TRỌN BỘ CÔNG THỨC GIẢI NHANH CÁC CHUYÊN ĐỀ VẬT LÝ ÔN THI THPT QUỐC GIA

TRỌN BỘ
CÔNG THỨC GIẢI NHANH CÁC
CHUYÊN ĐỀ VẬT LÝ
ÔN THI THPT QUỐC GIA
TÀI LIỆU CHẤT LƯỢNG - BIÊN SOẠN CÔNG PHU
CHƯƠNG I: DAO ĐỘNG CƠ
BÀI 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
1. KHÁI NIỆM DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA.
Dao động là chuyển động có giới hạn trong không gian lặp đi lặp lại quanh một ví cân bằng.
Dao động tuần hoàn là dao động có trạng thái lặp lại như cũ sau khoảng thời gian bằng nhau
Dao động điều hòa là là dao động trong đó li độ của vật là một hàm cosin (hay sin) của thời gian
2. PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
là nghiệm của phương trình vi phân: x’’ + ω
2
x = 0
Có dạng như sau: x= Acos(ωt+ϕ)
Trong đó:
x: Li độ (cm), li độ là độ dời của vật so với vị trí cân bằng
A: Biên độ (cm) (li độ cực đại)
ω: vận tốc góc(rad/s)
ωt + ϕ: Pha dao động (rad/s)
ϕ: Pha ban đầu (rad).
ω, A là những hằng số dương; ϕ phụ thuộc vào cách chọn gốc thời gian, gốc tọa độ.
3. PHƯƠNG TRÌNH VẬN TỐC, GIA TỐC
a. Phuơng trình vận tốc v (cm/s)
v = x’ = - Aωsin(ωt + ϕ) = ωAcos(ωt + ϕ + )



ω−=
ω=

.Av
.Av
min
max
(v
max
khi vật qua VTCB theo chiều dương; v
min
khi vật qua VTCB theo chiều âm.
Nhận xét: Trong dao động điều hoà vận tốc sớm pha hơn li độ một góc .
b. Phuơng trình gia tốc a (m/s
2
)
a = v’ = x’’ = - ω
2
Acos(ωt + ϕ) = - ω
2
x
= ω
2
Acos(ωt + ϕ + π)





ω−=
ω=
2
min

2
max
.Aa
.Aa
(Gia tốc cực đại tại biên âm, cực tiểu tại biên dương)
Nhận xét: Trong dao động điều hoà gia tốc sớm pha hơn vận tốc góc và nguợc pha với li độ.
4. CHU KỲ, TẦN SỐ
a. Chu kỳ: T =
T
t
=
ω
π
2
(s). Trong đó (t là thời gian (s); N là số dao động)
“Chu kỳ là thời gian để vật thực hiện được một dao động hoặc thời gian ngắn nhất để trạng thái dao
động lặp lại như cũ.”
b) Tần số: ƒ =
π
ω
2
=
t
N
(Hz)
“Tần số là số dao động vật thực hiện được trong một giây (số chu kỳ vật thực hiện trong một giây).”
5. CÔNG THỨC ĐỘC LẬP THỜI GIAN:
+ x = Acos(ωt + ϕ)  cos
2
(ωt+ ϕ) =

2
A
x






(1)
+ v = -A.ωsin (ωt + ϕ)  sin
2
(ωt + ϕ) =
2
A
v






ω
(2)
+ a = - ω
2
Acos(ωt + ϕ)  cos
2
(ωt + ϕ) =
2

2
A
a






ω
(3)
Ta lại có cos
2
(ωt + φ) + sin
2
(ωt+φ) = 1
Lấy (1) + (2) ta có:
1
.A
v
A
x
22
=







ω
+






⇒







=








+







ω
+=
)II(1
v
v
A
x
)I(
v
xA
2
max
2
2
2
22
Từ (I) ta có:












−
=ω
ω
−=
−ω±=
22
2
2
2
22
xA
v
v
Ax
xAv
Lấy (2) + (3) ta có: A
2
=
2
4
2






+
ωω
va

⇒







=








+








ω
+
ω
=

)IV(1
a
a
v
v
)III(
va
A
2
max
2
max
2
2
4
2
2
6. TỔNG KẾT
a. Mô hình dao động
CON LẮC LÒ XO
CON LẮC ĐƠN
b. Nhận xét:
- Một chu kỳ dao động vật đi được quãng đuờng là S = 4A
- Chiều dài quỹ đạo chuyển động của vật là L = 2A
- Vận tốc đổi chiều tại vị trí biên, đạt cực đại tại cân bằng theo chiều dương, cực tiểu tại cân bằng
theo chiều âm.
- Gia tốc đổi và luôn hướng về vị trí cân bằng. Gia tốc cực đại vị trí biên âm, cực tiểu tại vị trí biên
dương.
v tăng v
min

= -Aω v giảm
v = 0 v = 0
v tăng v
max
= Aω v giảm
-A CB A
+
k
m
-S
0
CB S
0
+
-A CB A
x < 0
x > 0
Xét vận
tốc v
-
+

v
giảm v
max
= Aω
v
tăng
v
min

= 0
v
min
= 0

v
tăng
v
max
= Aω
v
giảm
Xét tốc độ
v
a tăng a tăng
a
max
= A.ω
2
a
min
= -Aω
2
a giảm a giảm
Xét gia tốc
a
a = 0
a = 0
BÀI 2: BÀI TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
I. BÀI TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG

Bước 1: Phương trình dao động có dạng x = Acos(ωt + ϕ)
Bước 2: Giải A, ω, ϕ.
- Tìm A: A =
2
2
4
2
2
2
2
max
2
max
2
maxmax
vav
x
a
vav
4
S
2
L
ω
+
ω
=
ω
+==
ω

=
ω
==
Trong đó:
- l là chiều dài quỹ đạo của dao động
- S là quãng đường vật đi được trong một chu kỳ
- Tìm
ω
: ω = 2πf =
22
2
max
maxmaxmax
2
xA
v
v
a
A
v
A
a
T −
====
π
- Tìm
ϕ
: Vòng tròn luợng giác (VLG)
Buớc 3: Thay kết quả vào phuơng trình.
II. ĐỒ THỊ DAO ĐỘNG.

-A
A
t
x
Đồ thị của li độ theo thời gian
đồ thị x - t
Aω
t
-Aω
v
Đồ thị của vận tốc theo thời gian
đồ thị v - t
ω
2
A
a
-ω
2
A
t
Đồ thị của gia tốc theo thời gian
Đồ thị a - t
-A
-Aω
2
Aω
2
A
x
a

Đồ thị của gia tốc theo li độ
Đồ thị a - x
BÀI 3: ỨNG DỤNG VÒNG LƯỢNG GIÁC
TRONG GIẢI TOÁN DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA PHẦN 1
1. MỐI LIÊN HỆ GIỮA CHUYỂN ĐỘNG TRÒN ĐỀU VÀ DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
Tại t = 0 ta có: cosφ =
A
x
⇒ x = A.cosφ Tại t (s) ta có cos(ωt+φ) =
A
x
⇒ x = A.cos(ωt+φ)
Kết luận: Ta có thể coi hình chiếu của một vật chuyển động tròn đều lên trục cos là một dao
động điều hòa
2. ỨNG DỤNG 1: BÀI TOÁN TÌM THỜI GIAN NGẮN NHẤT VẬT ĐI TỪ M  N
Bước 1: Xác định góc ∆ϕ
Bước 2: ∆t =
T.
360
T.
2
0
0
ϕ∆
=
π
ϕ∆
=
ω
ϕ∆

Trong đó:
- ω: là tần số góc
- T: Chu kỳ
- ϕ: là góc tính theo rad; ϕ
0
là góc tính theo độ
-Aω
Aω
v
x
A-A
Đồ thị của vận tốc theo li độ
Đồ thị v - x
Aω
2
-Aω
2
v
Aω
-Aω
Đồ thị của gia tốc theo vận tốc
Đồ thị a - v
BÀI 4: ỨNG DỤNG VÒNG LƯỢNG GIÁC
TRONG GIẢI TOÁN DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA - P2
ỨNG DỤNG 2. BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH QUÃNG ĐƯỜNG.
a) Loại 1: Bài toán xác định quãng đường vật đi được trong khoảng thời
gian ∆t < T kể từ thời điểm ban đầu.
Bước 1: Tính Δφ; Δφ = ω.Δt.
Bước 2: Xoay thêm góc Δφ kể từ vị trí t = 0 (s)
Bước 3: Tìm quãng đường bằng cách lấy hình chiếu trên trục cos.

