Luyện thi THPT quốc gia môn toán
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.55 MB, 67 trang )
Luyện thi THPT Quốc gia năm 2015
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TIỀN GIANG
TRƯỜNG THPT TÂN HIỆP
TÀI LIỆU LUYỆN THI
TRUNG HỌC PHỔ THƠNG QUỐC GIA NĂM 2015
Mơn thi: Tốn
( Tái bản lần 3, có bổ sung)
1 (e x
I
1)2
e
0
x
y
dx
-1 O
1
x
2
-1
u
n(ABC )
3z
[AB, BC ]
9
2
2
4 4
;
1 1
2 2
;
4 4
2
2
2iz
( 6; 18;12)
11i
( Lưu hành nội bộ, năm 2015)
Tài liệu luyện thi TOÁN 12 – THPT QUỐC GIA 2015
Năm học 2014-2015 – trường THPT Tân Hiệp- Tiền Giang
1
Luyện thi THPT Quốc gia năm 2015
Tài liệu luyện thi TOÁN 12 – THPT QUỐC GIA 2015
Năm học 2014-2015 – trường THPT Tân Hiệp- Tiền Giang
2
Luyện thi THPT Quốc gia năm 2015
Lời nói đầu
Tài liệu nầy tổng hợp khái quát bài toán liên quan đến cấu trúc đề thi thpt quốc gian mơn
tốn năm 2015.
Sau đây là cấu trúc đề thi:
Như ta đã biết Cấu trúc đề thi đại học khối A A1 B D 2015 mơn Tốn đã có những điều
chỉnh cập nhật mới so với với những năm vừa qua. Có những câu bất di bất dịch về khung nội dung,
tuy nhiên vẫn có những câu mà khung nội dung đã được thay đổi.
Nội dung cụ thể về cấu trúc đề thi đại học mơn Tốn 2015 .
(Dùng cho các bạn ơn thi các khối A, A1, B và khối D)
Câu I (2,0 điểm)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b) Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số: chiều biến thiên
của hàm số; cực trị; giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số; tiếp tuyến, tiệm cận (đứng và ngang)
của đồ thị hàm số; tìm trên đồ thị những điểm có tính chất cho trước, tương giao giữa hai đồ thị
(một trong hai đồ thị là đường thẳng)...
(Nhận xét: Câu này là câu nhi đồng nhất trong tất cả các đề thi mơn tốn các khối A B D từ trước
đến nay. Có lẽ câu này nhằm mục đích là có điểm cho thí sinh dự thi, ai cũng có quà mang về. Tuy
nhiên đã có nhiều sĩ tử là các học sinh khá giỏi đã rơi rụng ở câu này, cụ thể là gãy ở câu b.)
Câu II (1,0 điểm)
- Công thức lượng giác, phương trình lượng giác.
- Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ, logarit.
Câu III (1,0 điểm):
- Tìm giới hạn.
- Tìm nguyên hàm, tính tích phân.
- Ứng dụng của tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối trịn xoay.
Câu IV (1,0 điểm):
- Số phức.
- Tổ hợp, xác suất, thống kê.
Câu V (1,0 điểm):
Phương pháp tọa độ trong không gian:
- Xác định tọa độ của điểm, vectơ.
- Đường tròn, Mặt cầu.
- Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng; khoảng cách giữa
hai đường thẳng; vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng
và mặt cầu.
Câu VI (1,0 điểm):
Hình học khơng gian (tổng hợp): quan hệ song song, quan hệ vng góc của đường
thẳng, mặt phẳng; diện tích xung quanh của
hình nón trịn xoay, hình trụ trịn xoay; thể tích khối lăng trụ, khối chóp, khối nón trịn xoay, khối
trụ trịn xoay; tính diện tích mặt cầu và
thể tích khối cầu.
Câu VII (1,0 điểm):
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng:
- Xác định tọa độ của điểm, vectơ.
- Đường trịn, elip.
- Viết phương trình đường thẳng.
- Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng.
Tài liệu luyện thi TOÁN 12 – THPT QUỐC GIA 2015
Năm học 2014-2015 – trường THPT Tân Hiệp- Tiền Giang
3
Luyện thi THPT Quốc gia năm 2015
Câu VIII (1,0 điểm):
Phương trình, bất phương trình; hệ phương trình đại số.
Câu IX (1,0 điểm):
- Bất đẳng thức; cực trị của biểu thức đại số.
- Bài toán tổng hợp.
Mong rằng cuốn tài liệu này sẽ giúp các em rèn luyện khả năng giải bài tập tốt
Chúc các bạn có kỳ thi quốc gia thật nhiều bội thu.
Tp. HCM, ngày tháng 03 năm 2015
Tác giả
Phạm Văn Tuấn
Liên hệ:
DĐ: 01694556550
Email:
Tài liệu luyện thi TOÁN 12 – THPT QUỐC GIA 2015
Năm học 2014-2015 – trường THPT Tân Hiệp- Tiền Giang
4
Luyện thi THPT Quốc gia năm 2015
Tài liệu luyện thi TOÁN 12 – THPT QUỐC GIA 2015
Năm học 2014-2015 – trường THPT Tân Hiệp- Tiền Giang
5
Luyện thi THPT Quốc gia năm 2015
PHẦN 1:
KHẢO SÁT HÀM SỐ
I. KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ BIỆN LUẬN NGHIỆM
* Dạng cơ bản:
x 3 6x 2 9x 4
Câu 1: Cho hàm số: y
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số đã cho.
2) Tìm m để phương trình sau đây có 3 nghiệm phân biệt: x 3
Câu 2: Cho hàm số: y
x4
4x 2
6x 2
9x
m
4
0
3
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số đã cho.
2) Dựa vào (C ) , hãy biện luận số nghiệm của phương trình: x 4
Câu 3: Cho hàm số: y
x 2 (4
4x 2
3
2m
0
x 2)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số đã cho.
2) Tìm điều kiện của tham số b để phương trình sau đây có 4 nghiệm phân biệt:
x4
4x 2
log b
0
Câu 4: Cho hàm số y
2x
x
1
. Dựa vào đồ thị hàm số (C) biện luận nghiệm của phương trình
1
4x 2
2m 2015 0
x 1
*Chú ý: Nhắc lại các dạng đồ thị sau khi khảo sát
* Dạng nâng cao:
Câu 1: Cho hàm số y =2x3 + 3(m-1)x2 + 6(m-2)x – 1
1) Khảo sát hàm số ứng với m = 2.
2) Định k để phương trình: 2x3 + 3x2 + k2013 = 1 có ba nghiệm phân biệt.
Câu 2: Cho hàm số y = x4 – 2mx2 + m (1) có đồ thị (C), m là tham số.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
2. Tìm m để phương trình sau: x4 – 2x2 + 1 + log2m = 0 ( m > 0) có 4 nghiệm.
4
2
Câu 3: Tìm m để phương trình x 5 x 4 log12 2014m có 6 nghiệm.
