khi hệ có quán tính (d=0, D=0), hai cấu trúc đều có dạng phân thức như
sau:
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
1
1 2 1
det
n
i
i
n
B z B z
c z
z z z z z z z z z
=
= =
− − − − −
∑
IΦ K
- Biến đổi z ngược ta được:
1 1 2 2

0,1,2,
k k k
k n n
g c z c z c z
k
= + + +
=
K
K
Theo định nghĩa về ổn định truyền đạt, dãy
k
g
chỉ có giá trị hạn chế khi
1
i
z
<
. Tức
là chỉ khi tất cả các điểm cực (nghiệm của phương trình đặc tính) nằm bên trong đường
tròn đơn vị của mặt phẳng z.
2.1.2 Tiêu chuẩn đại số
a) Sử dụng phép biến đổi tương
Sử dụng phép biến đổi w chuyển miền ổn định bên trong đường tròn đơn vị của mặt
phẳng z sang bên trái mặt phẳng phức mới, gọi là mặt phẳng w, cho phép sử dụng các tiêu
chuẩn đại số ROUTH và HURWITZ quen biết.
Ví dụ:
1 1
1 1
w w
hoÆc

w w
z z
+ +
= = −
− −
1) Ứng với mỗi điểm bất kỳ thuộc miên ảnh z:
z u jv= +
ta thu được một điểm mới trên miên ảnh w:
2 2
2 2 2 2
1 1 2
w=
1 1 2 1 2
z u v v
j
z u v u u v u
+ + −
= −
− + + − + + −
2) Đường tròn đơn vị

2 2
1u v
+ =
, biên giới ổn định trên miền ảnh z trở thành đường
thẳng:
w
1
v
j

u
= −
−

3) Trước khi sử dụng tiêu chuẩn ROUTH hay HURWITZ ta phải chuyển đa thức
đặc tính:
( )
' ' '
0 1
n
n
N z a a z a z= + + +K
sang miền w:
( )
2
' ' ' 2
0 1 2 0 1 2
w 1 w 1
w w w 0
w 1 w 1
N a a a h h h
+ +
 
= + + + = + + + =
 ÷
− −
 
K L
Kết luận: Nghiệm của đa thức đặc tính N(z) chỉ nằm trong đường tròn đơn vị khi và chỉ
khi tất cả nghiệm của N(w) đều có phần thực âm.

b) Sử dụng tiêu chuẩn Schur-Cohn-Jury: Tương tự tiêu chuẩn HURWITZ, ta sẽ phải thiết
lập các định thức từ các hệ số của hệ số đa thức đặc tính N(z)
( )
2 1
0 1 2 1

n n
n n
N z a a z a z a z a z
−
−
= + + + + +
1) Tính các định thức:
;
k k
C D
:
( ) ( )
( )
( )
1
1
0 1 1
0 2
2
0
det ; det ; 0,1,2, ,
0 0
;
0 0

0 0
k k k k k k
n n
n k
k
k n
n k
k k
n
C D k n
a a a
a a a
a a a a
a
a
−
− −
−
−
− −
= + = − =
 
 
 
 
 
 
= =
 
 

 
 
 
 
 
A B A B
A B
L
L
L L
M M O M
M M O M
L
L
2) Điều kiện cần và đủ để nghiệm N(z) nằm trong đường tròn đơn vị sẽ là
( )
1 0N
>
và
( ) ( )
1 1 0
n
N
− − >
đồng thời phải thỏa mãn:
+ Nếu K chẵn:
2 2
4 4
6 6
0; 0

0; 0
0; 0
C D
C D
C D
< <
> >
< <
M
+ Nếu K lẻ:
1 1
3 3
5 5
0; 0
0; 0
0; 0
C D
C D
C D
> <
< >
> <
M

2.1.3 Sử dụng quỹ đạo điểm cực
Hàm truyền đạt
vòng hở
Quỹ đạo điểm cực
trên miền z
Phương trình đặc tính

0
1
1
K
z z−
0 1
0 1
0z K z
z K z
+ − =
= − +
1
0
1
D
z z
K
z z
−
−
( )
0 1 1
1 0 1
0
0
1
D
D
K z z z z
z K z

z
K
− + − =
+
=
+
( ) ( )
0
1 2
1
K
z z z z− −
( )
2
1 2 1 2 0
2
1 2 1 2
, 0
0
2 2
a b
z z z z z z K
z z z z
z K
− + + + =
+ +
 
= + −
 ÷
 

( ) ( )
1
0
1 2
D
z z
K
z z z z
−
− −
( )
2
1 2 0 1 2 0 1
0
D
z z z z K z z K z− + − + − =
Pt. đường tròn:
( )
2
2 2
r j
z c z r
− + =
Với:
( )
1
2
1 2 1 1 2 1
;
r j D

D D
z z jz c z
r z z z z z z
= + =
= − + +
( ) ( )
( ) ( )
1 1
0
1 2
D D
z z z z
K
z z z z
− −
− −
( )
( )
2
0 1 2 0 1 2
1 2 0 1 2
1
0
D D
D D
z K z z z K z z
z z K z z
+ −  + + + 
 