b) Loại 2: Bài toán xác định quãng đường vật đi được trong
khoảng thời gian từ t
1
đến t
2
.
Bước 1: Tìm Δt; (Δt = t
2
– t
1
); T =
ω
π2
Bước 2:
T
t∆
⇒ Δt = n.T + t
3
⇒ t
2
= t
1
+ nT + t
3
Bước 3: Tìm quãng đường. S = n.4A + S
3
Bước 4: Tìm S
3
; S
3

là quãng đường ứng với thời
gian t
3
kể từ t
1
Bước 5: thay S
3
vào S để tìm ra được quãng
đường.
c) Loại 3: Bài toán quãng đường cực đại – cực tiểu: S
max
- S
min

Dạng 1: Bài toán xác định S
max
– S
min
vật đi được trong khoảng thời gian ∆t (∆t <
2
T
)
A.
Tìm S
max
: B. Tìm S
min
:
S
max

= 2A.sin
2
ϕ
với φ = ω.Δt S
min
= 2A(1 - cos
2
ϕ
) với φ = ω.Δt
Dạng 2: Tìm S
max
- S
min
vật đi được trong khoảng thời gian Δt (T > Δt >
2
T
)
A. Tìm S
max
: B. Tìm S
min
:
S
max
= 2A[1+ cos
2
2 ϕ∆−π
] với Δφ = ω.Δt S
min
= 2A(2 - sin

2
2 ϕ∆−π
) với Δφ = ω.Δt
BẢNG TÍNH NHANH CÁC GIÁ TRỊ CỰC ĐẠI – CỰC TIỂU CỦA QUÃNG ĐƯỜNG
Δt
6
T
4
T
3
T
2
T
3
T2
4
T3
6
T5
T
S
max
A A
2
A
3
2A 2A+A 2A+ A
2
2A +A
3

4A
S
min
2A - A
3
2A- A
2
A 2A 4A -A
3
4A - A
2
3A 4A
Dạng 3: Tìm S
max
- S
min
vật đi được trong khoảng thời gian Δt ( Δt > T)
• S
max
: Δt = nT + t
*
⇒ S
max
= n.4A +
)tmax(
*
S
• S
min
: Δt = nT + t

*
⇒ S
max
= n.4A +
)tmin(
*
S
BÀI 5. ỨNG DỤNG VÒNG TRÒN LƯỢNG GIÁC
TRONG GIẢI TOÁN DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA PHẦN 3
ỨNG DỤNG 3: BÀI TOÁN TÍNH TỐC ĐỘ TRUNG BÌNH - VẬN TỐC TRUNG BÌNH
Dạng 1: TỐC ĐỘ TRUNG BÌNH
a. Tổng quát:
t
S
v
∆
=

Trong đó:
- S: quãng đường đi được
- Δt: là thời gian vật đi được quãng đường S
b. Bài toán tính tốc độ trung bình cực đại của vật trong khoảng thời gian Δt:
t
S
v
max
max
=
c. Bài toán tính tốc độ trung bình nhỏ nhất vật trong khoảng thời gian Δt.
t

S
v
min
min
=
DẠNG 2. BÀI TOÁN TÍNH VẬN TỐC TRUNG BÌNH.
v
tb
=
t
x∆

Trong đó: ∆x: là độ biến thiên độ dời của vật: Δx = x
2
– x
1
Δt: thời gian để vật thực hiện được độ dời ∆t = t
2
– t
1
ỨNG DỤNG 4: BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH THỜI ĐIỂM VẬT QUA VỊ TRÍ M CHO TRƯỚC
Ví dụ: Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 4cos(6πt + π/3) cm.
a. Xác định thời điểm vật qua vị trí x = 2 cm theo chiều dương lần
thứ 2 kể từ thời điểm ban đầu.
Hướng dẫn:
- Vật qua vị trí x = 2cm (+):
 6πt +
6
π
= -

3
π
+ k.2π
 6πt = -
3
2
π
+ k.2π
 t =
0
39
1
≥+−
k
Với k ∈ (1, 2, 3…)
- Vậy vật đi qua lần thứ 2, ứng với k = 2  t =
s
9
5
3
2
9
1
=+−
b. Thời điểm vật qua vị trí x = 2
3
cm theo chiều âm lần 3 kể từ t = 2s.
Hướng dẫn:
- Vật qua vị trí x = 2
3

cm theo chiều âm:
 6πt +
3
π
=
6
π
+ k.2π
 6πt = -
6
π
+ k.2π
 t = -
336
1 k
+
Vì t ≥ 2  t = -
336
1 k
+
≥ 2 Vậy k = (7, 8, 9…)
- Vật đi qua lần thứ ứng với k = 9
 t = -
336
1 k
+
=
3
9
36

1
+
=2,97 s
ỨNG DỤNG 5. BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH SỐ LẦN VẬT QUA VỊ TRÍ XM CHO TRƯỚC
TRONG KHOẢNG THỜI GIAN “t”
Ví dụ: Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 6cos(4πt +
3
π
) cm. Trong một giây đầu tiên
vật qua vị trí cân bằng bao nhiêu lần:
Hướng dẫn:
Cách 1: Đếm trên vòng tròn lượng giác
- Mỗi dao động vật qua vị trí cân bằng 2 lần (1 lần theo chiều âm - 1
lần theo chiều dương)
- 1 s đầu tiên vật thực hiện được số dao động là: f =
π
ω
2
= 2 Hz
 Số lần vật qua vị trí cân bằng trong s đầu tiên là: n = 2.f = 4 lần.
Cách 2: Giải lượng giác
- Vật qua vị trí cân bằng
 4πt +
3
π
=
2
π
+ k.π
 4πt =

6
π
+ k.π
 t =
4
k
24
1
+
Trong một giây đầu tiên (0 ≤ t ≤ 1) ⇒ 0 ≤
4
k
24
1
+
≤ 1
⇒ -0,167 ≤ k ≤ 3,83 Vậy k = (0; 1; 2; 3)
BÀI 6: CON LẮC LÒ XO
1. Cấu tạo
- Gồm một lò xo có độ cứng K, khối lượng lò xo không đáng kể.
- Vật nặng khối lượng m
- Giá đỡ
2. Thí nghiệm con lắc lò xo trên mặt phẳng ngang
- Thí nghiệm được thực hiện trong điều kiện chuẩn, không ma sát với môi trường.
- Kéo vật ra khỏi vị trí cân bằng một khoảng A và thả không vận tốc đầu, ta có:
Pphương trình dao động có dạng sau: x = Acos(ωt +ϕ)
Trong đó:
- x: là li độ (cm hoặc m); là khoảng cách từ vậ đến vị trí cân bằng.
- A là biên độ (cm hoặc m); li độ cực đại
- ωt +ϕ: pha dao động (rad)

- ϕ: là pha ban đầu (rad).
- ω: Tần số góc (rad/s)
- ω; A là những hằng số dương; φ phụ thuộc vào cách chọn gốc thời gian, gốc tọa độ
3. Chu kỳ - Tần số
a) Tần số góc -
ω
(rad/s)
⇒ ω =
Trong đó: - K: Độ cứng của lò xo (N/m) - m: Khối lượng của vật (kg)
b) Chu kỳ - T (s): Thời gian để con lắc thực hiện một dao động: (s)
c) Tần số - f(Hz): Số dao động con lắc thực hiện được trong 1s: (Hz)
4. Lò xo treo thẳng đứng
Tại vị trí cân bằng: P = F
đh

⇒ mg = k.∆ℓ
⇒
2
g
m
k
ω=
∆
=


⇒ T =2π
k
m
= 2π

g
∆
=
N
t
(s)
⇒ f =
m
k
=
∆
g
=
t
N
(Hz)
5. Bài toán ghép vật:
Bài 1: Lò xo K gắn vật nặng m
1
thì dao động với chu kỳ T
1
. Còn khi gắn vật nặng m
2
thì dao động với
chu kỳ T
2
a. Xác định chu kỳ dao động của vật khi gắn vật có khối lượng m = m
1
+ m
2

⇒
b. Xác định chu kỳ dao động của vật khi gắn vật có khối lượng m = m
1
+ m
2
+ + m
n
c. Xác định chu kỳ dao động của vật khi gắn vật có khối lượng m = a. m
1
+ b.m
2
:
Bài 2: Lò xo K gắn vật nặng m
1
thì dao động với tần số ƒ
1
. Còn khi gắn vật nặng m
2
thì dao động với
tần số ƒ
2
a. Xác định tần số dao động của vật khi gắn vật có khối lượng m = m
1
+ m
2
⇒ ƒ =
2
2
2
1

