Ba phương pháp tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

BA PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT,GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
CỦA HÀM SỐ,BIỂU THỨC.
Do LAISAC Biên soạn.


A.BÀI TOÁN MỞ ĐẦU :
Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số: y= (x + 1)
2
+ (x – 3)
2
.
Giải . Hàm số viết lại: y = (x
2
+ 2x + 1) + (x
2
– 6x + 9) = 2x
2
– 4x + 10 .
Cách 1.(Dùng Bất đẳng thức )(BĐT).
Ta có y = 2x
2
– 4x + 10 = 2(x
2
– 2x + 1) + 8 = 2(x - 1)
2
+ 8 8
≥
.Rx
∈∀

Đẳng thức xảy ra khi x = 1 .Vậy GTNN = 8 khi và chỉ khi x = 1 .
Cách 2.(Dùng điều kiện phương trình có nghiệm)(PT).
Gọi y là giá trị hàm số nên phương trình y = 2x
2
– 4x + 10 có nghiệm ( ẩn là x)
Phương trình tương đương 2x
2
– 4x +10 – y = 0 có nghiệm khi và chỉ khi
8022040 ≥⇔≥+−⇔≥Δ yy
. Đẳng thức xảy ra khi phương trình có nghiệm kép x = 1.
Do đó GTNN y = 8 khi và chỉ khi x = 1 .
Cách 3 .(Dùng phương pháp đạo hàm)( ĐH).
Xét hàm số y = 2x
2
– 4x + 10 có đạo hàm y’ = 4x - 4 khi y ‘ = 0
1
=⇔
x
.
Ta có bảng biến thiên : x 1
y’ - 0 +
y -
∞
+
∞

8
Dựa vào bảng biến thiên ta có GTNN y = 8 khi và chỉ khi x = 1 .
B.NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP .

Nội dung bài viết này chỉ nêu lên ba phương pháp cơ bản nhất mà ta thường sử dung để tìm
giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số hay biểu thức nào đó. Tuỳ theo bài toán cụ
thể mà ta có thể sử dụng một trong ba phương pháp trên một cách tối ưu hơn.( Đôi lúc có
nhiều bài sử dụng vectơ, phương pháp tọa độ, lượng giác hóa…)
Lưu ý: Khi tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất ta luôn chỉ ra trường hợp đẳng thức xảy
ra.
Ta hay nhầm lẫn trong trường hợp đánh giá không đúng cho một bất đẳng thức.
Ví dụ trên, nếu không thận trọng ta nói : y= (x + 1)
2
+ (x – 3)
2
… thì hỏng rồi!
0≥


BÀI TẬP MINH HOẠ.
Ví dụ 1.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất :
xxS cossin +=
.
HD.cách 1.( BDT). Ta có
≤+= xx
22
cossin1
1mincossin =⇒=+ SSxx
.
2222)
4
sin(22)cos)(sin11(cossin =⇒≤+=++≤+= MaxSxxxxxS
π
.

Cách 2.( ĐH)
2
sin cos sinx cos 2 sinx.cosSxxS x=+⇒=++ x
.
Đặt t = sinx + cosx. Dùng phương pháp đạo hàm để giải
Ví dụ 2.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
4sincos2
3sin2cos
+−
++
=
xx
xx
S
trong khoảng
( );
π π
−
.
HD.cách 1.(PT). Để tồn tại giá trị S thì phương trình
4sincos2
3sin2cos
+−
+
+
=
xx
xx
S
phải có nghiệm

xSxSS cos)21(sin)2(34 −++=−⇔
có nghiệm
2
11
2
)34()21()2(
222
≤≤⇒−≥−++⇒ SSSS
.