Câu 4: Tìm m để phương trình
1 4
3
x 3 x 2 2 m2013 có 4 nghiệm thực phân biệt.
2
2
Câu 5: Cho hàm số y = x3 -3x2 - mx + 2 , có đồ thị là (Cm), m là tham số.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m =1.
2. Biện luận số nghiệm của phương trình
3x3 – 9x2 -3x + 2k + 7 =0
Câu 6: Cho hàm số y
1 3
4
x 2 x 2 3mx , m là tham số
3
3
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m=1
Tài liệu luyện thi TOÁN 12 – THPT QUỐC GIA 2015
Năm học 2014-2015 – trường THPT Tân Hiệp- Tiền Giang
6
Luyện thi THPT Quốc gia năm 2015
2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
1 3
4
x 2 x 2 3 x 2m 0
3
3
x 1
m 2014 vơ nghiệm.
x 1
Câu 7: Tìm m để phương trình
II. BÀI TỐN TIẾP TUYẾN
x3
2 x 2 2 x 1 có đồ thị (C ), Viết phương trình tiếp tuyến biết:
Câu 1: Cho hàm số y = f(x) =
3
a) Tiếp tuyến có hồnh độ bằng -2
b) Tiếp tuyến có tung độ bằng 3
c) Tiếp tuyến có hệ số góc bằng -4
d) Tiếp tuyến song song với đường thẳng (∆): -x – 9y +1 =0
e) Tiếp tuyến đi qua ( xuất phát, kẻ từ) điểm A ( -8; 0)
f) Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng (∆): x + y +2015 =0
x3
Câu 2: Cho hàm số: y
6x 2
9x
4 .Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C ) tại giao
điểm của (C ) với trục hoành.
Câu 3: hàm số: y
2x 3
1)x 2
(m
(m 2
4)x
m
1 ( m = 2). Viết phương trình tiếp tuyến
của (C ) tại giao điểm của (C ) với trục tung
Câu 4: Cho hàm số y
3x 2
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của
x 1
đồ thị (C) với trục tung.
Câu 5: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f ( x) y
1 4 1 2
x x 2 tại điểm M (x0 ;
4
2
y0 ), biết f ' ' ( x0 ) 2 và x0 0 .
Câu 6: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y
đẳng thức
x2
tại điểm có tung độ y0 thoả mãn
x 1
3 y0 9 0 .
x 3 3x 2 3x . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C ) biết tiếp
tuyến song song với đường thẳng có phương trình y 3x .
Câu 7: Cho hàm số: y
2x 1
. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C ) biết tiếp tuyến có hệ
x 1
Câu 8: Cho hàm số: y
số góc bằng – 4.
x 2 (4
Câu 9: Cho hàm số: y
song với d : y
16x
Câu 10: Cho hàm số 𝑦 =
x 2 ) . Tìm toạ độ của điểm A thuộc (C ) biết tiếp tuyến tại A song
2011 .
𝑥+2
𝑥−1
(1). Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) sao cho khoảng cách từ M đến
đường thẳng y = − x baèng √2.
Câu 11: Cho hàm số 𝑦 =
𝑥−2
𝑥+1
( KA – 2014)
(1). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (1) tại giao điểm của đồ
thị hàm số với y = -3x - 2.
1
Câu 12: Cho hàm số 𝑦 = 2 𝑥 4 − 𝑥 2 − 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm
M ( xM; yM) thuộc (C) biết xM < 0 và yM = 3.
Tài liệu luyện thi TOÁN 12 – THPT QUỐC GIA 2015
Năm học 2014-2015 – trường THPT Tân Hiệp- Tiền Giang
7
Luyện thi THPT Quốc gia năm 2015
1 4
x
4
Câu 13: Cho hàm số: y
3 2
x
2
5
. Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) tại điểm cực tiểu
4
của nó.
III. BÀI TỐN ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN ( SỰ BIẾN THIÊN)
1
Câu 1: Cho hàm số y (m 1) x 3 mx 2 (3m 2) x (1).
3
a) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên tập xác định của nó.
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) nghịch biến trên tập xác định của nó
Câu 2: Cho hàm số y x 3 3 x 2 mx 4 (1) .Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1)
đồng biến trên khoảng (; 0) .
Câu 3: Cho hàm số y x3 (1 2m) x 2 (2 m) x m 2 .Tìm m để hàm đồng biến trên 0;
Câu 4: Cho hàm số y
mx 4
. Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng ( -; 1).
xm
* Ứng dụng sự biến thiên của hàm số để chứng minh bất đẳng thức
x3
1/ x < sinx<x , x > 0
6
2/
2x
sinx
3/ sinx + tanx > 2x , với 0 < x ≤ /2
4/
4 3
1
sin x sin 2 x 0x
3
2
IV. BÀI TOÁN CỰC TRỊ
Câu 1: Cho hàm số y x 3 3(m 1) x 2 9 x m , với m là tham số thực. Xác định m để hàm số
đã cho đạt cực trị tại x1 , x2 sao cho x1 x 2 2 .
Câu 2: Cho hàm số y
1 3
1
x (m 1) x 2 3(m 2) x , với m là tham số thực. Xác định m để
3
3
hàm số đã cho đạt cực trị tại x1, x2 sao cho x1 2 x2 1 .
Câu 3: hàm số y x3 3x 2 mx 2 có đồ thị là (Cm).Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu
và đường thẳng đi qua các điểm cực trị song song với đường thẳng d: y 4 x 3 .
x3
(m 1) x 2 (2m 5) x 1 có hai cực trị.
3
Câu 5: Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 3mx + 3m +4.
a/ Định m để hàm số có cực đại tại x = 2
b/ Định m để hàm số có cực trị tị = -1
c/ Định m để hàm số có cực tiểu tại x = 3
Câu 4: Tìm m để hàm số y
Câu 6: Cho hàm số y
1 4
3
x mx 2 . Tìm m để hàm số có cực trị:
2
2
1) có 1 cực trị
2) có 3 cực trị
Câu 7: Cho hàm số: y
x4
(m
có 3 điểm cực trị. ( Đs: m
1)x 2
2m
1 (1). Tìm các giá trị của tham số m để hàm số (1)
1 ).
Tài liệu luyện thi TOÁN 12 – THPT QUỐC GIA 2015
Năm học 2014-2015 – trường THPT Tân Hiệp- Tiền Giang
8
Luyện thi THPT Quốc gia năm 2015
Câu 8: Cho hàm số 𝑦 = 𝑥 3 − 3𝑚𝑥 2 + 4𝑚3 ( m là tham số) có đồ thị là (Cm). Xác định m để (Cm) có
các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x. ( HKI –TG 14.15)
* Dạng nâng cao:
1
Câu 9: Cho hàm số y x 3 mx 2 (2m 1) x 3 (m là tham số) có đồ thị là (Cm). Xác định m để
3
(Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu nằm về cùng một phía đối với trục tung.
