De thi va dap an HSG 12 Thanh Hoa ( 2010-2011)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HOÁ
Đề chính thức
Số báo danh
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
Năm học 2010- 2011

Môn thi: Toán
Lớp: 12 THPT
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 24/03/2011
(Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu).
Câu I. (4,0 điểm).
Cho hàm số
3 2 2
( 1) (4 ) 1 2y x m x m x m
= − + − − − −
(
m
là tham số thực), có đồ thị là
( ).
m
C
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với
1.m
= −
2) Tìm các giá trị của m để đồ thị
( )
m
C
có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.

Câu II. (6,0 điểm).
1) Giải phương trình:
cos2 cos3 sin cos4 sin 6 .x x x x x+ − − =

2) Giải bất phương trình:
2 4 2
6( 3 1) 1 0x x x x− + + + + ≤

( ).x ∈¡
3) Tìm số thực a để phương trình:
9 9 3 cos( )
x x
a x
π
+ =
, chỉ có duy nhất một nghiệm thực
.Câu III. (2,0 điểm). Tính tích phân:
( )
2
3
0
sin
.
sin 3cos
x
I dx
x x
π
=
+

∫
Câu IV. (6,0 điểm).
1) Cho tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng 1. Gọi M, N lần lượt là hai điểm thuộc
các cạnh AB, AC sao cho mặt phẳng (DMN) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Đặt

,AM x=
AN y=
. Tìm
,x y
để diện tích toàn phần của tứ diện DAMN nhỏ nhất.
2) Trên mặt phẳng toạ độ
,Oxy
cho đường thẳng
: 5 0x y∆ − + =
và hai elíp
2 2
1
( ) : 1
25 16
x y
E + =
,
2 2
2
2 2
( ) : 1 ( 0)
x y
E a b
a b
+ = > >

có cùng tiêu điểm. Biết rằng
2
( )E

đi qua điểm M thuộc đường thẳng
.∆
Tìm toạ độ điểm M sao cho elíp
2
( )E
có độ dài
trục lớn nhỏ nhất.
3) Trong không gian
,Oxyz
cho điểm
(0;2;0)M
và hai đường thẳng

1 2
1 2 3 2
: 2 2 ( ); : 1 2 ( )
1 , ,
x t x s
y t t y s s
z t z s
= + = +
 
 
∆ = − ∈ ∆ = − − ∈
 
 

= − + =
 
¡ ¡
.
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M song song với trục
O x
, sao cho (P) cắt hai
đường thẳng
1 2
,∆ ∆
lần lượt tại A, B thoả mãn
1AB =
.
Câu V. (2,0 điểm). Cho các số thực
, ,a b c
thoả mãn:
2 2 2
6
3.
a b c
ab bc ca

+ + =

+ + = −

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
6 6 6
.P a b c= + +

HẾT
Thí sinh không được sử dụng tài liệu.
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
SỞ GD & ĐT THANH HOÁ
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Gồm có 4 trang)
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
NĂM HỌC 2010 - 2011
MÔN THI: TOÁN
LỚP: 12 THPT
Ngày thi: 24 - 3 - 2011
Câu Ý
Hướng dẫn chấm
Điêm
Câu I
4,0 đ
1)
2,0đ
Với
1,m = −
ta được hàm số
3
3 1.y x x= − +
Tập xác định:
.¡
Giới hạn tại vô cực:
lim , lim .
x x
y y

→+∞ →−∞
= +∞ = −∞
Sự biến thiên:
2
' 3 3 0 1.y x x= − = ⇔ = ±
0,5
' 0 ( ; 1) (1; ).y x> ⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞
Hàm số đồng biến trên các khoảng
( 1)−∞ −
và
(1; )+∞
.
' 0 ( 1;1).y x< ⇔ ∈ −
Hàm số nghịch biến trên khoảng
( 1;1).−
Điểm cực đại của đồ thị
( 1;3),−
điểm cực tiểu của đồ thị
(1; 1).−
0,5
Bảng biến thiên:
0,5
Đồ thị đi qua điểm (-2; -1) và (2; 3).

Điểm uốn I(0; 1) là tâm đối xứng

0,5
2)
2,0đ
Ta có

2 2
' 3 2( 1) 4 ,y x m x m= − + − +
là tam thức bậc hai của x.
y' có biệt số
2
' 2 2 13.m m∆ = − + +
Nếu
' 0
∆ ≤
thì
' 0,y x≥ ∀
, suy ra yêu cầu bài toán không thoả mãn.
0,5
Nếu
1 3 3 1 3 3
' 0 ;
2 2
m
 
− +
∆ > ⇔ ∈
 ÷
 
, thì
' 0y =
có hai nghiện
1 2 1 2
, ( ).x x x x
<
Dấu của y':

0,5
Chọn
0 1 2 0
( ; ) '( ) 0.x x x y x∈ ⇒ <
Ycbt thoả mãn khi và chỉ khi tồn tại x sao
cho
0
'( ). '( ) 1y x y x
= − ⇔
pt:
2 2
0
1
3 2( 1) 4 0
'( )
x m x m
y x
− + − + + =
(1) có
nghiệm . Pt (1) có:
2
1
0
3 1 3 3 1 3 3
' 2 2 13 0, ; .
'( ) 2 2
m m m
y x
 
− +

∆ = − + + − > ∀ ∈
 ÷
 
0,75
Vậy giá trị cần tìm của m là
1 3 3 1 3 3
;
2 2
m
 
− +
∈
 ÷
 
.
0,25
Câu II
6,0 đ
1)
2,0đ
PT
0)3cos.3sin23(cossin)4cos2(cos =−+−−⇔ xxxxxx
0)3cos3cos3sin2()sin3sinsin2( =−−−⇔ xxxxxx
0,5
0)3cos)(sin13sin2( =−−⇔ xxx
0,5












+−=
+=
+=
+=
⇔












−=
=
⇔
π
π
ππ

ππ
ππ
π
kx
kx
kx
kx
xx
x
4
28
3
2
18
5
3
2
18
2
cos3cos
2
1
3sin

( ).k ∈¢
0,5
0,5
-2
-1
-1

1
1
3
2
x
y
O
H
A
B
C
D
M
N
x
y'
y
−∞
−∞
+∞
+∞
1
−
1
−
1
3
0 0
−
+

+
x -
+
'y
1
x
2
x
0
0
−
++
GHI CHÚ: Nếu học sinh giải cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa.