Bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8 ( hình học)

CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC
A). PHẦN DIỆN TÍCH:
I . Kiến thức
+ Diện tích hình chữ nhật S=a.b
+Diện tích hình vuông S= a
2

+ Diện tích tam giác ABC=
1
2
a.h =
1
2
AH. BC
+ Diện tích hình thang S=
1
2
(a+b).h
=
1
2
(IJ +LK)IM
+ Diện tích hình bình hành =a.h=AN .DC
+Ta có BM =CM
⇒
AMB AMC
S S=
Ta có AA’// BC
⇒

' ' 'ABC A B C

S S=V
II) BÀI TẬP
1.Cho ABC các đường cao AA’ ;BB’ ;CC’ trực tâm H. CMR :
' ' '
1
' ' '
HA HB HC
AA BB HH
+ + =
Giải
' ' ' '. '. '.
ét;
' ' ' '. '. '.
1
BHC AHC ABC
AHB
ABC ABC ABC ABC
HA HB HC HA BC HB AC HC AB
X
AA BB HH AA BC BB AC HH AB
S S S
S
S S S S
+ + = + +
= + + = =
Bài 2 Cho tứ giác ABCD có góc A, góc C bằng 90
0
. Vẽ CH vuông góc với AB. Biêt
rằng đường chéo AC là đường phân giác của góc A và CH = a. Tính diện tích tứ giác
ABCD theo a.

GIẢI
µ µ µ
µ
µ µ
·
·
·
⊥
= = =
⇒ = = = =
⇒ =
= + = + = =
0
0
DCK BCH
2
ABCD AHCD HBC AHCD DCK AHCK
Kẻ: CK AD tạiK
A K H 90 tứ giácAHCK là hìnhchữnhật
MàAClà đườngphângiác củagócAnên tứ giácAHCKlà hình vuông
CK CH,K H 90 ,DCK HCB(phụ DCH )
S S
Tacó S S S S S S a
Bài 2. cho hình thang ABCD ( AB//CD ) , hai đường chéo cắt nhau tại O
a, CMR
=
AOD BOC
S S
b, cho biết
= =

AOB COD ABCD
S 9, S 25tính S
GIẢI
a) Vì AB//CD
( )
=
⇒ + = +
⇒ = ⇒
X
ADC BDC
ADO DOC BOC DOC
ADO BOC
S S
S S S S
S S
b)
= =
AO BOC
ĐặtS S x

∆ ∆
AOB, BOCcó cùngchiềucaohạ từ Bnên
=
∆ ∆
=
AOB
BOC
AOD
DOC
S

OA
(1)
S OC
AOD, DOCcó cùng chiềucaohạ từ D xuống cạnh AC nên
S
OA
(2)
S OC
⇒ = ⇔ = ⇔ = >
= + + + =
AOB AOD
BOC DOC
2
ABCD
S S
9 x
Từ (1)và (2) x 15(cm),(x 0)
S S x 25
vậyS 9 25 15 15 64 (cm )
Bài 2 : Cho điểm O nằm trong hình bình hành ABCD
CMR:
+ = +
AOB COD AOD BOC
S S S S
( )
⊥
+ = +
= + = =
⇒ + =
⇒ + = + + +

⇒ + = + ⇒
W
AOB COD
ABCD
AOB COD ABCD
AOB COD ABO COD BOC AOD
AOB COD AOD BOC
QuaO kẻ HK AB, DCtạiHvà K
1 1
S S OH.AB OK.CD
2 2
1 1 1
CD(OH OK) CD.HK S
2 2 2
2S 2S S
2S 2S S S S S
S S S S
Bài 4 Cho tam giác ABC với các đường cao AA’ , BB’ ; CC’ , trực tâm H
CMR
+ + =
HA' HB' HC'
1
AA' BB' CC'
Bài 5 cho hình thang cân ABCD đáy AB<CD gọi M,N lần lượt là trung điểm của
AD và BC, MN giao BD tai I biết AD = 10 ,MI = 6 ,NI = 12 Tính
ABCD
S
Hướng dẫn AB = 2MI = 12 , CD = 2NI = 24
Kẻ AH vng góc với CD ,
⊥

BK CD,ABCD là hìnhthangcân
− −
= = = = =
DC AB 24 12
nênAH BKvà DH CK 6
2 2
Bài 6 cho ABC cân tại A . trên tia đối của tia CA lấy điểm M sao cho CM = CA
Tia phân giác của góc A cắt BM tại N cho biết :
=
NBC ABM
S 10 TínhS
Bài 7 Cho tam giác ABC , gọi M,N là các là trung điêm tương ứng của AC va BC
CMR S hình thang ABNM = 3/4 S tam giác ABC
Giải
Ta có MN là đường trung bình cả tam giác ABC
⇒
MN//AB
⇒
ABNM là hình thang
AN , BM là hai đường trung tuyến của tam giác ABC
= =
= =
+ = + =
ABM BMC ABC
BMN MCN ABC
ABM BMN ABC ABC ABC
1
S S S
2
1