21
ff
ff
+

b. Xác định tần số dao động của vật khi gắn vật có khối lượng m = m
1
+ m
2
+ + m
n
2
n
2
2
2
1
2
f
1

f
1
f
1
f
1
+++=
c. Xác định tần số dao động của vật khi gắn vật có khối lượng m = a. m
1

+ b.m
2
:
2
2
2
1
2
f
b
f
a
f
1








+









=
BÀI 7: CẮT - GHÉP LÒ XO
1. Cắt
- Cho lò xo ban đầu có độ cức k
0
có độ dài l
0
, cắt lò xo làm n đoạn. Ta có
công thức tổng quát sau:

- Trường hợp cắt làm 2 đoạn: k
0
.ℓ
0
= k
1
.ℓ
1
= k
2
.ℓ
2
⇒
1
2
2
1
k
k



=
Nhận xét: Lò xo có độ dài tăng bao nhiêu lần thì độ cứng giảm đi bấy nhiêu lần và ngược lại.
2. Ghép lò xo
a) Trường hợp ghép nối tiếp:
+ Công thức xác định độ cứng của bộ lò xo:
n21b
k
1

k
1
k
1
k
1
+++=
∆l
CB
x
A
A
l
0
P

đh
F
+ Công thức tính chu kỳ: T = 2π

b
k
m
+ Nếu 2 lò xo ghép nối tiếp: =
21
k
1
k
1
+
⇒ k =
21
21
kk
kk
+

⇒ T = 2π
21
21
kk
)kk(m +

và ƒ =
)kk(m
kk
2
1
21
21

+π
b) Trường hợp ghép song song
- Công thức xác định độ cứng của bộ lò xo: k
b
= k
1
+ k
2
+ + k
n
- Công thức xác định chu kì: T = 2π
b
k
m
- Nếu có 2 lò xo ghép song song: k = k
1
+ k
2
⇒ T = 2π
21
kk
m
+

và ƒ =
m
kk
2
1
21

+
π
BÀI 8: CHIỀU DÀI LÒ XO - LỰC ĐÀN HỒI, PHỤC HỒI
I - CON LẮC LÒ XO TREO THẲNG ĐỨNG
1. Chiều dài ℓò xo:
- Gọi ℓ
0
ℓà chiều dài tự nhiên của ℓò xo
- ℓ ℓà chiều dài khi con ℓắc ở vị trí cân bằng:
- ℓ
x
là chiều dài lò xo tại vị trí có li độ x:
ℓ
x
= ℓ
0
+ Δℓ + x
- A ℓà biên độ của con ℓắc khi dao động
⇒
2. Lực đàn hồi: F
dh
= - K.∆x (N)
Chiều dương hướng xuống: Δx = Δℓ + x; Chiều
dương hướng lên: Δx = - Δℓ + x;
Giả sử gốc tọa độ tại vị trí cân bằng, chiều dương hướng xuống.
Về độ lớn của lực đàn hồi: F
dh
= |K.(∆ℓ + x)|
F
dhmax

= K(∆ℓ + A)
F
dhmin
=



>∆−∆
≤∆
Akhi)A(k
AKhi0


Về chiều của lực đàn hồi:
Lực đàn hồi có phương dọc theo trục lò xo và chiều luôn hướng về vị trí lò xo không biến dạng ℓ
0
,
khi lò xo dãn lực đàn hồi là lực kéo, còn khi lò xo bị nén lực đàn hồi là lực đẩy.
3. Lực phục hồi (Lực kéo về - Tổng hợp lực – Lực gây ra dao động – Lực tác dụng lên vật):
Về độ lớn lực phục hồi: F
ph
= |m.a| = |-mω
2
x| = k|x|
Về chiều của lực phục hồi: Lực phục hồi cùng chiều với gia
tốc, tức luôn hướng về vị trí cân bằng (vì vậy ta thấy vật có xu
hướng bị kéo về vị trí cân bằng)
Nhận xét: Trường hợp ℓò xo treo thẳng đứng ℓực đàn hồi và
ℓực phục hồi khác nhau.
*** Đặc biệt khi A > ∆ℓ

+ F
nén
= K(|x| - ∆ℓ) với |x| ≥ ∆ℓ.
⇒ F
nén-max
= K|A-∆ℓ|
∆l
giãn
O
x
A
-A
nén
∆l
Chỉ
giãn,
không
bị nén
O
x
A
-A
TH1 (A < ∆l)
TH2 (A ≥ ∆l)
ℓ
0

ℓ
Bài toán: Tìm thời gian ℓò xo bị nén, giãn trong một chu kỳ.
- Gọi ϕ

nén
ℓà góc nén trong một chu kỳ.
- ϕ
nén
= 2.α Trong đó: cosα = ⇒ α
- ; t
giãn
=

ω
ϕ
giãn

=
ω
ϕ−π
nén
2


= T - t
nén

- Tỉ số thời gian ℓò xo nén, dãn trong một chu kỳ:
H =
giãn
nén
t
t
=

giãn
nén
ϕ
ϕ
*** Một số trường hợp đặc biệt:
- Nếu H = →


∆=⇒=
∆
=α⇒
π
=
ϕ
=α⇒







π
=ϕ
π
=ϕ
2A
2
1
A

cos
32
3
4
3
2
nén
dãn
nén
- Nếu H = →


∆=⇒=
∆
=α⇒
π
=
ϕ
=α⇒







π
=ϕ
π
=ϕ

2A
2
1
A
cos
42
2
3
2
nén
dãn
nén
II – CON LẮC LÒ XO NẰM NGANG.
1. Về chiều dài:
Vì Δℓ = 0 ⇒





−=
+=
=
A
A
0min
0max
0




2. Lực đàn hồi – Lực phục hồi:
Ta có:
NPFF
đhph
++=
vì
NP −=
(Mặt phẳng ngang – bỏ qua ma sát)
⇒
đhph
FF =
Lò xo trên mặt phẳng ngang (không ma sát) lực đàn hồi là lực phục hồi:
Về độ lớn: F
đh
= F
ph
= |m.a| = |-mω
2
x| = k|x|
⇒




=
=
0F
A.kF
minđh

maxđh
Về chiều: Lò xo nằm ngang, lực đàn hồi và lực phục hồi luôn hướng về vị trí lò xo không biến
dạng
BÀI 9: NĂNG LƯỢNG CON LẮC LÒ XO
Năng ℓượng con ℓắc ℓò xo: W = W
d
+ W
t

Trong đó:
W: ℓà cơ năng của con ℓắc ℓò xo
W
d
: Động năng của con ℓắc (J) W
d
= mv
2
W
t
: Thế năng của con ℓắc (J) W
t
= K.x
2
Với m là khối lượng (kg); v là vận tốc (m/s)
*** W
d
= mv
2
= m[-ωAsin(ωt +ϕ)]
2

= mω
2
A
2
sin
2
(ωt +ϕ)
⇒ W
dmax
= mω
2
A
2
= mv
0
2
= W
*** W
t
= Kx
2
= K(Acos(ωt +ϕ))
2
= KA
2
cos
2
(ωt +ϕ))
⇒ W
tmax

= KA
2

⇒ W = W
d
+ W
t
=mv
2
+ kx
2
= KA
2
= mω
2
A
2
= mv
0
2
= hằng
số ⇒ Cơ năng ℓuôn bảo toàn.
Ta ℓại có:
+ W
t
= kA
2
cos
2
(ωt + φ) = kA

2







ϕ+ω+
2
)2t2cos(1
= kA
2
+ kA
2
-
A
O
A
x
m
K
Mô hình con lắc lò xo
ℓ
α
0
S
0
cos(2ωt +2φ)
W

t
=
)2t2cos(
2
W
2
W
ϕ+ω+
+ W
d
= kA
2
sin
2
(ωt + φ) = kA
2







ϕ+ω−
2
)2t2cos(1
= kA
2
- kA
2

cos(2ωt +2φ)
W
t
=
)2t2cos(
2
W
2
W
π+ϕ+ω+
→ Động năng và thế năng biến thiên tuần hoàn cùng biên độ
2
W
; cùng tần số góc ω
d
= ω
t
= 2ω nhưng
ngược pha với nhau.
→ Đặt T
d
ℓà chu kì của động năng, Τ
t
là chu kì của thế năng: T
d
= T
t
=
→ Đặt ƒ
d

ℓà tần số của động năng, ƒ
t
là tần số của thế năng: ƒ
d
= ƒ
t
= 2ƒ
→ Thời gian liên tiếp để động năng và thế năng bằng nhau: t =
4
T
Một số chú ý trong giải nhanh toán năng ℓượng:
+ Vị trí có W
d
= n.W
t
: x = ± ;
a
a
max


=
+ Khi W
t
= n.W
d
⇒ v = ±
1n
v
max

+
W
d
= 3W
t
W
d
= W
t
W
d
=
3
1
W
t
W
dmax
W
tmax
x =
2
A
±
x =
2
A
±
x =
2

3A
±
x = 0 x = ± A
v =
2
3v
max
±
v =
2
v
max
±
v =
2
v
max
±
v = ±v
max
v = 0


BÀI 10: CON LẮC ĐƠN
1. Cấu tạo con lắc đơn
Gồm sợi dây nhẹ không dãn, đầu trên được treo cố định đầu dưới được gắn với vật nặng có khối
ℓượng m
2. Thí nghiệm
Kéo con ℓắc ℓệch khỏi vị trí cân bằng góc α
0

rồi buông tay không vận tốc đầu trong môi trường
không có ma sát (mọi ℓực cản không đáng kể) thì con ℓắc đơn dao động điều hòa với biên độ góc α
0
(α
0
≤ 10
0
).
3. Phương trình dao động
Ta có phương trình dao động của con ℓắc đơn có dạng: s = S
0
cos(ωt+φ)
Trong đó:
- s: li độ dài (cm, m )
- S
0
: biên độ dài (cm, m )
Hoặc ta có thể viết phương trình dao động theo góc như sau: α =
α
0
cos(ωt+φ)
Trong đó:
- α: ℓi độ góc (rad; độ )
- α
0
: biên độ góc (rad; độ )
4. Phương trình vận tốc - gia tốc
a) Phương trình vận tốc.
v = s’ = - ωS
0

sin(ωt + ϕ) = ωS
0
cos(ωt + ϕ +
2
π
)
⇒ v
max
= ωS
0
; v
min
= -ωS
0
b) Phương trình gia tốc
a = v’ = x” = - ω
2
.S
0
cos(ωt + ϕ) = - ω
2
.s
⇒ a
max
= ω
2
.S
0
; a
min

= -ω
2
.S
0
;
5. Chu kỳ - Tần số
a) Tần số góc: ω =

g
(rad/s)
a) Chu kỳ T là thời gian con lắc thực hiện được 1 dao động. T =
N
t
= = 2π
g

(s).
b) Tần sốƒ: là số dao động thực hiện được trong 1 s: f = =
t
N
=
π2
1

g
(Hz).
6. Công thức độc ℓập với thời gian
+ S
2
0

= s
2
+
2
2
v
ω


=
4
2
a
ω
+
2
2
v
ω

+
1
v
v
S
s
2
max
2
0

=








+








;
1
a
a
v
v
2
max
2
max
=









+








+ α
0
2
= α
2
+
22
2
v
ω
BÀI 11: NĂNG LƯỢNG CON LẮC ĐƠN
1. Năng ℓượng của con ℓắc đơn
W = W
d

+ W
t
Trong đó:
W: ℓà cơ năng của con ℓắc đơn
W
d
= mv
2
: Động năng của con ℓắc (J)
⇒ W
dmax
= mω
2
S
2
= m
2
max
v
W
t
= m.g.z = mgℓ(1 - cosα): Thế năng của con ℓắc (J)
⇒ W
tmax
= mgℓ(1 - cosα
0
)
Tương tự con ℓắc ℓò xo, Năng ℓượng con ℓắc đơn ℓuôn bảo toàn.
W = W
d

+ W
t
= mv
2
+ mgℓ(1 - cosα)
= W
dmax
= mω
2
S
2
= m
2
max
v
= W
tmax
= mgℓ(1 - cosα
0
) = const
Ta ℓại có:



2. Vận tốc - ℓực căng dây
a) Vận tốc:
⇒ v
max
= và v
min

= -
b) Độ lớn ℓực căng dây: T
T = mg(3cosα - 2cosα
0
)
⇒ T
max
= mg(3 - 2cosα
0
) Khi vật ngang qua vị trí cân bằng
⇒ T
min
= mg(cosα
0
) Khi vật đạt vị trí biên
3. Khi con lắc đơn dao động điều hòa:
Nếu con ℓắc đơn dao động với α
0
≤ 10
0
thì ta coi con lắc đơn dao động điều hòa (α tính theo rad).
Với α << ⇒ sinα = α ⇒ cosα = 1 - 2sin
2
≈ 1 -

Ta có các biểu thức sau:
Khi góc α có giá trị lớn Khi góc α có giá trị nhỏ (α ≤10
0
)→ đổi về rad
W

t
= m.g.z = mgℓ(1 - cosα)
W
t-max
= mgℓ(1 - cosα
0
)
W
t
=


2
mgs
mg
2
1
2
2
=α
W
tmax
=


2
mgS
mg
2
1

2
0
2
0
=α
v =
( )
0
coscosg2 α−α
v =
v
max
= α
0
v
max
=
( )
0
cos1g2 α−
W
đ
=
2
mv
2
1
W
đ
=

)(mg
2
1
2
0
2
0
α−α
T = mg(3cosα - 2cosα
0
)
T
max
= mg(3- 2cosα
0
)
T
min
= mgcosα
0
T = mg(1 - α
2
+ α
0
2
)
T
max
= mg(1 + α
0

2
) (Cân bằng)
T
min
= mg(1 -
2
2
0
α
) (Biên)
Một số chú ý về con lắc đơn dao động điều hòa:
+ Khi W
đ
= nW
t
⇒ α =
1n
0
+
α
±
; s =
1n
S
0
+
±
+ Khi W
t
= nW

đ
⇒ v =
1n
v
max
+
±
BÀI 12: SỰ THAY ĐỔI CHU KÌ CỦA CON LẮC ĐƠN
I – PHƯƠNG PHÁP
Ta có: T = 2π
g

1. Thay đổi chiều dài dây:
Ban đầu : T
1
= 2π
g
1


Sau khi thay đổi thành chiều dài ℓ’ thì chu kì là T’; T’=
g
'
⇒
''T
T


=
2. Thay đổi do (g)

a) thay đổi g do độ cao : g = G
+ Ở độ cao h: Chu kì con ℓắc đơn: T
h
= 2π
h
g


G = 6,67.10
-11

2
2
kg
Nm
: hằng số hấp dẫn. M: Khối ℓượng trái đất.
R = 6400 km: bán kính trái đất.
⇒ T
h
= T
0
(1+)
b) Con lắc trong thang máy:
Khi thang máy lên nhanh dần, xuống chậm dần Khi thanh máy xuống nhanh dần, lên chậm dần
g
hd
= g + a g
hd
= g – a
⇒

T =
hd
g
2

π
=
ag
2
+
π

⇒
T =
hd
g
2

π
=
ag
2
−
π

c. Con lắc trên xe di chuyển nhanh dần đều hoặc chậm dần đều trên mặt phẳng ngang

Xe ô tô chuyển động chậm dần với gia tốc a Xe ô tô chuyển động nhanh dần với gia tốc a
⇒ g
hd

=
22
ag +
⇒ T =
hd
g
2

π
=
22
ag
2
+
π


⇒
tanα =
g
a
P
F
qt
=
d. Con lắc trong điện trường đều:
+ Vật mang điện dương – đặt trong điện trường hướng từ trên xuống hoặc vật mang điện âm đặt trong
điện trường hướng từ dưới lên:
g
hd

= g +
m
Eq

⇒
T =
hd
g
2

π
=
m
Eq
g
2
+
π

+ Vật mang điện dương – đặt trong điện trường hướng từ dưới lên hoặc vật mang điện âm đặt trong
điện trường hướng từ trên xuống:
g
hd
= g -
m
Eq

⇒
T =
hd

g
2

π
=
m
Eq
g
2
−
π

+ Điện trường đều theo phương ngang:
g
hd
=
2
2
m
qE
g






+
⇒ T =
hd

g
2

π
=
2
2
m
qE
g
2






+
π

e. Con lắc đơn chịu tác dụng của lực đẩy Acsimet
Lực đẩy Ácsimét: F
A
= ρgV
Trong đó: ρ: ℓà khối ℓượng riêng của môi trường (kg/m
3
)
V: ℓà thể tích của phần vật trong môi trường
⇒ g
hd

= g – a = g -
m
gVρ
= g -
D
gρ
Trong đó: D là khối lượng của vật (kg/m
3
)
⇒ T =
hd
g
2

π
=
D
g
g
2
ρ
−
π

BÀI 13 TỔNG HỢP DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA.
I - PHƯƠNG PHÁP
1. Độ ℓệch pha của hai dao động
Cho hai dao động điều hòa sau: x
1
= A

1
cos(ωt + ϕ
1
) và x
2
= A
2
cos(ωt + ϕ
2
)
Gọi ∆ϕ ℓà độ ℓệch pha của hai dao động: ⇒ ∆ϕ = ϕ
2
- ϕ
1

Nếu:
- ∆ϕ < 0 ⇒ dao động 2 chậm pha hơn dao động 1
- ∆ϕ > 0 ⇒ dao động 2 nhanh pha hơn dao động 1.
- ∆ϕ = k2π ⇒ hai dao động cùng pha
- ∆ϕ = (2k + 1)π ⇒ hai dao động ngược pha
- ∆ϕ = kπ + ⇒ hai dao động vuông pha
2. Tổng hợp 2 dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số
Bài toán Giả sử một vật thực hiện đồng thời 2 dao động x
1
= A
1
cos(ωt
+ ϕ
1
) và x

2
= A
2
cos(ωt + ϕ
2
). Xác định phương trình dao động tổng
hợp của chúng.
Bài ℓàm:
Dao động tổng hợp của chúng có dạng: x = x
1
+ x
2
= Acos(ωt + ϕ)
Trong đó:
( )
1221
2
2
2
1
cosAA2AAA ϕ−ϕ++=
; Δφ = φ
2
– φ
1
tanφ =
2211
2211
cosAcosA
sinAsinA

ϕ+ϕ
ϕ+ϕ
Trường hợp đặc biệt:
- ∆ϕ = k2π ⇒ A
max
= A
1
+ A
2

- ∆ϕ = (2k +1)π ⇒ A
min
= |A
1
- A
2
|
- ∆ϕ = kπ + ⇒ A =
2
2
2
1
AA +

Chú ý: A
min
≤ A ≤ A
max
⇒ |A
1

- A
2
| ≤ A < A
1
+ A
2

3. Tổng hợp dao động bằng máy tính bỏ túi:
a) Tổng hợp hai hay nhiều dao động
Một vật thực hiện đồng thời nhiều dao động:
x
1
= A
1
cos(ωt + ϕ
1
)
x
2
= A
2
cos(ωt + ϕ
2
)

x
n
= A
n
cos(ωt + ϕ

n
)
Phương trình dao động tổng hợp có dạng:
  
dong_dao_hop_tong
n21
x xxx +++=
= Acos(
ω
t +
ϕ
)
Máy tính 570 ES (Chuyển về các định dạng đúng)
Bước 1: Ấn MODE 2 (Chức năng số phức)
Bước 2: Ấn SHIFT MODE 4 (Chuyển về chế độ Rad)
Bước 3: Ấn SHIFT SETUP  3 2 (Hiển thị kết quả dưới
dạng r
∠
θ tương ứng với biên độ A và góc φ)
(Lưu ý: 3 bước trên không nhất thiết theo thứ tự 1 ,2, 3; định
dạng nào trước cũng được)
II - BÀI TẬP MẪU
Câu 1: Hai dao động thành phần có biên độ là A
1
= 4 cm và A
2
= 10 cm. Biên độ dao động tổng hợp
có thể nhận giá trị:
A. 18 cm B. 5 cm C. 4 cm D. 8,5 cm
Hướng dẫn:

Ta có: |A
1
- A
2
| ≤ A ≤ A
1
+ A
2
⇒ 6 cm ≤ A ≤ 10 cm
[Đáp án D]
Câu 2: Một vật thực hiện đồng thời 2 dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số, có phương trình
dao động lần lượt là: x
1
= 6cos






π
+π
6
t5
cm; x
2
=4cos







π
+π
6
t5
cm. Vận tốc cực đại của vật là:
A. 20π cm/s B. 50π cm/s C. 100π cm/s D. 50π cm/s
Hướng dẫn:
Gọi x là phương trình dao động tổng hợp của 2 dao động: x = x
1
+ x
2
= 10cos






π
+π
6
t5
cm
Vậy vận tốc cực đại của hai dao động là: v
max
= A.ω = 10.5π = 50π cm/s
→ Chọn đáp án B

Các ví dụ sau của phiên bản 2014
Ví dụ 1: Một vật thực hiện đồng thời 2 dao động điều hòa x
1
= 3cos(4πt + ) cm và x
2
= 3cos(4πt + )
cm. Hãy xác định dao động tổng hợp của hai dao động trên?
A. x = 3cos(4πt + ) cm B. x = 3cos(4πt + ) cm
C. x = 3cos(4πt + ) cm D. x = 3cos(4πt + ) cm
Hướng dẫn:
[Đáp án B]
Cách 1: Dùng công thức tổng quát
Ta có: dao động tổng hợp có dạng: x = Acos(ωt + ϕ) cm
Trong đó:

( )
1221
2
2
2
1
cosAA2AAA ϕ−ϕ++=
= = 3 cm
tanφ =
2211
2211
cosAcosA
sinAsinA
ϕ+ϕ
ϕ+ϕ

= ⇒ φ =
Phương trình dao động cần tìm ℓà x = 3cos(4πt + ) cm
Cách 2: Dùng casio 570 ES
Ta có A
1
= 3 cm; φ
1
=
A
2
= 3 cm; φ
1
=
Sau khi chuyển về các định dạng như 3 bước trên ta nhập
như hình bên và ấn dấu =
Kết quả: A = 3
3
và φ =
3
π
Cách 3: Nhẩm
Vì trường hợp này A
1
= A
2
và Δφ =
3
π
Khi đó A = A
1

3
và φ =
2
21
ϕ+ϕ
Ví dụ 2: Một vật thực hiện hai dao động điều hòa với phương trình ℓần ℓượt ℓà x
1
= 4cos(6πt + ); x
2
=
cos(6πt + ϕ) cm. Hãy xác định vận tốc cực đại mà dao động có thể đạt được.
A. 54π cm/s B. 6π cm/s C. 45cm/s D. 9π cm/s
Hướng dẫn:
[Đáp án A]
Ta có: V
max
= A.ω ⇒ V
max
khi A
max
Với A
max
= 9 cm khi hai dao động cùng pha
⇒ v
max
= 9.6π = 54π cm/s
Ví dụ 3: Một vật thực hiện 2 dao động điều hòa với phương trình x
1
= 4cos(ωt + ) cm; x
2

= A
2
cos(ωt +
ϕ
2
) cm. Biết rằng phương trình tổng hợp của hai dao động ℓà x = 4cos(ωt + ) cm. Xác định x
2
?
A. x
2
= 5cos(ωt) cm B. x
2
= 4 cos(ωt) cm C. x
2
= 4cos(ωt - ) D. x
2
=4cos(ωt + )
Hướng dẫn:
|Đáp án B|
Ta có:
( )
11
2
1
2
2
cosAA2AAA ϕ−ϕ++=
= 4 cm
tanφ
2

=
11
11
cosAcosA
sinAsinA
ϕ−ϕ
ϕ−ϕ

= = 0 ⇒ ϕ
2
= 0
Vậy phương trình x
2
= 4cos(ωt)
Ví dụ 4: Cho hai dao động điều hoà cùng phương x
1
= 5cos10πt (cm) và x
2
= A
2
sin10πt (cm). Biết biên
độ của dao động tổng hợp ℓà 10cm. Giá trị của A
2
ℓà
A. 5cm B. 4cm C. 8cm D. 6cm
Hướng dẫn:
[Đáp án A]
Ta có: x
1
= 5cos10πt (cm); x

2
= A
2
sin10πt (cm) = A
2
cos(10πt - )
Ta ℓại có: A
2
= A
1
2
+ A
2
2
+ 2.A
1
A
2
.cos(ϕ
2
- ϕ
1
)
⇒ 10
2
= 3.5
2
+ A
2
2

+ 2.5.3.A
2
.cos
⇒ 10
2
= 3.5
2
+ A
2
2
⇒ A = 5 cm
Ví dụ 5: Khi tổng hợp hai dao động điều hoà cùng phương cùng tần số có biên độ thành phần a và a
được biên độ tổng hợp ℓà 2a. Hai dao động thành phần đó
A. vuông pha với nhau B. cùng pha với nhau. C. ℓệch pha D. ℓệch pha
Hướng dẫn:
[Đáp án A]
Ta có: A
2
= A
1
2
+ A
2
2
+ 2A
1
A
2
cos∆ϕ
⇒ cos∆ϕ =

21
2
2
2
1
2
AA2
AAA −−
=

= 0 ⇒ ∆ϕ =
Ví dụ 6: Một vật có khối ℓượng m = 0,5 kg thực hiện đồng thời 2 dao động x
1
= 5cos(4πt + ) và x
2
=
2cos(4πt - ) cm. Xác định cơ năng của vật.
A. 3,6mJ B. 0,72J C. 0,036J D. 0,36J
Hướng dẫn:
[Đáp án C]
Ta có: W = m.ω
2
.A
2
Với m = 0,5 kg; ω = 4π rad/s; A = 5 - 2 = 3 cm = 0,03 m
⇒ W = .0,5.(4π
2
).0,03
2
= 0,036 J

BÀI 14: LÝ THUYẾT CÁC LOẠI DAO ĐỘNG – PHẦN I
I – Tóm tắt lý thuyết
Các ℓoại dao động
Dao động điều hòa: là dao động được mô tả dưới dạng hàm sin hoặc cos theo thời gian.
Dao động tuần hoàn: ℓà dao động mà trạng thái dao động ℓặp ℓại như cũ sau những khoảng thời
gian như nhau
Dao động tự do: ℓà dao động mà chu kỳ của hệ chỉ phụ thuộc vào đặc tính bên trong của hệ
Dao động tắt dần: ℓà dao động có biên độ giảm dần theo thời gian, nguyên nhân của sự tắt dần ℓà
do ma sát với môi trường.
+ Ma sát càng ℓớn thì tắt dần càng nhanh.
+ Môi trường càng nhớt tắt dần càng nhanh.
Dao động duy trì: ℓà dao động có biên độ không đổi theo thời gian trong đó sự cung cấp thêm
năng ℓượng để bù ℓại sự tiêu hao do ma sát ma không ℓàm thay đổi chu kỳ riêng của nó thì dao động
kéo dài mãi mãi và gọi ℓà dao động duy trì.
Dao động cưỡng bức:
là dao động chịu sự tác dụng của ngoại ℓực biến đổi điều hòa F=F
0
cos(Ωt + φ)
- Dao động cưỡng bức ℓà điều hòa có dạng hàm cos(t).
- Tần số của dao động cưỡng bức bằng tần số góc Ω của ngoại ℓực
- Biên độ của dao động cưỡng bức của ngoại ℓực tỉ ℓệ thuận với
+ Biên độ F
0
của ngoại ℓực
+ Phụ thuộc vào tần số góc của ngoại ℓực
+ Lực cản môi trường.
Hiện tượng cộng hưởng: khi biên độ A của dao động cưỡng bức đạt giá trị cực đại. người ta nói
rằng có hiện tượng cộng hưởng.
- Giá trị cực đại của biên độ A của dao động đạt được khi tần số góc của ngoại ℓực bằng tần số góc
riêng ƒ

nℓ
= ƒ
r
của hệ dao động tắt dần
- Hiện tượng cộng hưởng càng rõ nét khi ℓực cản càng nhỏ.
Phân biệt dao động duy trì và dao động cưỡng bức:
Dao động cưỡng bức
Dao động duy trì
Dao động cưỡng bức ℓà dao động xảy ra
dưới tác dụng của ngoại ℓực tuần hoàn có
tần số góc Ω bất kỳ. sau giai đoạn chuyển
tiếp thì dao động cưỡng bức có tần số góc
của ngoại ℓực.
Dao động duy trì cũng xảy ra dưới tác dụng của ngoại
ℓực, nhưng ở đây ngoại ℓực được điều khiển có tần
số góc ω bằng tần số góc ω
0
của dao động tự do của
hệ
Dao động xảy ra xảy ra trong hệ dưới tác
dụng dưới tác dụng của ngoại ℓực độc ℓập
đối với hệ
Dao động duy trì ℓà ℓà dao động riêng ℓà dao động
riêng của hệ được bù thêm năng ℓượng do một ℓực
điều khiển bởi chính dao động ấy thông qua một hệ
cơ cấu nào đó.
II. Bài tập dao động cưỡng bức và cộng hưởng.
Dạng 1: Viết phương trình dao động cưỡng bức
Một con lắc có khối lượng m chịu tác dụng của ngoại lực có phương trình: F = F
0

cos(ωt + φ)
Phương trình dao động sẽ có dạng x = A
0
cos(ωt+φ-π). Trong đó F
0
= ma
max
= mω
2
A
2
Dạng 2: Bài tập về cộng hưởng
+ Hiện tượng cộng hưởng xãy ra khi: f
R
= f
NL
; trong đó f
R
là tần số riêng; f
NL
là tần số ngoại lực)
+ Công thức xác định vận tốc chuyển động của xe hoặc tàu để cho hiện tượng cộng hưởng xảy ra:
v =
r
T
L
; trong đó: L là khoảng cách hai lần xe bị xóc; Tr là chu kỳ riêng của con lắc.
Dạng 3: Giải bài tập dao động cưỡng bức bằng đồ thị
+ Khi chưa cộng hưởng, tăng tần số ngoại lực biên độ dao động cưỡng bức sẽ tăng.
+ Khi đã cộng hưởng, tăng tần số ngoại lực biên độ dao động cưỡng bức sẽ tăng

+ Căn cứ vào các thông tin đề bài cung cấp, đưa lên đồ thị ta sẽ có kết quả.
BÀI 15: LÝ THUYẾT CÁC LOẠI DAO ĐỘNG – PHẦN 2
BÀI TẬP VỀ DAO ĐỘNG TẮT DẦN
DẠNG 1: DAO ĐỘNG TẮT DẦN CỦA CON LẮC LÒ XO
Bài toán 1: Một vật có khối lượng m, gắn vào lò xo có độ cứng K trên mặt phẳng ngang có hệ số ma
sát trượt giữa vật và mặt sàn là µ
t
, hệ số ma sát nghỉ là µ
n
. Kéo lò xo ra dãn ra một đoạn A rồi buông
tay ra cho vật dao động tắt dần. Chọn gốc tọa độ tại vị trí cân bằng, chiều dương theo chiều kéo vật,
gốc thời gian lúc buông tay cho vật bắt đầu dao động.
a. Xác định vị trí cân bằng động trong quá trình vật dao động?
Nếu vật đi từ biên âm vào: x
0
= -
k
mgµ
Nếu vật đi từ biên dương vào: x
0
=
k
mgµ
+ Vị trí cân bằng là vị trí hợp lực tác dụng lên vật bằng 0.
⇒ F
ms
= F
đh
⇒ μmg = k.x ⇒ x
0

=
k
mgµ
b. Khi vật đi được quãng đường S kể từ thời điểm ban đầu thì vận tốc của vật là bao nhiêu?
(Phải biết vật đang ở li độ là bao nhiêu hoặc có thể tính là bao nhiêu thì bài toán trên mới có hiệu
lực)
W = W
đ
+ W
t
+ A
ms
⇒ W
đ
= W – W
t
– A
ms
⇔
)AA(k
2
1
mv
2
1
2
CL
22
−=
- μmg.S ⇒ v =

( )
m
mgS2AAk
2
CL
2
µ−−
±
c. Trong quá trình dao động của vật, xác định tốc độ dao động cực đại của vật.
Trường hợp 1: Vật được thả tắt dần từ biên vận tốc sẽ đạt cực đại khi vật về vị trí cân bằng lần đầu
tiên.
⇒ v
max
=
( )
m
mgS2xAk
2
0
2
µ−−
±
; trong đó: x
0
=
k
mgµ
; S = A – x
0
Trường hợp 2: Vật được cung cấp vận tốc ngay ở vị trí cân bằng, lúc này vận tốc được cung cấp sẽ

là vận tốc cực đại trong quá trình tắt dần.
d. Độ giảm biên độ sau nữa chu kì, sau một chu kì
Xét một nửa chu kì đầu tiên khi vật đi từ A về A
1
Gọi W ℓà là năng lượng ban đầu của con lắc lò xo khi tại biên A: W =
2
kA
2
1
(J)
W
CL
ℓà là năng lượng còn lại của con lắc lò xo khi tại biên A
1
: W
CL
=
2
1
kA
2
1
(J)
∆W là phần năng lượng đã bị mất đi do công của lực ma sát: ∆W = W – W
CL
= A
MS
⇒
( )
2

1
2
AAk
2
1
−
= mgμS
⇒ k(A + A
1
)(A – A
1
) = mgμ(A+A
1
)
⇒ ∆A
1
= A - A
2
=
Ta thấy độ giảm biên độ sau nửa chu kỳ là ∆A
1
là hằng số không phụ thuộc vào biên độ dao động
ban đầu và thời gian.
Gọi ∆A là độ giảm biên độ sau một chu kỳ ℓà: ∆A = 2.∆A
1
= =
k
F4
ms
e. Khi biên độ dao động còn lại là A

1
thì quãng đường vật đã đi được là bao nhiêu?
Gọi W ℓà là năng lượng ban đầu của con lắc lò xo khi tại biên A: W =
2
kA
2
1
(J)
W
CL
ℓà là năng lượng còn lại của con lắc lò xo khi tại biên A
1
: W
CL
=
2
1
kA
2
1
(J)
∆W là phần năng lượng đã bị mất đi do công của lực ma sát: ∆W = W – W
CL
= A
MS
⇒
( )
2
1
2

AAk
2
1
−
= mgμS ⇒ S =
( )
mg2
AAk
2
1
2
µ
−
f. Số dao động N vật có thể thực hiện được đến lúc tắt hẳn:
+ Gọi x
0
là khoảng cách từ vị trí cân bằng động đến gốc tọa độ: x
0
=
k
mg
t
µ
;
+ A* là giá trị biên độ mà tại đó lực đàn hồi cân bằng với lực ma sát nghỉ cực đại: A* =
k
mg
n
µ
+ A

C
được coi là giá trị biên độ lúc đầu của chu kì cuối cùng:
+ A
C
= ∆A: khi A

∆A
+ A
C
= A -
A.
A
A
∆






∆
(Các trường hợp còn lại)
Qui tắc xác định số dao động đến lúc tắt hẳn:
+ Nếu A
C
≤ A* ⇒ N =







∆A
A
+ Nếu A* < A
C
≤ (2x
0
+ A*) ⇒ N =






∆A
A
+
2
1
+ Nếu (2x
0
+ A*) < A
C
⇒ N =







∆A
A
+ 1
(Các giá trị trong ngoặc vuông là lấy phần nguyên; ví dụ [5,9] = 5; [6,3] = 6 )
g. Thời gian vật thực hiện dao động đến lúc tắt hẳn: t = N.T
h. Vị trí vật dừng lại khi tắt dao động A
C2
+ Nếu A
C
≤ A* ⇒ là vị trí A
C2
= A
C
+ Nếu A* < A
C
≤ (2x
0
+ A*) ⇒ A
C2
= 2x
0
– A
+ Nếu (2x
0
+ A*) < A
C
⇒ A
C2
= A

C
–∆A
DẠNG 2: BÀI TẬP VỀ DAO ĐỘNG TẮT DẦN CỦA CON LẮC ĐƠN
Con ℓắc đơn có chiều dài ℓ dao động tắt dần với một ℓực cản đều ℓà F
c
, biên độ góc ban đầu ℓà α
01
= α
0
.
a) Xác định độ giảm biên độ trong một chu kỳ.
Ta có: năng ℓượng ban đầu của con ℓắc ℓà: W
1
= mgℓα
Khi về đến biên lần đầu, biên độ góc chỉ còn α
02
; Năng ℓượng còn ℓại
của con ℓắc khi ở biên W
CL
= mgℓα
Sau nữa chu kì năng ℓượng mất đi: ∆W = A
C
⇔ W – W
CL
= F
C
.S
⇔ mgℓ(α - α) = F
c
.(S

01
+ S
02
) = F
c
.ℓ(α
01
+ α
02
)
⇒ mgℓ(α
01
- α
02
)(α
01
+ α
02
) = F
c
.ℓ(α
01
+ α
02
)
⇒ ∆α
1
= α
01
- α

02
=
mg
F2
c
=
P
F2
C
Ta thấy rằng độ giảm biên độ sau nửa chu kỳ không phụ thuộc vào
biên độ ban đầu và thời gian. Như vậy sau một chu kì độ giảm biên độ ℓà:
∆α = α
01
- α
02
=
mg
F4
c
=
P
F4
C
b) Số dao động con lắc đơn thực hiện kể từ ban đầu đến ℓúc tắt hẳn. N =
α∆
α
01

c) Thời gian con lắc đơn thực hiện kể từ ban đầu đến ℓúc tắt hẳn: t = N.T
BÀI 16: BÀI TOÁN VA CHẠM HỆ VẬT

I. BÀI TOÁN VA CHẠM
1. Va chạm mền:
+ Sau va chạm 2 vật dính vào nhau và cùng chuyển động
+ Động lượng được bảo toàn, động năng không bảo toàn.
m
1
v
1
+ m
2
v
2
= (m
1
+ m
2
)V ⇒ V =
21
2211
mm
vmvm
+
+
Trong đó:
+ m
1
: là khối lượng của vật 1
+ m
2
: là khối lượng của vật 2

+ m = (m
1
+ m
2
) là khối lượng của hai vật khi dính vào nhau:
+ v
1
là vận tốc của vật 1 trước va chạm
+ v
2
là vận tốc vật 2 trước va chạm
+ V là vận tốc của hệ vật sau va chạm
2. Va chạm đàn hồi (xét va chạm trực diện - đàn hồi - xuyên tâm)
+ Sau va chạm hai vật không dính vào nhau, chuyển động độc lập với nhau
+ Động năng được bảo toàn; động lượng được bảo toàn
v
1
' =
( )
21
22121
mm
vm2vmm
+
+−
v
2
' =

( )

21
11212
mm
vm2vmm
+
+−
Trong đó:
+ m
1
: là khối lượng của vật 1
+ m
2
: là khối lượng của vật 1
+ m = m
1
+ m
2
là khối lượng của hai vật khi dính vào nhau
+ v
1
: vận tốc của vật 1 trước va chạm
+ v
2
: vận tốc của vật 2 trước va chạm
+ v’
1
: vận tốc của vật 1 sau va chạm
+ v’
2
: vận tốc của vật 2 sau va chạm

II. BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH ĐIỀU KIỆN BIÊN ĐỘ ĐỂ DÂY TREO KHÔNG CHÙNG
Xác định biên độ lớn nhất để trong quá trình M dao động dây treo
không bị chùng
- Hình bên phải: A ≤
- Hình bên trái A ≤
III. BÀI TOÁN KHÔNG DỜI VẬT
Xác định biên độ dao động lớn nhất của m để vật M
không bị nhảy lên khỏi mặt phẳng ngang: A ≤
Biên độ dao động lớn nhất của M để vật m không bị nhảy ra khỏi vật M.
A ≤

Biên độ dao động lớn nhất của M để m không bị trượt ra khỏi M.
A ≤
CHƯƠNG II: SÓNG CƠ HỌC
BÀI 1: ĐẠI CƯƠNG SÓNG CƠ HỌC (Phần 1)
1. Các định nghĩa cơ bản
a) Định nghĩa sóng cơ: Sóng cơ ℓà dao động ℓan truyền trong một môi trường vật chất.
b) Sóng ngang: ℓà sóng trong đó các phần tử của môi trường dao động theo phương vuông góc với
phương truyền sóng. Sóng ngang (sóng cơ) truyền trong chất rắn và mặt chất ℓỏng.
c) Sóng dọc: ℓà sóng cơ trong đó các phần tử của môi trường dao động theo phương trùng với phương
truyền sóng. Sóng dọc truyền được cả trong môi trườg rắn, ℓỏng, khí.
d) Đặc trưng của sóng hình sin:
- Biên độ sóng (U
0
): biên độ của sóng ℓà biên độ dao động của một phần tử môi trường có sóng
truyền qua.
- Chu kỳ sóng (T): ℓà thời gian để sóng ℓan truyền được một bước sóng. Chu kỳ sóng bằng với
chu kỳ dao động của một phần tử của môi trường có sóng truyền qua.
- Tần số của sóng (f): ℓà số bước sóng mà sóng ℓan truyền được trong 1s. Tần số sóng bằng với
tần số dao động của phần tử môi trường.

