TOÁN HỌC CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH ỨNG DỤNG TẬP MỜ VÀ SỐ MỜ TRONG BÀI TOÁN QUYẾT ĐỊNH

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THƠNG TIN

Phan Hữu Phước – CH1301106

TIỂU LUẬN

TỐN HỌC CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH
ỨNG DỤNG TẬP MỜ VÀ SỐ MỜ TRONG BÀI TỐN QUYẾT ĐỊNH

GIẢNG VIÊN: TS. Dương Tơn Đảm
TP HỒ CHÍ MINH – 11/2014


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, em xin gửi lời chân thành cảm ơn đến trường Đại học công nghệ thông
tin TP HCM đã tạo điều kiện cho em được tiếp cận với bộ mơn Tốn học cho Khoa
học Máy tính.
Em xin cảm ơn thầy TS. Dương Tôn Đảm đã tận tình truyền đạt kiến thức bổ ích hỗ
trợ cho em thực hiện bài tiểu luận này.
Em cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến quý thầy cô trong Khoa Công nghệ Thông
tin cùng các bạn bè thân hữu đã nhiệt tình đóng góp ý kiến, cũng như động viên để
em xây dựng bài tiểu luận của mình.
Mặc dù đã rất cố gắng nhưng đề tài khó tránh khỏi những thiếu sót và sai lầm, em
mong thầy cơ và bạn bè cho ý kiến để bài tiểu luận này ngày càng hoàn thiện hơn.
Một lần nữa, em xin chân thành cảm ơn!

Tp. HCM, tháng 11 năm 2014
Phan Hữu Phước
CH1301106

MỤC LỤC

CH1301106-Phan Hữu Phước

Trang 3


Tốn học cho Khoa học máy tính

GVHD: TS. Dương Tơn Đảm

I. KHÁI NIỆM TẬP MỜ
Định nghĩa 1: Cho một tập vũ trụ U. Tập hợp được xác định bởi đẳng thức
được gọi là tập hợp mờ trên tập U.
Biến u lấy giá trị trong U được gọi là biến cơ sở và vì vậy U được gọi là tập
tham chiếu hay miền cơ sở. Hàm được gọi là hàm thuộc và giá trị tại u được
gọi là độ thuộc của phần tử u thuộc về tập mờ . Nếu không gây nhầm lẫn, hàm
thuộc cũng được ký hiệu là (.), nếu biến cơ sở u biểu thị hiển, hay , nếu biến u
xuất hiện hiển.
Lưu ý rằng vế phải của định nghĩa là một tập kinh điển và do đó định nghĩa trên
là hoàn chỉnh.
Họ tất cả các tập mờ trên miền cơ sở U được ký hiệu là F(U),
Có nhiều cách biểu diễn hình thực một tập mờ. Trong trường hợp U là một tập
hữu hạn, đếm được hay vơ hạn liên tục, tập mờ có thể được biểu diễn bằng các
biểu thức hình thức như sau:
Trong trường hợp U hữu hạn, , ta có thể viết:
hay
Trong trường hợp này, tập mờ được gọi là tập mờ rời rạc.
Trong trường hợp U là vô hạn đếm được, , ta có thể viết:

Trong trường hợp U là vơ hạn liên tục, U=[a, b], ta có thể viết
Ví dụ 1: Xét tập U gồm 5 người là x1, x2, … , x5 tương ứng có tuổi là 10, 15, 50,
55, 70 và là tập hợp các ngườ “Trẻ”. Khi đó ta có thể xây dựng hàm thuộc như
sau:
và tập mờ
Định nghĩa 2: Tập mờ có dạng hình thang xác định bởi bộ 4 giá trị (a, b, c, d),
ký hiệu và được xác định:

CH1301106-Phan Hữu Phước

Trang 4


Tốn học cho Khoa học máy tính

GVHD: TS. Dương Tơn Đảm

II. TẬP LÁT CẮT CỦA TẬP MỜ
Định nghĩa 3: Cho tập mờ trên tập vũ trụ U và α ∈ [0,1]. Tập lát cắt α (hoặc
α+) của tập là một tập kinh điển, ký hiệu (hoặc ), được xác định bằng đẳng
thức sau:

Như vậy, mỗi tập mờ sẽ cảm sinh một họ các tập kinh điển, ta có ánh xạ:
(1*)
Để đơn giản ký hiệu, ta viết họ các tập kinh điển như vậy bằng

=

. Họ các tập hợp như vậy có tính chất sau:
Định lý 1: Cho ,

∈ F(U), h là ánh xạ được cho trong (1*) và

=

. Khi đó:
Mỗi họ

như vậy là dãy đơn điệu giảm, nếu α < β, thí ;

Nếu thì
Nghĩa là tồn tại một song ánh từ họ các tập mờ F(U) vào họ của những họ tập
kinh điển P(U) ở dạng (1*).

III. MỘT SỐ KHÁI NIỆM ĐẶC TRƯNG CỦA TẬP MỜ
Định nghĩa 4
Giá của tập mờ: Giá của tập mờ , ký hiệu là Support(), là tập con của U trên đó, ,
Support() = {u: }.
Độ cao của tập mờ: Độ cao của tập mờ , kiếu hiệu hight(), là cận trên đúng của
hàm thuộc trên U, hight() = sup{}.
Tập mờ chuẩn: tập mờ được gọi là chuẩn nếu hight() = 1. Trái lại, tập mờ được
gọi là dưới chuẩn.
Lõi của tập mờ: lỗi của tập mờ , ký hiệu Core(), là một tập con U được xác định
như sau:

CH1301106-Phan Hữu Phước

Trang 5

Tốn học cho Khoa học máy tính

GVHD: TS. Dương Tơn Đảm

Ví dụ: Giả sử U là tập vũ trụ về số đo nhiệ độ thời tiết, chẳng hạn U=[0,50] tính
theo thang độ C. Chúng ta sẽ xác định tập mờ biểu thị khái niệm mờ thời tiết
NÓNG và LẠNH. Trong ví dụ này, ta sử dụng một hàm số mẫu, gọi là S-hàm vì
đồ thị của nó có hình chữ S. Chúng ta ký hiệu hàm này là S(u, a, b, c), trong đó
a, b và c là những tham số. Nó là hàm từng khúc bậc 2 và được định nghĩa như
sau:
Hàm thuộc là khái niệm thời tiết NÓNG của người Lạng Sơn ở cực Bắc nước
ta, còn hàm thuộc là khái niệm NĨNG của người Sài Gịn (Xem hình 1).
Với hai tập mờ này, ta có: Support() = [15, 50], Support() = [25, 50], hight() =
Hight() = 1, Core() = [35, 50] và Core() = [45, 50].
Hàm thuộc biểu thị khái niệm mờ LẠNH được xác định qua hàm thuộc NĨNG
bằng biểu thức sau:

Hình 1: Hàm thuộc của tập mờ NÓNG và LẠNH
Định nghĩa 5: Lực lượng của tập mờ
Cho là một tập mờ trên U
Lực lượng vô hướng: lực lượng hay bản số thực của tập , ký hiệu là Count(),
được tính theo cơng thức đếm sau (đôi khi được gọi là sigma count).
, nếu U là tập hữu hạn hay đếm được

, néu U là tập vơ hạn continuum ở đây
là tổng và tích phân số học
Lực lượng mờ: lực lượng hay bản số mờ của tập là một tập mờ trên tập các số
nguyên không âm N được định nghĩa như sau:

CH1301106-Phan Hữu Phước

Trang 6


Tốn học cho Khoa học máy tính

GVHD: TS. Dương Tơn Đảm

trong đó,

được xác định theo cơng thức sau, với || là lực lượng của

tập mức ,

= suppreum{t∈[0,1]: ||=n}.

Có thể xem công thức Count() là công thức đếm số phần tử trong U.
Lưu ý rằng, khác với trường hợp tập kinh điển, dù tập U là vô hạn đếm được hay
vô hạn continuum, thì lực lượng của tập mờ vẫn có thể là hữu hạn, tùy theo
dáng điệu của hàm .

IV. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP MỜ
IV.1. Định nghĩa phép hợp hai tập mờ có cùng tập nền
Hợp của hai tập mờ A và B có cùng tập nền X là một tập mờ �∪� cũng xác định
trên tập nền X , có hàm thuộc �_(�∪�) (�) thỏa mãn các điều kiện sau:
•

chỉ phụ thuộc vào và .

• với mọi x

•

(Tính giao hốn)

•

(Tính kết hợp)

• (Tính khơng giảm)
Ví dụ về các loại hợp giữa hai tập mờ
•

(Hợp theo max)

(2.1)

• . (Hợp theo Lukasiewicz) (2.2)
• (Hợp trực tiếp)
• (Hợp theo Einstein)
•

(2.3)
(2.4)

(2.5)

IV.2. Phép hợp hai tập mờ không cùng nền
Hàm thuộc của hợp giữa hai tập mờ A với định nghĩa trên nền M và B với định
nghĩa trên nền N là một hàm hai biến xác định trên nền thỏa mãn các điều kiện:
•

CH1301106-Phan Hữu Phước

Trang 7


Tốn học cho Khoa học máy tính

•

(tính giao hốn)

•

GVHD: TS. Dương Tơn Đảm

(tính kết hợp)

• (tính khơng giảm)
Một hàm hai biến thỏa mãn các điều kiện trên được gọi là hàm t-đối chuẩn (tconorm).

IV.3. Khái niệm phép hợp hai tập mờ không cùng nền
Các công thức (2.1) (2.5) sẽ được mở rộng để áp dụng cho việc xác định hợp của
hai tập mờ không cùng nền bằng cách đưa cả hai tập mờ về chung một tập nền là
tích của hai tập nền đã cho. Chẳng hạn cho tập mờ A (định nghĩa trên tập nền
M),và tập mờ B (định nghĩa trên tập nền N). Hai tập nền M và N độc lập với
nhau. Tập mờ A như vậy được định nghĩa trên hai tập nền M và , ta ký hiệu là
tập mờ A trên tập nền tương tự ta ký hiệu là tập mờ B trên tập nền khi đó:
•

với mọi ,

•

với mọi .

Sau khi đã đưa hai tập mờ về chung môt nền là , thành và thì hàm thuộc của
tập mờ được xác định theo các công thức (2.1) (2.5) .Cụ thể là:
Hợp hai tập mờ theo luật max
Hợp của hai tập mờ A với hàm thuộc (định nghĩa trên tập nền M) và tập mờ B
với hàm thuộc (định nghĩa trên tập nền N) theo luật max là tập mờ xác định trên
tập nền với hàm thuộc:
trong đó:
với mọi ,
với mọi .
Hợp hai tập mờ theo luật Lukasiewicz.
Hợp của hai tập mờ A với hàm thuộc (định nghĩa trên tập nền M) và tập mờ B
với hàm thuộc (định nghĩa trên tập nền N) theo luật Lukasievicz là tập mờ xác
định trên tập nền với hàm thuộc:

CH1301106-Phan Hữu Phước

Trang 8


Tốn học cho Khoa học máy tính

GVHD: TS. Dương Tơn Đảm

Trong đó:

với mọi ,
với mọi

IV.4. Khái niệm về phép giao hai tập mờ
Định nghĩa về phép giao hai tập mờ có cùng tập nền:
Giao hai tập mờ có cùng tập nền X là một tập mờ cũng xác định trên tập X với
hàm thuộc thỏa mãn các điều kiện sau:
•

chỉ phụ thuộc vào và .

• với mọi x
•

(Tính giao hốn)

•

(Tính kết hợp)

• (Tính khơng giảm)
Ví dụ về các loại giao giữa hai tập mờ
•

(Giao theo min) (2.6)

• (Giao theo Lukasiewicz) (2.7)
•
•
•

(Giao trực tiếp – Tích đại số) (2.8)
(Giao theo Einstein)(2.9)
(2.10)

IV.5. Khái niệm phép giao hai tập mờ không cùng nền
Các công thức (2.1) (2.5) sẽ được mở rộng để áp dụng cho việc xác định giao
của hai tập mờ không cùng nền bằng cách đưa cả hai tập mờ về chung một tập
nền là tập tích của hai tập nền đã cho. Chẳng hạn cho tập mờ A (định nghĩa trên
tập nền M), và tập mờ B (định nghĩa trên tập nền N). Hai tập nền M và N độc lập
với nhau.Tập mờ A như vậy được định nghĩa trên hai tập nền M và , ta ký hiệu
là tập mờ A trên tập nền tương tự ta ký hiệu là tập mờ B trên tập nền khi đó:
•

với mọi ,

•

với mọi .

CH1301106-Phan Hữu Phước

Trang 9


Tốn học cho Khoa học máy tính

GVHD: TS. Dương Tơn Đảm

Sau khi đã đưa hai tập mờ về chung môt nền là , thành và thì hàm thuộc của

tập mờ được xác định theo các công thức (2.6) (2.10). Cụ thể là:
Giao hai tập mờ theo luật min
Giao của hai tập mờ A với hàm thuộc (định nghĩa trên tập nền M) và tập mờ B
với hàm thuộc (định nghĩa trên tập nền N) theo luật max là tập mờ xác định trên
tập nền với hàm thuộc:
Trong đó:
• với mọi ,
• với mọi .
Giao hai tập mờ theo luật tích đại số
Giao của hai tập mờ A với hàm thuộc (định nghĩa trên tập nền M) và tập mờ B
với hàm thuộc (định nghĩa trên tập nền N) theo luật tích đại số là tập mờ xác
định trên tập nền với hàm thuộc:
Trong đó:
• với mọi ,
• với mọi .

IV.6. Định nghĩa phép giao hai tập mờ không cùng nền
Hàm thuộc của giao giữa hai tập mờ A với định nghĩa trên nền M và B với định
nghĩa trên nền N là một hàm hai biến xác định trên nền thỏa các điều kiện:
•
•

(tính giao hốn)

•

(tính kết hợp)

• (tính khơng giảm)
Một hàm hai biến thỏa mãn các điều kiện trên được gọi là hàm t- chuẩn (t-norm).

IV.7. Khái niệm về phép bù của một tập mờ
Định nghĩa về tập bù của một tập mờ

CH1301106-Phan Hữu Phước

Trang 10


Tốn học cho Khoa học máy tính

GVHD: TS. Dương Tơn Đảm

Tập bù của tập mờ A định nghĩa trên nền X là môt tâp mờ �^� cũng xác định
trên tập nền X với hàm thuộc thỏa mãn các điều kiện sau:
•

chỉ phụ thuộc vào .

• Nếu thì , hay
• Nếu thì , hay
• Nếu A thì ,hay
Do chỉ phụ thuộc vào nên ta có thể xem như một hàm của , từ đó ta có định
nghĩa sau:
Tập bù của tập mờ A định nghĩa trên nền X là một tập mờ cũng xác định trên tập
nền X với hàm thuộc: c thỏa điều kiện:
• c
• , nghĩa là hàm c(x) khơng tăng.
Nếu hàm một biến c cịn liên tục và thì phép bù mờ trên cịn gọi là phép bù mờ
chặt (strictly).

Một phép bù mờ chặt sẽ là phép bù mờ mạnh (strongly) nếu c; nghĩa là
Hàm bù thường dùng là hàm bù chuẩn
Một số hàm bù khác
• Hàm ngưỡng:
• Hàm bù Cosin:
• Hàm bù Sugeno :

IV.8. Tính đối ngẫu của các phép tốn
Ta nói rằng t-chuẩn I , và t-đối chuẩn H, đối ngẫu với phép bù mờ C, khi và chỉ
khi nó thỏa tính chất:
• �(�(�,�))=�(�(�),�(�))
• �(�(�,�))=�(�(�),�(�))
Khi đó ta nói rằng I,H,C là bộ ba đối ngẫu, ta ký hiệu : < I,H,C >. Người ta
thường gọi bộ ba đối ngẫu trên là bộ ba De Morgan.