S S S
4
1 1 3
vậyS S S S S
2 4 4
Bài 8 gọi O là một điểm nằm trong hình chữ nhật ABCD có hai kích thước là a;b
Tính tổng diện tích tam giác OAB và OCD theo a và b
HD: Ker hai đường thẳng qua O
⊥
AB và BC. Gọi k/c từ O
đến AB là x , từ O đến CD là y
⇒ + =
x y a
Ta có
AOB
1
S b.x
2
=
;
DOC
1
S b.y
2
=

( )
AOB DOC
1 1
S S b x y a.b

2 2
+ = + =
Bài 9: Cho
ABC∆
có đáy BC cố định và đỉnh A di động trên một đường thẳng d cố
định song song với BC. CMR
ABC∆
ln co diện tích khơng đổi
(HD:
ABC∆
cố định vì có đường cao và cạnh đáy khơng đổi)
Bài 10: Cho tam giac ABC trung tuyến AD và phân giác BE vng góc với nhau cắt nhau tại F. Cho
biết S
EFD
= 1. Tính S
ABC
.
Gọi x = S
ABC.
1
ABF BDF
AEF DEF
ABD ADC
ABF BDF S S
AEF DEF S S
+∆ = ∆
+∆ = ∆ ⇒ =
+∆ = ∆ ⇒ = =
ABF BDE BDE DEC
S S mà S S⇒ = =

1 1
;
3 4
ABF BDE DEC ABC A BF ABC
S S S s S S⇒ = = = =
1 1
3 3
ABE ABC ABF AEF ABC
S S S S S⇒ = ⇒ + =
1 1
1 1
4 3 4 3
ABC ABC
x x
S S⇒ + = ⇒ + =

12 ( )x ĐVDT=
.
Câu 11: Nối các đỉnh B và C thuộc đáy của tam giác ABC cân với trung điềm O của
đường cao AH. Các đường thẳng này cắt các cạnh bên AC và AB lần lượt ở D và E.
Tính diện tích tứ giac AEOD theo S
ABC
.
Hướng dẫn:
Do O là trung điểm của AH nên kẻ đường trung bình. Gọi N là trung điểm của DC
suy ra HN là đường trung bình của tam giác AHN.
1
3
AD DN NC AC= = =
1 1

;
2 2
AHC ABC AOC AHC
S S S S= =
1 1 1
;
4 3 3
AOC ABC AOC AOC
S S mà S S vì AD AC⇒ = = =
Có cùng chiều cao nên
1 2 1
. 2.
12 12 6
AOD ABC ADOE AOD ABC ABC
S S S S S S= ⇒ = = =
Bài tập 11: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC.
Chứng minh rằng:
ABG ACG BCG
S S S= =
Hướng dẫn
BGM CGM
S S=
có cùng chiều cao GH’
;
CGN AGN AGP BGP
S S S S= =
( )
( )
( ) ( ) ( )
1

: 2
1 2
ABM AMC ABG BGM AGC CGM
ABG AGC
ABG BGC
ABG BGC AGC
Ta có S A S S S S
S S
CM tương tự S S
Từ và S S S
= ⇒ + = +
⇒ =
=
⇒ = = ⇒ W
Bài tập 12: Cho
ABC∆
. Trên các tia AB, BC, CA lấy các điểm M, N, P theo thứ tự
sao cho BM=AC, CN=AB, AP=BC. CMR
( )
3
. .
APB BMC CNA ABC
S S S S=
Hướng Dẫn:
Kẻ đường cao BH, AK, CF của
ABC∆
Ta có:
( )
( ) ( )
1

.
2
1
1
.
2
2 3
APB
APB
ABC
ABC
BMC ACN
ABC ABC
S BH AP
S
AP
S AC
S BH AC
S S
BM CN
Tương tự và
S AC S AC

=


⇒ =


=



= =
Nhân từng vế của 3 đẳng thức
( )
1
,
( )
2
,
( )
3
ta có:
( ) ( )
3
. .
APB BMC CNA ABC
S S S S= ⇒ W
BÀI TẬP HƯỚNG DẪN
Bài 1: Cho hình thang ABCD
( )
AB CDP
khoảng cách từ trung điểm M của AD đến
BC là MH. CMR:
.
ABCD
S M H BC=
Gợi ý: MH.BC cho a nghó đến diên tích
hình bình hành có 1 cạnh bằng BC và chiều
cao tương ứng là MH.

