Đề TS chuyên 10 KHTN 1999

đại học quốc gia hà nội
Trờng đại học khoa học tự nhiên
Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam
Độc lập-Tự do-Hạnh phúc
o0o
đề thi tuyển sinh vào lớp 10
hệ phổ thông trung học chuyên năm 1999
Môn : Toán học
(Cho thí sinh thi vào chuyên toán hoặc chuyên tin)
(Thời gian làm bài: 150 phút)
Câu I: Giải phơng trình:
1x2x28
1x
7x
2
+=+
+
+
Câu II: Các số
, aa
2,1
đợc xác định bởi công thức:
32
2
k
)kk(
1k3k3
a
+
++
=

với mọi
1k
Hãy tính giá trị của tổng :
921
a aa1 ++++
.
Câu III: Chứng minh rằng tồn tại một số chia hết cho 1999 và tổng các chữ số của số
đó bằng 1999.
Câu IV: Cho vòng tròn tâm O bán kính R. Giả sử A và B là hai điểm cố định trên
vòng tròn với
3AB =
.
1) Giả sử M là một điểm thay đổi trên cung lớn AB của đờng tròn. Vòng tròn
nội tiếp
MAB

tiếp xúc với MA tại E và tiếp xúc với MB tại F. Chứng minh
rằng đờng thẳng EF luôn luôn tiếp xúc với một đờng tròn cố định khi M thay
đổi.
2) Tìm tập hợp tất cả các điểm P sao cho đờng thẳng

vuông góc với OP tại
P cắt đoạn thẳng AB.
Câu V: Cho hình tròn (C ) bán kính bằng 1. Giả sử A
1
, A
2
, , A
8
là 8 điểm bất kỳ

nằm trong hình tròn (kể cả trên biên). Chứng minh rằng trong các điểm đã
cho luôn tồn tại hai điểm mà khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn 1.