CH1301106-Phan Hữu Phước

Trang 11


Tốn học cho Khoa học máy tính

GVHD: TS. Dương Tơn Đảm

Định lý 1: Cho một t-chuẩn I, và phép toán bù C, khi đó một phép tốn 2 ngơi G
trên đoạn [0,1], xác định bởi :
�(�,�)=�(�(�(�),�(�))) ∀�,�∈[0,1]
là một t-đối chuẩn, nghĩa là ta sẽ có : < I,G,C >
Định lý 2: Cho một t-đối chuẩn H, và phép toán bù C, khi đó một phép tốn 2
ngơi F trên đoạn [0,1], xác định bởi :

�(�,�)=�(�(�(�),�(�))) ∀�,�∈[0,1]
là một t-chuẩn, nghĩa là ta sẽ có : < F,H,C >
Chú ý: Bộ ba đối ngẫu<I,H,C> ,nói trong các định lý trên thỏa luật loại trừ,luật
đối nhưng không thỏa luật phân phối :
�(�,�(�))=1;�(�,�(�))=0;�(�,�(�,�))≠�(�(�,�),�(�,�))

V. SỐ MỜ
V.1. Định nghĩa
Tập mờ A với hàm thuộc A(x) xác định từ R vào [0,1], thỏa 3 điều kiện sau được
gọi là số mờ:
• A là một tập mờ chính tắc.
• là một khoảng đóng ∀�∈[0,1]
• Miền xác định của A phải bị chặn
Số mờ là một tập mờ chính tắc vì số mờ a, phải bao gồm chính số thực a,nghĩa là
số thực a trong tập số mờ có giá trị hàm thuộc bằng 1.
Vì nhát cắt � là một khoảng đóng ∀�∈[0,1], nên mỗi số mờ là một tập lồi.
Theo định nghĩa trên nên số mờ có nhiều dạng khác nhau.
Hình vẽ dưới đây minh họa những trường hợp đặc biệt của số mờ.

CH1301106-Phan Hữu Phước

Trang 12


Tốn học cho Khoa học máy tính

GVHD: TS. Dương Tơn Đảm

V.2. Một số dạng số mờ
Số mờ tổng quát

Tập mờ A trên tập số thực được xem là một số mờ khi và chỉ khi tồn tại một
khoảng [a,b]≠∅, và các hàm �(�), �(�) sao cho:
Trong đó hàm trái l(x) là hàm từ �∈(−∞,�) vào [0,1] thỏa tính chất: tăng đơn
điệu, liên tục phải, ∃�_1∈(−∞,�)�à �(�)=0;∀ �∈(−∞,�_1 ).
Còn hàm phải r(x) là hàm từ �∈(�,+∞) vào [0,1] thỏa tính chất: giảm đơn điệu,
liên tục trái,∃�_2∈(�,+∞) �à �(�)=0;∀ �∈(�_2,+∞)
Số mờ phẳng
Một số mờ phẳng A với 4 tham số a,b,c,d được ký hiệu A(a,b,c,d) sẽ có hàm
thành viên :
Trong đó hàm F là hàm không tăng trên nửa phải trục thực với các tính chất :
• �(−�)=�(�); �(0)=1

CH1301106-Phan Hữu Phước

Trang 13


Tốn học cho Khoa học máy tính

GVHD: TS. Dương Tơn Đảm

• Hàm trái
• Hàm phải
Số mờ rõ a sẽ có dạng mờ (a,a,0,0); Một khoảng rõ [a,b] sẽ có dạng mờ(a,b,0,0)
Số mờ hình thang
Từ dạng số mờ phẳng ta xét hàm F dưới dạng tuyến tính
Khi đó hàm thành viên của số mờ hình thang có dạng

Số mờ tam giác
Trong số mờ hình thang A(a,b,c,d) , khi a=b thí số mờ hình thang thành số mờ

tam giác.
Số mờ tam giác thường được ký hiệu là A(a,c,d)≡�(a,a,c,d)

V.3. Phép toán số học trên khoảng
Ta ký hiệu (*) để chỉ các phép toán cộng(+), trừ( - ), nhân(.), chia(/).
Khi đó ta định nghĩa phép tốn (*)trên khoảng đóng như sau:
( Khi (*) thì ta ln xét trong trường hợp )
Cụ thể:
• [�,�]+[�,�]=[�+�,�+�]
• [�,�]−[�,�]=[�−�,�−�]
• [�,�].[�,�]=[���(��,��,��,��),���(��,��,��,��)]

