De thi HSG K12 Nam Dinh 2011

SỞ GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO
NAM ĐỊNH
ĐỀ CHÍNH THỨC
KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT
NĂM HỌC 2010-2011
Môn: Toán
(Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm 01 trang
Câu 1. (4 điểm)
Cho hàm số
( ) ( )
3 5
4
x
y f x C
x
+
= =
−
1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số
( ) ( )
( )
lng x f x=
2. Tìm trên đồ thị (C) những điểm M, sao cho tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận của (C) tại hai điểm A; B
và đoạn AB ngắn nhất.
Câu 2. (5 điểm)
1. Giải phương trình:
( )
2sin 1
1 cos tan 1 cos
cos

x
x x x
x
−
+ = + +
2. Giải bất phương trình:
( ) ( ) ( )
2 2 2
3 7 21
log 1 .log 1 log 1 0x x x x x x− − + − + − − ≥
Câu 3. (3 điểm)
1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A(1; -2); B(3; 0). Gọi H là trực tâm tam giác ABC.
Đường tròn ngoại tiếp tam giác AHB có tâm I(4; -3). Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC.
2. Trong không gian toạ độ Oxyz cho 2 điểm A(1; -1; 2); B(2; 1; 1) và mặt phẳng (P): x – 2y – 3z + 5 =
0. Tìm toạ độ điểm
( )
C P∈
sao cho
( )
ABC
vuông góc với (P) và tam giác ABC cân tại C.
Câu 4. (3 điểm)
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a; chiều cao SH = h.
1. Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (SAB); (ABCD) theo a và h.
2. Khi a, h thay đổi và hình chóp đều S.ABCD luôn ngoại tiếp mặt cầu cố định có bán kính bằng 1. Tìm a
và h để thể tích khối chóp S.ABCD nhỏ nhất.
Câu 5. (3 điểm)
1. Tính tích phân
2

1
6
9 4
x
x x
dx
I =
−
∫
2. Chứng minh rằng:
10 11 12 20 21
0 1 2 10 11
11 11 11 11 11
1 1 1 1 1
11 12 13 21 22 0
2 2 2 2 2
C C C C C
         
− + −×××+ − =
 ÷  ÷  ÷  ÷  ÷
         
.
Câu 6. (2 điểm)
Cho các số thực a; b; c thoả mãn đồng thời các điều kiện:
6
9
a b c
a b c
ab bc ca
≤ ≤



+ + =


+ + =

Chứng minh rằng:
0 1 3 4a b c≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
Hết