Câu 10: Cho hàm số y x3 3x 2 mx 2 (m là tham số) có đồ thị là (Cm). Xác định m để (Cm) có
các điểm cực đại và cực tiểu cách đều đường thẳng y x 1 .
Câu 11: Cho hàm số y x 3 (2m 1) x 2 (m 2 3m 2) x 4 (m là tham số) có đồ thị là (Cm). Xác
định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung
Câu 12: Cho hàm số y x 3 3 x 2 mx m – 2 (m là tham số) có đồ thị là (Cm). Xác định m để (Cm)
có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hồnh.
Câu 13: Cho hàm số y (m 2)x 3 3x 2 mx 5 , m là tham số.Tìm các giá trị của m để các điểm cực
đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hồnh độ là các số dương.
Câu 14: Cho hàm số y x 3 3mx 2 3(m 2 1) x m 3 m (1). Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng
thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng
điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O.
2 lần khoảng cách từ
Câu 15: Cho hàm số y x 3 3mx 2 3(1 m 2 ) x m3 m2
(1). Viết phương trình đường
thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).
Câu 16: Cho hàm số y x3 3x 2 mx 2 có đồ thị là (Cm).Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, cực
tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị song song với đường thẳng d: y 4 x 3 .
Câu 17: Cho hàm số y
1 4
3
x mx 2
2
2
(1). Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có cực tiểu mà
khơng có cực đại.
Câu 18: Cho hàm số y f ( x) x 4 2(m 2) x 2 m2 5m 5
(Cm ) .Tìm các giá trị của m để đồ
thị (Cm ) của hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1 tam giác vuông cân.
Câu 19: Cho hàm số y x 3x mx m 2 (1) với m là tham số thực. Tìm m để hàm số (1) có
hai điểm cực trị có hồnh độ x1, x2 thỏa mãn
3
2
2
x12 x2 3x1 x2 12
V. BÀI TỐN TƯƠNG GIAO
Câu 1: Cho hàm số: y
x
. Tìm các giá trị của tham số k để đường thẳng d: y
x 1
tại 2 điểm phân biệt. ( Đs: k 0, k 1 )
kx cắt (C )
Câu 2: Cho hàm số y x 3 3mx 2 3(m 2 1) x (m 2 1) ( m là tham số)
(1).Tìm các giá trị của
m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hồnh độ dương.
1
2
Câu 3: Cho hàm số y x 3 mx 2 x m có đồ thị (Cm ) .Tìm m để (Cm ) cắt trục hồnh tại 3
3
3
điểm phân biệt có tổng bình phương các hồnh độ lớn hơn 15.
Câu 4: Cho hàm số y x 3 3x 2 9 x m , trong đó m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của
tham số m để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số
cộng.
Câu 5: Cho hàm số y x4 2m2 x2 m4 2m (1), với m là tham số.Chứng minh đồ thị hàm số (1)
luôn cắt trục Ox tại ít nhất hai điểm phân biệt, với mọi m 0 .
Tài liệu luyện thi TOÁN 12 – THPT QUỐC GIA 2015
Năm học 2014-2015 – trường THPT Tân Hiệp- Tiền Giang
9
Luyện thi THPT Quốc gia năm 2015
VI. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHÂT – NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Câu 1: Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau
a) y
x3
2 x 2 3x 4 trên [ -4 ; 0]
3
c) y = x – sin2x trên ;
2
b) y
2 x 2 3x 3
trên [ 0; 2]
x 1
d) y = cos2x + 2sinx – 3 trên ; 5
6
6
Câu 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x – ln(1-2x) trên đoạn [-2;0]
2
Câu 3: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y
x 2 8 x
Câu 4:Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y sin6 x cos6 x sin 2 x 2013
Câu 5: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a.
y 2 cos 2 x 4 sin x trên đoạn 0;
2
b. y
4 x 2 4 x 2 trên đoạn [ 0 ; 2 ].
x2 1
c. y 2
x x 1
d.
y 5 x x 1 ( x 1)(5 x) 5
3
Câu 6: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y x 3x 2 trên đoạn [-3;0].
Câu 7: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y f ( x) x . ln x trên đoạn
[1 ; e2].
1
Câu 8: Tìm GTNN-GTLN của hàm số sau y = x(lnx-2) trên đoạn ; e 2 .
e
2
Câu 9: Tìm GTNN-GTLN của hàm số f(x) = x – ln(1-2x) trên đoạn [-2;0].
Câu 10: Tìm GTNN-GTLN của hàm số f(x) = 2x – e2x trên đoạn [ -1;2].
Câu 11: Tìm GTNN-GTLN của hàm số y
x 2 3 x ln x trên đoạn [ 1 ;2].
ln x
Câu 12: Tìm GTNN-GTLN của hàm số y f ( x)
trên đoạn [1; e3].
x
Câu 13: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: y
e x (x 2
Câu 14: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: y
x
1) trên đoạn [0;2].
x2
2x 2
trên đoạn [
x 1
1
;2]
2
Câu 15: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
𝑓( 𝑥) = 𝑦 = 2√ 𝑥 + √5 − 𝑥. ( CĐ 2014)
Câu 16: Giải bài tốn cực trị
a. Tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất, biết chu vi của nó khơng đổi và bằng 16cm
b. tìm độ dài bán kính đáy và chiều cao của một hình trụ có V cho trước và có Stp nhỏ nhất.
c. Tìm kích thước của hình chữ nhật có diện tích lớn nhất nội tiếp đường trịn có bán kính R cho trước
d. Tìm hai số biết rằng hiệu của chúng bằng 10 và tích của chúng nhỏ nhất.
e. Cho tam giác vng có tổng 1 cạnh góc vng và cạnh huyền bằng a có diện tích lớn nhất là bao
nhiêu ?
f. Chu vi của một tam giác là 16 cm, độ dài 1 cạnh tam giác là 6 cm, Tính độ dài 2 cạnh cịn lại biết
diện tích tam giác lớn nhất.
Tài liệu luyện thi TOÁN 12 – THPT QUỐC GIA 2015
Năm học 2014-2015 – trường THPT Tân Hiệp- Tiền Giang
10
Luyện thi THPT Quốc gia năm 2015
PHẦN 2:
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH
MŨ – LOGARIT
Câu 1: Giải phương trình mũ
2x 1
x
1. 2
3.2
x
2. 6.4
5.6x
3. 7x 2.71 x
2 0
6.9x 0
9 0
4. 9x 1 3x 2 18 0
5. 22x 2 2x 2 3 0
6. 2x+4 + 2x+2 = 5x+1 + 3.5x
7. 22 x1 22 x3 22 x5 27 x 25x 23 x
8. 8 x 2.4 x 2 x 2 0
9. 2
10.
2 x 2 4 x
2
x
x 2 2 x
x+1
4 -6.2
12
+ 32 =0
x 1
4.3 9 0
11. 3.9
2 x 1
12. 3.13 68.13x 5 0
13. 6.9 x 13.6 x 6.4 x 0 (*)
14. 5.4 x 12.25x 7.10 x
tan x
tan x
15. 3 2 2
3 2 2
6
x
x 1
x
16. 25 6.5 5 0
2 x 1
2 x 3 10 0
17. 2
18. 5x + 12x = 13x (*)
19. 5x + 2x = 4x + 3x
2
x2
Câu 2: Giải phương trình logarit
1. log2 x log4 (4x 2 ) 5 0
2
2. log2 (x
3)
log2(x
3. 2 log2 (x
2)
log0,5 (2x
4. 2 log2 x
3
1)
3
1)
log 3 (3x ) 14
0
5. lnx + ln (x+2)= lnx2
6. log2 (x 3) log0,5 (x 1)
0
3
7. log4 [( x 2)( x 3)] log4
x2
0
x3
x
4
2
9. log3 x 7 x 12 2 log3 15 log3 x 5
2
8. log 2 x log2 log2 8 0
10. log2 x 1 log2 ( x 1) 7
11. log1 ( x 1) log1 ( x 1) log 1 (7 x) 1
2
2
2
3
2
2
12. log x 8 log3 x 3 0
2
3
13. log2 x 9 log8 x 4
2
14. log2 x 10 log2 x 6 9
15. log 2 x 4 log4 x log8 x 13
16. log4 x 8 log2 x 2 log9 243 0
17. log2 2 x 9 log8 2 x 4
2
18. log
x log1 x3 log3 (3x 4 ) 3
3
3
Câu 3: Giải bất phương trình mũ
2x 2 x
1. 9
2.
1
3.
3
12 11
2 x 2 3 x
2x 2 x
12 11
4 x 2 x 1 8
8x
3.
1 x
2
Câu 4: Giải bất phương trình logarit:
3
1. log1 x 2 x 2 log2 5
4
2
2. 2 log2(x – 1)
log2(5 – x ) 1
3. log1 ( x 2 4 x) 1
5
Tài liệu luyện thi TOÁN 12 – THPT QUỐC GIA 2015
Năm học 2014-2015 – trường THPT Tân Hiệp- Tiền Giang
11
Luyện thi THPT Quốc gia năm 2015
Câu 5: Giải phương trình mũ – logarit sau
1) 22x 2 3.2 x 1 2 0
2) 52x 1 5x 1 250
3) 34x 8 4.32x 5 27 0
4) 3x 1 18.3– x 29
5) 9 x 3x 6 0
6) 22x 2 9.2x log2 32 0
7)
6
9)
3 5 3 5
6
x
35
35
x
x
x
12
2x 1
11) 9 x 1 5.6 x 4 x 1 0
x 1
20.10
3.4
x
15) 2x
2
x
4.2x
17) 4x
2
x
0
21 x 2 x 1 1
x
x
22x 4 0
2
2
10) 6.25x 25.10 x 25.4 x 0
12) 32x 1 2.15x 52x 1 0
13) 25
2
8) 32x 4 45. 6 x 9.22x 2 0
14) 125.3x 15x 5x 125
16) 4x
2
3x 2
4x
2
6x 5
42x
2
3x 7
1
18) 8.3x 3.2x 24 6 x .
Câu 6: Giải phương trình logarit
2
1) log3 x 1 log9 x 1 log5 25 0
2) log 2 x 2 log 2 x 10 4log 2 3
3) log 2 2x 1 .log 4 2x 1 2 1
2
4) 2log3 x 3 5log3 9x
2
5)
1
log
2
2
12
x 3 2log 4 x 1 log 2 4x
x 3
7) lg x 2 2x 3 lg
0
x 1
9)
1
log16 2x
1
x
log 2
4
1
log x 2 log 1 x 1 1 2log 4 2x 3
2
4
2
1
2
15) log 4 x 1 2 log
2
2
6) log 4x 8 log 9 243 log 2x 2
8) log3 x 2 2log3 x 1
2
10) log3 x 2 2log3 x 6 0
3
11) log 4 log 2 x log 2 log 4 x 2
13)
2
2
4 x log 2 4 x
1
2
17) log x 1 x 2 3x 2 log x 2 x 1 1
2
12) log 2 25x 3 7 2 log 2 5x 3 1
14) log
3
2x 1 log 1 7 x 3
3
log x log x 2 0
16)
18) log 2 x log5 2x 1 2 .
Câu 7: Giải bất phương trình :
1) 9
x 2 2x
1
2
3
2x x 2
3
2)
10 3
x 1
x 3
10 3
x 3
x 1
Tài liệu luyện thi TOÁN 12 – THPT QUỐC GIA 2015
Năm học 2014-2015 – trường THPT Tân Hiệp- Tiền Giang
12
Luyện thi THPT Quốc gia năm 2015
2 x
3) 3
1 x
6.3
1
3
x 2 x 2 3
x2 x
4) log 0,7 log 6
0
x4
1
5) log3 x 2 5x 6 log 1 x 2 log 1 x 3 6) log 2 7.10x 5.25x 2x 1 .
2
3
3
Câu 8: Giải hệ phương trình :
log 2 x 2 y2 1 log 2 xy
1) 2
2
3x xy y 81
x 4y
y x 16
3) 2
log 3 x y 1 log 3 x y
x,y
9x 3x 2
y
2) 3x 9
32x 1 4y 1
9x 2 4y 2 5
4)
.
log 5 3x 2y log 3 3x 2y 1
Tài liệu luyện thi TOÁN 12 – THPT QUỐC GIA 2015
Năm học 2014-2015 – trường THPT Tân Hiệp- Tiền Giang
13
Luyện thi THPT Quốc gia năm 2015
PHẦN 3:
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
I. PHƯƠNG PHÁP 1: ĐỔ I BIẾN SỐ
u (b )
b
f u(x ) .u '(x )dx
f (t )dt
a
u (a )
Cách thực hiện:
Bước 1: Đặt
t
u(x )
x
x
Bước 2: Đổi cận :
b
a
dt
t
t
u ' (x )dx
u(b)
u(a )
Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến
t ta được
u (b )
b
I
f u(x ) .u '(x )dx
a
f (t )dt (tiếp tục tính tích phân mới)
u (a )
Chú ý: Khi giải tích phân vì có cận nên phải đổi cận
- Nếu hàm có chứa dấu ngoặc kèm theo luỹ thừa thì đặt t là
phần bên trong dấu ngoặc nào có luỹ thừa cao nhất.
- Nếu hàm chứa mẫu số thì đặt t là mẫu số.
- Nếu hàm số chứa căn thức thì đặt t = căn thức.
