Đề TS chuyên 10 KHTN 2002

đại học quốc gia hà nội
Trờng đại học khoa học tự nhiên
đề thi tuyển sinh lớp 10
Hệ thpt chuyên năm 2002
đề số 1 Môn : toán học (cho thí sinh thi vào chuyên Toán hoặc chuyênTin)
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu I
1) Giải phơng trình:

3x2x2x3x2x3x
22
++=+++
2) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:

9yxyx =++
Câu II
Giải hệ phơng trình:






+=+
=++
y3xyx
1xyyx
33
22
Câu III
Cho mời số nguyên dơng 1, 2, , 10. Sắp xếp mời số đó một cách tùy ý thành một

hàng. Cộng mỗi số với thứ tự của nó trong hàng, ta đợc mời tổng. Chứng minh
rằng trong mời tổng đó tồn tại ít nhất hai tổng có chữ số tận cùng giống nhau.
Câu IV
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
cba
c16
bca
b9
acb
a4
P
+
+
+
+
+
=
trong đó a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Câu V
Đờng tròn (C) tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh Bc, CA, AB tơng
ứng tại các điểm
A

,
B

,
C

.

1) Gọi các giao điểm của đờng tròn (C) với các đoạn IA, IB, IC lần lợt là M, N, P.
Chứng minh rằng các đờng thẳng
MA

,
NB

,
PC

đồng quy.
2) Kéo dài đoạn AI cắt đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D (khác A). Chứng
minh rằng
r2
ID
IC.IB
=
, trong đó r là bán kính của đờng tròn (C).