- Tốc độ truyền sóng (v): Tốc độ truyền sóng v ℓà tốc độ ℓan truyền dao động trong môi trường.
Với mỗi môi trường tốc độ có giá trị nhất định không phụ thuộc vào tần số của nguồn sóng.
- Bước sóng (λ):
+ λ ℓà quãng đường mà sóng truyền
trong một chu kỳ.
+ Hoặc ℓà khoảng cách gần nhất của
hai điểm cùng pha trên phương truyền
sóng. λ = v. T = (m, cm…)
- Năng ℓượng sóng W =
2
0
2
UD
2
1
ω
(J) ℓà năng ℓượng dao động của các phần tử của môi trường có
sóng truyền qua.
+ Nếu sóng ℓý tưởng (sóng truyền theo một phương) thì năng ℓượng sóng không đổi.
+ Nếu sóng ℓan tỏa theo hình tròn trên mặt nước thì năng ℓượng sóng giảm tỉ ℓệ với khoảng cách
đến nguồn.
+ Nếu sóng ℓan tỏa theo hình cầu (sóng âm) thì năng ℓượng sóng giảm tỉ ℓệ với bình phương
khoảng cách đến nguồn.
*** Chú ý: Sóng cơ không truyền vật chất mà chỉ truyền dao động, năng ℓượng, pha dao động
2. Phương trình sóng
Xét tại nguồn O: có phương trình sóng ℓà: u
0
=
U
0

cos(ωt + φ)
Viết phương trình dao động tại M cách O một đoạn
là d, trong môi trường có bước sóng λ, có tốc độ truyền
sóng là v
Sóng truyền từ O đến M:
u
M
= U
0
cos(ω(t -∆t)+∆φ) = U
0
cos(ωt+φ -∆t) = U
0
cos(ωt +φ - ) = U
0
cos(ωt +φ -
λ
πd2
)
Nhận xét: Chiều truyền sóng là chiều từ điểm nhanh pha tới điểm trễ pha
Phương trình dao động tại M: u
M
= U
0
cos(ωt +φ -
λ
πd2
) được gọi là phương trình truyền sóng
Độ ℓệch pha dao động của hai điểm trên phương truyền sóng: ∆ϕ = 2π = 2π
λ

−
12
dd
Ta có các trường hợp sau:
- ∆ϕ = 2kπ (hai điểm cùng pha) ⇒ d = kλ (k∈ Z)

⇒
Trên phương truyền sóng những điểm cách nhau nguyên ℓần bước sóng thì dao động cùng pha.
- ∆ϕ = (2k+1)π (hai điểm ngược pha) ⇒ d = (2k +1) (k∈ Z)

⇒
Trên phương truyền sóng những điểm cách nhau một số lẻ ℓần nửa bước sóng thì dao động
ngược pha
- ∆ϕ = (2k+1)
2
π
(hai điểm vuông pha) ⇒ d = (k +
2
1
) (k∈ Z)
BÀI 2: ĐẠI CƯƠNG SÓNG CƠ HỌC (Phần 2)
1. BÀI TOÁN GÓC LỆCH PHA VÀ SỬ DỤNG VÒNG TRÒN LƯỢNG GIÁC
Độ lệch pha dao động của hai điểm trên phương truyền sóng: ∆φ =
λ
πd2
Ta có các trường hợp sau:
+ Hai điểm cùng pha (không trùng nhau) ∆φ =
λ
πd2
= k2π ⇒ |d| = kλ; k = 1; 2; 3

• Điểm cùng pha gần nhất: k = 1 ⇒ d = λ
• Điểm cùng pha gần thứ hai: k = 2 ⇒ d = 2λ
• Điểm cùng pha thứ n: k = n ⇒ d = nλ
+ Hai điểm ngược pha ∆φ =
λ
πd2
= (2k+1)π ⇒ |d| = (k +
2
1
)λ; k = 0; 1; 2; 3
• Điểm ngược pha gần nhất: k = 0 ⇒ d = 0,5λ
• Điểm ngược pha gần thứ hai: k = 1 ⇒ d = 1,5λ
• Điểm ngược pha thứ n: k = n-1 ⇒ d = (k – 0,5)λ
+ Hai điểm vuông pha ∆φ =
λ
πd2
= (2k+1)
2
π
⇒ |d| = (k +
2
1
)
2
λ
; k = 0; 1; 2;
• Điểm vuông pha gần nhất: k = 0 ⇒ d = 0,25λ
• Điểm vuông pha gần thứ hai: k = 1 ⇒ d = 0,75λ
• Điểm vuông pha thứ 3: k = 2 ⇒ d = 1,25λ
Chú ý 1: Nếu bài yêu cầu khoảng cách của hai điểm lệch pha ∆φ gần nhất ta có ∆φ =

λ
πd2
⇒ d =
π
λϕ∆
2
.
+ Hai điểm gần nhất cùng pha: ∆φ =
λ
πd2
= 2π ⇒ d = λ
+ Hai điểm gần nhất ngược pha: ∆φ =
λ
πd2
= π ⇒ d =
2
λ
+ Hai điểm gần nhất vuôn pha: ∆φ =
λ
πd2
=
2
π
⇒ d =
4
λ
Chú ý 2: Các điểm cùng cách nguồn một đoạn như nhau thì luôn dao động cùng pha
2. ĐỒ THỊ TRUYỀN SÓNG
Bước 1: Chọn điểm đặc biệt (Điểm C)
Bước 2: Chọn 2 đỉnh sóng gần điểm đặc biệt nhất (A; B)

Bước 3: Vẽ mũi tên từ A hoặc B song song với mặt phẳng cân bằng, hướng về C. Mũi tên nào chặn
chiều dao động tại thời điểm đó của C sẽ là chiều truyền sóng.
Như hình dưới là chiều từ A đến C.
3. BÀI TOÁN NHỐT GIÁ TRỊ CỦA (λ; v; f)
Dạng bài nhốt giá tr ịcủa λ: Một sóng hình sin truyền theo phương Ox từ nguồn O với tần số f,
có bước sóng nằm trong khoảng từ λ
1
đến λ
2
. Gọi A và B là hai điểm nằm trên Ox, ở cùng một phía so
với O và cách nhau d. Hai phần tử môi trường tại A và B luôn dao động cùng pha (ngược pha hoặc
vuông pha) với nhau. Bước sóng λ bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn:
+ Giả sử nếu 2 nguồn cùng pha ta có: ∆φ =
λ
πd2
= 2kπ ⇒ λ =
k
d
; [k ∈ N*] (1)
⇒ λ
1
< λ =
k
d
<λ
2
⇒ λ
1
<

k
d
< λ
2
(2); Từ (2) ta có giá trị của k. Thay k vào (1) ta được kết quả
+ Giả sử nếu 2 nguồn ngược pha ta có: ∆φ =
λ
πd2
= (2k+1)π ⇒ λ =
5,0k
d
+
; [k ∈ N*] (1)
⇒ λ
1
<
5,0k
d
+
< λ
2
⇒
2
d
λ
< k + 0,5 <
1
d
λ
(2); Từ (2) ta có giá trị của k. Thay k vào (1) ta được kết quả

Dạng bài toán nhốt giá trị của f, v cũng thực hiện tương tự như với bước sóng
4. BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH BIÊN ĐỘ DAO ĐỘNG
Đề bài: Một nguồn sóng O có phương trình dao động u
O
= U
0
cos(ωt + φ) cm. Một điểm M cách O một
đoạn là d tại thời điểm t* có độ dời sóng là u*. Xác định biên độ sóng U
0
.
Hướng dẫn: Ta chỉ cần viết phương trình tại M và thay thời gian vào sẽ có được kết quả.
u
M
= U
0
cos(ωt* + φ -
λ
πd2
) = u*
⇒ U
0
=






λ
π

−ϕ+ω
d2
*tcos
*u
BÀI 3: GIAO THOA SÓNG CƠ (Phần 1)
1. Định nghĩa giao thoa
+ Hiện tượng hai sóng kết hợp, khi gặp nhau tại những điểm xác định, ℓuôn ℓuôn hoặc tăng cường
nhau tạo thành cực đại hoặc ℓàm yếu nhau (tạo thành cực tiểu) gọi ℓà sự giao thoa sóng.
+ Giao thoa sóng bản chất là tổng hợp dao động điều hòa
+ Nguồn kết hợp ℓà hai nguồn có cùng tần số và độ ℓệch pha không đổi theo thời gian.
2. Phương trình giao thoa sóng
a) Hai nguồn sóng cùng biên độ
+ Cùng pha:
.
Gọi u
1M
là dao động tại M do nguồn 1 tạo ra: u
1M
= U
0
cos(ωt -
λ
π
1
d2
)
Gọi u
2M
là dao động tại M do nguồn 2 tạo ra: u
2M

= U
0
cos(ωt -
λ
π
2
d2
)
Gọi u
M
là dao động tại M: u
M
= u
1M
+ u
2M
= U
0
cos(ωt -
λ
π
1
d2
) + U
0
cos(ωt -
λ
π
2
d2

)
⇒
u
M
= 2U
0
cos
( )






λ
−π
12
dd
cos
( )






λ
+π
−ω
12

dd
t
=
A
M
là biên độ sóng tại M: A
M
=
( )






λ
−π
12
0
dd
cosU2
S
1
a
M
d
1
d
2
u

1
= u
2
= U
0
cos(ωt)