Nghiên cứu tính đặt đúng của bài toán Cauchy - Dirichlet đối với phương trình parabolic cấp hai

1
LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình hoàn thành luận văn, tôi đã được sự chỉ đạo, hướng dẫn,
động viên tận tình của cô giáo: Th.S Đoàn Thị Chuyên, giảng viên khoa Toán -
Lí – Tin, đồng thời nhận được sự góp ý về đề tài, tạo điều kiện thuận lợi về cơ
sở vật chất, thời gian, tài liệu tham khảo của các thầy cô trong khoa Toán – Lí –
Tin, phòng nghiên cứu khoa học và thư viện trường đại học Tây Bắc. Bên cạnh
đó tôi còn nhận được sự động viên giúp đỡ của các bạn trong tập thể lớp K47 -
đại học sư phạm Toán, sự giúp đỡ trong việc đánh máy, in ấn của tất cả bạn bè,
người thân.

Nhân dịp này, cho phép tôi bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới sự giúp đỡ,
động viên quý báu của các thầy cô, các bạn, tới những người thân, các đơn vị
liên quan, đặc biệt là cô giáo Th.S Đoàn Thị Chuyên.

Sơn La, tháng 05 năm 2010
Người thực hiện
Lê Thị Liễu










2
MỤC LỤC

Lời cảm ơn…………………………………………………………….………....1
Phần mở đầu……………………………………………………………………..3
1. Lí do chọn khoá luận…………………………………………………...3
2. Đối tượng, phương pháp, phạm vi nghiên cứu………………………....3
3. Mục đích, nhiệm vụ và những đóng góp của khoá luận…………….....4
Chương 1. Một số kiến thức liên quan…………………………….….…............5
1.1 Không gian Sobolev………………………………………………….……...5
1.2 Một vài không gian của các hàm...................................................................17
1.2.1 Không gian hàm H
-1
…………………………………………….………..17
1.2.2 Không gian phụ thuộc thời gian ……………...………………………… 18
Không gian hàm L
p
(0,T;X) ………………………………………….....18
Không gian hàm C([0,T];X)………………………………….……….....18
1.3. Các bất đẳng thức………………………………………………………….19
1.3.1 Bất đẳng thức Gronwall-Bellman……………………………….………..19
1.3.2 Bất đẳng thức năng lượng……………………………………….………..19
Chương 2.Tính đặt đúng của bài toán Cauchy – Dirichlet đối với phương
trình Parabolic cấp hai……………………………………………….…….......21
2.1 Mở đầu..........................................................................................................21
2.1.1 Thiết lập bài toán........................................................................................21
2.1.2 Mô típ của định nghĩa nghiệm suy rộng.....................................................22
2.1.3 Nghiệm suy rộng........................................................................................23
2.2 Sự tồn tại duy nhất của nghiệm suy rộng......................................................25
2.2.1 Một số đánh giá tiên nghiệm......................................................................25
2.2.2 Sự tồn tại nghiệm suy rộng.... ...................................................................28
2.2.3 Tính duy nhất nghiệm suy rộng..................................................................30
Kết luận.............................................................................................................. 31

Tài liệu tham khảo:………………………………………………..……………32
3

PHẦN MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn khoá luận
Trong chương trình của bậc đại học, bước đầu chúng ta đã được làm quen
với môn phương trình đạo hàm riêng. Trong đó, ta đã biết được các vấn đề cơ
bản liên quan đến phương trình Lapace, phương trình truyền sóng, phương trình
truyền nhiệt. Đó là các phương trình đơn giản lần lượt đại diện cho ba lớp
phương trình đạo hàm riêng là phương trình loại eliptic, hypebolic và parabolic.
Khi học ta thấy rằng, điều kiện tồn tại nghiệm theo nghĩa thông thường thường
đòi hỏi khá nhiều yếu tố khắt khe như tính trơn đến cấp của phương trình, điều
này gây khó khăn khi xét các bài toán đối với các phương trình trên những miền
bất kì hoặc đối với những bài toán của các phương trình tổng quát hơn. Để khắc
phục điều này, thay vì đi tìm nghiệm cổ điển, người ta đi tìm nghiệm suy rộng,
tức là là nghiệm “ thô” lúc đầu là nghiệm “ khá gần” với nghiệm hầu khắp nơi
hoặc nghiệm cổ điển gọi chung là nghiệm thông thường. Sau đó nhờ các công cụ
của giải tích hàm, ta làm cho nghiệm dần đến nghiệm thông thường. Chính vì
vậy, phương trình đạo hàm riêng còn là vấn đề rất mới mẻ và bí ẩn kích thích sự
khám phá của những sinh viên yêu thích nó. Nhằm góp phần giúp những bạn
sinh viên và những độc giả yêu môn phương trình đạo hàm riêng nói chung và
bản thân tác giả nói riêng hiểu sâu hơn về môn học này và tiếp tục tìm hiểu
khám phá, tôi mạnh dạn nghiên cứu đề tài: “Nghiên cứu tính đặt đúng của bài
toán Cauchy – Dirichlet đối với phương trình parabolic cấp hai”.
2. Đối tượng, phương pháp, phạm vi nghiên cứu
2.1. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là bài toán biên ban đầu thứ nhất đối với phương
trình parabolic cấp hai.
2.2. Phương pháp nghiên cứu

4
Vấn đề nghiên cứu trong luận văn là vấn đề mới đối với sinh viên bậc đại
học, vì vậy phương pháp nghiên cứu chủ yếu là nghiên cứu lí thuyết cụ thể là
phương pháp xấp xỉ Galerkin. Sưu tầm tài liệu, đọc hiểu tài liệu trên cơ sở đó
phân tích, tổng hợp, diễn giải, làm rõ và trình bày thành một hệ thống để giải
quyết các vấn đề đặt ra của luận văn.
2.3. Phạm vi nghiên cứu
Phạm vi nghiên cứu của luận văn là phương trình parabolic cấp hai và
những kiến thức cơ sở liên quan đến việc nghiên cứu tính đặt đúng của bài toán
Cauchy – Dirichlet.
3. Mục đích, nhiệm vụ và những đóng góp của khoá luận
3.1. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của luận văn là tìm hiểu sâu hơn về môn phương
trình đạo hàm riêng, cụ thể là phương trình parabolic cấp hai.
Đóng góp thêm tài liệu tham khảo cho giảng viên, sinh viên và tất cả
những ai quan tâm đến môn phương trình đạo hàm riêng.
3.2 Nhiệm vụ của khoá luận
Với mục đích đặt ra, nhiệm vụ nghiên cứu của khoá luận là nghiên cứu
tính đặt đúng của bài toán Cauchy – Dirichlet đối với phương trình parabolic cấp
hai.
3.3. Những đóng góp của khoá luận
Đóng góp nổi bật của khoá luận là cung cấp được một hệ thống tri thức
mới chuyên sâu về môn phương trình đạo hàm riêng hiện đại. Đó là các khái
niệm mới như: định nghĩa đạo hàm suy rộng, các không gian Sobolev. Ngoài ra
ta biết các tính chất, vấn đề liên quan đến các khái niệm kiến thức này. Đặc biệt
nó giúp ta có một phương pháp mới đi nghiên cứu tính đặt đúng của bài toán
Cauchy – Dirichlet đối với phương trình parabolic cấp hai, cụ thể là phương
pháp xấp xỉ Galerkin.

5


CHƯƠNG 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC LIÊN QUAN
1.1 Không gian Sobolev
1.1.1. Không gian
()
k
C Ω

Ta dùng các kí hiệu sau:
+)
()C Ω
là tập hợp tất cả các hàm liên tục trên
Ω
.
+)
()
k
C Ω
là tập hợp các hàm xác định trên
Ω
sao cho đạo hàm đến cấp k tồn tại
và liên tục trên Ω.
+)
()C
∞
Ω
là tập hợp tất cả các hàm khả vi vô hạn lần trên

Ω
.
Giả sử
Ω
là một tập mở trong
n
R
. Nếu
()uC
∞
∈Ω
thì bao đóng của tập
hợp các điểm x sao cho
()0ux≠
được gọi là giá của hàm u(x) và kí hiệu là
suppu.
Như vậy hàm u(x) = 0,
x∈Ω
\
suppu
.
Ta có
+)
0
()C Ω
là tập hợp tất cả các hàm thuộc
()C Ω
sao cho giá của chúng
compact và thuộc vào
Ω

.
+)
00
()()()
kk
CCCΩ=Ω∩Ω
.
+)
00
()()()CCC
∞∞
Ω=Ω∩Ω
.
1.1.2. Không gian L
p

Trong không gian định chuẩn có một lớp không gian Banach đặc biệt
quan trọng là không gian L
p
mà dưới đây ta sẽ khảo sát.
Định nghĩa.
Cho một không gian
Ω
và một độ đo
µ
trên một
σ −
đại số F các tập
con
6

của
Ω
. Họ tất cả các hàm số
()fx
có lũy thừa bậc p,
(1)p≤<+∞
của modun
khả tích trên
Ω
có nghĩa là

p
fdµ
Ω
<+∞
∫
’
gọi là không gian
(,).
p
L µΩ

Khi
Ω
là một tập đo được Lebesgue trong đó
k
R
và
µ
là một độ đo

Lebesgue thì ta viết
().
p
L Ω

Tập hợp
(,)
p
L µΩ
( trong đó ta không phân biệt các hàm tương đương
nhau, nghĩa là bằng nhau hầu khắp nơi) là một không gian tuyến tính định chuẩn
với phép toán thông thường về cộng hàm số, nhân hàm số, và với chuẩn

1
().
p
p
p
ffdµ
Ω
=
∫

Định lí 1.
Không gian
(,)
p
L µΩ
với
1 p≤<+∞

là một không gian tuyến tính định
chuẩn đủ ( không gian Banach).
Định lí 2.
Giả sử
Ω
là một miền trong
n
R
. Tập hợp tất cả các hàm liên tục trong
Ω
với giá compact trù mật trong không gian
(),1.
p
LpΩ≥

Định lí 3.(Tính khả ly)
Giả sử p ≥ 1 và
Ω
là một miền thuộc
n
R
. Tồn tại một tập con đếm được
các phần tử của không gian
(),
p
L Ω
sao cho bao tuyến tính của nó trù mật trong
().
p
L Ω

Chứng minh
Giả sử R là một số hữu tỉ nào đó,
n
x∈R

Kí hiệu
(,)UxR
là hình hộp

{ }
(,):,1,
n
ii
UxRyRyxRin=∈−<=

7
Giả sử
()
p
fL∈Ω
và
0ε >
. Đặt
()0fx=
với
x∉Ω
, và xét như một
hàm thuộc
()

n
p
L R
. Chọn R là một số nguyên đủ lớn sao cho

\(0,)
().
n
p
p
UR
fxdx ε<
∫
R

Nhờ định lí 2 tồn tại một hàm
R
g
liên tục trong
(0,)UR
sao cho
(0,1)
()(),
p
p
UR
fxgxdx ε
+
+<
∫

vì hàm
R
g
liên tục trên
(0,1)UR+
nên nó liên tục đều trên
(0,)UR
.
Do vậy
0δ∃>
sao cho

()(),,(0,),,
n
p
RR
gxgyRxyURxyεδ
−
−<∈−<

lấy
2
N
Rnδ
−
=
với N là một số nguyên nào đó để
δ
đủ nhỏ. Chia hình hộp

(0,)UR
thành các hình hộp nhỏ không giao nhau có độ dài cạnh là
2
N
R
−
và xét
tập hợp S bao gồm các hàm đặc trưng
()
j
Xx
của các hình hộp này với mọi N.
Đặt
()()(),
Rjj
j
hxgxXx=
∑

trong đó
j
x
là tâm của các hình hộp nhỏ.
Khi đó

()()()()
n
p
RRRj
gxhxgxgxRε

−
−=−<

Nếu x thuộc vào hình hộp với tâm
j
x
. Ta có

(0,)
p
p
R
UR
ghdx ε−<
∫

Đặt
0
R
g =
, h(x) = 0 đối với
\(0,)
n
xUR∈R
ta được
8
1
1
1
(0,)

\(0,)
()()()()()
nn
p
p
p
ppp
UR
UR
fxhxdxfxhxdxfxdx



−≤−+








∫∫∫
RR
1
1
(0,)(0,)
\(0,)
()()()()()
n

p
p
ppp
RR
URUR
UR
fxgxdxgxhxdxfxdx


≤−+−+





∫∫∫
R
11
(0,1)(0,)
()()()()
pp
pp
RR
URUR
fxgxdxgxhxdx
+

≤−+−




∫∫


1
\(0,)
()3.
n
p
p
UR
fxdx ε


+≤


∫
R

Do vậy tập hợp các tổ hợp tuyến tính của các hàm
j
X trù mật trong
()
p
L Ω
.
Một trong những ứng dụng quan trọng của các hàm thuộc không gian
(),1
p

LpΩ≥
là tính liên tục toàn cục của nó.
Định lí 4.(Tính liên tục toàn cục)
Giả sử
Ω
là một miền thuộc
,(),1,()0
n
p
fLpfx∈Ω≥=R
bên ngoài
.Ω

Khi đó với mỗi
0ε >
tồn tại một số
0δ >
, sao cho

()(),
p
fxfxydx ε
Ω
−+<
∫

với mọi y thỏa mãn
.y δ<

1.1.3. Trung bình hóa

Giả sử
()xθ
là một hàm trực thuộc lớp
0
()
n
C
∞
R
sao cho

()(),()0,()0xxxxθθθθ=−≥=
nếu
1x >
và
()1.
n
xθ =
∫
R

Hàm
()xθ
được gọi là nhân trung bình hoá.
Định lí 5.
Nếu
(),1
p
uLp∈Ω≥
thì

()
0
lim0.
p
h
L
h
uu
Ω
→
−=

Định lí 6.
9
Nếu
1
,()fgL∈Ω
, thì

()()()().
hh
fxgxdxfxgxdx
ΩΩ
=
∫∫

Định lí 7.
Nếu
1
()fL∈Ω

và
()()0,fxxdxϕ
Ω
=
∫
với mọi
0
()Cϕ
∞
∈Ω
thì
0.f =

1.1.4. Đạo hàm suy rộng
Giả sử
Ω
là một miền trong
n
R
. Một hàm
()()
p
uxL∈Ω
được gọi là đạo
hàm suy rộng cấp α của hàm
()()
p
vxL∈Ω
nếu

()()(1)()()uxxdxvxDxdx
α
α
ψψ
ΩΩ
=−
∫∫
, với mọi
0
()Cψ
∞
∈Ω
,
ở đó
1212
(,,...,),...
nn
αααααααα==+++
và

12
12
.
...
n
n
D
xxx
α
α

ααα
∂
=
∂∂∂

Chú ý
i) Hàm
()vx
không có quá một đạo hàm suy rộng.
Thật vậy giả sử
1
()ux
và
2
()ux
là đạo hàm suy rộng của hàm
()vx
.
Khi đó

0
12
(()())()0,()().uxuxxdxxCψψ
∞
Ω
−=∀∈Ω
∫

Mà
121,

()()()
loc
uxuxL−∈Ω
nên
12
()()0uxux−=
hầu khắp nơi trong
Ω
.
Suy ra
12
()()uxux=
hầu khắp nơi trong
Ω
.
ii) Nếu
0
()()vxC
∞
∈Ω
thì theo công thức Ostrograsdki ta có

()()(1)()(),uxxdxvxDxdx
α
α
ψψ
ΩΩ
=−
∫∫
với hàm tuỳ ý

0
()Cψ
∞
∈Ω
.
Có nghĩa hàm
()vx
có đạo hàm suy rộng
()ux
bằng
()Dvx
α
.
10
Đặc biệt nếu hàm
()vx
bằng hằng số ( hầu khắp nơi) trên
Ω
thì có đạo hàm
suy rộng tuỳ ý.
iii) Từ định nghĩa ta suy ra đạo hàm suy rộng không phụ thuộc vào thứ tự
lấy đạo hàm. Thật vậy giả sử
f
tồn tại đạo hàm cấp α.
Ta chứng minh
11
11
..................
jj
inin

ijnjin
ff
xxxxxxxx
αα
αα
αααα
αα
∂∂
=
∂∂∂∂∂∂∂∂

+
1
1
.........
j
in
ijn
v
xxxx
α
α
αα
α
∂
∂∂∂∂

=
1
1

.........
j
in
jin
v
xxxx
α
α
αα
α
∂
∂∂∂∂
,
()vC
α
∀∈Ω
.
Do
1
()fL∈Ω
nên theo định nghĩa đạo hàm suy rộng

1
1
(1)
.........
j
in
ijn
v

dxvdx
xxxx
α
α
α
αα
α
ω
ΩΩ
∂
=−
∂∂∂∂
∫∫

=
1
1
,
.........
j
in
jin
f
fdx
xxxx
α
α
ααα
Ω
∂

∂∂∂∂
∫

với
0
.vC
∞
∈
Suy ra

1
1
.
.........
j
in
jin
f
xxxx
α
α
ααα
ω
∂
=
∂∂∂∂

iv) Một hàm có đạo hàm bình thường (đạo hàm theo nghĩa cổ điển) cấp α
thì có đạo hàm suy rộng cấp α nhưng điều ngược lại nói chung không đúng.
Ví dụ

Xét hàm
()fxx=
trên (-1;1).
ta đã biết tồn tại đạo hàm thường tại
0x∀≠
. Tại x = 0 thì không tồn tại đạo
hàm vì
(0)1,(0)1ff
−+−−
==−
. Ta sẽ chứng minh
()fxx=
có đạo hàm suy
rộng trên toàn trục số.
11
Xét

11
0
11
,(),
dv
xdxvdxvC
dx
ω
∞
−−
=−∀∈
∫∫
R

lấy
1,01
1,10
x
x
ω
≤<

=

−−<<


do đó
1
(1;1)Lω∈−
nên

10101
11010
2.dxdxdxdxdxωωω
−−−
=+=−+=
∫∫∫∫∫

Nên
101
110
,

vvv
xdxxdxxdx
xxx
−−
∂∂∂
=+
∂∂∂
∫∫∫

hay
101
110
vvv
xdxxdxxdx
xxx
−−
∂∂∂
=−+
∂∂∂
∫∫∫


0101
1010
1
1
(1)1
.
vdxvdxvdxvdx
vdxω

−−
−

=−=−−+


=−
∫∫∫∫
∫

như vậy hàm
()fxx=
không có đạo hàm thường trên khoảng ( -1;1) nhưng có
đạo hàm suy rộng trên khoảng ( -1;1).
v) Một hàm có đạo hàm suy rộng cấp α trong miền
Ω
thì nó cũng có đạo
hàm suy rộng cấp α trong miền
'Ω⊂Ω
.
Thật vậy
Giả sử
0
1
(),()fLvC
∞
∈Ω∈Ω
ta có

1212

1212
''
.
......
nn
nn
vv
fdxfdx
xxxxxx
αα
αα
αααα
ΩΩ
∂∂
=
∂∂∂∂∂∂
∫∫

Do
00
('),()vCvC
∞∞
∈Ω∈Ω
với
'Ω⊂Ω
nên
12

'
11.vdxvdx

αα
ωω
ΩΩ
−=−
∫∫

Ta có
1
()Lω∈Ω
suy ra
1
(')Lω∈Ω
vậy sẽ tồn tại
1
(')Lω∈Ω
sao cho

12
0
12
''
1,(').
...
n
n
v
fdxvdxvC
xxx
α
α

α
αα
ω
∞
ΩΩ
∂
=−∀∈Ω
∂∂∂
∫∫

Do đó tồn tại đạo hàm suy rộng

1
1
...
n
n
f
xx
α
αα
ω
∂
=
∂∂
trên
'.Ω

vi) Khác với đạo hàm cổ điển, đạo hàm suy rộng
Dv

α
được xác định
ngay với cấp α mà không cần giả thiết các đạo hàm cấp thấp hơn tương ứng tồn
tại. Các đạo hàm cấp thấp hơn có thể không tồn tại.
Sau đây ta đi xét một định lí về sự liên hệ giữa đạo hàm suy rộng và trung
bình hoá.
Định lí 8.
Giả sử
Ω
là một miền trong không gian
,'
n
ΩR
là miền con của
Ω
sao
cho khoảng cách giữa
'Ω
và
∂Ω
bằng d > 0. Khi đó, đối với 0 < h < d và
'x∈Ω
ta có

()()()
hh
DuxDux
αα
=
.

Chứng minh
Do 0 < h < d,
'x∈Ω
và hàm
0
()
xy
C
h
θ
∞
−

∈Ω


với
',x∈Ω
nên khi sử
dụng định nghĩa đạo hàm suy rộng ta nhận được

()()(),
n
n
h
xy
DuxDxhuydy
h
αα
θ

−
−

=


∫
R

hay
()(1)()
n
h
xy
DuxhDyuydy
h
α
αα
θ
−
Ω
−

=−


∫