Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi vật lý 8 Đề và đáp án tham khảo (3)

Trần Nam Hiếu

1 PP giải bài toán mạch cầu ®iƯn trë

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TỐN MẠCH CẦU IN TR
1. kháI quát về mạch cầu điện trở, mạch cầu cân bằng
và mạch cầu không cân bằng.

Mch cu là mạch dùng phổ biến trong các phép đo chính xác ở phịng thí nghiệm điện.
− Mạch cầu được vẽ như (H - 0.a) và (H - 0.b)

−

Các
điện trở R1, R2, R3, R4 gọi là các cạnh của
mạch cầu điện trở R5 có vai trị khác biệt gọi là đường chéo của mạch cầu (người ta khơng tính
thêm đường chéo nối giữa A – B. Vì nếu có thì ta coi ng chộo ú mc song song vi mch
cu).
ã

Mạch cầu có thể phân thành hai loại

Mch cu cõn bng (Dùng trong phép đo lường điện). I5 = 0 ; U5 = 0
 Mạch cầu khơng cân bằng: Trong đó mạch cầu không cân bằng được phân làm 2 loại:
−

Loại có một trong 5 điện trở bằng khơng (ví dụ một trong 5 điện trở đó bị nối tắt, hoặc thay vào
đó là một ampe kế có điện trở ằng khơng ). Khi gặp loại bài tập này ta có thể chuyển mạch về
dạng quen thuộc, rồi áp dụng định luật ôm để giải.

−

Loại mạch cần tổng quát không cân bằng có đủ cả 5 điện trở, thì khơng thể giải được nếu ta chỉ
áp dụng định luật Ôm, loại bài tập này được giải bằng phương pháp đặc biệt ( Trỡnh by mc 2.3)
ã

Vậy điều kiện cân bằng là gì ?

Cho mch cu in tr nh (H1.1)
Nu qua R5 có dịng I5 = 0 và U5 = 0 thì các điện trở nhánh lập
thành tỷ lệ thức :

R1 R 2
=
= n = const
R3 R4

 Ngược lại nếu có tỷ lệ thức trên thì I5 = 0 và U5 = 0, ta có mạch cầu cân bằng.


Tãm l¹i: Cần ghi nhớ

 Nếu mạch cầu điện trở có dịng I5 = 0 và U5 = 0 thì bốn điện trở nhánh của mạch cầu lập thành
tỷ lệ thức:

R1 R 2
=
= n (n là hằng số) (*)
R3 R4

(Với bất kỳ giá trị nào của R5.).

Khi đó nếu biết ba trong bốn điện trở nhánh ta sẽ xác định được điện trở còn lại.
 Ngược lại: Nếu các điện trở nhánh của mạch cầu lập thành tỷ lệ thức tên, ta có mạch cầu cân
bằng và do đó I5 = 0 và U5 = 0


Trần Nam Hiếu

2 PP giải bài toán mạch cầu ®iƯn trë

•

Khi mạch cầu cân bằng thì điện trở tương đương của mạch luôn được xác định và không phụ
thuộc vào giá trị của điện trở R5 . Đồng thời các đại lượng hiệu điện thế và không phụ thuộc vào
điện trở R5. Lúc đó có thể coi mạch điện khơng có điện trở R5 và bài tốn được giải bình
thường theo định luật Ơm.

•

Biểu thức (*) chính là điều kin mch cu cõn bng.
2. phơng pháp tính điện trở tơng đơng của mạch cầu.

Tớnh in tr tng đương của một mạch điện là một việc làm cơ bản và rất quan trọng, cho dù
đầu bài có yêu cầu hay khơng u cầu, thì trong q trình giải các bài tập điện ta vẫn thường
phải tiến hành công việc này.
Với các mạch điện thơng thường, thì đều có thể tính điện trở tương đương bằng một trong



hai cách sau.

 Nếu biết trước các giá trị điện trở trong mạch và phân tích được sơ đồ mạch điện (thành các
đoạn mắc nối tiếp, các đoạn mắc song song) thì áp dụng cơng thức tính điện trở của các đoạn mắc
nối tiếp hay các đoạn mắc song song.
 Nếu chưa biết hết các giá trị của điện trở trong mạch, nhưng biết được Hiệu điện thế ở 2 đầu
đoạn mạch và cường độ dịng điện qua đoạn mạch đó, thì có thể tính điện trở tương đương của
mạch bằng cơng thức định luật Ôm.

− Tuy nhiên với các mạch điện phức tạp như mạch cầu, thì việc phân tích đoạn mạch này về dạng
các đoạn mạch mới nối tiếp và song song là khơng thể được. Điều đó cũng có nghĩa là khơng
thể tính điện trở tương đương của mạch cầu bằng cách áp dụng, các cơng thức tính điện trở của
đoạn mạch mắc nối tiếp hay đoạn mạch mắc song song. Vậy ta phải tính điện trở tương đương
của mạch cầu bằng cách nào?


Với mạch cầu cân bằng thì ta bỏ qua điện trở R5 để tính điện trở tương đương của mạch cầu.



Với loại mạch cầu có một trong 5 điện trở bằng 0, ta luôn đưa được về dạng mạch điện có các
đoạn mắc nối tiếp, mắc song song để giải.
Loại mạch cầu tổng quát không cân bằng thì điện trở tương đương được tính bằng các phng



phỏp sau.
ã

Phơng án chuyển mạch.

Thc cht l chuyn mch cu tổng quát về mạch điện tương đương (điện trở tương đương của

mạch không thay đổi). Mà với mạch điện mới này ta có thể áp dụng các cơng thức tính điện trở của
đoạn mạch nối tiếp, đoạn mạch song song để tính điện trở tương đương.

− Muốn sử dụng phương pháp này trước hết ta phải nắm được công thức chuyển mạch (chuyển từ

mạch sao thành mạch tam giác và ngược lại từ mạch tam giác thành mạch sao). Công thức
chuyển mạch - Định lý Kennơli.



Cho hai sơ đồ mạch điện, mỗi mạch điện được tạo thành từ ba điện trở.
( H2.1a mạch tam giác (∆) ;
H2.1b - Mạch sao (Y) )


Trần Nam Hiếu

3 PP giải bài toán mạch cầu ®iƯn trë

 Với các giá trị thích hợp của điện trở có thể thay thế mạch này bằng mạch kia, khi đó hai mạch
tương đương nhau. Cơng thức tính điện trở của mạch này theo mạch kia khi chúng tương đương
nhau như sau:

 Biến đổi từ mạch tam giác R1, R2, R3 thành mạch sao R’1, R’2, R’3
R 2 .R 3
R1 + R 2 + R 3
R 1.R 2
'
R3 =
R1 + R 2 + R 3

'
R1 =

(1)
(3)

R '2 =

;

R1.R 3
R1 + R 2 + R 3

(2)

( Ở đây R’1, R’2, R’3 lần lượt ở vị trí đối diện với R1,R2, R3 )

 Biến đổi từ mạch sao R’1, R’2, R’3 thành mạch tam giác R1, R2, R3
R1 =

'
'
'
'
R1.R '2 + R '2 .R 3 + R1.R 3
'
R1

(4)

R2 =

'
'
'
'
R1.R '2 + R '2 .R 3 + R1.R 3
R '2

(5)

R3 =

'
'
'
'
R 1.R '2 + R '2 .R 3 + R 1.R 3
'
R3

(6)

− Áp dụng vào bài tốn tính điện trở tương đương
của mạch cầu ta có hai cách chuyển mạch như sau:

C¸ch 1:

Từ sơ đồ mạch cầu tổng quát ta chuyển mạch tam giác R1, R3, R5 thành mạch sao :R’1; R’3; R’5
(H2.2a) Trong đó các điện trở R13, R15, R35 được xác định theo công thức: (1); (2) và (3) từ sơ đồ

mạch điện mới (H2.2a) ta có thể áp dụng cơng thức tính điện trở của đoạn mạch mắc nối tiếp, đoạn
mạch mắc song song để tính điện trở tương đương của mạch AB, kết quả là:
'
R AB = R 5 +

'
'
(R 3 + R 2 )(R1 + R 4 )
'
'
(R 3 + R 2 ) + (R 1 + R 4 )

C¸ch 2:
Từ sơ đồ mạch cầu tổng quát ta chuyển mạch sao R1, R2 , R5
thành mạch tam giác R’1, R’2 , R’5 (H2.2b ). Trong đó các điện
trở R’1, R’2, R’3 được xác định theo công thức (4), (5) và(6). Từ sơ đồ mạch điện mới (H2.2b) áp
R 3 .R '2
R '1 .R 4
+
)
R 3 + R '2 R 1 + R '4
=
R .R '
R '1 .R 4
R '5 + ( 3 2 +
)
R 3 + R '2 R1 + R '4
R '5 (

dụng cơng thức tính điện trở tương đương ta cũng được kết quả: R AB

Trần Nam Hiếu
ã
Phơng pháp dùng định luật Ôm.
T biu thc: I =

U
R

suy ra R =

4 PP giải bài toán mạch cầu điện trở

U
(*)
I

Trong ú: U l hiu điện thế ở hai đầu đoạn mạch.
I là cường độ dịng điện qua mạch chính.
 Vậy theo cơng thức (*) nếu muốn tính điện trở tương đương (R) của mạch thì trước hết ta phải
tính I theo U, rồi sau đó thay vào cơng thức (*) sẽ được kết quả.
( Có nhiều phương pháp tính I theo U sẽ được trình bày chi tiết ở mục sau ).
 Xét ví dụ cụ thể:
Cho mạch điện như hình H . 2.3a.
Biết R1 = R3 = R5 = 3 Ω, R2 = 2 Ω; R4 = 5 Ω

a. Tính điện trở tương đương của đoạn mạch AB.
b. Đặt vào hai đầu đoạn AB một hiệu điện thế không
đổi U = 3 (V). Hãy tính cường độ dịng điện qua

các điện trở và hiu in th hai u mi in tr.

Phơng pháp 1: Chuyển mạch.
C¸ch 1: Chuyển mạch tam giác R1; R3 ; R5 thành
mạch sao R’1 ; R’3 ; R’5 (H2.3b) Ta có:
R1. .R 3
3.3
=
= 1(Ω )
R1 + R 2 + R 3 3 + 3 + 3
R 1.R 5
'
R3 =
= 1(Ω )
R1 + R 3 + R 5
R 3 .R 5
'
R1 =
= 1(Ω )
R1 + R 3 + R 5
'
R5 =

Suy ra điện trở tương đương của đoạn mạch AB là :
'
R AB = R 5 +

'
'
(R 3 + R 2 )(R1 + R 4 )

(1 + 2)(1 + 5)
= 1+
= 3Ω
'
'
(R 1 + R 2 ) + (R 1 + R 4 )
(1 + 2) + (1 + 5)

C¸ch 2: Chuyển mạch sao R1; R2; R5 thành mạch tam giác

'
'
'
R 1 ; R 2 ; R 3 (H2.3c). Ta có:

R1.R 2 + R 2 .R 5 + R1.R 5 3.2 + 2.3 + 3.3
=
= 7Ω
R1
3
R .R + R 2 .R 5 +R1.R 5
R .R + R 2 .R 5 + R1 .R 5
'
R '2 = 1
= 10,5(Ω)
;
   R 5 = 1
= 7(Ω)
R2
R5

'
R1 =

R '2 .R3
R ' .R
+ '1 4 )
'
R 2 + R 3 R1 + R 4
=
= 3(Ω)
'
R '2 .R 3
R1 .R 4
'
R5 + '
+ '
R 2 + R 3 R1 + R 4
'
R5 (

Suy ra: R AB

Phơng pháp 2: Dùng cơng thức định luật Ơm.