- Nếu tích phân chứa
dx
x
thì đặt t ln x .
- Nếu tích phân chứa e x thì đặt t ex .
dx
thì đặt t x .
x
dx
1
- Nếu tích phân chứa 2 thì đặt t .
x
x
- Nếu tích phân chứa cos xdx thì đặt t sin x .
- Nếu tích phân chứa sin xdx thì đặt t cos x .
dx
- Nếu tích phân chứa
thì đặt t tan x .
cos 2 x
dx
- Nếu tích phân chứa 2 thì đặt t cot x .
sin x
- Nếu tích phân chứa
e2
VD: I
e
dx
x ln x
I
ln 2
ĐS :
Tính các tích phân sau:
Tài liệu luyện thi TỐN 12 – THPT QUỐC GIA 2015
Năm học 2014-2015 – trường THPT Tân Hiệp- Tiền Giang
14
Luyện thi THPT Quốc gia năm 2015
sin
Câu 1.
2
2
3
xcos xdx
2
2. sin xcos xdx
2
2
4
sin x
3.
dx
1 3cosx
0
3
3.1 tan xdx
0
3
3
4
4. cot xdx
1
1
6
5.
6. x x 2 1dx
1 4sin xcosxdx
7. x 1 x 2 dx
0
0
0
6
1
8. x 3 x 2 1dx
1
9.
0
10. x 3 1 x 2 dx
dx
x 1
3
0
12.
2
2
18. ecosx sin xdx
e2
xcos
2
e
1 3ln x ln x
dx
x
e
1
25.
1
dx
(1 ln x)
1
4
4
21.
1 ln x
dx
x
e
19.
3
24.
2
17. esin x cosxdx
sin(ln x)
x dx
1
0
4
e
2
4
20.
15. e x 2 xdx
14. ecosx sin xdx
1
2
13. esin x cosxdx
16. sin 3 xcos 2 xdx
dx
x3 1
1
2
x
(1 3x 2 )2 dx
0
1
x
11.
0
1
2
1
x2
2
x
1
x 1
1
22.
26.
dx
e 2 ln x 1
x dx
1
e
1
x
2x 1
0
e2
1 ln 2 x
dx
x ln x
e
23.
1
27. x x 1dx
dx
0
28.
1
1
1
x 1 x
0
4
sin x 1 cos xdx
0
1
1
2
29. x 2 x 3 5dx 30.
dx
31. e x dx
3
dx
0
0
0
x
(2 x 1)
32.
1
33.
1
x
2x 1
0
4sin 3 x
dx
1 cos x
0
2
34. x 1 xdx
dx
35.
0
1 sin 2 x
36.
dx
2
0 cos x
1
4
cos 2 x
38.
dx
1 2sin 2 x
0
2x 2
dx
x2 2x 3
0
cos x
5 2sin x dx
0
41.
2
0
2
2
42. cos x sin xdx
3
2
cos
43.
0
5
xdx
0
1
4
sin 4 x
44.
dx
1 cos 2 x
0
45. x 1 x dx
3
2
0
e
2
46. sin 2 x(1 sin 2 x)3 dx
x
47.
1
3
1
0
ln x 2
dx
1 ln 2 x
x dx
1
1
e
4
1
48.
dx
cos x
0
49.
dx
3 e x 2e x 3
ln
2
52.
6
50. x5 (1 x3 )6 dx
51.
0
ln 5
52.
sin 3x
2cos 3x 1 dx
39.
2
40.
2
4
1
37. x dx .
0 e 1
cos x
6 5sin x sin
2
0
x
dx
sin x cos x
1 sin 2 x
e
2
dx 53.
sin x
(e cos x) cos xdx
54.
1
0
1 3ln x ln x
dx
x
4
1 2sin 2 x
1 sin 2 x dx
0
4
55.
57. (1 x 4 )3 x 7 dx
4
ln 3
1 4sin x .cos xdx
60.
2
sin 2 x
1 cos2 x dx
0
7
0
e.
x 3
x
x 1
dx
2
61. cos5 xdx
e 1dx
x
ln 2
0
66.
6
62.
58.
0
0
59.
9
1
1
56. x 2 8 1 xdx
1 x
4
cos3 x
3
1 2sin 2 x
1 sin 2 x dx
0
4
sin x
dx
64.
2
dx
8
65.
3
1
x x2 1
dx
2
ln 2
3
x3
3
63.
0
67.
x
0
5
1 x 2 dx
68.
0
1
e 2
x
7
3
dx
69.
0
x 1
3
3x 1
dx
Tài liệu luyện thi TOÁN 12 – THPT QUỐC GIA 2015
Năm học 2014-2015 – trường THPT Tân Hiệp- Tiền Giang
15
Luyện thi THPT Quốc gia năm 2015
2
2 3
70. x 2 x 3 1dx
71.
0
1
dx
x x2 4
5
2
72. x 3 1 x 2 dx
73. sin 2 x(1 sin 2 x)3 dx
0
0
e3
dx
x ln x ln(ln x)
74)
e
2
1
2
dx
3 e x 2e x 3
ln
78)
2
79)
77)
0
0
1 sin 2 x
2
2
sin 2 x cos x
80)
dx 81)
1 cos x
0
dx
2
x
dx
sin x cos x
cos x
6 5sin x sin
0
ln 5
6
76) x5 (1 x3 )6 dx
75) cos5 x sin 3 xdx
(e
sin x
cos x) cos xdx
0
4
1
e
ln ex
dx
82)
1 x ln x
1
83).
1
2 x2
1 x
0
3
1
84). xe x dx
85). x 2 e x dx
2
dx
3
1
0
86).
2 ln x
x
1
89).
e2
e
e
1
2x 1
0
ln 2
96). I =
0
ln10
ex
dx
1 e x
e
3
ln 3
e 2
1 ln x
dx
x
93). I =
dx
1
91) I = x(1 x) 2010 dx
0
ln 3
dx
94). I
ex 2
0
x2
7
97) I= 3
0
95). I =
ex 1
3
ln 2
e2 x
ex 1
dx
xdx
98).
dx
ln 5
e x dx
1
1 x
0
x 1
0
x
e e
dx
x
x
0 e e
1
x
x
3
ln 2
xdx
92). I =
e
sin x
dx
cos3 x
0
88).
1 ln x
e
90). 1
3
dx
x
87).
6 2 ln x
dx
x
3
1
99) I
dx
x
100) I
- Dạng chứa a2 x2 : Đặt x = asint, t ; (a>0)
2 2
1
a x2
- Dạng chứa
2
: Đặt x = atant, t ; (a>0)
2 2
* Dạng 2: đổi biến số
1
2
2
VD: 1) I
4
x 2dx
2) I
0
0
1
0
1)
1
1 x 2 dx
2)
0
1
1
1 x
1
x2
dx
dx
1 x2
3) I
1
1
2
3)
dx
0
2
2
1
4 x2
0
dx
4)
0
x2
1 x 2
dx
2
3
2
5) x 4 x dx
2
2
1
6)
x
2
1
dx
7).
2
4 x2
3 x
a
10).
dx
a2 x2
0
1
x2 1
dx
a
1
8). 4 x 2 dx
0
11). F
1
2
1
2
x 2 dx
1 x2
9).
a 2 x 2 dx; a 0
0
1
12). G
0
x 2 dx
4 x2
Tài liệu luyện thi TOÁN 12 – THPT QUỐC GIA 2015
Năm học 2014-2015 – trường THPT Tân Hiệp- Tiền Giang
16
Luyện thi THPT Quốc gia năm 2015
2. PHƯƠNG PHÁP 2: TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
b
* Cơng thức tính :
a
b
b
f ( x)dx udv uv a vdu
b
a
a
* Chú ý : - Đặt u theo thứ tự ưu tiên : Logarit(lơcNêpe), đa thức, …...
- Sau khi đặt u, tồn bộ phần còn lại là dv ( Ta cần chọn dv sao cho dễ
tính được v)
Đặt u ... du ...dx
dv ...
v ...
(lay
dao
(lay
nguyen
ham)
ham)
Ta thường gặp ba loại tích phân như sau:
* Loại 1:
b
Pn ( x).sin f ( x).dx
a
b
Pn ( x).cos f ( x).dx
a
b
Pn ( x).e f ( x ) .dx
a
u Pn ( x) : Trong đó P ( x) là đa thức bậc n.
n
“ Ta phải tính n lần tích phân từng phần với n là bậc của đa thức ”
b
*Loại 2: P ( x).ln n f ( x).dx u ln n f ( x) : Tính n lần tích phân từng phần.
a
b x
e .sin x.dx
a
* Loại 3: b
e x .cos x.dx
a
Đây là hai tích phân mà tính tích phân này phải tính ln cả tích phân cịn lại.
Thơng thường ta làm như sau:
b
x
x
- Tính e .sin x.dx :Đặt u e . Sau khi tích phân từng phần ta lại có tích
a
b
phân e x .cos x.dx .Ta lại áp dụng TPTP với cách đặt u như trên.
a
- Từ hai lần TPTP ta có mối quan hệ giữa hai tích phân và dễ dàng tìm được kết
quả.
VD:
2 ln x
1)
5 dx
1 x
2)
2
0
x cos xdx
2
1)
ln x
x5 dx
1
2
2) x cos 2 xdx
1
3) e x sin xdx
0
0
2
4)
sin
e
xdx
5) x ln xdx
2
1
0
ln(1 x )
x 2 dx
1
2
7).
3
6)
1
8) ( x 1) 2 e 2 x dx
0
0
x sin x
dx
cos 2 x
1
9) ( x 2)e 2 x dx
0
Tài liệu luyện thi TOÁN 12 – THPT QUỐC GIA 2015
Năm học 2014-2015 – trường THPT Tân Hiệp- Tiền Giang
17
Luyện thi THPT Quốc gia năm 2015
1
10)
e
2
x ln(1 x )dx
11)
0
ln x
x
1
2
0
3
13)
2
2
17). (2 x 1)cos2 xdx
18). e x cosxdx
0
0
1
0
e
e
21). x 2 ln xdx
20). x ln xdx
19). xe x dx
1
1
0
1
2
2
0
0
16). 2 xcos 2 xdx
22).
2
15). xcos2xdx
14). x sin xdx
e
2
2
ln( x x)dx
(2 x 7) ln( x 1)dx
12)
dx
1
1
ln x
dx
x2
24). x 2 e x dx .
23). x 2 e x dx
0
0
2
2
27). e2 x sin 2 xdx
26). ( x cos2 x)sin xdx
25). ( x 2 1)sin xdx
0
0
0
ln(1 x )
dx
x2
1
2
30). ( x 1) 2 e 2 x dx
29). e2 x sin 3xdx
0
0
e
31).
1
2
28).
2
2
32). ecos x .sin 2 xdx
cos(ln x)dx
33). e3 x .sin 5 xdx
0
0
e
34). (2 x 2) ln xdx
1
4
4
35). 5e x sin 2 xdx
36). K x sin xdx
0
0
e3
3
ln(ln x)
37).
dx
x
e2
0
2
38). s inx.ln(cos x)dx
39). x cos x dx
0
3
1
40). x 2 cos x dx
2
41). x e3 x dx
0
42). x 2 sin x dx
0
0
ln 2
1
1
44). ( x 2)e 2 x dx
43). ( x 2)e 2 x dx
45).
0
0
2
x 5 e x dx
0
46).
x
2
2 x cos xdx
0
3x 2
dx
ex
0
1
4
48).
47). x cos 2 xdx
0
3
50). 3 x 2 1 ln xdx
1
2
0
e
51). ln 2 xdx
1
52). cos xe x dx
1
49). ( x 3)2 x dx
2
1
53). x ln(1 x 2 )dx
sin
54).
0
0
xdx
0
III. PHƯƠNG PHÁP 3: PHÂN TÍCH
P(x )
Q(x )
PHƯƠNG PHÁP: f(x) là hàm hữu tỉ: f (x )
– Nếu bậc của P(x) bậc của Q(x) thì ta thực hiện phép chia đa thức.
– Nếu bậc của P(x) < bậc của Q(x) và Q(x) có dạng tích nhiều nhân tử thì ta phân tích f(x) thành tổng
của nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất định).
Chẳng hạn:
(x
(x
1
m)(ax 2
1
a )(x
A
b)
A
bx
c)
x
x
Bx
m
ax
2
B
a
x
b
C
, với
bx c
b2
4ac
0
Tài liệu luyện thi TOÁN 12 – THPT QUỐC GIA 2015
Năm học 2014-2015 – trường THPT Tân Hiệp- Tiền Giang
18
Luyện thi THPT Quốc gia năm 2015
1
a )2 (x
(x
2
VD: I
1
x2
7x
x2
A
b)2
dx
12
x
a
1
I
B
(x a )2
0
C
x
b
I
1
(x
1
x
2
xdx
(x 1)3
D
b)2
x2
dx
x3
( đặt ẩn phụ)
x3 x 1
x 1 dx
0
1.
2x 1
x 2 3x 2 dx
3
2.
5x 7
x 2 3x 2 dx
a
3.
4.
x3 x 1
x 2 1 dx
0
5.
4 x 11
x 2 5 x 6 dx
0
1
2x 2
3 dx
6.
b
5
1
1
1
0
x 1
0
x2
2 x 1 dx
7.
2x 1
1
1
8.
x
0
2
2
dx
4x 3
cos xdx
2
0 11 7sin x cos x
9.