Đường thẳng qua M song
2
với BC caets
AB, DC lần lượt tại E, F. Do đó tứ giác
BCFE là hình bình hành
Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm E, trên cạnh DC lấy điểm
F sao cho AE=CF. M là điểm tùy ý trên cạnh AD. Gọi G, H lần lượt là giao điểm
của EF với MB, MC. CMR:
AEGM MHFD GBCH
S S S+ =
BÀI 1. cho tam giác ABC đường cao AH và tam giác DBC đường cao DK . biết biết AH =1/2 DK
CMR:
2
DBC ABC
S S=

BÀI 2. cho tam giác ABC trung tuến AM
CMR : a)
ABM ACM
S S=
b. cho AB =6 cm AC = 8 cm BC=10 cm gọi N là trung điểm của AC Tính
MBN
S
BÀI 3 cho hình chữ nhật ABCD từ A và C kẻ AE và CF cùng vng góc với BD
a. CMR :
ABCFE ADCFE
S S=
b. tính diện tích của mỗi da giác trên , biết độ dài các cạnh của hình chữ nhật là 16 cm và 12 cm
BÀI 4 cho tam giác ABC trung tuyến AM gọi I là trung điểm của AM , tia CI cắt AB tại E gọi F là
rung điểm của EB . Biết

ABC
S
=36 cm
2
.tính
BFC
S
BÀI 5 cho tam giác ABC trung tuyến AM qua B kẻ đường hẳng // với AM cắt AC tại E gọi I là giao
điểm EM vàAB . CMR :
a.
ABC MEC
S S=
b.
IEK IMB
S S
=
HƯỚNG DẪN
CM: AC = AE
1
2
ABC MEC BEC
S S S= =
1
2
IEA IACM IMB IACM BEC
S S S S S+ = + =
IEA IMB
S S⇒ =
BÀI 6 cho hình thang vuông ABCD
µ

µ
0
90A D
= =
có AB =2cm
BC=CD=10 cm
Tính
ABCD
S
Hướng dẫn
Tính
ABCD
S
-> BE -> EC
BÀI 7 cho hình thang cân ABCD , AB =10 cm CD=22cm BD là
đường phân giac góc D Tính
ABCD
S
Hướng dẫn
ABCD
S
-> AH-> AD và DH
BÀI 8 Cho hình thang ABCD (AB // CD) có CD=42cm
µ
µ
0 0
45 , 60C D= =
, chiều cao AH =18 cm Tính
ABCD
S

Hướng dẫn
ABCD
S
-> AB-> HK ->DH và KC
• Tính KC=BK=18 cm
• Tính HD -> AD
Ta có AD=2HD
⇒
sử dụng Pitago
⇒
(2HD)
2
=HD
2
+AH
2

⇒
HD=
2
18
3
BÀI 9 cho tam giác ABC ( có 3 góc nhọn ) . ba đường cao
1
AA
;
1
BB
;
1

CC
cắt nhau
tại H
CMR:
1 1 1
1 1
1
AA'
HA HB HC
BB CC
+ + =
Hướng dẫn
Ta có
1
1 1
1
1 1
. ; AA .
2 2 AA
BHC
BHC BCA
BCA
S
HA
S HA BC S BC
S
= = ⇒ =
Tương tự
1
1

BB
HAC
ABC
S
HB
S
=
;
1
1
CC
HAB
ABC
S HC
S
=

⇒
1 1 1
1 1
1
AA'
HA HB HC
BB CC
+ + =
BÀI 10 Cho tam giác ABC trên ccs tia AB ; BC ; CA ta lấy các điểm M ;N P sao
cho A là trung điểm của CP ; B là trung điểm của AM ; C là trung điểm của BN giả sử
tam giác ABC có diện tích là s
Tích diện tích tam giác MNP theo s
Hướng dẫn

• CM :
ABC
S
=
APB
S

⇒
ABC
S
=1/2
APM
S

• Tương tự
ABC
S
=1/2
PNC
S
;
ABC
S
=1/2
MBN
S
⇒
MNP
S
=7

ABC
S
BAÌ 11 Cho hình thang ABCD (AB//CD) gọi M ;N lần lượt là trung điểm của 2 đáy
BC và AD một đường thẳng // và cắt 2 đáy AB; MN và CD lần lượt tại E, O, F
CMR : O là trung điểm của EF
HƯỚNG DẪN
CM : OE = OF
⇒

FHO EKO∆ =∆
⇒
FH=EK
⇒
NFM
S
=
NEM
S
• CM :
CDNM
S
=
BANM
S
• CM :
DNF
S
=
ANE
S

(vì ND=NA ; EF//AD)
• CM :
FCM
S
=
EBM
S
(vì CM = MB ; EF//
CB)