Tiểu luận phương pháp toán trong tin học TÌM HIỂU LOGIC VỊ TỪ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HỒ CHÍ MINH
ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN
KHOA KHOA HỌC MÁY TÍNH
PHƯƠNG PHÁP TOÁN TRONG TIN HỌC
TÌM HIỂU LOGIC VỊ TỪ
Giảng viên: PGS.TS Nguyễn Phi Khứ
Học viên: Phạm Minh Tiến
MSHV: CH1301034
Tp. HCM, ngày 25 tháng 12 năm 2013
Mục lục
I. Logic mệnh đề
1. Định nghĩa logic mệnh đề
Logic mệnh đề là kiểu biểu diễn tri thức đơn giản nhất và gần gũi nhất đối
với chúng ta. Đồng thời nó cũng là môt khái niệm cơ bản của toán học không được
định nghĩa mà chỉ được mô tả. Do đó giá trị của nó chỉ có thể hoặc là đúng hoặc là
sai. Giá trị của mệnh đề không chỉ phụ thuộc vào bản thân mệnh đề đó. Có những
mệnh đề mà giá trị của nó luôn đúng hoặc sai bất chấp thời gian nhưng cũng có
những mệnh đề mà giá trị của nó lại phụ thuộc vào thời gian, không gian và nhiều
yếu tố khách quan khác.
Ví dụ:
• Sáng nay An ăn xôi
• Noel năm nay trời rất lạnh
• Minh chưa làm bài
2. Chân trị trong logic mệnh đề
Giá trị của logic mệnh đề chỉ có thể đúng hoặc sai, không thể đồng thời vừa
đúng vừa sai. Khi mệnh đề P đúng ta nói P có chân trị đúng, ngược lại ta nói P
cóchân trị sai. Chân trị đúng và chân trị sai sẽ được ký hiệu lần lượt là 1 hay Đ
(đúng), T (true) và 0 hay S (sai), F(false).
Để chứng minh một dạng mệnh đề là hằng đúng, hằng sai, các dạng mệnh đề
là tương đương lôgic, dạng mệnh đề này là hệ quả logic của dạng mệnh đề kia, ta có
các cách sau

• Lập bảng chân trị.
• Sử dụng phép thay thế.
3. Các qui tắc thay thế
a. Quy tắc thay thế thứ 1: Trong dạng mệnh đề E, nếu ta thay thế biểu thức
con F bởi một dạng mệnh đề tương đương logic thì dạng mệnh đề thu được vẫn còn
tương đương logic với E.
b. Quy tắc thay thế thứ 2: Giả sử dạng mệnh đề E(p, q, r…) là một hằng
đúng. Nếu ta thay thế những nơi p xuất hiện trong E bởi một F(p’, q’, r’) thì dạng
mệnh đề nhận được theo các biến q, r… ,p’,q’ ,r’ ,… vẫn còn là 1 hằng đúng.
4. Nhược điểm logic mệnh đề
• Không thể hiện được các phát biểu có các biến
Ví dụ: m < 5, a = b + 4, v.v Bởi vì các biến chưa có giá trị. Tuy nhiên, phát
biểu dạng như trên xuất hiện rất nhiều.
• Những sự tương đương không biểu diễn được bằng logic mệnh đề
Ví dụ:
"không phải tất cả mọi người đều ăn phở" và "có một số người ăn cơm"
"không phải tất cả số nguyên đều là số chẵn" và "kột số số nguyên thì không chẵn"
Để khắc phục nhược điểm trên của logic mệnh đề người ta đưa ra cách khắc phục
bằng cách liệt kê riêng rẽ mỗi mệnh đề để tiến hành suy diễn.
Ví dụ:
• Phát biểu x > 3 có 2 phần:
- Biến x
- Tính chất của biến x (> 3), được gọi là vị từ (predicate)
Nói cách khác, predicate là vị từ mô tả tính chất của những đối tượng, hoặc quan
hệ giữa chúng. Ký hiệu phát biểu P(x)
⇒ P(2), P(4) là mệnh đề
Xét các câu sau:
• The car Tom is driving is blue
• The sky is blue
• The cover of this book is blue

Chúng ta có thể có 1 vị từ "is blue", viết tắt là B.
B(x) nghĩa là "x is blue"
Khi đó, ta có thể biểu diễn các câu như sau
• B(The car Tom is driving)
• B(The sky)
• B(The cover of this book
II. Logic vị từ
1. Khái niệm về vị từ
Cho A là một tập hợp khác rỗng. Giả sử,ứng với mỗi x A ta có một mệnh đề
p(a). Khi đó, ta nói p = p(x) là một vị từ theo một biến (xác định trên A). Nói cách
khác, vị từ có thể xem là một hàm mệnh đề có nhiều biến hoặc không có biến nào,
nó có thể đúng hoặc sai tùy thuộc vào giá trị của biến và lập luận của vị từ.
• Bản thân P(x) không phải là mệnh đề.
• Nếu thay x bằng những giá trị cụ thể thuộc tập hợp A ta sẽ được một mệnh
đề P(x) nghĩa là khi đó chân trị của P(x) được gọi là các biến tự do của vị từ.
Ví dụ:
• Các câu có liên quan tới các biến như: “x > 100”, “z - m = 10” rất hay gặp
trong toán học và trong các chương trình của máy tính. Các câu này không
đúng cũng không sai vì các biến chưa được gán giá trị xác định.Nói cách
khác, vị từ có thể được xem là một hàm mệnh đề có nhiều biến hoặc không
có biến nào, nó có thể đúng hoặc sai tùy thuộc vào giá trị của biến và lập
luận của vị từ.
• Câu {n là chẵn} là một vị từ. Nhưng khi cho n là một số cụ thể là chẵn hay
là lẻ ta được một mệnh đề:
- n = 2 :{2 là chẵn}: mệnh đề đúng.
- n = 5 :{5 là chẵn}: mệnh đề sai.
Vị từ { n là chẵn} có 2 phần. Phần thứ nhất là biến x là chủ ngữ của câu.
Phần thứ hai "là chẵn" cũng được gọi là vị từ, nó cho biết tính chất mà chủ
ngữ có thể có.
Ký hiệu: P(n) = {n là chẵn} Tổng quát, người ta nói P(n) là giá trị của hàm

mệnh đề P tại n. Một khi biến n được gán trị thì P(n) là một mệnh đề.
2. Không gian của vị từ
Người ta có thể xem vị từ như là một ánh xạ P, với mỗi phần tử thuộc tập
hợp E ta được một ảnh P(x)
• ∈{ϕ, 1}. Tập hợp E này được gọi là không gian của vị từ.
• Không gian này sẽ chỉ rõ các giá trị khả dĩ của biến x làm cho P(x) trở thành
mệnh đề đúng hoặc sai.
3. Trọng lượng của vị từ
Chúng ta cũng thường gặp những câu có nhiều biến hơn. Vị từ xuất hiện
cũng như một hàm nhiều biến, khi đó số biến được gọi là trọng lượng của vị từ.
• Vị từ P(a,b) = {a + b = 5} là một vị từ 2 biến trên không gian N. Ta nói P có
trong lượng 2
Trong một vị từ P(x1, x2, ,xn) có trọng lượng là n. Nếu gán giá trị xác
định cho một biến trong nhiều biến thì ta được một vị từ mới Q(x1, x2, xn) có
trọng lượng là (n-1). Qui luật này được áp dụng cho đến khi n=1 thì ta có
một mệnh đề. Vậy,thực chất mệnh đề là một vị từ có trọng lượng là ϕ.
4. Phép toán vị từ
Phép toán vị từ sử dụng các phép toán logic mệnh đề và là sự mở rộng của
phép toán mệnh đề để thể hiện rõ hơn các tri thức.
Ví dụ: Cần viết câu “Nếu hai người thích một người thì họ không thích
nhau”
Dưới dạng logic vị từ.
• Trước khi viết câu trên ta hãy tìm hiểu các câu đơn giản được viết như sau:
- "Nam thích Mai" được viết theo phép toán vị từ là: thích
(Nam, Mai
- "Đông thích Mai" được viết theo phép toán vị từ là: thích (Đông,
Mai).
Tổng quát khẳng định trên được viết như sau:
Thích (X, Z) AND thích (Y, Z) → NOT thích (X, Y) ⇔ (Thích (X, Z) ∧
thích (Y, Z) → ¬ thích (X, Y)

• Hằng
Là một giá trị xác định trong không gian của vị từ. các hằng được ký hiệu
bởi các chữ thường dùng để đặt tên các đối tượng đặc biệt hay thuộc tính.
• Biến
Dùng để thể hiện các lớp tổng quát của các đối tượng hay các thuộc tính.
Biến được viết bằng các ký hiệu được viết bằng các ký hiệu bắt đầu là chữ in hoa.
Vậy có thể dùng vị từ có biến để thể hiện các vị từ tương tự.
Ví dụ: Vị từ "Quả bóng màu xanh” có thể viết lại: “X màu Y”. Quả bóng
xanh là các hằng được xác đinh trong không gian của vị từ. X, Y là biến.
• Các vị từ
Một sự kiện hay mệnh đề trong phép toán vị từ được chia thành phần Vị từ
và phần tham số. Tham số thể hiện một hay nhiều đối tượng của mệnh đề, còn vị từ
dùng để khẳng định về đối tượng.
Ví dụ: Câu "X thích Y" có dạng thích (X, Y).Thích là vị từ cho biết quan hệ
giữa các đối tượng trong ngoặc. Đối số là các ký hiệu thay cho các đối tượng của
bài toán.
• Hàm
Được thể hiện bằng ký hiệu, cho biết quan hệ hàm số.
Ví dụ: Hoa là mẹ của Mai, Đông là cha của Cúc. Hoa và Đông là bạn của
nhau
Ta có hàm số được viết để thể hiện quan hệ này.
Mẹ (Mai) = Hoa
Cha (Cúc) = Đông
Bạn (Hoa, Đông)
Các hàm được dùng trong vị tự là: Bạn (Mẹ (Mai), Cha (Cúc)
5. Các phép toán trên vị từ một biến.
Vị từ một biến được gọi là vị từ cấp 1.
Cho vị từ một biến P(x) và Q(x) trên trường M
• Phép toán phủ định ký hiệu: ¬ P(x) cũng là một vị từ trên trường M mà khi
thay thế x = a ∈ M ta được mênh đề ¬ P(a) nhận giá trị đúng khi P(a) nhận

giá trị sai và ngược lại.
• Hội hai vị từ P(x) và Q(x) ký hiệu: P(x) ^Q(x) trên trường M mà khi thay thế
x = a ∈ M ta được mệnh đề P(a) ^Q(a) nhận giá trị đúng khi cả P(a) và Q(a)
nhận giá trị đúng, sai trong tất cả các trường hợp còn lại.
• Tuyển hai vị từ P(x) và Q(x) ký hiệu: P(x) v Q(x) trên trường M mà khi thay
thế x = a ∈ M ta được mệnh đề P(a) v Q(a) nhận giá trị sai khi cả P(a) và
Q(x) nhận giá trị sai, đúng trong tất cả các trường hợp còn lại.
• Vị từ P(x) suy ra Q(x) ký hiệu: P(x) -> Q(x) trên trường M mà khi thay thế
x = a ∈ M ta được mệnh đề P(a) -> Q(a) nhận giá trị đúng khi cả P(a) sai
hoặc P(a) đúng, Q(a) đúng, mệnh đề này sai khi giả thuyết là P(a) đúng, kết
luận là Q(a) sai.
II. Lượng từ
1. Lượng từ tồn tại (∃)
Câu xác định "Tập hợp những biến x làm cho P(x) là đúng không là tập hợp
rỗng" là một mệnh đề. Hay "Tồn tại ít nhất một phần tử x trong không gian sao cho
P(x) là đúng" là một mệnh đề được gọi là lượng từ tồn tại của P(x). Ký hiệu: ∃x
P(x) .
Ví dụ:
• P(x) = ”x > 3”
Miền giá trị x ∈ R
Mệnh đề: ∃xP(x) là T
• Q(x) = ”x = x + 1”
Miền giá trị x ∈ R
Mệnh đề: ∃xQ(x) là F
2. Lượng từ với mọi (∀)
Câu xác định "Tập hơp những x làm cho P(x) đúng là tất cả tập hợp E" là
một mệnh đề. Hay "P(x) đúng với mọi giá trị x trong không gian" cũng là một mệnh
đề được gọi là lượng từ với mọi của P(x). Ký hiệu: ∀xP(x)
Ví dụ:
• Mọi sinh viên máy tính phải học môn logic

P(x) = "x phải học môn logic"
Mệnh đề: ∀xP(x)
S(x) = x là sinh viên máy tín
P(x) = x phải học môn logic
Mệnh đề: ∀x(S(x) → P(x))
3. Tầm vực của lượng từ
Ký hiệu bởi [] hoặc (), nếu không có thì tầm vực là công thức nhỏ nhất ngay
sau lượng từ. Biến x là bound nếu:
• Biến x được gán giá trị
• Biến x được lượng từ hóa
Biến x là free nếu nó không bound
Ví dụ:
• ∀xP(x, y) thì x là bound và y là free
• ∀x(∃yP(x, y)∨Q(x, y)) thì x, y trong P(x, y) là bound, trong khi y trong Q(x,
y) là free
4. Cách định chân trị
∀xP(x) = P(x1) ∧ P(x2) ∧ . . . ∧ P(xn)
∃xP(x) = P(x1) ∨ P(x2) ∨ . . . ∨ P(xn)
Trong đó x¬1, x2, . . . , xn là liệt kê các giá trị có thể có của x
Thử tất cả các xi với ∀ để xác định T. Tìm một x
i
với ∃ để xác định T. Thứ
tự của lượng từ là quan trọng, chỉ trừ khi tất cả các lượng từ là "với mọi" hoặc tất cả
là "tồn tại". Đọc từ trái sang phải, áp dụng từ trong ra.
• Ví dụ:
o ∀x∀y(x + y = y + x) T với tất cả x, y ∈ R
o ∀x∃y(x + y = 0) là T,trong khi ∃y∀x(x + y = 0) là F
5. Các định lý thường dùng:
Định lý 1: Cho vị từ P(a, b) có trọng lượng là 2. Khi đó:
a. ∀a∀b P(a,b) và ∀b∀a P(a, b) là có cùng chân trị.

Nghĩa là : ∀a∀b P(a,b) ↔∀b∀a P(a, b)
Ký hiệu: ∀(a,b) P(a,b)
b. ∃a∃b P(a,b) và ∃b∃a P(a, b) là có cùng chân trị.
Nghĩa là: ∃a∃b P(a,b) ↔ ∃b∃a P(a, b)
Ký hiệu: ∃(a,b) P(a,b)
c. Nếu ∃a∀b P(a,b) là đúng thì ∀b∃a P(a,b) cũng đúng
nhưng điều ngược lại chưa đúng.
Nghĩa là : ∃a∀b P(a,b) → ∀b∃a P(a,b)
Chứng minh (c)
Giả sử “∃a ∈ A, ∀b ∈ B, p(a,b)” là đúng. Khi đó, tồn tại a thuộc A sao cho
“∀y ∈ B, p(a,b)” là đúng, nghĩa là nếu thay b = y thuộc B bất kỳ thì p(a,b) đúng.
Như vậy, y = b thuộc B tuỳ chọn thì ta có thể chọn a = x để “∃x ∈ A, p(a, b)” là
đúng. Do đó, “∀b ∈ B, ∃a ∈ A, p(a,b)” là mệnh đề đúng.
Ví dụ thể hiện chiều đảo của 3 là chưa chắc đúng:
- Gọi p(x,y) là vị từ theo 2 biến thực p(x,y) = “x + y = 1”,
- Nếu thay y tuỳ ý thì x = 1 - y để cho x + y = 1 nên mệnh đề tồn tại x
thuộc A, p(x, y) là đúng. Nên mệnh đề “∀y ∈ B, ∃x ∈ A, p(x, y)” là
đúng.
- Ngược lại, nếu chọn x = a tuỳ ý, ta có thể chọn y = -a để “∀y ∈ B,
p(x, y)” là sai. Điều này chứng tỏ, “∃x ∈ A, ∀y ∈ B, p(x, y)” là sai.
Do đó, phép kéo theo sau là sai: “∀y ∈ B, ∃x ∈ A, p(x, y)” -> “∃x
∈A, ∀y ∈ B, p(x,y)”.
Định lý 2:
- ¬ (∀ x P(x)) và ∃ x (¬ P(x) là có cùng chân trị.
- ¬ (∃ x P(x)) và ∀ x (¬ P(x) là có cùng chân trị.
Giải thích:
• Phủ định với ∀x P(x) nói rằng tập hợp những x làm cho P(x) đúng
không là tất cả tập hợp E. Vậy nói rằng hiện hữu ít nhất một phần tử x
∈ E mà ở chúng P(x) là sai hay nói rằng hiện hữu ít nhất một phần tử
x ∈ E mà ở chúng P(x) là đúng.

• ¬ ∃ x P(x) nói rằng tập hợp những x mà ở chúng P(x) là đúng là tập
hợp trống. Nghĩa là, tập hợp những x mà ở chúng P(x) là sai là tập
hợp E hay không có phần tử nào làm P(x) đúng. Ta có ∀ x (¬ P(x)).
Ví dụ: Phủ định của "Mọi số nguyên n là chia chẵn cho 3“ là "Tồn tại ít nhất
một số nguyên n không chia chẵn cho 3"
Phương pháp ứng dụng.Để đạt được phủ định của một mệnh đề xây dựng
bằng liên kết của những biến của vi từ với phương tiện định lượng, người ta thay
thế những định lượng ∀ bởi ∃, và ∃ bởi ∀ và sau cùng thay thế vị từ bằng phủ định
của vị từ đó.
Định lý 3: Cho P và Q là hai vị từ có cùng không gian.
• Mệnh đề ∀x (P(x) ∧ Q(x)) và (∀x (P(x) ∧∀x (Q(x)) là có cùng chân trị.
• Nếu mệnh đề ∃x (P(x) ∧ Q(x)) là đúng thì ta có mệnh đề: (∃x P(x)) ∧
(∃xQ(x)) cũng đúng.
• Mệnh đề ∃x (P(x) ∨ Q(x)) và (∃xP(x) ∨∃xQ(x)) là có cùng chân trị.
• Nếu mệnh đề ∀x (P(x) ∨ Q(x)) là đúng thì ta có mệnh đề ∀xP(x)
∨∀xQ(x) là đúng, nhưng điều ngược lại không luôn luôn đúng.
•
Chú thích:
Nếu P và Q là hai vị từ có cùng không gian E. Ta có :
• Tập hợp A⊂ E : Tập hợp những phần tử x thuộc E mà ở chúng thì P(x) là
đúng.
• Tập hợp B⊂ E: Tập hợp những phần tử x thuộc E mà ở chúng thì Q(x) là
đúng.
• Khi đó người ta lưu ý rằng, A∧B là tập hợp những x thuộc E mà ở chúng
mệnh đề P(x)∧Q(x) là đúng. Trong khi đó A∨B là tập hợp những x của E
mà ở đó mệnh đề P(x)∨Q(x) là đúng.
6. Công thức tương đương:
A tương đương B nếu và chỉ nếu (A → B) ∧ (B → A). Ký hiệu: A ≡ B |=
(A → B) ∧ (B → A)
Một số công thức tương đương:

• ~∀x W(x) ≡ ≡ ∃x ~W(x)
• ~ ∃x W(x) ≡ ≡ ∀x ~W(x)
• ∃x (A(x) ∨ B(x)) ≡ ≡ ∃x A(x) ∨ ∃x B(x)
• ∀x(A(x) ∧ B(x)) ≡ ≡ ∀x A(x) ∧ ∀x B(x)
• ∃x (A(x) → B(x)) ≡ ≡ ∀x A(x) → ∃x B(x)
• ∀x∀y W(x,y) ≡ ≡ ∀y∀x W(x,y)
• ∃x ∃y W(x,y) ≡ ≡ ∃y∃x W(x,y)
Các phép tương đương có giới hạn:
Các phép tương đương sau đúng khi x không xuất hiện trong biểu thức C:
Disjunction
• ∀x(C ∨ A(x)) ≡ ≡ C ∨ ∀x A(x)
• ∃x(C ∨ A(x)) ≡ ≡ C ∨ ∃x A(x)
Conjunction
• ∀x(C ∧ A(x)) ≡ ≡ C ∧ ∀x A(x)
• ∃x(C ∧ A(x)) ≡ ≡ C ∧ ∃x A(x)
Implication
• ∀x (C → A(x)) ≡ ≡ C → ∀x A(x)
• ∃x (C → A(x)) ≡ ≡ C → ∃x A(x)
• ∀x (A(x) → C) ≡ ≡ ∃x A(x) → C
• ∃x (A(x) → C) ≡ ≡ ∀x A(x) → C
Một vài điều kiện không tương đương:
• ∀x W(x) → ∃x W(x)
• ∀x A(x) ∨ ∀x B(x) → ∀x(A(x) ∨ B(x))
• ∃x(A(x) ∧ B(x)) → ∃x A(x) ∧ ∃x B(x)
• ∀x(A(x) → B(x)) → (∀x A(x) → ∀x B(x))
• ∃y ∀x W(x,y) → ∀x ∃y W(x,y)
Tài liệu tham khảo
[1] - />[2] - Ebook "Logic Vị từ", Nguyễn Quang Châu, khoa CNTT ĐHCN Tp.HCM.