IV. PHƯƠNG PHÁP 4: TÍCH PHÂN CĨ DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI
b
f (x ) dx , ta thực hiện các bước sau
DẠNG 1: Giả sử cần tính tích phân I
a
Bước 1. Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) có
BXD:
x a
x1
x2
b
f (x )
Bước 2. Tính I
0
0
x1
b
x2
f (x ) dx
a
f (x )dx
a
b
f (x )dx
x1
f (x )dx .
x2
2
x2
VD: I
3x
2 dx
3
b
DẠNG 2: Giả sử cần tính tích phân I
f (x )
g(x ) dx , ta thực hiện
a
Cách 1.
b
Tách I
b
f (x )
g(x ) dx
b
f (x ) dx
a
a
g(x ) dx rồi sử dụng dạng 1 ở
a
trên.
Cách 2.
Bước 1. Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b].
Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x).
2
VD: I
x
x
1 dx
1
3
1.
3
2
x 2 1 dx
2.
3
x 2 4 x 3 dx
3).
x
2
2 x dx
1
0
V. PHƯƠNG PHÁP 5: TÍCH PHÂN HÀM VƠ TỶ
PHƯƠNG PHÁP: f(x) là hàm vơ tỉ
+ f(x) = R x , m
ax
cx
b
đặt t
d
m
ax
cx
b
d
Tài liệu luyện thi TOÁN 12 – THPT QUỐC GIA 2015
Năm học 2014-2015 – trường THPT Tân Hiệp- Tiền Giang
19
Luyện thi THPT Quốc gia năm 2015
1
+ f(x) = R
(x
x
1. I
3
0
2
x
1
10
2. I
5
9
3. x .3 1
1
0
5
2 x
x
a
1
2
0
x
b
x 2dx
(x
1) x
1
231
10
(DB1-B06) ĐS: 2ln2
1
1
xdx (CD06)
4. I x 2 x 2 dx (B_13); I
0
2 2 1
3
34
3
4x 1
dx (D_11); I 10 ln
3
5
2x 1 2
2 3
6.
1
I
dx
dx (DB2-A05) ĐS:
dx
x
đặt t
1
9x 2
3x
7
5.
b)
x
VD: I
4
a )(x
dx
x x2 4
(ĐH_A_03); I
1 5
ln
4 3
2
7.
x
11
dx (ĐH_A_04); I 4ln 2
1 x 1
3
1
VI. PHƯƠNG PHÁP 6: TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC
Cơng thức lượng giác
3
Câu 1.
sin2 x tan xdx
I
0
2
Câu 2.
I
0
sin 2x .cos x
dx
1 cos x
2
Câu 3.
(cos3 x
I
1)cos2 x .dx
0
VII. PHƯƠNG PHÁP 7: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG:
Bài tốn tính diện tích hình phẳng:
1). Dạng 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b]. khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ
b
thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a và x = b là: S f ( x) dx
a
* PP giải tốn: ta cần phải tìm đầy đủ 4 đường như trên và vì cần phải bỏ giá dấu giá trị tuyệt đối
nên ta có 2 cách giải sau:
+ Cách 1: Phương pháp đồ thị: vẽ đồ thị hàm số (C): y = f(x) với x a; b
Tài liệu luyện thi TOÁN 12 – THPT QUỐC GIA 2015
Năm học 2014-2015 – trường THPT Tân Hiệp- Tiền Giang
20
Luyện thi THPT Quốc gia năm 2015
b
Nếu đồ thị (C) nằm hồn tồn trên trục Ox thì S f ( x)dx
a
b
Nếu đồ thị (C) nằm hoàn tồn dưới trục Ox thì S f ( x)dx
a
+ Cách 2: Phương pháp đại số: (xét dấu f(x) )
Giải phương trình: f(x) = 0 (*)
Giải (*) để tìm nghiệm x trên đoạn a; b .
Nếu (*) vơ nghiệm trên khoảng (a;b) thì ta xét dấu f(x) trên đoạn a; b để bỏ dấu giá trị tuyệt
đối.
Chú ý:
+ Diện tích S luôn là một giá trị dương.
+ Với câu hỏi: “Tính diện tích giới hạn bởi ( C): y=f(x) và trục hồnh” thì ta phải tìm thêm 2 đường
x=a, x=b để làm cận tích phân. Đó chính là 2 nghiệm của phương trình f(x) = 0 .
+ Phần lớn dạng toán này ta nên dùng phương pháp đồ thị hiệu quả hơn, một số ít phải dùng phương
pháp đại số như hàm lượng giác vì vẽ đồ thị khó.
2). Dạng 2: Cho hai hàm số y = f1(x) và y = f2(x) liên tục trên [a; b]. Khi đó diện tích của hình
phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số f1(x), f2(x) và hai đường thẳng x = a, x = b là:
b
S f1 ( x) f 2 ( x) dx
y
xb
(C1 ) : y f ( x)
xa
a
(H )
(C2 ) : y g ( x)
x
a
O
b
* PP giải toán:
+ Cách 1: Phương pháp đồ thị: trên cùng mp tọa độ ta vẽ 2 đồ thị hàm số (C1 ) : y f1 ( x ) và
(C2 ) : y f2 ( x ) .
b
Nếu đồ thị (C1) nằm trên (C2) thì S f1 ( x) f 2 ( x) dx
a
b
Nếu đồ thị (C2) nằm trên (C1) thì S f 2 ( x) f1 ( x) dx
a
+ Cách 2: Phương pháp đại số: (xét dấu f(x) )
Giải phương trình: f1(x) = f2(x) (*)
Giải (*) để tìm nghiệm x trên đoạn a; b .
Xét dấu hiệu f1(x) - f2(x) để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
BÀI TỐN TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRỊN XOAY:
Thể tích của khối trịn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b quay xung quanh trục Ox là:
xb
(C ) : y f ( x)
y
xa
b
V f 2 ( x )dx
a
a
O
x
y0
b
VD: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây:
y
2
y x
Cho x 2
x
x
1 và y
1 x4
x
x
4
Vậy, diện tích cần tìm là : S
2x , x
y
4 và trục hồnh
Giải:
x
1
1
x2
1
1
x2
x4
0
x
0, x
1
x 4 dx
Tài liệu luyện thi TỐN 12 – THPT QUỐC GIA 2015
Năm học 2014-2015 – trường THPT Tân Hiệp- Tiền Giang
21
Luyện thi THPT Quốc gia năm 2015
0
S
1
(x
2
1
4
x )dx
0
(x
2
x3
3
4
x )dx
VD: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường: y
0
x5
5
1
x3
3
1
1
x5
5
0
2
15
2
15
4
15
1
, trục hồnh và x = 2. Tính thể tích vật
x
thể trịn xoay khi quay hình (H) quanh trục Ox.
