Tiểu luận môn Thuật Toán và Phương Pháp Giải Quyết Vấn Đề THUẬT TOÁN TỐI ƯU BẦY KIẾN TRONG BÀI TOÁN NGƯỜI DU LỊCH

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN
__
Bài thu hoạch
THUẬT TOÁN VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
THUẬT TOÁN TỐI ƯU BẦY KIẾN TRONG BÀI TOÁN
NGƯỜI DU LỊCH
Giảng viên hướng dẫn: TS. Đỗ Văn Nhơn
Học viên thực hiện: Huỳnh Văn Trận
MSHV: CH1301066
Lớp: Cao Học Khóa 8
Tháng 10/2014
2
Mục Lục
CHƯƠNG 1 GIỚI THIỆU 6
CHƯƠNG 2 BÀI TOÁN 7
CHƯƠNG 3 CƠ SỞ LÝ THUYẾT 8
3.1 Các khái niệm cơ bản về đồ thị 8
3.1.1 Định nghĩa đồ thị 8
3.1.2 Các thuật ngữ cơ bản 9
3.1.3 Đường đi, chu trình và đồ thị liên thông 10
3.1.4 Chu trình Euler 12
3.1.5 Chu trình Hamilton 12
3.1.6 Đồ thị có trọng số 13
3.1.7 Các cấu trúc dữ liệu biểu diễn đồ thị 14
3.2 Khái niệm về lớp các bài toán P và NP 15
3.2.1 Khái niệm các loại thời gian tính 15
3.2.2 Bằng chứng ngắn gọn dễ kiểm tra 16
3.2.3 Khái niệm quy dẫn 16
3.2.4 Lớp bài toán P 17
3.2.5 Lớp bài toán NP 17

3.2.6 Lớp bài toán Co-NP 17
3.2.7 Lớp bài toán NP-đầy đủ (NP-Complete) 17
3.2.8 Lớp bài toán NP- khó (NP-Hard) 18
3.3 Mô hình phân lớp các bài toán 19
CHƯƠNG 4 THUẬT TOÁN BẦY KIẾN 22
4.1 Ý tưởng 22
4.2 Thuật toán 23
4.3 Quá trình phát triển 26
4.4 Demo 27
CHƯƠNG 5 KẾT LUẬN 30
3
Bảng viết tắt
STT Viết tắt Ý nghĩa
1 ACO Ant colony Optimization
(Tối ưu hóa bầy kiến)
2 AS Ant system
(Hệ kiến)
3 ACS Ant Colony System
(Hệ kiến ACS)
4 MMAS Min-Max Ant System
(Hệ kiến ACS)
5 MLAS Multi-level Ant System
(Hệ kiến MMAS)
6 TSP Travelling Salesman Problem
(Bài toán người du lịch/chào hang)
7 JSS Job shop scheduling
(Bài toán lập lịch sản xuất)
8 EA Evolutionary Algorithm
(Thuật toán tiến hóa)
4

LỜI MỞ ĐẦU
Tìm đường đi ngắn nhất là một trong những bài toán luôn luôn thu hút giới nghiên
cứu. Làm sao có thể tìm được đường đi ngắn nhất từ 1 điểm đến 1 điểm khác một cách
ít tốn chi phí nhất trên một bản đồ có thể có những chướng ngại vật.
Hiện nay đã có rất nhiều thuật toán, công trình nghiên cứu về tìm đường đi ngắn
nhất ứng với từng hoàn cảnh khác nhau. Áp dụng tất cả những gì tự nhiên vào trong
máy tính là một trong những bước chuyển biến mang tính chất đột phá của khoa học
máy tính. Vì những gì ngoài tự nhiên thì đã tồn tại rất lâu rồi, đã được đút kết rất nhìu
kinh nghiệm, do vậy áp dụng nó vào máy tính sẽ đạt được mức độ tối ưu nhất định.
Các bài toán thực tế được nghiên cứu tìm ra những ưu điểm của nó để áp dụng vào
trong những hệ thống trên máy tính. Các hệ thống này gọi là hệ thống mô phỏng sinh
học.
Một trong những mô hình tính toán mô phỏng hoạt động sinh học ngoài đời thực
vào trong máy tính tốt nhất cho các bài toán tối ưu tổ hợp, đó chính là mô hình giải
thuật bầy kiến. Mô phỏng lối di chuyển ngoài đời thực của bầy kiến.
Trong bài báo cáo này sẽ mô phỏng cách duy chuyển, hoạt động của bầy kiến, từ
đó mô hình nên giải thuật bầy kiến. Áp dụng trong bài toán người du lịch (TSP –
Travelling Saleman Prolem).
Bài toán người du lịch là một trong những bài toán kinh điển và khó trong tin học.
Và cũng có rất nhiều giải pháp thuật toán cho bài toán này. Và trong báo cáo này sẽ
mô tả một các tiếp cần theo mô hình sinh học, tự nhiên mà cách di chuyển của đàn
kiếm sẽ áp dụng cho người du lịch.
5
CHƯƠNG 1 GIỚI THIỆU
Hệ thống tính toán phỏng sinh học được phát triển theo nguyên lý chung là dựa vào
các hiện tượng sinh học tự nhiên. Các tính toán này bao gồm lớp các thuật toán mô
phỏng sinh học (EA – Evolutionary Algorithm) trong đó chứa các giải thuật tìm kiếm
dựa trên tri thức kinh nghiệm. Các tri thức này được sử dụng để tìm kiếm các lời giải
tốt cho các bài toán khó. Các tính toán này sẽ tìm lời giải tốt hơn những lời giải đã có
trước, đặt biệt phù hợp với những bài toàn không tồn tại lời giải hiệu quả. Các giải

thuật này thường đơn giản, mang tính chất tổng quát và có thể áp dụng trong các bài
toán tìm kiếm và tối ưu.
Để tìm được lời giải tối ưu hơn lời giải trước người ta xây dựng phương pháp gọi
là Heuristic. Phương pháp Heuristic thể hiện lối suy nghĩ tự nhiên, gần gũi với cách
suy nghĩ của con người.
Áp dụng những nguyên lý:
- Nguyên lý vét cạn thông minh: khi không gian tìm kiếm lớn, thường sẽ
giới hạn lại không gian tìm kiếm hoặc thực hiện một kiểu dò tìm nào đó
dựa trên một số đặt trưng của bài toán để nhanh chống tìm ra mục tiêu.
- Nguyên lý tham lam: lấy tiêu chuẩn tối ưu trên phạm vi toàn cục để làm
tiêu chuẩn lựa chọn hành động cho phạm vi cục bộ của từng bước (giai
đoạn) trong quá trình tìm kiếm lời giải.
- Nguyên lý thứ tự: Thực hiện hành động dựa trên một cấu trúc thứ tự hợp
lý của không gian khảo sát nhằm nhanh chóng đạt được một lời giải tốt.
- Hàm Heuristic: Trong việc xây dựng các thuật giải Heuristic, người ta
thường dùng các hàm Heuristic. Ðó là các hàm đánh giá thô, giá trị của
hàm phụ thuộc vào trạng thái hiện tại của bài toán tại mỗi bước giải. Nhờ
giá trị này, ta có thể chọn được cách hành động tương đối hợp lý trong
từng bước của thuật giải.
Với những đặc trưng như vậy, Heuristic đã được áp dụng rất nhiều trong những
bài toán khó. Thuật toán bầy kiến là một phương pháp Heuristic vận dụng những
nguyên lý trên để tìm lời giải hợp lý cho bài toàn người du lịch.
6
CHƯƠNG 2 BÀI TOÁN
Bài toán Người du lịch, tìm đường đi ngắn nhất cho người thương nhân
(salesman), hay còn gọi là người chào hàng xuất phát từ một thành phố, đi qua lần lượt
tất cả các thành phố duy nhất một lần và quay về thành phố ban đầu với chi phí rẻ
nhất, được phát biểu vào thế kỷ 17 bởi hai nhà toán học vương quốc Anh là Sir
William Rowan Hamilton và Thomas Penyngton Kirkman, và được ghi trong cuốn
giáo trình Lý thuyết đồ thị nổi

tiếng của Oxford. Nó nhanh chóng
trở thành bài toán khó thách thức toàn
thế giới bởi độ phức tạp thuật toán
tăng theo hàm số mũ (trong chuyên
ngành thuật toán người ta còn gọi
chúng là những bài toán NP-khó).
Người ta bắt đầu thử và công bố các
kết quả giải bài toán này trên máy tính từ năm
1954 (49 đỉnh), cho đến năm 2004 bài toán giải
được với số đỉnh lên tới 24.978, và dự báo sẽ còn tiếp tục tăng cao nữa. Bài toán có thể
phát biểu dưới ngôn ngữ đồ thị như sau :
Cho đồ thị n đỉnh đầy đủ và có trọng số G=(V-tập đỉnh,E-tập cạnh) có hoặc vô hướng.
Tìm chu trình Halmilton có trọng số là nhỏ nhất.
l
7
CHƯƠNG 3 CƠ SỞ LÝ THUYẾT
3.1 Các khái niệm cơ bản về đồ thị
3.1.1 Định nghĩa đồ thị
Trong toán học và tin học, đồ thị là đối tượng nghiên cứu cơ bản của lý thuyết đồ
thị. Một cách không chính thức, đồ thị là một tập các đối tượng gọi là đỉnh nối với
nhau bởi các cạnh. Thông thường, đồ thị được vẽ dưới dạng một tập các điểm (đỉnh,
nút) nối với nhau bởi các đoạn thẳng (cạnh). Tùy theo ứng dụng mà một số cạnh có thể
có hướng.Chúng ta phân biệt các loại đồ thị khác nhau bởi kiểu và số lượng cạnh nối
hai đỉnh nào đó của đồ thị.
Định nghĩa 1.1. Đơn đồ thị vô hướng G=(V,E) bao gồm V là tập các đỉnh, và E là
tập các cặp không có thứ tự gồm hai phần tử khác nhau của V gọi là các cạnh.
Định nghĩa 1.2. Đa đồ thị vô hướng G=(V,E) bao gồm V là tập các đỉnh, và E là
họ các cặp không có thứ tự gồm hai phần tử khác nhau của V gọi là các cạnh. Hai cạnh
e
1

và e
2
được gọi là cạnh lặp nếu chúng cùng tương ứng với một cặp đỉnh.
Định nghĩa 1.3. Đơn đồ thị có hướng G=(V,E) bao gồm V là tập các đỉnh, và E là
tập các cặp có thứ tự gồm hai phần tử khác nhau của V gọi là các cung.
Định nghĩa 1.4. Đa đồ thị có hướng G=(V,E) bao gồm V là tập các đỉnh, và E là
họ các cặp có thứ tự gồm hai phần tử khác nhau của V gọi là các cung. Hai cung e
1
và
e
2
được gọi là cung lặp nếu chúng cùng tương ứng với một cặp đỉnh.
8
Hai loại đồ thị cơ bản:
a) Đồ thị vô hướng(6 đỉnh, 9 cạnh). b) Đồ thị có hướng(5 đỉnh, 7 cung).
Định nghĩa 1.5. Đồ thị hỗn hợp G=(V, E, A ) bao gồm V là tập các đỉnh, E là tập
các cạnh (E≠Ø) và A là tập các cung (A ≠Ø) của đồ thị.
Đồ thị hỗn hợp(6 đỉnh 5 cạnh, 4 cung)
Số đỉnh của đồ thị G là số phần tử trong V.
Chúng ta có thể coi các đồ thị vô hướng và có hướng là các trường hợp riêng của
đồ thị hỗn hợp G=(V, E, A) khi mà A =Ø hoặc E=Ø.
3.1.2 Các thuật ngữ cơ bản
Định nghĩa 1.6. Hai đỉnh u và v của đồ thị vô hướng G được gọi là kề nhau nếu
(u,v) là cạnh của đồ thị G. Nếu e=(u,v) là cạnh của đồ thị thì chúng ta nói cạnh này là
liên thuộc với hai đỉnh u và v, hoặc cũng nói là cạnh e là nối đỉnh u và đỉnh v, đồng
thời các đỉnh u và v sẽ được gọi là các đỉnh đầu cuả cạnh (u,v).
Để có thể biết được bao nhiêu cạnh liên thuộc với một đỉnh, chúng ta đưa vào định
nghĩa sau
9
Định nghĩa 1.7. Chúng ta gọi bậc của đỉnh v trong đồ thị vô hướng là số cạnh liên

thuộc với nó và sẽ kí hiệu là deg(v).
Định lý 1.1. Giả sử G=(V,E) là đồ thị vô hướng với m cạnh. Khi đó
Hệ quả 1.1. Trong đồ thị vô hướng, số đỉnh bậc lẻ(nghĩa là có bậc là số lẻ) là một
số chẵn
Định nghĩa 1.8. Nếu e=(u,v) là cung của đồ thị có hướng G thì chúng ta nói hai
đỉnh u và v là kề nhau, và nói cung (u,v) nối đỉnh u và đỉnh v hoặc cũng nói cung này
là đi ra khỏi đỉnh u và đi vào đỉnh v. Đỉnh u (v) sẽ được gọi là đỉnh đầu (cuối) của
cung (u,v)
Định nghĩa 1.9. Chúng ta gọi bán bậc ra (bán bậc vào) của đỉnh v trong đồ thị có
hướng là số cung của đồ thị đi ra khỏi nó (đi vào nó) và ký hiệu làError! Objects
cannot be created from editing field codes.
Định lý 1.2. Giả sử G=(V,E) là đồ thị có hướng. Khi đó
Tương tự như trên , chúng ta xét các thuật ngữ cơ bản cho đồ thị hỗn hợp
Quy ước. Kí hiệu với S là một tập hợp thì #(S) hay |S| là số phần tử của tập S.
Cho đồ thị hỗn hợp G =(V,E,A). Nếu e=(u,v) thuộc E, thì chúng ta nói cạnh e kề
với đỉnh u, và v. Nếu e=(u,v) thuộc A, thì chúng ta nói cung e kề với đỉnh u, và v.
Định nghĩa 1.10. Cho đồ thị hỗn hợp G=(V, E, A). Kí hiệu deg(v) là bậc của đỉnh
v trong đồ thị. Giá trị của deg(v) được tính theo công thức sau:
deg(v)= #(các cạnh kề với đỉnh v)+ # (các cung kề với đỉnh v)
Định nghĩa 1.11. Chúng ta gọi bán bậc ra( bán bậc vào) của đỉnh v trong đồ thị
hỗn hợp G là số cung của đồ thị đi ra khỏi nó (đi vào nó) và kí hiệu là indegree(v)
(outdegree(v)).
3.1.3 Đường đi, chu trình và đồ thị liên thông
Định nghĩa 1.12. Đường đi độ dài n từ đỉnh u đến đỉnh v, trong đó n là số nguyên
dương, trên đồ thị vô hướng G=(V,E) là dãy
10
x
0
,x
1,

…,x
n-1,
x
n

trong đó u=x
0
, v=

x
n
,

(x
i,
x
i+1
)
∈
E, i = 0,1,2,…,n-1.
Đường đi nói trên còn có thể biểu diễn dưới dạng dãy các cạnh:
(x
0
, x
1
), (x
1
, x
2
), …, (x

n-1
, x
n
).
Đỉnh u gọi là đỉnh đầu, còn đỉnh v gọi là đỉnh cuối của đường đi. Đường đi có
đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối (tức là u=v) được gọi là chu trình. Đường đi hay chu
trình được gọi là đơn nếu như không có cạnh nào bị lặp lại
Định nghĩa 1.13. Đường đi độ dài n từ đỉnh u đến đỉnh v, trong đó n là số nguyên
dương, trên đồ thị có hướng G=(V, A) là dãy
x0,x1, …,xn-1,xn
trong đó u=x0 , v= xn , (xi,xi+1)
∈
A, i = 0,1,2,…,n-1.
Đường đi nói trên còn có thể biểu diễn dưới dạng dãy các cung:
(x0, x1), (x1, x2), …, (xn-1, xn).
Đỉnh u gọi là đỉnh đầu, còn đỉnh v gọi là đỉnh cuối của đường đi. Đường đi có
đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối (tức là u=v) được gọi là chu trình. Đường đi hay chu trình
được gọi là đơn nếu như không có cung nào bị lặp lại
Định nghĩa 1.14. Đường đi độ dài n từ đỉnh u đến đỉnh v, trong đó n là số nguyên
dương, trên đồ thị hỗn hợp G=(V, E, A) là dãy
x0,x1, …,xn-1,xn
trong đó u=x0 , v= xn , (xi,xi+1)
∈
E, hoặc (xi,xi+1)
∈
A, i = 0,1,2,…,n-1.
Đường đi nói trên còn có thể biểu diễn dưới dạng dãy các cạnh, cung:
(x0, x1), (x1, x2), …, (xn-1, xn).
Đỉnh u gọi là đỉnh đầu, còn đỉnh v gọi là đỉnh cuối của đường đi. Đường đi có
đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối (tức là u=v) được gọi là chu trình. Đường đi hay chu trình

được gọi là đơn nếu như không có cạnh hay cung nào bị lặp lại.
Định nghĩa 1.15. Đồ thị vô hướng G=(V, E) được gọi là liên thông nếu luôn tìm
được đường đi giữa hai đỉnh bất kì của nó.
Định nghĩa 1.16. Chúng ta gọi đồ thị con của đồ thị G=(V, E) là đồ thị H=(W, F),
trong đó W V và F E.
11
Trong trường hợp đồ thị là không liên thông, nó sẽ rẽ ra thành một số đồ thị con
liên thông đôi một không có đỉnh chung. Những đồ thị con liên thông như vậy chúng
ta sẽ gọi là các thành phần liên thông của đồ thị .
Định nghĩa 1.17. Đồ thị có hướng G=(V, A) được gọi là liên thông mạnh nếu luôn
tìm được đường đi giữa hai đỉnh bất kỳ của nó.
Định nghĩa 1.18. Đồ thị có hướng G=(V, A) được gọi là liên thông yếu nếu đồ thị
vô hướng tương ứng với nó là đồ thị vô hướng liên thông.
Rõ ràng nếu đồ thị là liên thông mạnh thì cũng là liên thông yếu nhưng điều ngược
lại là không luôn đúng.
3.1.4 Chu trình Euler
Định nghĩa 1.19. Chu trình đơn trong G đi qua mỗi cạnh của nó một lần được gọi
là chu trình Euler. Đường đi đơn trong G đi qua mỗi cạnh của nó một lần được gọi là
đường đi Euler. Đồ thị được gọi là đồ thị Euler nếu nó có chu trình Euler, và gọi là đồ
thị nửa Euler nếu nó có đường đi Euler.
Rõ ràng mọi đồ thị Euler luôn là nửa Euler, nhưng điểu ngược lại không luôn
đúng.
Định lý 1.4. Đồ thị vô hướng liên thông G là đồ thị Euler khi và chỉ khi mọi
đỉnh của G đều có bậc chẵn.
Hệ quả 1.2. Đồ thị liên thông G là nửa Euler khi và chỉ khi nó có không quá 2
đỉnh bậc lẻ.
Định lý 1.5. Đồ thị có hướng liên thông mạnh là đồ thị Euler khi và chỉ khi
Trên đây chúng ta đã mô tả điều kiện cần và đủ để đồ thị vô hướng và có
hướng là đồ thị Euler. Điều kiện cần và đủ để đồ thị hỗn hợp là đồ thị Euler là khá
phức tạp và sẽ được trình bày trong phần bài toán người đưa thư Trung Hoa trên đồ thị

hỗn hợp.
3.1.5 Chu trình Hamilton
Trong toán học, ngành lý thuyết đồ thị, một đường đi Hamilton là một đường đi
trong đồ thị vô hướng đi qua tất cả các đỉnh của đồ thị, mỗi đỉnh đúng một lần. Một
Chu trình Hamilton là một đường đi Hamilton sau đi qua tất cả các đỉnh của đồ thị
thì trở về đỉnh xuất phát.
12
Một đồ thị có chu trình Hamilton được gọi là đồ thị Hamilton, đồ thị có đường đi
Hamilton được gọi là đồ thị nửa Hamilton.
Bài toán tìm đường đi và chu trình như vậy được gọi là bài toán Hamilton. Bài
toán Hamilton là NP đầy đủ.
Tên gọi đường đi và chu trình Hamilton là gọi theo tên của William Rowan
Hamilton .
3.1.5.1 Định lý Bondy-Chvátal
Cho đồ thị G có n đỉnh, bao đóng cl(G) được tạo ra từ G bằng cách bổ sung cho
mỗi cặp đỉnh không kề nhau u và v với degree(v) + degree(u) ≥ n một cạnh mới uv.
3.1.5.2 Định lý Bondy-Chvátal (1972)
Một đồ thị là Hamilton nếu và chỉ nếu bao đóng của nó là Hamilton.
Vì đồ thi đầy đủ là Hamilton, nên tất cả các đồ thị mà bao đóng là đầy đủ là
Hamilton.
3.1.5.3 Định lý Dirac (1952)
Một đơn đò thị n đỉnh (n > 2) là Hamilton nếu mọi đỉnh của nó có bậc không nhỏ
hơn n/2.
3.1.5.4 Định lý Ore (1960)
Một đồ thị có n đỉnh (n > 2) là Hamilton nếu tổng các bậc của hai đỉnh không kề
nhau đều bằng n hoặc lớn hơn.
3.1.6 Đồ thị có trọng số
Đồ thị được sử dụng để giải các bài toán trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Chẳng
hạn, đồ thị được sử dụng để xác định các mạch vòng trong vấn đề giải tích mạch điện.
Chúng ta có thể xác định xem hai máy tính trong mạng có thể trao đổi thông tin với

nhau được hay không. Khi đó, đồ thị được sử dụng để biễu diễn mạng truyền thông
với các đỉnh là các nút mạng, các cạnh, các cung là các đường truyền dữ liệu giữa các
nút mạng. Đồ thị có thể dùng để biễu diễn các đường đi trong một vùng: các đỉnh
tương ứng với các ngã 3, ngã 4, còn các cạnh, các cung tương ứng là các đường đi 2
chiều và đường đi 1 chiều. Để cấu trúc đồ thị có thể biễu diễn được các bài toán thực
tế người ta đưa vào khái niệm đồ thị có trọng số, trên mỗi cạnh hay mỗi cung được gán
một trọng số thể hiện chi phí cho việc thực hiện một mục đích nào đó trên cạnh hay
trên cung.
13
Định nghĩa 1.20. Chúng ta kí hiệu đồ thị có trọng số là bộ 4 G=(V, E, A, w),
trong đó, w là hàm trọng số
w:, R: tập số thực,
ngoài ra còn có thể kí hiệu w bằng c hoặc weight, cost.
Cho S là một tập con của E
∪
A, khi đó chúng ta kí hiệu w(S)=∑w(s)| s
∈
S là giá
trị trọng số của tập S.
3.1.7 Các cấu trúc dữ liệu biểu diễn đồ thị
Có nhiều cách khác nhau để lưu trữ các đồ thị trong máy tính. Sử dụng cấu trúc
dữ liệu nào thì tùy theo cấu trúc của đồ thị và thuật toán dùng để thao tác trên đồ thị
đó. Trên lý thuyết, người ta có thể phân biệt giữa các cấu trúc danh sách và các cấu
trúc ma trận. Tuy nhiên, trong các ứng dụng cụ thể, cấu trúc tốt nhất thường là kết hợp
của cả hai. Người ta hay dùng các cấu trúc danh sách cho các đồ thị thưa (sparse
graph), do chúng đòi hỏi ít bộ nhớ. Trong khi đó, các cấu trúc ma trận cho phép truy
nhập dữ liệu nhanh hơn, nhưng lại cần lượng bộ nhớ lớn nếu đồ thị có kích thước lớn.
3.1.7.1 Các cấu trúc danh sách
Danh sách liên thuộc (Incidence list) - Mỗi đỉnh có một danh sách các cạnh nối
với đỉnh đó. Các cạnh của đồ thị được có thể được lưu trong một danh sách riêng (có

thể cài đặt bằng mảng (array) hoặc danh sách liên kết động (linked list)), trong đó mỗi
phần tử ghi thông tin về một cạnh, bao gồm: cặp đỉnh mà cạnh đó nối (cặp này sẽ có
thứ tự nếu đồ thị có hướng), trọng số và các dữ liệu khác. Danh sách liên thuộc của
mỗi đỉnh sẽ chiếu tới vị trí của các cạnh tương ứng tại danh sách cạnh này.
Danh sách kề (Adjacency list) - Mỗi đỉnh của đồ thị có một danh sách các đỉnh kề
nó (nghĩa là có một cạnh nối từ đỉnh này đến mỗi đỉnh đó). Trong đồ thị vô hướng, cấu
trúc này có thể gây trùng lặp. Chẳng hạn nếu đỉnh 3 nằm trong danh sách của đỉnh 2
thì đỉnh 2 cũng phải có trong danh sách của đỉnh 3. Lập trình viên có thể chọn cách sử
dụng phần không gian thừa, hoặc có thể liệt kê các quan hệ kề cạnh chỉ một lần. Biểu
diễn dữ liệu này thuận lợi cho việc từ một đỉnh duy nhất tìm mọi đỉnh được nối với nó,
do các đỉnh này đã được liệt kê tường minh.
14
3.1.7.2 Các cấu trúc ma trận
Ma trận liên thuộc (Incidence matrix) - Đồ thị được biểu diễn bằng một ma trận
[b
ij
] kích thước p × q, trong đó p là số đỉnh và q là số cạnh, b
ij
= 1 chứa dữ liệu về quan
hệ giữa đỉnh v
i
và cạnh x
j
. Đơn giản nhất: b
ij
= 1 nếu đỉnh v
i
là một trong 2 đầu của
cạnh x
j

, bằng 0 trong các trường hợp khác.
Ma trận kề (Adjaceny matrix) - một ma trận N × N, trong đó N là số đỉnh của đồ
thị. Nếu có một cạnh nào đó nối đỉnh v
i
với đỉnh v
j
thì phần tử M
i,j
bằng 1, nếu không,
nó có giá trị 0. Cấu trúc này tạo thuận lợi cho việc tìm các đồ thị con và để đảo các đồ
thị.
Ma trận dẫn nạp (Admittance matrix) hoặc ma trận Kirchhoff (Kirchhoff
matrix) hay ma trận Laplace (Laplacian matrix) - được định nghĩa là kết quả thu được
khi lấy ma trận bậc (degree matrix) trừ đi ma trận kề. Do đó, ma trận này chứa thông
tin cả về quan hệ kề (có cạnh nối hay không) giữa các đỉnh lẫn
3.2 Khái niệm về lớp các bài toán P và NP
3.2.1 Khái niệm các loại thời gian tính
Thời gian tính tốt nhất: là thời gian tính tối thiểu cần thiết để thực hiện thuật toán
với mọi bộ dữ liệu đầu vào kích thước n.
Thời gian tính tồi nhất: là thời gian tính tối đa cần thiết để thực hiện thuật toán với
mọi bộ dữ liệu đầu vào có kích thước n
Thời gian tính trung bình: là thời gian tính cần thiết để thực hiện thuật toán trên
một tập hữu hạn các bộ dữ liệu đầu vào có kích thước n. Thời gian tính trung bình
được tính theo công thức sau:
Thời gian tính trung bình=(Tổng thời gian tính tất cả các bộ dữ liệu có thể)/ Số bộ
dữ liệu.
Định nghĩa .Bài toán quyết định là bài toán mà đầu ra chỉ có thể là ‘yes’ hoặc
‘no’(đúng/sai, 0/1).
Đối với một bài toán quyết định, có những bộ dữ liệu vào cho ra câu trả lời(đầu ra)
là ‘yes’, chúng ta gọi đây là bộ dữ liệu ‘yes’, nhưng cũng có những bộ dữ liệu vào cho

ra câu trả lời là ‘no’, chúng ta gọi những bộ dữ liệu này là bộ dữ liệu ‘no’.
15
3.2.2 Bằng chứng ngắn gọn dễ kiểm tra
Rất nhiều các bài toán quyết định có một đặc điểm chung, đó là để xác nhận câu
trả lời ‘yes’ đối với bộ dữ liệu vào ‘yes’ của chúng, chúng ta có thể đưa ra bằng chứng
ngắn gọn dễ kiểm tra xác nhận câu trả lời ‘yes’ cho bộ dữ liệu vào ‘yes’ đó. Tính ngắn
gọn dễ kiểm tra ám chỉ việc thời gian kiểm tra để đưa ra kết quả chỉ mất thời gian đa
thức. Ví dụ về những bài toán quyết định kiểu này rất nhiều, sau đây là một số ví dụ:
Bài toán kiểm tra tính hợp số: “Có phải số n là hợp số?”, để xác nhận câu trả lời
‘yes’ cho đầu vào n, chúng ta có thể đưa ra một ước số b (1<b<n) của n. Để kiểm tra
xem b có phải là ước số của n chúng ta có thể thực hiện phép chia n cho b sau thời
gian đa thức. Trong ví dụ này , b là bằng chứng ngắn gọn (vì b<n) và dễ kiểm tra (có
thuật toán đa thức để kiểm tra b đúng là ước số của n không).
Đối với bài toán Hamilton, để xác nhận câu trả lời là ‘yes’ cho đồ thị đã cho G,
chúng ta có thể đưa ra một chu trình Hamilton của đồ thị:
v
1
, v
2
, v
3
v
n
, v
1
Việc kiểm tra dãy đỉnh nói trên có là chu trình Hamilton của đồ thị đã cho hay
không có thể thực hiện sau thời gian đa thức. Khi đó chúng ta nói dãy đỉnh nói trên là
bằng chứng ngắn gọn dễ kiểm tra để xác nhận câu trả lời ‘yes’ của bài toán Hamilton.
Đối với bài toán về tính chấp nhận được của biểu thức Bun, để xác nhận câu trả lời
‘yes’ đối với một biểu thức đã cho, chúng ta chỉ cần đưa ra một bộ giá trị các biến số

mà tại đó biểu thức nhận giá trị true. Việc tính giá trị của biểu thức tại một bộ giá trị
có thể thực hiện sau thời gian đa thức.
Một cách tương tự, có thể đưa ra khái niệm bằng chứng ngắn gọn dễ kiểm tra để
xác nhận câu trả lời ‘no’. Đối với một số bài toán, việc đưa ra bằng chứng ngắn gọn
dễ kiểm tra để xác nhận câu trả lời ‘no’ là dễ hơn so với việc đưa ra bằng chứng ngắn
gọn xác định câu trả lời là ‘yes’.
3.2.3 Khái niệm quy dẫn
Định nghĩa . Giả sử chúng ta có hai bài toán quyết định A và B. Chúng ta nói A
có thể quy dẫn về B nếu như sau một thời gian tính đa thức nếu tồn tại một thuật toán
thời gian đa thức R cho phép biến đổi bộ dữ liệu x của A thành bộ dữ liệu vào R(x)
của B sao cho x là bộ dữ liệu yes của A khi và chỉ khi R(x) là dữ liệu vào yes của B.
16
Nếu A quy dẫn về được B sau thời gian đa thức và B có thể giải được sau thời
gian đa thức thì A cũng có thể giải được sau thời gian đa thức.
3.2.4 Lớp bài toán P.
Định nghĩa. Ta Chúng ta gọi P là lớp các bài toán có thể giải được trong thời gian
đa thức, NP là lớp các bài toán quyết định mà để xác định câu trả lời “yes” của nó
chúng ta có thể đưa ra các bằng chứng ngắn gọn dễ kiểm tra, co-NP là lớp các bài toán
quyết định mà để xác định câu trả lời “no” của nó chúng ta có thể đưa ra bằng chứng
ngắn gọn dễ kiểm tra.
Ví dụ: Bài toán cây khung nhỏ nhất giải được nhờ thuật toán Prim với thời gian
0(n
2
) thuộc lớp bài toán P.
3.2.5 Lớp bài toán NP.
Định nghĩa. Ta gọi NP là lớp các bài toán quyết định mà để xác nhận câu trả lời
‘yes’ của nó ta có thể đưa ra bằng chứng ngắn gọn dễ kiểm tra.
Ví dụ: Bài toán kiểm tra tính hợp số: “Có phải n là hợp số không?”, để xác nhận
câu trả lời ‘yes’ cho đầu vào n ta có thể đưa ra một ước số b (1< b < n) của n. Để kiểm
tra xem b có phải là ước số của n hay không ta có thể thực hiện phép chia n cho b sau

thời gian đa thức. Trong ví dụ này dễ thấy b là bằng chứng ngắn gọn (b<n) và dễ kiểm
tra (có thuật toán thời gian tính đa thức để kiểm tra xem b có là ước số của n).
3.2.6 Lớp bài toán Co-NP.
Định nghĩa. Ta gọi Co-NP là lớp các bài toán quyết định mà để xác nhận câu trả
lời ‘no’ của nó ta có thể đưa ra bằng chứng ngắn gọn dễ kiểm tra.
Ví dụ: Bài toán kiểm tra tính nguyên tố: “Có phải n là số nguyên tố không?”, để
đưa ra bằng chứng ngắn gọn dễ kiểm tra xác nhận câu trả lời ‘no’ cho đầu vào n ta có
thể đưa ra một ước số b của n.
3.2.7 Lớp bài toán NP-đầy đủ (NP-Complete).
Định nghĩa. Một bài toán quyết định A được gọi là NP-đầy đủ (NP-Complete)
nếu như:
A là một bài toán trong NP.
Mọi bài toán trong NP đều có thể quy dẫn về A.
17
Bổ đề. Giả sử bài toán A là NP-đầy đủ, bài toán B thuộc NP, và bài toán A qui
dẫn được về bài toán B. Khi đó bài toán B cũng là NP-đầy đủ
3.2.8 Lớp bài toán NP- khó (NP-Hard).
Một cách ngắn gọn có thể hiểu bài toán NP-khó là bài toán mà không có thuật
toán thời gian tính đa thức để giải nó trừ khi P = NP, mà chỉ có các thuật toán giải
trong thời gian hàm mũ. Sau đây là định nghĩa chính thức của bài toán NP-khó.
Định nghĩa. Một bài toán A được gọi là NP- khó (NP-hard) nếu như sự tồn tại
thuật toán đa thức để giải nó kéo theo sự tồn tại thuật toán đa thức để giải mọi bài
toán trong NP.
Một số bài toán NP-khó tiêu biểu như:
Bài toán bè cực đại (MaxClique): Cho một đồ thị vô hướng G = (V, E). V là tập
các đỉnh, E là tập các cạnh tương ứng các đỉnh trong V. Cần tìm bè lớn nhất của G. Bè
là tập các đỉnh trong đồ thị mà đôi một có cạnh nốivới nhau (là một đồ thị con đầy đủ
trong đồ thị G).
Bài toán tập độc lập (Independent set): Cho đồ thị vô hướng G = (V, E) và số
nguyên K, hỏi có thể tìm được tập độc lập S với |S| ≥ K. Tập độc lập là tập các đỉnh

trong đồ thị mà chúng đôi một không có cạnh nối với nhau.
Bài toán phủ đỉnh (Vertex cover): Ta gọi một phủ đỉnh của đồ thị vô hướng G =
(V, E) là một tập con các đỉnh của đồ thị S ⊆V sao cho mỗi cạnh của đồ thị có ít nhất
một đầu mút trong S. Bài toán đặt ra là: Cho đồ thị vô hướng G = (V, E) và số nguyên
k. Hỏi G có phủ đỉnh với kích thước k hay không?
Một cách không hình thức, có thể nói rằng nếu ta có thể giải được một cách hiệu
quả một bài toán NP-khó cụ thể, thì ta cũng có thể giải hiệu quả bất kỳ bài toán trong
NP bằng cách sử dụng thuật toán giải bài toán NP-khó như một chương trình con.
Từ định nghĩa bài toán NP-khó có thể suy ra rằng mỗi bài toán NP-đầy đủ đều là
NP-khó. Tuy nhiên một bài toán NP-khó không nhất thiết phải là NP-đầy đủ.
Cũng từ bổ đề nêu trên, ta có thể suy ra rằng để chứng minh một bài toán A nào đó
là NP-khó, ta chỉ cần chỉ ra phép qui dẫn một bài toán đã biết là NP-khó về nó.
Từ phần trình bày trên, ta thấy có rất nhiều bài toán ứng dụng quan trọng thuộc
vào lớp NP-khó, và vì thế khó hy vọng xây dựng được thuật toán đúng hiệu quả để
18
giải chúng. Do đó, một trong những hướng phát triển thuật toán giải các bài toán như
vậy là xây dựng các thuật toán gần đúng.
Sau đây là bức tranh phân lớp các bài toán đã nêu trên.
3.3 Mô hình phân lớp các bài toán
Bài toán tối ưu
S là một tập hợp gồm các phần tử thoả mãn một tính chất nào đó với một hàm
mục tiêu trên S: f: S

R. Chúng ta nói bài toán tối ưu trên S dựa theo hàm f đó là tìm
một phần tử trong S thoả mãn một tiêu chi nào đó, thông thường là tìm cực trị (cực
đại hoặc cực tiểu) của hàm f. S được gọi là tập xác định hoặc không gian tìm kiếm của
bài toán tối ưu.
Thông thường chúng ta có các bài toán mà phải tìm giá trị tối ưu của một hàm nào
đó trên không gian tìm kiếm là các bộ dữ liệu vào có thể có. Tuy nhiên có nhiều bài
toán mà việc tìm ra giá trị tối ưu, phần tử tối ưu tương ứng với giá trị tối ưu đó là một

việc cực kì khó khăn và hiện tại chưa tồn tại thời gian tính đa thức để giải bài toán đó.
Tất nhiên có thể giải được bài toán nếu như chúng ta thực hiện chiến lược vét cạn đó là
xác định được tất cả các giá trị hàm f trên các phần tử của tập S. Tuy nhiên chiến lược
này không tốt về mặt thời gian nếu như không gian S có số phần tử là hàm mũ hoặc
giai thừa. Ví dụ nếu tập S là tập các hoán vị của 1,…n thì số phần tử của tập S đó là n!.
Con số này thực sự là lớn khủng khiếp và việc thực thi nó là bất khả thi. Khi mà việc
19
tìm các lời giải tối ưu là bất khả thi thì người ta quan tâm đến các lời giải gần tối ưu
mà chúng ta gọi đó là thuật toán xấp xỉ.
Giả sử chúng ta đang làm việc trên một bài toán tối ưu, ở đó mỗi giải pháp tiềm
năng mang một chi phí dương, và chúng ta muốn giải pháp gần tối ưu.
Giả sử rằng một bài toán cần tìm ra lời giải với chi phí là f* là giá trị tối ưu có
kích thước đầu vào n, chúng ta nói rằng một lời giải của bài toán là f là một lời giải
xấp xỉ có cận tỉ số là p(n)>1 nếu như chúng ta có:
max (f/f*, f*/f) <= p(n)
Thông thường các thuật toán xấp xỉ được áp dụng để tìm ra các lời giải có cận xấp
xỉ p(n) thường có giá trị p(n) = p là hằng số. Tuy nhiên vẫn có nhiều bài toán khó đến
mức p(n) phụ thuộc vào n. Giả sử chúng ta đang đối mặt với các yêu cầu tối ưu là cực
tiểu hoá hoặc cực đại hoá hàm chi phí f. Công việc của các nhà toán học là tìm ra
những thuật toán thời gian tính đa thức nhằm giảm giá trị của p hay p(n) đến gần giá
trị 1 càng tốt- nghĩa là giá trị chúng ta thu được rất gần giá trị tối ưu. Tất nhiên khi giá
trị f* quá lớn thì f cũng cách khá xa so với f* nhưng xét về mặt tỉ lệ thì vẫn nằm trong
cận chúng ta đang xét.
Chúng ta nói một thuật toán đối với bài toán có tỉ số là P nếu như với mọi đầu vào
sau một thời gian tính đa thức chúng ta thu được một lời giải f mà so với lời giải tối ưu
f* chúng ta có max (f/f*, f*/f) <= p.
Đối với bài toán cực tiểu hóa ta chỉ cần f/f* <= p.
Đối với bài toán cực đại hoá thì chỉ cần f*/f <= p.
Bài toán tối ưu hóa tổ hợp (Combinatorial optimization)
Bài toán tối ưu hóa tổ hợp liên quan tới việc tìm giá trị cho các biến số rời rạc như

lời giải tối ưu mà có lưu ý tới hàm đánh giá (objective function) cho trước. Bài toán có
thể là bài toán tìm cực đại hoặc tìm cực tiểu. Một cách thông thường, bài toán tối ưu
hoá tổ hợp được cho dưới dạng bộ 3 (S, f, Ω). Trong đó S là tập các lời giải ứng cử
viên, f là hàm đánh giá (hàm này gán giá trị f(s) cho mỗi lời giải ứng cử viên s
∈
S), và
Ω là tập các ràng buộc của bài toán. Các lời giải thuộc tập S
*

⊆
S thỏa mãn tập các
ràng buộc Ω gọi là lời giải khả thi. Mục tiêu bài toán là tìm ra một lời giải khả thi tối
ưu toàn cục s
*
. Với các bài toán tối ưu hóa cực tiểu là tìm lời giải s
*
với giá nhỏ nhất,
nghĩa là f(s
*
) ≤ f(s) với mọi lời giải s
⊆
S. Ngược lại bài toán tối ưu hóa cực đại là tìm
20
lời giải s
*
với giá lớn nhất, nghĩa là f(s
*
) ≥ f(s) với mọi lời giải s
⊆
S. Bài toán tối ưu

hóa tổ hợp có thể chia 2 loại: Bài toán tĩnh và bài toán động.
Bài toán tối ưu hóa tổ hợp tĩnh (Static Combinatorial optimization):
Là bài toán tối ưu hóa tổ hợp trong đó cấu trúc (topology) và giá (cost) không
thay đổi khi bài toán đang được giải quyết. Ví dụ là bài toán người du lịch. Khi thực
hiện thuật toán để giải bài toán vị trí các thành phố, khoảng cách giữa các thành phố là
không thay đổi.
Bài toán tối ưu hóa tổ hợp động (Dynamic Combinatorial optimization):
Là bài toán tối ưu hóa tổ hợp trong đó cấu trúc (topology) và giá (cost) có thể thay
đổi khi bài toán đang được giải quyết. Ví dụ là bài toán định hướng trong mạng viễn
thông, trong đó mô hình mạng và dung lượng yêu cầu luôn thay đổi.
21
CHƯƠNG 4 THUẬT TOÁN BẦY KIẾN
4.1 Ý tưởng
Năm 1989, nhà bác học người Đan Mạnh Deneubourg và các cộng sự công bố kết
quả nghiên cứu về thí nghiệm trên đàn kiến Argentina (một loài kiến hiếm trên thế
giới), gọi là thí nghiệm “Chiếc cầu đôi” (Double Bridge Experiment).
Cụ thể, họ đã đặt một chiếc cầu đôi gồm hai nhánh (nhánh dài hơn có độ dài bằng
hai lần nhánh ngắn hơn, như hình vẽ) nối tổ của đàn kiến với nguồn thức ăn, sau đó
thả một đàn kiến và bắt đầu quan sát hoạt động của chúng trong một khoảng thời gian
đủ lớn. Kết quả là ban đầu các con kiến đi theo cả hai nhánh của chiếc cầu với số
lượng gần như ngang nhau, nhưng càng về cuối thời gian quan sát người ta nhận thấy
các con kiến có xu hướng chọn nhánh ngắn hơn để đi (80-100% số lượng). Kết quả
được các nhà sinh học lý giải như sau : Do đặc tính tự nhiên và đặc tính hóa học, mỗi
con kiến khi di chuyển luôn để lại một lượng hóa chất gọi là các vết mùi (pheromone
trail) trên đường đi và thường thì chúng sẽ đi theo con đường có lượng mùi đậm đặc
hơn. Các vết mùi này là những loại hóa chất bay hơi theo thời gian, do vậy ban đầu thì
lượng mùi ở hai nhánh là xấp sỉ như nhau, nhưng sau một khoảng thời gian nhất định
nhánh ngắn hơn sẽ có lượng mùi đậm đặc hơn so với nhánh dài hơn do cũng lượng
mùi gần xấp sỉ như nhau khi phân bố ở nhánh dài hơn mật độ phân bố mùi ở nhánh
này sẽ không dày bằng nhánh có độ dài ngắn hơn, thêm nữa cũng do lượng mùi trên

nhánh dài hơn cũng sẽ bị bay hơi nhanh hơn trong cùng một khoảng thời gian.
Năm 1991, với cơ sở là kết quả của thí nghiệm nổi tiếng trên, nhà khoa học người
Bỉ Marco Dorigo đã xây dựng thuật toán đàn kiến (Ant Algorithm, hay còn gọi là Hệ
kiến, Ant System) đầu tiên ứng dụng vào giải bài toán người du lịch, và công bố trong
luận án tiến sĩ của ông. Trong bài báo này, các tác giả muốn giới thiệu về thuật toán cơ
bản Ant-Cycle (thuật toán nổi tiếng và hiệu quả nhất trong lớp các thuật toán Hệ kiến)
được công bố năm 1996 trên tạp chí lý thuyết của IEEE (Institute of Electrical and
Electronics Engineers, là hiệp hội nghiên cứu công nghệ và khoa học hàng đầu thế
giới). Hiện nay, Dorigo và các cộng sự đã xây dựng được nhiều hệ kiến phức tạp hơn
ứng dụng trong nhiều bài toán khó hơn và có nhiều ý nghĩa khoa học và thực tiễn hơn,
nhưng với khuôn khổ và phạm vi của bài báo là giành cho học sinh phổ thông, chúng
22
tôi xin được phép không trình bày ở đây, bạn đọc quan tâm có thể tìm đọc trong các tài
liệu tham khảo có ở phần cuối của bài báo.
4.2 Thuật toán
Để bắt chước hành vi của các con kiến thực, Dorigo xây dựng các con kiến nhân
tạo (artificial ants) cũng có đặc trưng sản sinh ra vết mùi để lại trên đường đi và khả
năng lần vết theo nồng độ mùi để lựa chọn con đường có nồng độ mùi cao hơn để đi.
Với bài toán Người du lịch trên đồ thị trong không gian hai chiều với trọng số là
khoảng cách Euclide giữa hai đỉnh bất kỳ, Dorigo gắn với mỗi cạnh (i, j) ngoài trọng
số d(i, j) trên là nồng độ vết mùi trên cạnh đó, đặt là . Ban đầu, các nồng độ mùi trên
mỗi cạnh được khởi tạo bằng một hằng số c nào đó.
Phương pháp tìm đường đi mô phỏng hành vi con kiến:
Các con kiến sẽ tiến hành tìm đường đi từ đỉnh xuất phát qua một loạt các đỉnh và
quay trở về đỉnh ban đầu, tại đỉnh u một con kiến sẽ chọn đỉnh v chưa được đi qua
trong tập láng giềng của u theo xác suất sau :
trong đó UV(u) là tập các đỉnh láng giềng của u chưa được con kiến hiện tại đi
qua.
gọi là thông tin heurtistic giúp đánh giá chính xác hơn sự lựa chọn của
con kiến khi quyết định đi từ đỉnh u qua đỉnh v.

23
Ta có thể hiểu công thức trên đơn giản như sau: quyết định lựa chọn đỉnh tiếp theo để
đi của con kiến được lựa chọn ngẫu nhiên theo xác suất (tức là đỉnh nào có xác suất
cao hơn sẽ có khả năng được chọn cao hơn, nhưng không có nghĩa là các đỉnh có xác
suất thấp hơn không được chọn mà nó được chọn với cơ hội thấp hơn mà thôi). Ý
tưởng này được thể hiện qua kỹ thuật Bánh xe xổ số (Lottery Wheel) sẽ được trình bày
sau. Và xác suất này (hay khả năng chọn đỉnh tiếp theo của con kiến) tỷ lệ thuận với
nồng độ vết mùi trên cạnh được chọn (theo đặc tính của con kiến tự nhiên) và tỷ lệ
nghịch với độ dài cạnh, là những hệ số điểu khiển việc lựa chọn của con kiến nghiêng
về phía nào.
Kỹ thuật bánh xe xổ số:
Đây là kỹ thuật phổ biến hay sử dụng trong các phương pháp tìm kiếm dựa vào
xác suất, đặc biệt trong phép toán Chọn lọc (Selection) của thuật toán di truyền
(Genetic Algorithm). Cụ thể kỹ thuật như sau :
Giả sử V={v
1
,v
2
, …, v
n
} là tập các láng giềng
của u, p
1
, p
2
, …, pn là xác suất lựa chọn đỉnh
tiếp theo từ u của tương ứng v
1
,v
2

, …, v
n

tức là chắc chắn chọn 1
trong các đỉnh trên để đi tiếp. Để đảm bảo ưu
thế của những đỉnh có xác suất lớn, nhưng vẫn đảm bảo cơ hội của các đỉnh có xác
24
suất thấp hơn người ta sinh ra một số ngẫu nhiên k (0, sum] rồi chọn i nhỏ nhất sao
cho Cách làm này mô phỏng hoạt động của một vòng quay xổ số (vòng
được chia làm nhiều phần không bằng nhau), rõ ràng khi quay ta không biết kim của
bánh quay sẽ chỉ vào phần nào nhưng ta cũng có thể nhận thấy ngay là phần lớn hơn sẽ
nhiều khả năng kim rơi vào đó hơn. Chính vì vậy kỹ thuật này được gọi là Bánh xe xổ
số.
Như vậy, các con kiến từ một đỉnh xuất phát, lần lượt tới thăm các đỉnh tiếp theo
theo quy tắc trên (thăm xong đánh dấu chúng lại) cho đến thăm tới đỉnh cuối cùng và
quay về đỉnh ban đầu, kết thúc một hành trình. Quá trình này được lặp đi lặp lại, hành
trình tốt hơn (có chiều dài ngắn hơn) sẽ được cập nhật cho đến một khoảng thời gian
đủ tốt (thông thường tính toán theo số vòng lặp, với các trường hợp nhỏ (số đỉnh
<=200) số vòng lặp bằng 500 là đủ tìm ra kết quả tối ưu, còn với các trường hợp lớn
hơn ta phải thử với số lần lặp lớn hơn nhiều, tùy thuộc vào từng bộ dữ liệu cụ thể.
Sau khi và trong quá trình các con kiến tìm đường đi các vết mùi ( ) được cập nhật
lại, vì chúng bị biến đổi do quá trình bay hơi và do quá trình tích lũy của các con kiến
trên cạnh đó. Có rất nhiều cách cập nhật mùi, mỗi cách có ảnh hưởn nhất định đến chất
lượng của thuật toán. Trong phạm vi kiến thức phổ thông, chúng tôi giới thiệu cách
cập nhật mùi đơn giản nhất như sau :
Sau mỗi vòng lặp (các con kiến đều tìm được hành trình riêng của mình), vết mùi
trên mỗi cạnh được cập nhật lại theo công thức sau :
Trong đó gọi là tham số bay hơi (sở dĩ gọi như vậy vì sau mỗi lần cập
nhật lượng mùi trên cạnh (i,j) sẽ mất đi một lượng là thường được chọn
là 0,8 trong cài đặt và chạy chương trình. Ngoài lượng bay hơi mất đi đó mỗi cạnh (i,

25
j) còn được tích tụ thêm một lượng mùi nhất định tùy thuộc vào từng con kiến đi
qua, cụ thể được tính như sau :
Trong đó Q là một hằng số, Lk là độ dài hành trình của con kiến thứ k.
Nhờ việc cập nhật mùi này, sau mỗi vòng lặp (hay sau mỗi lần các con kiến đi hết
hành trình), nồng độ vết mùi trên các cạnh sẽ thay đổi (hoặc giảm hoặc tăng dần) ảnh
hưởng đến quyết định chọn của các con kiến, có thể ở bước lặp này chọn một cạnh để
đi nhưng đến bước lặp khác vẫn con kiến đó lại không đi qua cạnh đó nữa. Nhờ vậy
thuật toán có khả năng tìm được lời giải tốt trong những trường hợp dữ liệu cực lớn.
4.3 Quá trình phát triển
Thuật toán Ant System (AS) là thuật toán đầu tiên trong lớp các thuật toán ACO
được đề xuất bở Dorigo trong luận án tiến sỹ của ông năm 1991. Thuật toán AS hướng
đến giải quyết bài toàn tìm đường đi tối ưu trong đồ thị. Mạc dù thật toán AS vẫn còn
thua kém các thuật toán tốt nhất trong việc giải bài toán trên, tuy nhiên ý tưởng của nó
thật sự là mới mẻ mà tỏ ra triển vọng. Về sau đã có rất nhiều nhà cải tiến thuật toán
này do chinh Dorigo đề xuất, cũng như rất nhiều các thuật toán ACO khác đều dựa
trên thật toán AS song đã khắc phụ được một số nhược điểm trong thuật toán này. Có
thể kể tên 2 cải tiến nổi trội nhất của thuật toán AS là thuật toán AXS và thuật toán
MMAS.
ACO Algorithms Tác giả
Ans System Dorigo Maniezzo, & Colorni (1991)
Elitist AS Dorigo (1992); Dorigo, Maniezz, Colorni
(1996
Ant-Q Gambardell & Dorigo (1995); Dorigo &
Gambardella (1996
Ant Colony System Dorigo & Gambardella (1996)
Max-Min AS Stutzle & Hoos (1996, 2000); Stutzle
(1999)
Rank-based AS Bullnheimer, Hartl, & Strauss
26