+ + =

Pt. Đường tròn:
( )
2
2 2
r j
z c z r
− + =

Với:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 2 1 2
1 2 1 2
2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
r j
D D
D D
D D D D
D D
z z jz
z z z z
c
z z z z
z z z z z z z z
r c
z z z z
= +

−
=
+ − +
+ − +
= +
+ − +
Chú ý: Khi khảo sát ổn định, bộ tham số hệ thống tại giao điểm của đường tròn đơn vị với
quỹ đạo điểm cực sẽ là bộ tham số cần được khảo sát kỹ. Khi tồn tại nhiều giao điểm, phải
tìm ra vi trí của điểm bất lợi nhất.
2.1.4 Dự báo đặc tính của hệ thống điều khiển số
a) Dự báo quá trình quá độ trên cơ sở vị trí điểm cực
- Xét hệ số hàm truyền đạt sau:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
0
0 w
0
W 1
R
X z G z
G z G z G z G z
z G z
= ⇒ = =
+
- Với phương trình đặc tính:
( )
0N z

=
+ Đa thức N(z) là bậc 1:
( )
1
N z z z
= −
với điểm cực thực:
1
z z
=
Tín hiệu ra có dạng:

( )
1
1
k
k
z
X z x z
z z
= ⇒ =
−
với giá trị ban đầu:
0
1x
=
1
1 0z
− < <
: Dạng điều hòa tắt dần

1
0 1z
< <
: Dạng không điều hòa tắt dần
1
z
ngoài đường tròn đơn vị: Hệ mất ổn định
+ Đa thức N(z) là bậc 2:
( ) ( ) ( )
1 2
N z z z z z
= − −

o Tr ườ ng hợp 1: Có 2 điểm cực thực
1 2
z z
≠
Tín hiệu ra có dạng:
( )
( ) ( )
( )
( )
1 2
1 2
1 2
1
k k
k
z
X z

z z z z
x z z
z z
=
− −
⇒ = −
−
với giá trị ban đầu:
0 1
0; 1x x
= =

Đáp ứng ra có dạng tắt dần không có hoặc có thành phần điều hòa, tùy theo điểm
cực dương hay điểm cực âm
( )
1
i
z <
là trội.
o Trường hợp 2: Có điểm cực thực kép
1 2
z z
=
Tín hiệu ra có dạng:
( )
( )
2
1,2
1
1,2

.
k
k
z
X z
z z
x k z
−
=
−
⇒ =
với giá trị ban đầu:
0 1
0; 1x x
= =
So với điểm cực thực đơn, điểm cực thực kép thể hiên rất rõ đặc điểm đáp ứng điều
hòa. Điểm cực thực kép trên đường tròn đơn vị bắt đầu gây mất ổn định.
o Trường hợp 3: Có cặp điểm cực phức liên hợp
1 2
;z j z j
α β α β
= + = −
Tín hiệu ra có dạng:
( )
( )
( )
2 2 2
2
1
2 sin ; ar

2
k
k
z
X z
z z z
x k ctg
α β
β
ϕ ϕ
α
=
− + +
 
⇒ = =
 ÷
 
Nhận xét: Khi tồn tại cặp điểm cực phức liên hợp với thành phần thực âm, hệ có xu hướng
gây dao động và vì vậy cần phải rất chú ý. Góc φ càng lớn, tần số của thành phần hình sin
càng lớn (xem kĩ phần tiếp theo).
Xét tổng quát đối tượng
2
PT
chưa có ZOH ở đầu vào.
( )
( )
( ) ( )
2
2
0 0

1
1 1 2
1 1
2 1
1
1 1
s
e e e e
s
G s
D
s s
s s
j j
b z
G z
z z z z
ω ω
δ ω δ ω
= =
  
+ +
+ +
 ÷ ÷
+ −
  
⇒ =
− −
( )
( ) ( )

2 2
1
1,2
sin ;
os sin
e
T
e e
e
e
j T
e e
b T e
z c T j T e
δ
ω
δ ω
α ω α
ω
α ω ω α
−
±
+
= =
 
= ± =
 
Nhận xét:
1. Trên miền z, cặp điểm cực có góc
e

T
ω
càng lớn, ứng với tần số
e
ω
trên miền s
càng lớn.
2. Trên miền z, giá trị càng nhỏ (điểm cực tiến gần đến gốc tọa độ), ứng với
e
δ
càng
lớn trên miền s (điểm cực dịch xa về phía trái), quán tính càng nhỏ (động học được cải
thiện).
b) Dự báo đặc tính hệ thống trên cơ sở vị trí của cặp điểm cực mang tính trội (dominant)
- Xét khâu tỷ lệ có quán tính bậc 2 (khâu dao độngPT
2
):
( )
2
2
0 0
1 1
2 1
1
1 1
s
e e e e
G s
D
s s

s s
j j
ω ω
δ ω δ ω
= =
  
+ +
+ +
 ÷ ÷
+ −
  
với:
0
TÇn sè cña thµnh phÇn sin
HÖ sè qu¸n tÝnh
TÇn sè riªng cña hÖ t¾t dÇn
HÖ sè t¾t dÇn
e
e
D
ω
δ
ω
=
=
=
=
+ Công thức quy đổi:
( )
2 2 2 2