Giải:
1
x
Cho 1
0
x
1
V
x
2 ln x
1
(1
12
) dx
x
2
2
Vậy, thể tích cần tìm: V
2 ln 2
2
1
x
1
2
1
1
2
2
x
(1
1
1
x2
2 ln1
)dx
1
1
3
2
2 ln 2 (đvtt)
BÀI TẬP TỔNG HỢP:
Phần 1: Tính diện tích hình phẳng
Loại 1:
2x 1
y
1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
x 1
y x 1
y x4 2x2 3
2) Tính diện tích giới hạn bởi
2
y 3x 1
( ĐS: S = 8 (đvdt))
Loại 2:
y x ln x
y x , x 1
1) Tính diện tích giới hạn bởi
y x2 4x 3
2) Tính diện tích giới hạn bởi
Ox , x 4
4
( ĐS: S = 3)
Loại 3:
1)
2)
3x 1
y x 1
y x 1
Oy
Tính diện tích giới hạn bởi
x2
x
y2
x
Tính diện tích giới hạn bởi y 2
1
y2
Phần 2: Tính thể tích hình phẳng
Loại 1:
Tài liệu luyện thi TOÁN 12 – THPT QUỐC GIA 2015
Năm học 2014-2015 – trường THPT Tân Hiệp- Tiền Giang
22
Luyện thi THPT Quốc gia năm 2015
y x . sin x
Ox
1) Tính thể tích vật thể trịn xoay giới hạn
quay quanh Ox.
0 x
Loại 2:
3x 1
y
x 1
Ox
1) Tính thể tích vật thể xoay giới hạn
quay quanh Ox.
Oy
y x4 4x2 4x
Loại 3: Tính thể tích vật thể xoay giới hạn
quay quanh Ox.
Ox
4 y x 2
Loại 4: Tính thể tích vật thể xoay giới hạn
quay quanh Ox.
yx
y x
Loại 5: Tính thể tích vật thể xoay giới hạn y 2 x quay quanh Ox.
Ox
VIII. BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y2 = 2x +1 và y = x -1
(TNTHPT năm 2001 – 2002 )
3
2
x 3x 3x 1
1
Bài 2: 1.Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số y =
, biết F(1) =
2
x 2x 1
3
2
2x 10x 12
2.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=
và trục hoành Ox.
x2
(TNTHPT năm 2002 – 2003 )
1
Bài 3: Cho hàm số y = x3 – x2 (C). Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi
3
(C) và các đường y = 0, x =0, x = 3 quay quanh truïc Ox.
(TNTHPT năm 2003 – 2004 )
/2
( x sin
Bài 4: Tính tích phân: I =
2
x). cos x.dx
(TNTHPT năm 2004 – 2005 )
0
Bài 5: a. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số :
y = ex, y = 2 và đường thẳng x = 1.
/2
b. Tính tích phân: I =
0
sin 2 x
dx
4 cos 2 x
(TNTHPT năm 2005– 2006)
e
ln 2 x
dx .
Bài 6: Tính tích phân J =
x
1
1
Bài 7: Tính tích phân I x 2 (1 x3 )4 dx
(TNTHPT năm 2006– 2007)
(TNTHPT năm 2007– 2008)
1
Tài liệu luyện thi TOÁN 12 – THPT QUỐC GIA 2015
Năm học 2014-2015 – trường THPT Tân Hiệp- Tiền Giang
23
Luyện thi THPT Quốc gia năm 2015
Bài 8: Tính tích phân I =
x(1 cos x)dx
(TNTHPT năm 2008– 2009)
0
1
Bài 9: Tính tích phân I x 2 ( x 1) 2 dx
(TNTHPT năm 2009– 2010)
0
4 5lnx
dx
x
e
Bài 10: Tính các tích phân sau: I
1
(TN 2010-2011);
ln 2
I
Bài 11: Tính các tích phân sau
(e
x
1) 2 e x dx;
(TN 2011-2012);
0
2
Bài 12: Tính tích phân sau: I ( x 1).cos xdx
( TN 2012 – 2013)
0
e
Bài 13: Tính tích phân sau: J
1
3
3 ln x
dx (B-2009)
(x 1)2
Bài 14: I
1
5 3e 2
2)e .dx (D06); I
4
1
2x
(x
Bài 15:
xe x 1
dx
x (e x ln x)
0
2
e s inx
Bài 16:
cox cosxdx (D05)
Bài 17:
0
e 1
1
116
3 ln x . ln x
dx (B04); I
x
135
e
3
e2
Bài 18: I 2 x ln xdx (D2010); I 1
2
x
1
1
27
(B2009); I 3 ln
4
16
Bài 19:
e
Bài 20: I
1
1
3
ln x
dx (B2010); I ln
2
3
2
x(2 ln x)
3
1
dx (D2009); I ln e2 e 1 2
e 1
1
Bài 21: I
x
3 2ln 2
ln x
dx (D2008); I
3
x
16
0
2
Bài 22: I
e
Bài 23: I x3 .ln 2 xdx (D2007); I
1
ln 5
Bài 24: I
e
ln 3
3
Bài 25:
ln x
2
x
5e4 1
32
3
dx
(B2006); I ln
x
2e 3
2
x dx (D_04); I 3ln 3 2
2
Tài liệu luyện thi TOÁN 12 – THPT QUỐC GIA 2015
Năm học 2014-2015 – trường THPT Tân Hiệp- Tiền Giang
24
Luyện thi THPT Quốc gia năm 2015
1 ln x 1
2
2
dx (A+A1_12); I ln 3 ln 2
x2
3
3
1
3
Bài 26:
x2 1
5
3
x2 ln xdx (A_13); I 2 ln 2 2
1
2
Bài 27: I
1 1 1 2e
x 2 e x 2 x 2e x
Bài 28:
dx (A_10) ; I ln
x
3 2
3
1 2e
0
1
Bài 29: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x2 −x +3 và đường
thẳng y = 2x + 1. ( Ka- 2014)
1
Bài 30: Tìm nguyên hàm F (x ) của hàm số f (x ) 2x ln x , biết F (1)
Hướng dẫn:
Xét F (x )
2x ln xdx
u ln x
Đặt
dv 2xdx
1
dx
x . Thay vào nguyên hàm F(x) ta được:
du
x2
v
F (x )
2x ln xdx
Do F (1)
Vậy, F (x )
x 2 ln x
12
2
1
2
1 nên 12 ln1
x2
2
C
x 2 ln x
1
xdx
1
2
C
x2
2
x 2 ln x
1
C
C
1
1
2
1
2
Bài 31: Cho hàm số f ( x) y 3x (2m 1) x 2m . Xác định m để nguyên hàm F(x) của f(x)
thõa điều kiện F(0)=3 và F(1) = 15 .
( ĐS: m = 21/2)
2
Tài liệu luyện thi TOÁN 12 – THPT QUỐC GIA 2015
Năm học 2014-2015 – trường THPT Tân Hiệp- Tiền Giang
25
