Đề thi thử ĐH khối A năm học 2010-2011

TR ƯỜNG THPT YÊN THÀNH II ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2011
Môn: TOÁN: Khối A
Thời gian làm bài: 180 phút,không kể thời gian phát đề
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7 điểm)
CâuI: ( 2.0 điểm)
Cho hàm số y = x
3
– 3x
2
+ 3mx + 3m + 4 đồ thị là ( C
m
)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho khi m = 0
2. Tìm m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ( C
m
) và trục hoành có phần nằm phía trên trục
hoành bằng phần nằm phía dưới trục hoành
CâuII: ( 2.0 điểm)
1. Giải phương trình cos2x + cos4x + cos6x = cosxcos2xcos3x + 2
2. Giải phương trình ( 2x +1)
2 2
3 2 1 0x x x+ + − + =
CâuIII: ( 1.0 điểm)
Tính tích phân I =
4
6
6
sin
2 1
x
xdx

π
π
−
−
+
∫
Câu IV: ( 1.0 điểm)
Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a . Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AB và CD
R là một điểm trên cạnh BC sao cho BR = 2RC . Mặt phẳng ( PQR) cắt AD tại S . Tính thể tích khối
tứ diện SBCD theo a
Câu V:( 1.0 điểm)
Giải hệ phương trình
2 2 2 2
3 3
2 2 2 3
2 2
x y y x
x y y x

− = − +


− = −


PHẦN RIÊNG ( 3 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần ( phần A hoặc B)
A Theo chương trình chuẩn
Câu V.a ( 2.0 điểm)
1. Trong không gian với hệ toạ độ 0xyz cho các điểm A( 0;0;2), B(3; 0;5), C(1;1;0) , D( 5;1; 2).Lập
phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A,B đồng thời cách đều hai điểm C và D

2. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ (0xy) cho đường tròn ( C) có phương trình: (x – 1)
2
+ (y-2)
2
= 4
Và điểm K( 3;4) . Lập phương trình đường tròn ( T) tâm K cắt đường tròn ( C) Tại hai điểm A,B
Sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất với I là tâm của đường tròn ( C)
Câu VIa ( 1.0 điểm)
Tìm giới hạn sau I =
3
3 2
2
1
5 7
lim
1
x
x x
x
→
− − +
−
A Theo chương trình Nâng cao
Câu Vb: ( 2.0 điểm)
1. Trong không gian với hệ tọa độ 0xyz cho đường thẳng ( d ) có phương trình:
1
2 1 3
x y z−
= =
Và hai điểm A( 1;2;-4) ; B( 1;2;-3) .lập phương trình đường thẳng (

∆
) đi qua B và cắt đường ( d)
đồng thời khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng (
∆
) là lớn nhất
2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ 0xy cho hai đường thẳng d
1
: x + 2y – 7 = 0 và d
2
: 5x + y – 8 = 0
và điểm G( 2;1) . Tìm tọa độ điểm B thuộc d
1
điểm C thuộc d
2
sao cho tam giác ABC nhận điểm
G làm trọng tâm biết A là giao điểm của d
1
và d
2

CâuVIb: ( 1.0 điểm)
Tìm giới hạn sau: I =
2
2
0
1 cos
lim
x
x x
x

→
+ −

Hết
TRƯỜNG THPT YÊN
THÀNH 2
ĐÁP ÁN - BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1
NĂM HỌC 2010-2011
Môn: Toán
(Hướng dẫn chấm này gồm có 04 trang)
Câu Hướng dẫn giải Điểm
I.1
1,0
I.2
Hàm số bậc 3 nhận điểm uốn làm tâm đối xứng nên ycbt tương đương với hàm số có
cực trị và điểm uốn thuộc Ox
*Hàm số có cực trị khi phương trình y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt <=> 3x
2
-6x+3m=0
có 2 nghiệm phân biệt <=>
'
9(1 ) 0 1m m∆ = − > ⇔ <
*y''=6x-6 = 0 <=> x = 1 => y = 6m + 2 => đồ thị hàm số nhận điểm U(1; 6m+2) làm
điểm uốn
Điểm uốn thuộc Ox khi y
U
= 0 <=> 6m+2 = 0 <=>
1
3
m

−
=
Vậy
1
3
m
−
=
là giá trị cần tìm
0,25
0,25
0,25
0,25
II.1
2
1
os2 os4 os6 ( os3 cos )cos3 2
2
2 os2 2 os4 2 os6 os 3 cos cos3 4
os2 os4 os6 3
os2 1
os4 1
os6 1
pt c x c x c x c x x x
c x c x c x c x x x
c x c x c x
c x
c x
c x
x k

π
⇔ + + = + +
⇔ + + = + +
⇔ ⇔ + + =
=


⇔ = ⇔


=

⇔ =
0,25
0,25
0,25
0,25
II.2 Đặt
2 2 2
2 2
2 2
3 3 3
1 0
1 ( )
(2 1) 2 2 0 3 2 2
2 2
3 4 8 4
1
4 13
( )

3
4 13
3
x t x t
x
t L
pt t x t x x x
t x
x x x
x
x L
x
+ = ≥ ⇒ = −
+ ≤
=


⇔ + + − − = ⇔ ⇔ + = − − ⇔


= − −
+ = + +


≤ −



− +



=

⇔




− −

=




0,25
0,5
0,25
III Ta có
0,25
0
4 4 4
6 6
1 2
0
6 6
0 0
4 4
1
6 6

4 4
6 6 6
4
0 0 0
2 sin 2 sin 2 sin
2 1 2 1 2 1
, ; 0 0
6 6
2 sin ( ) sin ( )
2 1 2 1
sin 2 sin 1
sin (1
2 1 2 1 4
x x x
x x x
t
t t
x
x x
xdx xdx xdx
I I I
dat x t dx dt khi x t x t
t dt t dt
I
xdx xdx
I xdx c
π π
π π
π π
π π π

π π
− −
−
−
= = + = +
+ + +
−
= − ⇒ = − = ⇒ = = ⇒ =
−
⇒ = − =
+ +
⇒ = + = = −
+ +
∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫
6 6
2
0 0
1
os2 ) (3 4 os2 os4 )
8
x dx c x c x dx
π π
= − +
∫ ∫
1 1 4 7 3
(3 2sin 2 sin 4 )
8 4 64
x x x

π
−
= − + =
0,25
0,25
0,25
IV RQ cắt BD tại K
Gọi I là trung điểm của BR =>DI//RQ
=> ID là đường trung bình của tam giác BRK =>D là trung điểm của BK, từ đó suy ra
S là trọng tâm tam giác ABK
2
3
AS
AD
⇒ =
ta có
2 1
3 3
ABSC
SBCD ABCD
ABCD
V
AS
V V
V AD
= = ⇒ =
mà
3 3
3 3
12 36

ABCD SBCD
a a
V V= ⇒ =
0,25
0,25
0,25
0,25
V ĐK
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
3 3 2 2 3 3 2 3 3 2
3 2 2 3
2 1
2 0, (1) (2 ) 2 2 3 0 2 1
2 3 ( )
(2) 2 ( 2 )(2 ) 2 2 4 2
5 2 2 0 (*)
x y
x y pt x y x y x y
x y L
pt x y y x x y x y x y x y xy
x x y xy y

− =

− ≥ ⇔ − + − − = ⇔ ⇒ − =

− = −


⇔ − = − − ⇔ − = − − +
⇔ − − − =
y = 0 không phải là nghiệm của phương trình, khi đó
3 2
(*) 5( ) 2( ) 2 1 0 (**)
x x x
y y y
⇔ − − − =
Đặt t = x/y khi đó
3 2
2
1
(**) 5 2 2 1 0
5 3 1 0 ( )
t
t t t x y
t t VN
=

⇔ − − − = ⇔ ⇒ =

+ + =

thay x = y vào pt(2) ta được x
3
- x = 0 <=> x = 0, x = -1, x = 1
Đối chiếu với điều kiện thì phương trình có nghiệm là (1; 1) và (-1; -1)
0,25
0,25
0,25

0,25
Va.1 Mặt phẳng (P) đi qua A, B và cách đều C, D là mặt phẳng song song với CD hoặc (P)
đi qua trung điểm của CD
*(P) đi qua A, B và song song với CD => (P) nhận
(3;0;3), (4;0;2)AB CD =
uuur uuur
làm cặp
véc tơ chỉ phương nên (P) có véctơ pháp tuyến là
0,25
A
A
a
Â
Q
a
Â
R
a
Â
P
a
Â
D
a
Â
C
A
a
Â
K