TrÇn Nam HiÕu
Từ cơng thức: I AB =

5  PP giải bài toán mạch cầu điện trở
U AB

U
R = AB
R AB
I AB

( *)

− Gọi U là hiệu điện thế ở hai đầu đoạn mạch AB ; I là cường độ dòng điện qua đoạn mạch AB
Biểu diễn I theo U
Đặt I1 là ẩn số, giả sử dòng điện trong mạch có chiều như hình vẽ (H2.3d)
Ta lần lượt có:
U1 = R1I1 = 3 I1
I2 =

(1)

U 2 U − 3I1
=
R2
2

U 5 = I.R 5 =

;

U2 = U – U1 = U – 3 I1
5I1 − U
2

(3)

I5 = I1 − I 2 =

(5)

15I1 − 3U
2

;
;

U3 = U1 + U 5 =

;

U4 = U − U3 =

I3 =

U 21I1 − 3U
=
R3
6

(7)

I4 =

U 4 5U − 21.I1
=

R4
10

21I1 − 3U
2

(4)
(6)

(9)

Tại nút D, ta có: I4 = I3 + I5 ⇔

5U − 21I1
2

(2)

5U − 21.I1
21I1 − 3U 5I1 − U
=
+
            10 )
(
10
6
2

(8)

⇒

5U
I1 =     
27

(11)  

4
U
Thay (11) vào (7) ta được: I3 = 27

Suy ra cường độ dịng điện mạch chính. I = I1 + I3 =

5U 4U 1
+
= U              12 )
(
27 27 3

Thay (12) vào (*) ta được kết quả: RAB = 3 (Ω)
5
9

b. Thay U = 3 V vào phương trình (11) ta được: I1 = (A)
Thay U = 3(V) và I1 =
I2 =

2
(A)

3

I3 =

U1 = U 4 =

5
(A) vào các phương trình từ (1) đến (9) ta được kết quả:
9

4
(A)
9

5
( V)
3

1
I 4 = (A)
3
U 2 = U3 =

I5 =

4
( V)
3

−1

−1
(A) ( I5 =
có chiều từ C đến D)
9
9
U5 = U X =

1
( V) ;
3

 Lu ý
 Cả hai phương trình giải trên đều có thể áp dụng để tính điện trở tương đương của bất kỳ
mạch cầu điện trở nào. Mỗi phương trình giải đều có những ưu điểm và nhược điểm của nó. Tuỳ
từng bài tập cụ thể ta lựa chọn phương pháp giải cho hợp lý.
 Nếu bài tốn chỉ u cầu tính điện trở tương đương của mạch cầu (chỉ câu hỏi a) thì áp dụng
phương pháp chuyển mạch để giải, bài toán sẽ ngắn gọn hơn.
 Nếu bài toán yêu cầu tính cả các giá trị dịng điện và hiệu điện thế (hỏi thêm câu b) thì áp
dụng phuơng pháp thứ hai để giải bài toán, bao giờ cũng ngắn gọn, dễ hiểu và lô gic hơn.
 Trong phương pháp thứ 2, việc biểu diễn I theo U liên quan trực tiếp đến việc tính tốn các đại
lượng cường độ dịng điện và hiệu điện thế trong mạch cầu. Đây là một bài tốn khơng hề đơn


Trần Nam Hiếu

6 PP giải bài toán mạch cầu ®iÖn trë

giản mà ta rất hay gặp trong khi giải các đề thi học sinh giỏi, thi tuyển sinh. Vậy có những phương
pháp nào để giải bài tốn tính cường độ dòng điện và hiệu điện thế trong mạch cầu.
3. phơng pháp giảI toán tính cờng độ dòng điện và hiệu điện thế

trong mạch cầu

Vi mch cu cõn bng hoc mạch cầu khơng cân bằng mà có 1 trong 5 điện trở bằng 0
(hoặc lớn vơ cùng) thì đều có thể chuyển mạch cầu đó về mạch điện quen thuộc (gồm các
đoạn mắc nối tiếp và mắc song song). Khi đó ta áp dụng định luật Ơm để giải bài tốn này
một cách đơn giản.
Ví dụ: Cho các sơ đồ các mạch điện như hình vẽ: (H.3.1a); (H. 3.1b); (H3.1c); (H3.1d) biết các vôn
kế và các am pe kế là lý tưởng.
•

Ta có thể chuyển các sơ đồ mạch điện trên thành các sơ đồ mạch điện tương đương, tương ứng với
các hình H.3.1a’; H.3.1b’; H.3.1c’; H.3.1d’.

Từ các sơ đồ mạch điện mới, ta có thể áp dụng định luật Ơm để tìm các đại lượng mà bài tốn u
cầu:
 Lu ý.
Các bài loại này có nhiều tài liệu đã trình bày, nên trong đề tài này khơng đi sâu vào việc phân
tích các bài tốn đó tuy nhiên trước khi giảng dạy bài toán về mạch cầu tổng quát, nên rèn cho
học sinh kỹ năng giải các bài tập loại này thật thành thạo.
•
Với mạch cầu tổng qt khơng cân bằng có đủ cả 5 điện trở, ta khơng thể đưa về dạng
mạch điện gồm các đoạn mắc nối tiếp và mắc song song. Do đó các bài tập loại này phải
có phương pháp giải đặc biệt - Sau õy l mt s phng phỏp gii c th:

Bài toán 3:
Cho mạch điện hư hình vẽ (H3.2a) Biết U = 45V
R1 = 20Ω, R2 = 24Ω ; R3 = 50Ω ; R4 = 45Ω R5 là một biến trở
1. Tính cường độ dòng điện và hiệu điện thế của mỗi điện trở
và tính điện trở tương đương của mạch khi R5 = 30Ω
2. Khi R5 thay đổi trong khoảng từ 0 đến vơ cùng, thì điện

trở tương đương của mạch điện thay đổi như thế nào?
1. Tính cường độ dịng điện và hiệu điện thế của mỗi điện trở và tính điện trở tương đương của
mạch khi R5 = 30Ω


Trần Nam Hiếu
7 PP giải bài toán mạch cầu điện trở
Phơng pháp 1: Lp h phng trỡnh cú n số là dòng điện (Chẳng hạn chọn I1 làm ẩn số)
Bíc 1: Chọn chiều dịng điện trên sơ đồ
Bíc 2: áp dụng định luật ôm, định luật về nút, để biễu diễn các đạilượng cònl lại theo ẩn số (I1) đã
chọn (ta được các phương trình với ẩn số I1

).

Bíc 3: Giải hệ các phương trình vừa lập để tìm các đại lượng của đầu bài yêu cầu.
Bíc 4: Từ các kết quả vừa tìm được, kiểm tra lại chiều dịng điện đã chọn ở bước 1
 Nếu tìm được I > 0, giữ nguyên chiều đã chọn.
 Nếu tìm được I < 0, đảo ngược chiều đã chọn.

Lêi gi¶i :
− Giả sử dịng điện mạch có chiều như hình vẽ H3.2b
− Chọn I1 làm ẩn số ta lần lượt có:
U1 = R1 . I1 = 20I1

(1)

;

U2 = U – U1 = 45 – 20I1

(2)

U 2 45 − 20I1
44I1 − 45
=
         
  3)                 ;                I5 = I1 − I =
         
 (4)
(
R2
24
24
20I1 − 225
300I1 − 225
U 5 = R 5 .I5 =
          (5)                  ;              U 3 = U1 + U5 =
                 ( 6 )
4
4
U 12I1 − 9
405 − 300 I1
I3 = 3 =
                   ( 7 )                  ;                U 4 =    U −  U 3 =
 
(8)
R3
8
4
U

27 − 20I1
I4 = 4 =
(9)
R4
12
I2 =

− Tại nút D cho biết: I4 = I3 + I5

⇔

27 − 20I1 12I1 − 9 44I1 − 48
=
+
12
8
24

(10)

Suy ra I1= 1,05 (A)
− Thay biểu thức (10) các biểu thức từ (1) đến (9) ta được các kết quả:
I1 = 1(A)

;

I3 = 0,45 (A)

;

I4 = 0,5 (A)

;

I5 = 0,05 (A)

Vậy chiều dòng điện đã chọn là đúng.
 Hiệu điện thế :

U1 = 21(V)

U3 = 22,5 (V)

U2 = 24 (V)

UBND = 22,5 (V)

 Điện trở tương đương R AB =

U5 = 1,5 (V)

U
U
45
=
=
= 30Ω
I
I1 + I3 1, 05 + 0, 45

Phơng pháp 2: Lp h phng trình có ẩn số là hiệu điện thế các bước tiến hành giống như
phương pháp 1. Nhưng chọn ẩn số là Hiệu điện thế. Áp dụng (Giải cụ thể)

− Chọn chiều dịng điện trong mạch như hình vẽ H3.2b
− Chọn U1 làm ẩn số ta lần lượt có:
I1 =

U1 U1
=
R1 20

(1)

U2 = U – U1 = 45 – U1

(2)


TrÇn Nam HiÕu
I2 =

U 2 45 − U1
=
R2
24

U 5 = I5 .R 5 =

11U1 − 225
4

U 4 = U − U3 =
I4 =

405 − 300U1
4

U 4 27 − U1
=
R4
12

8  PP giải bài toán mạch cầu điện trở
11I1 U1
120

(3)

I5 = I1 − I 2 =

(5)

U 3 = U1 + U 5 =

(7)

I3 =

(4)

15U1 − 225
4

(6)

U 3 3U1 − 45
=
R3
40

(8)

(9)

− Tại nút D cho biết: I4 = I3 + I5

⇔

27 − U1 3U1 − 45 11U1 − 225
=
+
12
40
120

(10)

Suy ra: U 1 = 21 (V)
Thay U1 = 21 (V) vào các phương trình từ (1) đến (9) ta được kết quả ging ht phng phỏp 1

Phơng pháp 3: Chn gc in thế.
Bíc 1: Chọn chiều dịng điện trong mạch
Bíc 2: Lập phương trình về cường độ tại các nút (Nút C và D)
Bíc 3: Dùng định luật ơm, biến đổi các phương trình về VC, VD theo VA, VB
Bíc 4: Chọn VB = 0 ⇒ VA = UAB
Bíc 5: Giải hệ phương trình để tìm VC, VDtheo VA rồi suy ra U1, U2, U3, U4, U5
Bíc 6: Tính các đại lượng dòng điện rồi so sánh với chiều dòng điện đã chọn ở bước 1. Áp dụng
− Giả sử dòng điện có chiều như hình vẽ H3.2b

 I1 = I 2 + I5
 I 4 = I 3 + I5

(1)
(2)

− Áp dụng định luật về nút ở C và D, ta có: 

 VA − VC VC − VD VC − VD
=
+

R2
R5
 R1
- Áp dụng định luật Ơm, ta có: 
 VD − VB = VA − VD + VC − VD
 R4
R3
R5


− Chọn VD = 0 thì VA = UAB = 45 (V).

 45 − VC VC VC − VD
 20 = 24 + 30              ( 3)  

 Hệ phương trình thành: 
 VD = 45 − VD + V C − VD              ( 4 )
 45
50
30

− Giải hệ 2 phương trình (3) và (4) ta được:

VC = 24(V);

Suy ra:

U4 = VD – VB = 22,5 (V)

U2 = VC – VB = 24 (V)

VD = 22,5(V)


Trần Nam Hiếu

9 PP giải bài toán mạch cầu ®iÖn trë

U1 = U – U2 = 21 (V)

U3 = U – UBND = 22,5V

U5 = VC – VD = 1,5 (V)

Từ các kết quả vừa tìm được ta dễ ràng tính được các giá trị cường độ dịng điện
(như Phơng pháp 1).

Phơng pháp 4:
Chuyn mch sao thnh mch tam giác ( Hoặc mạch tam giác thành mạch sao ).

− Chẳng h ạn chuyển mạch tam giác R1 , R3 , R5 thành mạch sao R’1 , R’3 , R’5 ta được sơ đồ mạch
điện tương đương H3.2c (Lúc đó các giá trị RAB, I1, I4, I, U2, U4,UCD vẫn khơng đổi)

− Các bước tiến hành giải như sau:

Bíc 1:
Bíc 2:
Bíc 3:
Bíc 4:
Bíc 5:

Vẽ sơ đồ mạch điện mới.
Tính các giá trị điện trở mới (sao R’1 , R’3 , R’5)
Tính điện trở tương đương của mạch
Tính cường độ dịng điện mạch chính (I)
Tính I2, I4 rồi suy ra các giá trị U2, U4.
R +R

1

4
Ta có: I 2 = I.  R +  R +  R ' + R
1
4
3
3

Và:

I4 = I – I2

Bíc 6: Trở lại mạch điện ban đầu để tính các đại lượng cịn lại.
¸p dơng:
− Từ sơ đồ mạch điện (H - 3.2C) ta có
R '1 =

R 3 .R 5
50.30
=
= 15(Ω )
R 1 + R 3 + R 5 20 + 50 + 30

R '3 =

R 1.R 5
20.30
=
= 6(Ω )
R 1 + R 3 + R 5 20 + 50 + 30

R '5 =

R1 .R 3
20.50
=
= 10(Ω )
R 1 + R 3 + R 5 20 + 50 + 30

− Điện trở tương đương của mạch: R AB = R +
'

5

'
'
(R 3 + R '2 ).(R1 + R '4 )
'
'
(R 3 + R '2 ) + (R 1 + R '4 )

U

= 30(Ω)

45

− Cường độ dòng điện trong mạch chính: I = R = 30 = 1,5(A)
AB
'
(R 1 + R 4 )

= 1(A) ⇔ I4 = I – I2 = 1,5 – 1 = 0,5 (A)
Suy ra: I 2 = I '
'
(R 1 + R 4 ) + (R 3 + R 2 )

U2 = I2.R2 = 24 (V)

U4 = I4.R4 = 22,5 (V)

− Trở lại sơ đồ mạch điện ban đầu (H - 3.2 b) ta có kết quả:
Hiệu điện thế: U1 = U – U2 = 21 (V) ; U3 = U – U4 = = 22,5(V) ; U5 = U3 – U1 = 1,5(V)


Trần Nam Hiếu

10 PP giải bài toán mạch cầu ®iƯn trë

Và các giá trị dịng điện I1 =

U
U1
= 1, 05(A) ; I3 = 3 = 0, 45(A) ; I5 = I1 I3 = 0,05 (A)
R1
R3

Phơng pháp 5: ỏp dụng định luật kiếc sốp


Do các khái niệm: Suất điện động của nguồn, điện trở trong của nguồn, hay các bài tập về mạch
điện có mắc nhiều nguồn,… học sinh lớp 9 chưa được học. Nên việc giảng day cho các em hiểu

đày đủ về định luật Kiếc sốp là khơng thể được. Tuy nhiên ta vẫn có thể hướng dẫn học sinh lớp
9 áp dụng định luật này để giải bài tập mạch cầu dựa vào cách phát biểu sau:
ã

Định luật về nút mạng.

T cụng thc: I = I1+ I2+ … +In(đối với mạch mắc song song), ta có thể phát biểu tổng quát: “ Ở
mỗi nút, tổng các dòng điện đi đến điểm nút bằng tổng các dòng in i ra khi nỳt

ã

Trong mỗi mạch vòng hay mắt m¹ch.

Cơng thức: U = U1+ U2+ …+ Un (đối với các điện trở mắc nối tiếp) được hiểu là đúng không
những đối với các điện trở mắc nối tiếp mà có thể mở rộng ra: “ Hiệu điện thế U AB giữa hai điểm A
và B bằng tổng đại số tất cả các hiệu điện thế U1, U2,… của các đoạn kế tiếp nhau tính từ A đến B
theo bất kỳ đường đi nào từ A đến B trong mạch điện ”
 Vậy có thể nói: “Hiệu điện thế trong mỗi mạch vòng (mắt mạng) bằng tổng đại số độ giảm thế
trên mạch vịng đó”
Trong đó độ giảm thế: UK = IK.RK ( với K = 1, 2, 3, …)
 Chó ý:

 Dịng điện IK mang dấu (+) nếu cùng chiều đi trên mạch
 Dòng điện IK mang dấu (–) nu ngc chiu i trờn mch.

Các bớc tiến hành gi¶i.

Bíc 1: Chọn chiều dịng điện đi trong mạch
Bíc 2: Viết tất cả các phương trình cho các nút mạng
Và tất cả các phương trình cho các mứt mạng.

Bíc 3: Giải hệ các phương trình vừa lập để tìm các đại lượng dịng điện và hiệu điện thế trong mạch.
Bíc 4: Biện luận kết quả. Nếu dịng điện tìm được là:
IK > 0: ta giữ nguyên chiều đã chọn.
IK < 0: ta đảo chiều đã chọn.

¸p dơng:
− Chọn chiều dịng điện đi trong mạch như hình vẽ H3.2b.
 I1 = I 2 + I5                                      1)
(

 I 4 = I3 + I5                                       ( 2 )


− Tại nút C và D ta có: 

− Phương trình cho các mạch vịng:


Trần Nam Hiếu

11 PP giải bài toán mạch cầu ®iƯn trë

 Mạch vịng ACBA:

U = I1.R1 + I2.R2

(3)

 Mạch vòng ACDA:

I1.R1 + I5.R5 – I3.R3 = 0

(4)

 Mạch vòng BCDB:

I4.R4 + I5.R5 – I2.R2 = 0

(5)

− Thay các giá trị điện trở và hiệu điện thế vào các phương trình trên rồi rút gọn, ta được hệ
 I1 = I 2 + I5                                    ( 1’)

 I 4 = I3 + I5                                    ( 2’)

(
phương trình:  20I1 + 24I 2 = 45              3’)
 2I + 3I = 5I
5
3                            ( 4’)
 1
 45I4 + 30I5 = 24I 2                    ( 5’)

− Giải hệ 5 phương trình trên ta tìm được 5 giá trị dòng điện:
I1 = 1,05(A); I2 = 1(A); I3 = 0,45(A); I4 = 0,5(A) và I5 = 0,05(A)
− Các kết quả dịng điện đều dương do đó chiều dịng điện đã chọn là đúng.

− Từ các kết quả trên ta dễ dàng tìm được các giá trị hiệu điện thế U1, U2, U3, U4, U5 và RAB
(Giống như các kết quả đã tìm ra ở phương pháp 1)

2. Sự phụ thuộc của điện trở tương đương vào R5

 Khi R5 = 0, mạch cầu có điện trở là:
R TÐ = R o =

R1.R 3
R .R
20.50
24.45
+ 2 4 =
+
≈ 29,93(Ω)
R 1 + R 3 R 2 + R 4 20 + 50 24 + 45

 Khi R5 = ∞ , mạch cầu có điện trở là:
R TÐ = R ∞ =

(R 1 + R 2 ).(R 3 + R 4 )
(20 + 24).(50 = 45)
=
≈ 30, 07(Ω )
(R1 + R 2 ) + (R 3 + R 4 ) (20 + 24) + (50 + 45)

− Vậy khi R5 nằm trong khoảng (0, ∞ ) thì điện trở tương đương nằm trong khoảng (Ro, R∞ )
− Nếu mạch cầu cân bằng thì với mọi giá trị R5 đều có RTĐ = R0 = R∞
 NhËn xÐt chung.
− Trên đây là 5 phương pháp để giải bài toán mạch cầu tổng quát. Mỗi bài tập về mạch cầu đều
có thể sử dụng một trong 5 phương pháp này để giải. Tuy nhiên với học sinh lớp 9 nên sử dụng
phương pháp lập hệ phương trình với ẩn số là dịng điện (Hoặc ẩn số là hiệu điện thế), thì lời

giải bao giờ cũng ngắn gọn, dễ hiểu và lơgíc hơn.

− Để cho học sinh có thể hiểu sâu sắc các tính chất của mạch cầu điện trở, cũng như việc rèn

luyện kỹ năng giải các bài tập điện một chiều, thì nhất thiết giáo viên phải hướng dẫn các em
hiểu và vận dụng tốt cả 5 phương phương pháp trên. Các phương pháp đó khơng chỉ phục vụ
cho việc ơn thi học sinh giỏi vật lý lớp 9 mà cả chương trình Vật Lý lớp 11 và ôn thi Đại học
cũng gặp rất nhiều bài tập phải áp dụng các phương pháp này mơí giải được.


Trần Nam Hiếu

12 PP giải bài toán mạch cầu điện trở
4. bài toán cầu dây

Mch cu dõy l mạch điện có dạng như hình vẽ H4.1. Trong đó
hai điện trở R3 và R4 có giá trị thay đổi khi con chạy C dịch
chuyển dọc theo chiều dài của biến trở
(R3 = RAC; R4 = RCB). Mạch cầu dây được ứng dụng để đo
điện trở của 1 vật dẫn.

− các bài tập về mạch cầu dây rất đa dạng; phức tạp và phổ biến
trong chương trình Vật lý nâng cao lớp 9 và lớp 11.Vậy sử dụng mạch cầu dây để đo điện trở
như thế nào? Và phương pháp để giải bài tập về mạch cầu dây như thế no?

Phơng pháp đo điện trở của vật dẫn bằng mạch dây cầu
Bài toán 4:
ã

o giỏ tr ca in tr Rx người ta dùng một điện trở mẫu Ro,

một biến trở ACB có điện trở phân bố đều theo chiều dài, và một
điện kế nhạy G, mắc vào mạch như hình vẽ H4.2. Di chuyển con
chạy C của biến trở đến khi điện kế G chỉ số 0 đo l1 ; l2 ta được kết
quả: R X = R 0 .

l2
hãy giải thích phép đo này ?
l1

Lêi gi¶i.
− Trên sơ đồ mạch điện, con chạy C chia biến trở (AB) thành hai phần.

 Đoạn AC có chiều dài l1, điện trở là R1
 Đoạn CB có chiều dài l2, điện trở là R2

− Điện kế cho biết khi nào có dòng điện chạy qua đoạn dây CD.

− Nếu điện kế chỉ số 0, thì mạch cầu cân bằng, khi đó điện thế ở điểm C bằng điện thế ở điểm D.
Do đó: VA – VD = VA – VC
Hay
UAn = UAC ⇒ R0I0 = R4 I1
Ta được:

R 0 I1
=
R 1 I0

(1)

(Với I0, I1 lần lượt là dòng điện qua R0 và R4)

R

I

X
1
 Tương tự: U AB = U BC ⇒ R X .I0  = R 2 .I2   ⇔   R = I            ( 2 )
2
0

R

R

R .R 2

0
0
X
 Từ (1) và (2) ta được: R = R ⇒ R X = R
1
2
1

(3)

− Vì đoạn dây AB là đồng chất, có tiết diện đều nên điện trở từng phàn được tính theo cơng thức.
R1 = ρ



l1
l
  R
l
l
    và     R 2 = ρ 2     
⇒ 2 = 2               ( 4 ) Thay (4) vào (3) ta được kết quả: R X = R 0 . 2
S
S
R1 l1
l1

Chó ý.

Đo điện trở của vật dẫn bằng phương pháp trên cho kết quả có độ chính xác rất cao và đơn giản
nên được ứng dụng rộng rãi trong phịng thí nghiệm


Trần Nam Hiếu
13 PP giải bài toán mạch cầu điện trở
ã
Các bài toán thờng gặp về mạch dây cầu.
Bài to¸n 5
Cho mạch điện như hình vẽ H4.3. Điện trở của am pe kế và
dây nối không đáng kể, điện trở tồn phần của biến trở .
a. Tìm vị trí ucả con chạy C khi biết số chỉ của ampekế (IA) ?
b. Biết vị trí con chạy C, tìm số ch ca ampe k ?

Phơng pháp

Cỏc in tr trong mch điện dược mắc như sau: (R1/ /

RAC) nt (R2 / /

RCB)

a. Đặt x = RAC (0< x< R)


Trường hợp 1: Nếu bài toán cho biết số chỉ của ampe kế IA = 0

Thì mạch cầu cân bằng, lúc đó ta có điều kiện cân bằng.

R1
R2
=
                       1)
(
X R−X

Giải phương trình (1) ta sẽ tìm được: RAC = x
 Trường hợp 2: Am pe kế chỉ giá trị IA ≠ 0
Viết phương trình dòng điện cho hai nút C và D. Rồi áp dụng định luật ơm để chuyển hai phương
trình đó về dạng có ẩn sóo là U1 và x.

 Nút C cho biết: IA = ICB − IX =

U − UX UX
U − U1 U1

−
⇔ IA =
−
                   ( 2 )
R−X
X
R−X X

 Nút D cho biết: IA   = I1 − I2 ⇔ IA   =

U1 U − U1
−
                       ( 3)
R1
R2

(Trong đó các giá trị U, Ia, R, R1, R2 đầu bài cho trước )

− Xét chiều dòng điện qua ampe kế (nếu đầu bài khơng cho trước), để giải phương trình (3) tìm
giá trị U1, rồi thay vào phương trình (2) để tìm x.

− Từ giá trị của x ta tìm được vị trí tương ứng con chạy C.
b. Vì đầu bài cho biết vị trí con chạy C, nên ta xác định được điện trở RAC và RCB.

− Mạch điện: (R// RAC ) nt (R2 //RCB)
Áp dụng định luật ôm ta dễ dàng tìm được I1và I2. Suy ra số chỉ của Ampe k: IA = I1 - I2
ã

Bài tập ¸p dơng.

Cho mạch điện như hình vẽ H4.4. Biết U = 7V không đổi.R1 = 3Ω,
R2= 6Ω. Biến trở ACB là một dây dẫn có điện trở suất là δ = 4.106
(Ω m), chiều dài l = AB = 1,5m, tiết diện đều: S = 1mm2
a. Tính điện trở tồn phần của biến trở
b. Xác định vị trí con chạy C để số chỉ của ampe kế bằng 0
c. Con chạy C ở vị trí mà AC = 2CB, hỏi lúc đó ampe kế chỉ bao nhiêu?
d. Xác định vị trí con chạy C để ampe kế chỉ

Lêi gi¶i.
a. Điện trở toàn phần của biến trở: R AB = δ

1
(A)
3

l
1,5
= 4.10− 6 − 6 = 6 (Ω)
S
10


Trần Nam Hiếu

14 PP giải bài toán mạch cầu ®iƯn trë

b. Ampe kế chỉ số 0 thì mạch cầu cân bằng, khi đó:

R1
R

= 2
R AC R CB

Đặt x = RAC ⇒ RCB = 6 – x ⇒

3
6
=
. Suy ra x = 2 (Ω)
x 6− x

Với RAC = x = 2Ω thì con chạy C ở cách A một đoạn bằng: AC =

R AC. .S
= 0,5(m)
ρ

Vậy khi con chạy C cách A một đoạn bằng 0,5m thì ampe kế chỉ số 0
c. Khi con chạy ở vị trí mà AC = 2CB, ta dễ dàng tính được RAC = 4 (Ω)
Còn RCB = 2 (Ω). VT RA = 0 ⇒ Mạch điện (R1 //RAC ) nt (R2 //RCB)
R .R

R .R

12 12

45

1.
AC

2.
CB
− Điện trở tương đương của mạch: R T Ð = R + R + R + R = 7 + 8 = 14 (Ω)
1
AC
2
CB

− Cường độ dòng điện trong mạch chính:

I=

I1 = I.

R AC
98 4 56
= . =
(A)
R1 + R AC 45 7 45

I2 = I

Suy ra:

U
7 98
=
= (A)
45 45
RTÐ

14

R CB
98 2 49
= . =
( A)
R 2 + R CB 45 8 90

Vì: I1 > I2, suy ra số chỉ của ampe kế là: I A = I1 − I 2 =

56 49 7
−
= ⇒ I A = 0, 7 ( A )
45 90 10

Vậy khi con chạy C ở vị trí mà AC = 2CB thì ampe kế chỉ 0,7 (A)
d. Tìm vị trí con chạy C để ampe kế chỉ

1
(A)
3

− Vì: RA = 0 => mạch điện (R1// RAC) nt (R2 // RCB)
Suy ra: Ux = U1

 Phương trình dịng điện tại nút C: IA = ICB − I x =
 Phương trình dịng điện tại nút D: IA = I1 − I2 =


U − U1 U1

7 − U1 U1
−
⇔ IA =
−
           1)
(
R −X
X
6 −X
X

U1 U − U1
U 7 − U1
−
⇔ IA = 1 −
              ( 2 )
R1
R2
3
6

Trường hợp 1:

Ampe kế chỉ IA =

1
3 (A) D đến C

− Từ phương trình (2) ta tìm được U1 = 3 (V)
− Thay U1 = 3 (V) vào phương trình (1) ta tìm được x = 3 (Ω)

− Với RAC = x = 3Ω ta tìm được vị trí của con chạy C cách A một đoạn bằng AC = 75 (m)


Trường hợp 2:

1
(A) chiều từ C đến D
3
5
− Từ phương trình (2) ta tìm được U1 = (V)
3
5
− Thay U1 = (V) vào phương trình (1) ta tìm được x ≈ 1,16 (Ω)
3

Ampe kế chỉ IA =


Trần Nam Hiếu

15 PP giải bài toán mạch cầu ®iÖn trë

− Với RAC = x = 1,16 Ω , ta tìm được vị trí của con chạy C cách A một đoạn bằng AC ≈ 29 (cm)
Vâỵ tại các vị trí mà con chạy C cách A một đoạn bằng 75 (cm) hoặc 29 (cm) thì am pe kế ch

Bài toán 6:
Cho mch in nh hỡnh v H4.3. Hiu điện thế ở hai đầu đoạn
mạch là U không đổi. Biển trở có điện tồn phần là R, vơn kế có
điện trở rất lớn
a. Tìm vị trí con chạy C, khi biết số chỉ của vơn kế

b. Biết vị trí con chy C, tỡm s ch ca vụn k

Phơng pháp.
Vì vơn kế có điện trở rất lớn nên mạch điện có dạng (R1 nt R2) // RAB
a. Tìm vị trí con chạy C
R

1
− Với mọi vị trí của C, ta ln tìm được: U1 = U. R + R
1
2
− Xét hai trường hợp: UAC = U1 + UV và UAC = U1 - UVư

Mỗi trường hợp ta ln có: R AC =

;

I AC =

U
R

U AC
TAC

Từ giá trị của RAC ta tìm được vị trí tương ứng của con chạy C.
b. Biết vị trí con chạy C, ta dễ dàng tìm được RAC và RCB và cũng dễ dàng tính được U1 và UAC.
Từ đó chỉ số của vơn kế: U v = U1 U AC

Bài tập áp dụng.

Cho mạch điện như hình vẽ H4.6. Biết V = 9V không đổi, R1 = 3Ω, R2 = 6Ω.
Biến trở ACB có điện trở tồn phần là R = 18Ω, vốn kế là lý tưởng.
a. Xác định vị trí con chạy C để vôn kế chỉ số 0
b. Xác định vị trí con chạy C để vơn kế chỉ số 1vơn
c. Khi RAC = 10Ω thì vơn kế chỉ bao nhiêu vơn ?
Lời giải
− Vì vơn kế là lý tưởng nên mạch điện có dạng: (R1 nt R2) // RAB
a. Để vơn kế chỉ số 0, thì mạch cầu phải cân bằng, khi đó:
R1
R2
3
6
=
⇔
=
⇒ RAC = 6 (Ω)
R AC R − R AC
R AC 18 − R AC

b. Xác định vị trí con chạy C, để Uv = 1(V)
− Với mọi vị trí của con chạy C, ta ln có:
U1 = U



R1
3
=9
= 3(V) ;
R1 + R 2

3+ 6

I AC =

U 9
= = 0,5(A)
R 18

Trường hợp 1: Vôn kế chỉ: UV = U1 – UAC = 1 (V)

Suy ra: UAC = U1 – UV = 3 – 1 = 2 (V) ⇒ RAC =

U AC
2
=
= 4 (Ω)
I AC 0,5

1
(A) .
3


Trần Nam Hiếu

16 PP giải bài toán mạch cầu ®iƯn trë

 Trường hợp 2:
Vơn kế chỉ UV = UAC – U1 = 1 (V)
Suy ra: UAC = U1 + UV = 3 + 1 = 4 (V) ⇒ R AC =

U AC
4
=
= 8 = 8 (Ω)
I AC 0,5

Vậy tại vị trí mà RAC = 4 (Ω) hoặc RAC = 8 (Ω) thì vơn kế chỉ 1 (V)
c. Tìm số chỉ vôn kế, khi RAC = 10 (Ω)
Khi RAC = 10(Ω) ⇒ RCB = 18 – 10 = 8 (Ω) ⇒ UAC = IAC . RAC = 0,5 .10 = 5 (V)
Suy ra số chỉ của vôn kế là: UV = UAC – U1 = 5 – 3 = 2 (V)
Vâỵ khi RAC = 10Ω thì vơn kế chỉ 2(V)