CH1301106-Phan Hữu Phước

Trang 14


Tốn học cho Khoa học máy tính

GVHD: TS. Dương Tơn Đảm

• [�,�]/[�,�]=[���(�/�,�/�,�/�,�/�),���(�/�,�/�,�/�,�/�)]
Chú ý: Một số thực a là trường hợp đặc biệt của khoảng [a,a],khi đó các phép
tốn trên chính là các phép tốn trên tập số thực bình thường mà ta đã quen biết.

V.4. Phép toán số học trên số mờ
Cho A và B là 2 số mờ, ta ký hiệu (*) để chỉ một trong 4 phép toán cộng, trừ,
nhân, chia. Khi đó ta định nghĩa phép tốn trên tập nền R bởi nhát cắt của nó như
sau: , từ đó suy ra: , trong đó
Ví dụ:

CH1301106-Phan Hữu Phước

Trang 15


Tốn học cho Khoa học máy tính

GVHD: TS. Dương Tơn Đảm

V.5. Quan hệ thứ tự trên tập số mờ
Trên tập rõ các số thực, ta biết rằng có quan hệ thứ tự tuyến tính. Khi đó ta ln
có hoặc �≤� hoặc �≤�. Ta gọi (�,≤) là một dàn và 2 phép toán trên dàn là :

CH1301106-Phan Hữu Phước

Trang 16


Tốn học cho Khoa học máy tính

GVHD: TS. Dương Tơn Đảm

Trên số mờ không mở rộng được quan hệ thứ tự tuyến tính, số mờ có quan hệ thứ
tự bộ phận một cách tự nhiên dưới hình thức dàn.
Định nghĩa : Cho x,y,z ∈� ; A và B là 2 số mờ ta xác định 2 phép toán MIN và
MAX thơng qua các phép tốn min và max trên tập số thực như sau:

Cho M là tập các số mờ ,và MIN, MAX là 2 phép toán xác định như trên, A,B,C
∈� khi đó ta có các tính chất sau:

• MIN(A,B)=MIN(B,A) ; MAX(A,B)=MAX(B,A)

(giao hốn)

• MIN[���(�,�),�]=MIN[�,���(�,�)];
• M��[���(�,�),�]=M��[�,���(�,�)]

(kết hợp)

• ���(�,�)=� ; ���(�,�)=� (đồng nhất)
• ���[�,���(�,�)]=�;���[�,���(�,�)]=�

(hấp thụ)

• ���[�,���(�,�)]=���[���(�,�),���(�,�)]
• ���[�,���(�,�)]=���[���(�,�),���(�,�)]

(phân phối)

Ví dụ:

V.6. Ngun lý mở rộng Zadeh
Định nghĩa :

CH1301106-Phan Hữu Phước

Trang 17


Tốn học cho Khoa học máy tính

GVHD: TS. Dương Tơn Đảm

Cho X,Y là các tập số thực và hàm thực các tập mờ tương ứng là M(X), M(Y)xét
hàm mờ sao cho :
khi đó hàm mờ F được gọi là mở rộng Zadeh của hàm thực f.

VI. ỨNG DỤNG DEMO
Ứng dụng đầu tiên là từ lĩnh vực của hệ thống lý luận. Ứng dụng đưa ra quyết định
có mua hay khơng dựa vào 2 điều kiện: trái cây và giá rẻ.
Ứng dụng thứa hai là từ lĩnh vực điều tiết nhiệt độ hệ thống dựa vào nhiệt độ môi
trường.
Cả 2 ứng dụng đều cùng trong một chương trình, có thể được chuyển đổi qua lại.

VII. TÀI LIỆU THAM KHẢO
Bài giảng của TS. Dương Tôn Đảm, Lý thuyết tập mờ
Bài giảng của TS. Dương Tơn Đảm, Các phép tốn trên tập mờ
Bài giảng của TS. Dương Tôn Đảm, Quan hệ mờ và số mờ

CH1301106-Phan Hữu Phước

Trang 18