Cách 2.( ĐH). Đặt
2
2
2
1
1
cos;
1
2
sin
2
t
t
x
t
t
x
x
tgt
+

−
=
+
=⇒=
.Biến đổi S thành hàm số hữu tỉ ẩn
t.Dùng phương pháp đạo hàm hoặc điều kiện phương trình bậc hai có nghiệm ,suy ra kết quả.
Ví dụ 3. Tìm gíá trị lớn nhất của biểu thức :
22
2.2 xxxxf −+−+=
.
HD.cách 1(ĐH).Dùng đạo hàm trực tiếp ,chú ý hàm số liên tục trong đoạn
[ ]
2;2−
.
Cách 2.Đặt
tkieänñieàuxxt ⇒−+=
2
2
.Dùng phương pháp đạo hàm, hoặc PT
Cách 3.( Vevtơ). Đặt
);2;1(),2;1;(
22
xxvxxu −=−=
22
2.2. xxxxvu −+−+=⇒
và
33.3..)2(1.)2(1.
2222
==+−+−++= xxxxvu

Ta có :
vuvu .. ≤

32.2
22
≤−+−+⇔
xxxx
.
Đẳng thức xảy ra khi
1
2
21
2
2
=⇒
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=−
−=
=
x
kxx
xk
kx
.

Ví dụ 4. Cho hai số thực x , y thay đổi và thỏa mãn điều kiện:
2
4.)1.( xyyx −=−
.
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của tỉ số
y
x
.
HD.Điều kiện .Để tồn tại giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
22 ≤≤− x
y
x
thì
0;0 ≠≠ yx

Biến đổi
(
)
22
44.)1.( xx
y
x
xyyx −+=⇔−=−
Đặt
h
y
x
=
.
)0( ≠h

.Biểu thức viết lại :
2
4 xxh
−+=
là một hàm số liên tục trong đoạn
[ ]
2;2−
.
Ví dụ 5.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
22
22
yxyx
yxyx
S
++
+−
=

( )
Ryx ∈,
.
HD. Lí luận
0
≠
x
chia tử và mẫu cho x
2
.Đặt

x

y
t
=
.Khảo sát hàm số S ẩn t,hoặc đkpt.
Ví dụ 6. Cho các số thực x,y thoả mãn điều kiện: x
2
+ y
2
= 1 .
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
322
124
2
2
+−
−+
=
yxy
xyx
S
.
HD.Cách 1.Thế điều kiện x
2
+ y
2
= 1 vào S giải như bài trên.
Cách 2.Đặt
αα
cossin =⇒= yx
. Đưa hàm số S=

)2cos,2(sin
αα
S
.Dùng đkpt.
Ví dụ 7.Cho hai số thực x,y thay đổi và thỏa mãn điều kiện : x
0
≠
2
+ y
2
= 2x
2
y + y
2
x .
Tính giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của biểu thức
yx
S
12
+=
.
HD.Đặ y = tx, thế vào điều kiện và biểu thức S ,khảo sát hàm số S ẩn t .
Ví dụ 8. Cho hai số thực dương x,y thoả điều kiện :x+y = 1.
Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
.
11 y
y
x
x
f

−
+
−
=

HD.Đặt ,
αα
22
cossin =⇒= yx
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∈
2
;0
π
α
.
Ví dụ 9.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số :
2
sin)(
2
x
xexf
x
+−=
.

HD.Dùng phương pháp đạo hàm.
Ví dụ 10.(1993 bảng A) .Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

)20092007()(
2
xxxf −+=
trong miền xác định của nó.
Lời giải :Miền xác định của hàm số
[ ]
2009;2009−=D
.Nhận thấy f(x) là hàm số lẻ nên ta
xét hàm số trong
[ ]
2009;0'=D
.Áp dụng bất đẳng thức BCS ta có
222
20092007.2010.)2009.1.2007.2007()20092007()( xxxxxxxf −+≤−+=−+=

2008.2008
2
20092007
.2008
22
=
−++
≤
xx
.
Vậy GTLN =
2008.2008

khi và chỉ khi
2008=x

GTNN=
2008.2008−
khi và chỉ khi
2008−=x
.
Ví dụ 10.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :Q = sin
2
A + sin
2
B – sin
2
C
trong đó A,B,C là ba góc của một tam giác .
HD.(BĐT). Đưa về tổng bình phương .
Hoặc đưa về một biến x =
sin
2
C
. Dùng phương pháp ĐH để giải.
Ví dụ 11.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
sin
1
2
sin
1
2

sin
1
222
CBA
S ++=
.
Ví dụ 12. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
3
cos

3
cos
3
cos
πππ
CBAS
.
HD.
Chú ý .Dùng phương pháp giải như báo Toán học ,Tuổi trẻ (tháng 3-20007).
Giải bài 12.Cách 1.Giả sử
{ }
CBAMaxA ;;=
0
32
cos
3
<
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
⇒≥⇒
ππ
BA
A
,ta có:

⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
≥
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝

⎛
++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
32
cos2
2
cos
32
cos2
3
cos
3
cos
ππππ
BABABA
BA
.(1)
Có dạng
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛

+
≥+
2
2)()(
BA
fBfAf
.
Tương tự
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
≥
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++

⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
32
3
cos2
33
cos
3
cos
π
π
πππ
C
C
(2).
Cộng (1) và (2) ta có :
3
2
cos4
33
cos
3
cos
3
cos

3
cos
ππππππ
≥
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝

⎛
+
CBA

2
3
3
2
cos3
3
cos
3
cos
3
cos −=≥
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
⎟

⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
ππππ
CBAS
.
Cách 2.Giả sử
{}
CBAMaxA ;;=
0
32
cos
3
<
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
⇒≥⇒
ππ
BA
A
,ta có:

⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
≥
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝

⎛
++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
32
cos2
2
cos
32
cos2
3
cos
3
cos
ππππ
BABABA
BA
.
Có dạng
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛

+
≥+
2
2)()(
BA
fBfAf
.
⇒
2
3
3
2
cos3)
3
(3)()()(
3
cos
3
cos
3
cos −==
++
≥++=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++

⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
ππππ
CBA
fCfBfAfCBA
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều.
Cách 3.Đưa về tổng bình phương ,hoặc tam thức bậc hai.
Ví dụ 13. Cho a,b,c là ba số không âm thoảđiều kiện : a + b + c = 3.
Tìm giá trị nhỏ nhất của (a
3
+ b
3
+ c
3

).

HD: …
aa 311
3
≥++
Ví dụ 14.Cho x,y,z là ba số dương thoả mãn điều kiện : x.y.z = 1.
Chứng minh rằng :
+
+
+
+ z
y
y
x
11
22

2
3
1
2
≥
+ x
z
.
HD :
.
4
1
1
2

x
x
x
z
≥
+
+
+

Ví dụ 15. Cho các số thực dương x,y,z thỏa điều kiện :
6≥++ zyx
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
yx
z
zx
y
zy
x
S
+
+
+
+
+
=
333

HD: Cách 1. Áp dụng
x

zy
zy
x
32
2
3
≥+
+
+
+
…
Cách 2: .
2333
)()( zyxyxzxzyS ++≥+++++
Ví dụ 16. Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a
2
+ b
2
+ c
2
.
12≤
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
ababab
P
+
+
+
+
+

=
1
1
1
1
1
1
.
HD :Áp dụng
5
2
25
1
1
1
≥
+
+
+
ab
ab
(1) .Đẳng thức xảy ra khi ab = 4
Tương tự
5
2
25
1
1
1
≥

+
+
+
bc
bc
(2) ;
5
2
25
1
1
1
≥
+
+
+
ca
ca
(3)

Lấy (1) + (2) + (3) ta có
5
6
2525
3
5
6
25
1
25

1
25
1
≥
++
++⇔≥
+
+
+
+
+
+
cabcab
P
cabcab
P


5
3
5
6
25
12
25
3
5
6
2525
3

222
≥⇒≥++⇔≥
++
++⇔ PP
cba
P

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 2.
Ví dụ 17. Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn :
.
4
3
=++
cba

Chứng minh rằng :
3333
333
≤+++++ accbba

HD : Ta có
3
113
3
3
+++
≤+
ba
ba
…

Ví dụ 18. Cho x,y,z là ba số thỏa x + y + z = 0 .
Chứng minh rằng :
6434343
≥+++++
zyx

HD:Cách 1.Ta có
8
4
424.1.1.1443
xxx
=≥+
…
Cách 2 Dùng phương pháp vectơ.
Thí dụ 19. Cho x,y,z các số dương thỏa mãn
4
111
=++
zyx
.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thưcù:S=
zyxzyxzyx ++
+
++
+
++ 2
1
2
1
2

1

HD.
zyxzyxxzyx ++
≥+++=++
2
161111112
…
Ví dụ 20. Chứng minh rằng với mọi x,y > 0 ta có:
.256)
9
1)(1)(1(
2
≥+++
y
x
y
x

HD :
4
3
6
2
4
3
3
19)
9
1(

)(
27
4)
333
1(
y
yyyyy
≥+⇒≥+++
.
4
3
3
29
4
333
11
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
≥+++=+
; 1+x =
.
3

4
333
1
3
3
xxxx
≥+++

Ví dụ 21. Giả sử x,y là hai số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện
4
5
=+
yx
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
.
4
14
yx
S +=

HD: Cách 1 . Thay
xy
−=
4
5

4
5
0;

45
14
<<
−
+=⇒
x
xx
S
.
+Ta sử dụng khảo sát hàm số.
+Hoặc
5
5
25
45
1
4
16
45
14
=≥
−
+=
−
+=
xxxx
S
.
Cách 2 : Bất đẳng thức Côsi :
5

)(4
25
4
5.5
4
1
.5
4
14
5
4
=
+
=
++++
≥≥+=
yxyxxxx
yx
yx
S
.
Ví dụ 22. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
a
c
c
b
b
a
++
.

trong đó các số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện :a+b+c 3 .
≥
HD. Đặt
b
ac
a
cb
c
ba
a
c
c
b
b
a
A
a
c
c
b
b
a
A 222
222
2
+++++=⇒++=

Aùp dụng bất đẳng thức Co-si cho bốn số dương ta được
ac
c

ba
c
ba
b
a
4
2
≥+++
;
ba
a
cb
a
cb
c
b
4
2
≥+++
;
cb
b
ac
b
ac
a
c
4
2
≥+++

Cộng từng vế suy ra .
3≥A
Ví dụ 23. Cho ba số thực dương a,b,c thoả mãn điều kiện: a
2
+ b
2
+ c
2
= 1 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
c
ab
b
ac
a
bc
S
++=
.
HD.
)(2)()()(
2222222
cba
c
ab
b
ac
a
bc

S
+++++=
.Ta có
222
)()(
c
b
ac
a
bc
≥+
…
Ví dụ 24. Cho ba số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện:
.1.2 =+ xzxy

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
.
543
z
xy
y
zx
x
yz
S ++=

HD.Ta có
⎟
⎟
⎠

⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=++=
z
xy
y
zx
z
xy
x
yz

y
zx
x
yz
z
xy
y
zx
x
yz
S 32
543

.42(484)(4)(2642 =+=+≥+++=++≥
xyxzxyxzyxzxxyz

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
.
3
1
===
zyx

Ví dụ 25 .Cho A,B,C là ba góc của một tam giác bất kỳ .
Tìm giá trị nhỏ nhất: S=5cotg
2
A + 16cotg
2
B +27cotg
2

C.
HD.Sử dụng bất đẳng thức Cauchy ,và bất đẳng thức thường dùng trong tam giác
Ví dụ 26. Chứng minh rằng
512
7291
1
1
1
1
1
333
≥
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜

⎝
⎛
+
cba
.
trong đó a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 6.
HD .Nhân vế trái ,áp dụng bất đẳng thức cho ba biểu thức , áp dụng hằng đăngt thức bậc ba
C.Các bài tập đưa về giá tị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất.
Bài 1.Cho elíp (E) có phương trình
.1
916
22
=+
yx
Xét điểm M chuyển động trên tia Ox và
điểm N chuyển động trên tia Oy sao cho đường thẳng MN luôn luôn tiếp xúc với (E) . Xác
dịnh tọa độ M,N để đoạn MN có độ dài nhỏ nhất .Tính giá trị nhỏ nhất đó .