Đề TS chuyên 10 KHTN 2001

đại học quốc gia hà nội
Trờng đại học khoa học tự nhiên
đề thi tuyển sinh lớp 10 Hệ thpt chuyên năm 2001
Môn toán
(Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán học và chuyên Tin học)
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu I: 1) Cho f(x) = ax
2
+ bx + c có tính chất : f(x) nhận giá trị nguyên khi x là
số nguyên. Hỏi các hệ số a, b và c có nhất thiết phải là các số nguyên hay
không? Tại sao?
2) Tìm các số nguyên không âm x, y thỏa mãn đẳng thức:
1yyx
22
++=
Câu II: Giải phơng trình:
14x5x1x4
2
+=+
Câu III: Cho các số thực a, b, x, y thỏa mãn hệ:







=+
=+
=+
=+

17byax
9byax
5byax
3byax
44
33
22
Hãy tính giá trị của biểu thức:
55
byaxA +=
20012001
byaxB +=
Câu IV: Cho đoạn thẳng AB có trung điểm là O. Gọi d
1
, d
2
là các đờng thẳng
vuông góc với AB tơng ứng tại A và B. Một góc vuông đỉnh O có một cạnh cắt d
1
ở M, còn cạnh kia cắt d
2
ở N. Kẻ OH vuông góc xuống MN. Vòng tròn ngoại
tiếp tam giác MHB cắt d
1
ở điểm thứ hai E khác M. MB cắt NA ở I, đờng thẳng
HI cắt EB ở K. Chứng minh rằng K nằm trên một vòng tròn cố định khi góc
vuông quay quanh đỉnh O.
Câu V: Cho 2001 đồng tiền, mỗi đồng tiền đợc sơn một mặt bằng màu đỏ và
mặt kia bằng màu xanh. Xếp 2001 đồng tiền đó theo một vòng tròn sao cho tất
cả các đồng tiền đều có mặt xanh ngửa lên phía trên. Cho phép mỗi lần đổi mặt

đồng thời 5 đồng tiền liên tiếp cạnh nhau. Hỏi với cách làm nh thế, sau một số
hữu hạn lần ta có thể làm cho tất cả các đồng tiền đều có mặt đỏ ngửa lên phía
trên đợc hay không? Tại sao?