A
a
Â
B
A
a
Â
I
A
a
Â
S
a
Â
, (0;6;0)n AB CD
 
= =
 
r uuur uuur
do đó (P) có phương trình y = 0
*.(P) đi qua A, B và trung điểm I(3; 1; 1) của đoạn CD nên (P) nhận cặp vectơ
(3;0;3), (3;1; 1)AB AI = −
uuur uur
làm cặp vectơ chỉ phương nên (P) có vectơ pháp tuyến là
1
, ( 3;12;3) 3( 1;4;1)n AB AI
 
= = − = −
 
r uuur uur

do đó (P): x + 4y - z +2 = 0
Vậy có 2 mặt phẳng thoả mãn bài toán là: y = 0 và x + 4y - z + 2 = 0
0,25
0,25
0,25
Va.2 Đường tròn (C) có tâm I(1;2), bán kính R = 2
Tam giác IAB có diện tích lớn nhất khi nó vuông tại I, hay
2 2AB =
,
mà
2 2IK =
suy ra có hai đường tròn thoả mãn yêu cầu bài toán
(T
1
) có bán kính R
1
= R = 2 => (T
1
): (x-3)
2
+ (y-4)
2
= 4
(T
2
) có bán kính
R
2
= KA' =
2 2 2 2 2 2

2
' (3 2) ( 2) 2 5 ( ): ( 3) ( 4) 20KH A H T x y+ = + = ⇒ − + − =
0,25
0,25
0,25
0,25
VIa
3 3 2 3 3 2
2 2 2
1 1
3 2
2 3 2 2 2 3 2
1
3
2
3 2 2 3 2
1
3
( 5 2) (2 7) ( 5 2) 2 7
lim lim[ ]
1 1 1
1 1
= lim[ ]
( 1)( 5 2) ( 1)(4 ( 7) 2 7)
1 1 11
= lim[ ] =
24
( 1)( 5 2) ( 1)(4 ( 7) 2 7)
x x
x

x
x x x x
I
x x x
x x
x x x x x
x x x
x x x x x
→ →
→
→
− − + − + − − − +
= = +
− − −
− −
+
− − + − + + + +
− − − − − −
+
+ − + + + + + +
0,25
0,25
0,5
Vb.1 Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên (
∆
)
AH AB
⇒ ≤ ⇒

AH lớn nhất khi H trùng B => d(A,

∆
) lớn nhất khi H trùng B
Trên (d) chọn điểm C(2t; t+1; 3t) khi đó
. 0 1 ( 2;0; 3)BC BA BC BA t C⊥ ⇔ = ⇔ = − ⇒ − −
uuur uuur
đường thẳng
∆
cần lập chính là đường thẳng BC do đó có phương trình
2 3
2
3
x k
y k
z
= − −


= −


= −

0,25
0,25
0,25
0,25
Vb.2
Toạ độ của A là nghiệm của hệ
2 7 1
(1;3)

5 8 3
x y x
A
x y y
+ = =
 
⇔ ⇒
 
+ = =
 
B thuộc d
1
nên B(7-2b; b); C thuộc d
2
nên C(c, 8-5c)
vì G là trọng tâm tam giác ABC nên
3
3
2 2 2
5 8 2
A B C
G
A B C
G
x x x
x
y y y
y
b c b
b c c

+ +

=



+ +

=


− = =
 
⇒ ⇒
 
− = − =
 
0,25
0,25
0,25
A'
B
A
B'H'
I
K
Vậy B(3; 2) và C(2; -2) 0,25
VIb
2 2
2 2 2

0 0
2
2
2
2 2
0
2
2
2
0
( 1 1) (1 cos ) ( 1 1) 1 cos
lim lim[ ]
2sin
2
= lim[ ]
( 1 1)
sin
1
2
lim[ ] = 1
1 1
2
4
x x
x
x
x x x x
I
x x x
x

x
x
x x
x
x
x
→ →
→
→
+ − + − + − −
= = +
+
+ +
= +
+ +
0,25
0,25
0,5