0 0
0
1 ; os 0 khi 1 ;
e
e e e
D D c D
δ
ω ω ϕ ϕ ω δ ω
ω
= − = = = ≥ = +
+ Hàm quá độ:
( )
( )
0
1 sin
e
t
e
e
h t e t
δ
ω
ω ϕ
ω
−
= − +
+ Mức quá điều chỉnh:
2
exp exp
1

e
e
D
h
D
δ π
π
ω
 
 
∆ = − = −
 ÷ ÷
−
 
 
+ Thời gian quá điều chỉnh:
2
0
1
m
e
T
D
π π
ω
ω
= =
−
+ Mức quá điều chỉnh (tính bằng %) phụ thuộc φ
h

∆
[%] 0 5 10 15 20 30 40 50
ϕ
[
o
] 0 46 54 59 63 69 74 78
- Thời gian xác lập:
5% 2%
3
4
;
e e
T T
δ δ
≈ ≈
- Xét khâu tỷ lệ có quán tính bậc 2 (khâu dao động PT
2
):
Các nguyên tắc chọn vị trí cho cặp điểm cực mang tính trội.
+ Nguyên tắc 1: Trên cơ sở
min axm
h h h
∆ < ∆ < ∆
chọn
min axm
D D D
< <
, tức là
min axm
ϕ ϕ ϕ

< <
.
+ Nguyên tắc 2: Chọn
5% 2% min
,
e e
T T
δ δ
⇒ >
+ Nguyên tắc 3: Chọn
minm e e
T
ω ω
⇒ <
+ Nguyên tắc 4: Để hạn chế điều hòa có tần số cao, cần thỏa mãn
maxe e
ω ω
<
Nhận xét:
1. Vùng tô đậm (hình ở trên) chính là vùng ưu tiên để gán cực cho hệ thống.
2. Khi đã xác định được đặc tính của hệ liên tục (đã xác định được vùng ưu tiên)
trên miền ảnh Laplace, ta có thể quy đổi qua miền ảnh z.
- Xuất phát từ
;
sT
z e s j
δ ω
= = +
ta hãy tìm ảnh của vùng tô đậm trên miền z:
+ Vùng có hệ số tắt dần là hằng

( )
ons
e
c t
δ
=
:
Thay vào z ta có:
( )
e
j T
z e
δ ω
− +
=
Dễ dàng thấy ảnh sẽ là đường tròn có tâm tại gốc tọa độ và bán kính là:
e
T
e
δ
−
+ Vùng có tần số là hằng
( )
ons
e
c t
ω
=
:
Thay vào z ta có:

e
j T
T
z e e
ω
δ
=

Dễ dàng thấy ảnh sẽ là đường thẳng qua gốc tọa độ với độ dốc xác định bởi:
e
T
ω
+ Vùng có hệ số tắt dần là hằng
( )
onsD c t
=
:
Ta phải tìm ảnh của đường thẳng:
.cotgs j
ω ϕ ω
= − +
Thay vào z ta có:
( ) ( )
2 cotg 2
T T
j
z e e
π ω ω ϕ π ω ω
− −
=

Dễ dàng thấy ảnh sẽ là đường xoắn logarith như hình sau
- Khi ghép các ảnh con ta sẽ thu được vùng điểm cực trên miền ảnh z. Đây là kết
quả có ý nghĩa quan trọng khi phân tích chất lượng, thậm chí cả khi tổng hợp hệ (chọn
vùng để gián điểm cực).
c) Quan hệ giữa vị trí điểm cực trên miền ảnh s và miền ảnh z
- Chuyển vị trí điểm cực từ miền ảnh s sang miền ảnh z:
;
i i i
i
i i i
s T s T j T
i
s T
i i i
s j
z e e e
z e T
ω
δ ω
ϕ ω
±
= ±
= =
= = ±
2.2 Thiết kế trên miền thời gian xấp xỉ liên tục
2.2.1 Khâu điều chỉnh theo luật PID
- Luật PID trên miền thời gian (liên tục) được mô tả bởi công thức sau:
( ) ( ) ( )
( )
0

1
I
D
I
de t
T
u t K e t e d
KT K dt
τ τ
 
= + +
 
 
∫
với:
1
HÖ sè tû lÖ (hÖ sè khuÕch ®¹i)
H»ng sè thêi gian tÝch ph©n
H»ng sè thêi gian vi ph©n
D
K
T
T
=
=
=
Các thuật toán PID sử dụng trong ĐK số chỉ khác nhau bởi nỗ lực khi thực hiện xấp
xỉ hai thành phần vi phân (D) và tích phân (I), tức là chỉ khác nhau ở độ chính xác.
a) Xấp xỉ thành phần I:
( ) ( )

0
1
t
I
I
u t e d
T
τ τ
=
∫
- Sử dụng phương pháp hình chữ nhật: