MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG ĐỂ TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

CHUYÊN ĐỀ THÁNG 11 – NĂM HỌC: 2014 – 2015

CHUYÊN ĐỀ: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG ĐỂ TÍNH THỂ TÍCH KHỐI
ĐA DIỆN
I. ĐẶT VẤN ĐỀ
Bài toán tính thể tích khối đa diện (khối chóp, khối lăng trụ,…) là bài toán thường gặp trong các đề
thi đại học – cao đẳng và tốt nghiệp. Đây là bài toán tương đối khó đối với nhiều học sinh có tư duy
hình học không gian hạn chế.
Chính vì vậy mà trong quá trình giảng dạy, tôi đã nhận thấy sự vất vả của nhiều học sinh khi phải
học dạng toán này. Do đó, chuyên đề này, tôi muốn giới thiệu với các em học sinh một số phương
pháp giải bài toán tính thể tích. Nhằm giúp các em dễ tiếp cận với dạng toán này và có nhưng định
hướng giải khi gặp dạng toán này.
II.GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
4 phương pháp thường dùng tính thể tích
 Tính diện tích bằng công thức.
+ Tính các yếu tố cần thiết: độ dài cạnh, diện tích đáy, chiều cao,….
+ Sử dụng công thức tính thể tích.
 Tính thể tích bằng cách chia nhỏ: Ta chia khối đa diện thành nhiều khối đa diện nhỏ mà có
thể dễ dàng tính thể tích của chúng. Sau đó, ta cộng kết quả lại, ta sẽ có kết quả cần tìm.
 Tính thể tích bằng cách bổ sung: Ta có thể ghép thêm vào khối đa diện một khối đa diện
khác, sao cho khối đa diện thêm vào và khối đa diện mới có thể dễ dàng tính được thể tích.
 Tính thể tích bằng tỉ số thể tích.
Bài giải tham khảo
 Do

BC A B
BC A B
BC A A
ì
ï
^

ï
¢
^Þ
í
¢
ï
^
ï
î
.

Giáo viên: Trần Văn Công Trang 1
MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Thí dụ 1. Cho hình lăng trụ đứng
. ' ' 'A BC A B C
có đáy
A BC
là tam giác vuông tại
,B BC a=
,
( )
'mp A BC

tạo với đáy một góc
0
30
và
'A BCD
có diện tích bằng
2

3a
. Tính thể tích khối lăng trụ.
B
A
’
C
’
B
’
A
C
3
0
o
a
Dạng 1. Tính thể tích khối đa diện bằng cách sử dụng trực tiếp công
thức
 Xác định chiều cao của khối đa diện cần tính thể tích.
Trong nhiều trường hợp, chiều cao này được xác định ngay từ đầu bài, nhưng cũng có trường
hợp việc xác định này phải dựa vào các định lí về quan hệ vuông góc đã học ở lớp 11 (hay
dùng nhất là định lí 3 đường vuông góc, các định lí về điều kiện để một đường thẳng vuông
góc với một mặt phẳng,…). Việc tính chiều cao thông thường nhờ vào việc sử dụng định lí
Pitago, hoặc nhờ phép biến tính lượng giác,…
 Tìm diện tích đáy bằng các công thức quen biết.
Nhìn chung, dạng toán loại này rất cơ bản, chỉ đòi hỏi tính toán cẩn thận và chính xác.
CHUYÊN ĐỀ THÁNG 11 – NĂM HỌC: 2014 – 2015

 Và
·
( )

( ) '
( ) ( ' )
BC A B A BC
BC A B A BC A BA
BC A BC A BC
ì
ï
^ Ì
ï
ï
ï
¢
^ ÌÞ
í
ï
ï
= Ç
ï
ï
î
là góc giữa
( )A BC
và
( )A BC
.
 Ta có:
2
2.
1 2. 3
. 2 3

2
A BC
A BC
S
a
S A B BC A B a
BC a
¢
D
¢
D
¢ ¢
= = = =Þ
.
·
·
0
0
. cos 2 3.cos 30 3
. sin 2 3.sin 30 3
A B A B A BA a a
A A A B A BA a a
¢ ¢
= = =
¢ ¢ ¢
= = =
 Vậy:
3
. ' ' '
1 1 3 3

. . . . . .3 . . 3
2 2 2
A BC A B C AB C
a
V B h S A A A B BC A A a a a
¢ ¢
= = = = =
(đvtt).
Thí dụ 2. Cho hình lăng trụ đứng
. ' ' 'A BC A B C
có đáy
A BC
là tam giác vuông tại
·
0
, , 60A A C a ACB= =
.
Đường chéo
'BC
của mặt bên
( )
' 'BC C C
tạo với mặt phẳng
( )
' 'mp A A C C
một góc
0
30
. Tính thể
tích của khối lăng trụ theo

a
.
Bài giải tham khảo
 Ta có:
( )
A B AC
A B A CC A
A B AA
ì
ï
^
ï
¢ ¢
^Þ
í
¢
ï
^
ï
î
. Do đó
A C
¢
là hình chiếu
vuông góc của
BC
¢
lên
( )A CC A
¢ ¢

.
Từ đó, góc giữa
BC
¢
và
( )ACC A
¢ ¢
là
·
0
30BC A
¢
=
.
 Trong tam giác vuông
A BC
:
0
. t an 60 3A B A C a= =
.
 Trong tam giác vuông
'A BC
:
0
. cot 30 3. 3 3A C AB a a
¢
= = =
.
 Trong tam giác vuông
'ACC

:
2 2 2 2
' ' (3 ) 2 2CC A C A C a a a= - = - =
.
 Vậy, thể tích lăng trụ là:
3
1 1
. . . ' . 3. .2 2 6
2 2
V B h A B A C CC a a a a= = = =
(đvdt).
Bài giải tham khảo
Cách giải 1.
 Ta có:
( )
BC A B
BC SBA BC SB
BC SA
ì
ï
^
ï
^ ^Þ Þ
í
ï
^
ï
î
.

Giáo viên: Trần Văn Công Trang 2
B
’

A
C
B
’
A
’
C
’
a
6
0
0
3
0
o
Thí dụ 3. (Trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng khối A,B,D – 2011)
Cho hình chóp
.S A BC
có đáy
A BC
là tam giác vuông cân tại
( )
, ,B A B a SA ABC= ^
, góc giữa
( )
mp SBC

và
( )
mp A BC
bằng
0
30
. Gọi
M
là trung điểm của cạnh
SC
. Tính thể tích khối chóp
.S A BM
theo
a
.
B
A
S
M
C
3
0
o
N
CHUYấN THNG 11 NM HC: 2014 2015

( ) ( )
( )
( )
( ) ( )

ã
ã
0
; 30
SB C A BC BC
BC SB SBC SBC A BC SBA
BC A B A BC
ỡ
ù
=ầ
ù
ù
ộ ự
ù
ù
^ = =ị è ị
ớ ờ ỳ
ù ờ ỳ
ở ỷ
ù
ù
^ è
ù
ù
ợ
.
Ke
// MN BC
. Do
( )

BC SBA^
nờn
( )
MN SBA^
va luc o,
MN
la ng trung binh
SB CD
( )
1
2 2
BC a
MN = =ị
Luc o:
( )

. .
1
. . 2
3
S AB M M SA B SA B
V V S MN
D
= =
.
Tim:
SA B
S
D
?

Trong
SA BD
vuụng tai
A
, ta co:
0 0
3
t an 30 . t an 30
3
SA a
SA A B
A B
= = =ị
.
( )

2
1 1 3 3
. . . . 3
2 2 3 6
SA B
a a
S SA A B a
D
= = =ị
Thờ
( ) ( )
1 ; 3
vao
( )

2 3
. .
1 3 3
2 . .
3 6 2 36
S ABM M SA B
a a a
V V= = =ị
(vtt).
Cach giai 2.

3
.
1 1 1 3 3
. . . . .
3 3 2 3 18
S ABC A BC
a a
V S SA a a
D
= = =
(vtt).

3
. .
.
.
2 3
. . 2
2 36

S A BC S A BC
S A BM
S A BM
V V
SA SB SC SM a
V
V SA SB SM SM
= = = = =ị
(vtt).
Bai giai tham khao
Ta co:
( ) ( ) { }
( )
( )
SB C A BC BC
A B SBC
BC A B A BC
ỡ
ù
^ =
ù
ù
^ị
ớ
ù
^ è
ù
ù
ợ
.

Thờ tich khụi chop
.S A BC
:
. .
1
. .
3
S AB C A SBC SBC
V V S A B
D
= =
.
( )

2 3
. .
1
.2 3.3 2 3 1
3
S A BC A SB C
V V a a a= = =ị
(vtt).
Tim khoang cach t
B
ờn
( )
mp SAC
?

Giỏo viờn: Trn Vn Cụng Trang 3

Thi du 4. (Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc khụi D 2011)
Hinh chop
.S A BC
co ay
A BC
la tam giac vuụng tai
, 3 , 4B BA a BC a= =
,
( ) ( )
SB C A BC^
.
Biờt
ã
0
2 3, 30SB a SBC= =
. Tinh thờ tich khụi chop
.S A BC
va khoang cach t
B
ờn
( )
mp SAC
S
C
B
A
3a
4a
2 3a
0

30
CHUYÊN ĐỀ THÁNG 11 – NĂM HỌC: 2014 – 2015

 Ta có:
( )
. .
1
. . ;
3
S ABC B SA C SA C
V V S d B SAC
D
é ù
= =
ê ú
ë û
( ) ( )

.
3.
; 2
S A BC
SA C
V
d B SA C
S
D
é ù
=Þ
ê ú

ë û
.
 Ta có:
( )
2 2 2 2 2 2
9 12 21A B SBC A B SB SA AB SB a a a^ ^ = + = + =Þ Þ
.
 Mặt khác, áp dụng định lí hàm số cosin trong
SB CD
:
·
2 2 2
2. . .cosSC BC BS BC BS SBC= + -
2 2 2 2
3
16 12 2.4 .2 3. 4
2
SC a a a a a= + - =Þ
.
 Trong
A BCD
vuông tại
B
:
2 2 2 2 2 2
9 16 25A C A B BC a a a= + = + =
.
 Nhận thấy:
2 2 2 2 2 2
21 4 25SA SC a a a A C SAC+ = + = = ÞD

vuông tại
S
.
 Do đó, diện tích tam giác
SA C
là:
( )

2
1 1
. . .2 . 21 21 3
2 2
SA C
S SC SA a a a
D
= = =
.
 Thay
( ) ( )
1 , 3
vào
( ) ( )
3
2
3.2 3 6 7
2 ;
7
21
a a
d B SA C

a
é ù
= =Þ
ê ú
ë û
.
Bài giải tham khảo
 Vì
( )
mp SBI
và
( )
mp SCI
cùng vuông góc với
( )
mp A BCD
, nên giao tuyến
( )
SI A BCD^
.
 Kẻ
IH BC SH BC^ ^Þ
(định lí 3 đường vuông góc).
 Ta có:
·
0
60SHI =
là góc giữa hai
( )
mp SBC

và
( )
mp A BCD
.
 Thể tích khối chóp
.S A BCD
:
( )

.
1
. . 1
3
S A BCD A BCD
V S SI=
.
 Tìm
?SI
Trong
SIHD
vuông tại
I
, ta có:
0
. t an 60 . 3SI IH IH= =
.
Gọi
,M N
tương ứng là trung điểm của
,A B BC

.
Vì
IN
là đường trung bình của hình thang
A BCD
, nên ta có:

.
1 2 3
. . ?
3 2 2 2
S AB CD A BCD
A B CD a a a
V S SI IN
+ +
= = = =
.
Mà:
·
·
. cos .cosIH IN HIN IN MCB= =
(do
·
HIN
và
·
MCB
là
các góc có cạnh tương ứng vuông góc).
·

. cos .
MC
IH IN MCB IN
BC
= =Þ

Giáo viên: Trần Văn Công Trang 4
Thí dụ 5. (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A – 2009)
Cho hình chóp
.S A BCD
có đáy là hình thang vuông tại
A
và
, 2 ,D A B A D a CD a= = =
, góc
giữa hai
( )
mp SBC
và
( )
mp A BCD
bằng
0
60
. Gọi
I
là trung điểm của
A D
. Biết rằng
( )

mp SBI
và
( )
mp SCI
cùng vuông góc với
( )
mp A BCD
. Tính thể tích khối chóp
.S A BCD
S
D
A
M
B
C
N
H
I
6
0
0
CHUYÊN ĐỀ THÁNG 11 – NĂM HỌC: 2014 – 2015


2 2 2 2
3 2 3 5
. .
2 5
4
A D a a a

IN
MB MC a a
= = =
+ +
.
( )

3 5 3 15
. 3 . 3 2
5 5
a a
SI IH= = =Þ
.
 Tìm
ABCD
S
?
( ) ( )
( )

2
2 .2
3 3
2 2
A BCD
DC A B A D a a a
S a
+ +
= = =
.

 Thay
( ) ( )
2 , 3
vào
( )
3
2
.
1 3 15 3 15
1 . .3
3 5 5
S ABCD
a a
V a= =Þ
(đvtt).
Bài giải tham khảo
 Gọi
H
là trung điểm của
A D
thì
SH A D^
.
 Do
( ) ( )
SA D A BCD^
nên
( )
SH A B CD^
.

Và
SA DD
đều
3
2
a
SH =Þ
.
 Kẻ
( )
// MK SH K HBÎ
( )
MK A BCD^Þ
và
3
2 4
SH a
MK = =
.
 Vậy:
1
. .
3
CMNP CNP
V S MK
D
=
2 3
1 3 . 3
. .

3 8 4 96
a a a
= =
(đvtt).
Bài giải tham khảo
 Gọi
O
là tâm của của đáy
A BCD
.
 Trong
SA CD
, ta có
NO
là đường trung bình nên:
( )
( )
// NO SA
NO A BCD
SA A BCD
ì
ï
ï
ï
^Þ
í
ï
^
ï
ï

î

Giáo viên: Trần Văn Công Trang 5
Thí dụ 6. (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A – 2007)
Cho hình chóp
.S A BCD
đáy là hình vuông
A BCD
cạnh
a
, mặt bên
SA D
là tam giác đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy
A BCD
. Gọi
, ,M N P
lần lượt là trung điểm của
, ,SB BC CD
.
Tính thể tích khối tứ diện
CMNP
.
S
H
A
D
C
B
M

N
P
K
Thí dụ 7. (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B – 2006)
Cho hình chóp
.S A BCD
có đáy
A BCD
là hình chữ nhật với
, 2,A B a A D a SA a= = =
và
SA

vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi
,M N
lần lượt là trung điểm của
,A D SC
và
I
là giao điểm của
BM
và
A C
. Tính thể tích khối tứ diện
A NIB
.
S
A
D
C

B
M
N
I
O
CHUYấN THNG 11 NM HC: 2014 2015

( )
NO A BI^ị
hay
NO
la ng cao cua hinh t diờn
A NIB
.
Va
( )
1
2 2
SA a
NO = =
Ta co :
( )

.
1
. . 2
3
A NIB N A IB A IB
V V S NO
D

= =
.
Tim
?
A IB
S
D
=
Do
I
la trong tõm
A BDD
nờn:
2 2 2 2
2
2 2 2
2 2 3
.
3 3 2 3 3 3 3
2 2 2 6
. . .
3 3 3 2 3
A C A C A D DC AD A B a
A I A O
A D a
BI BM A B A M A B
ỡ
ù
+ +
ù

ù
= = = = = =
ù
ù
ù
ị
ớ
ù
ổ ử
ù
ữ
ỗ
ữ
ù
= = + = + =
ỗ
ữ
ù
ỗ
ữ
ỗ
ù
ố ứ
ù
ợ
Nhõn thõy:
2 2
2 2 2 2
3 6
3 3

a a
A B a A I BI A IB
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
= = + = + ịD
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
vuụng tai
I
.
( )

2
1 1 3 6 2
. . . . 3
2 2 3 3 6
A IB
a a a
S A I BI
D
= = =ị
.

Thay
( ) ( )
1 , 3
vao
( )
2 3
.
1 2 2
2 . .
3 6 2 36
N A IB
a a a
V = =ị
(vtt).
Bai giai tham khao
Goi
,M N
la trung iờm cua
,A B A C
. Khi o,
G
la trong tõm cua
A BCD
.
Do hinh chiờu iờm
'B
lờn
( )
mp A BC
la

G
nờn
( )
'B G A BC^

( )
ã
ã
0
; ' 60BB A BC B BG
ộ ự
= =ị
ờ ỳ
ờ ỳ
ở ỷ
.

Giỏo viờn: Trn Vn Cụng Trang 6
A
B
CD
M
I
Thi du 8. (Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc khụi B 2009)
Cho lng tru tam giac
. ' ' 'A BC A B C
co
'BB a=
, goc gia ng thng
'BB

va
( )
mp A BC
bng
0
60
, tam giac
A BC
vuụng tai
C
va goc
ã
0
60BAC =
. Hinh chiờu vuụng goc cua iờm
'B
lờn
( )
mp A BC
trung vi trong tõm cua
A BCD
. Tinh thờ tich cua khụi t diờn
'A A BC
theo
a
.
A

B

C

A
B
C
G
N
M
6
0
0
B
A C
N
M
G
CHUYÊN ĐỀ THÁNG 11 – NĂM HỌC: 2014 – 2015

• Ta có:
( )

'
1 1
. . ' . . . ' 1
3 6
A A BC AB C
V S B G A C BC B G
D
= =
.

• Tìm
'B G
?
Trong
'B BGD
vuông tại
G
và có
·
0
' 60B BG =
nên nó là nữa tam giác đều cạnh là
'BB a=

( )

3
; ' 2
2 2
a
a
BG B G= =Þ
.
 Tìm
,A B BC
?
Đặt
2AB x=
. Trong
A BCD

vuông tại
C
có
·
0
60BAC =
nên nó cũng là nữa tam giác đều với
đường cao là
BC
.
, 3
2
A B
A C x BC x= = =Þ
Do
G
là trọng tâm
A BCD
3 3
2 4
a
BN BG= =Þ
.
Trong
BNCD
vuông tại
C
:
2 2 2
BN NC BC= +

( )

2 2 2
2 2
3
9 9 3
2 13
3 3
16 4 52
3 3
2 13
2 13
a
A C
a x a a
x x x
a
BC
ì
ï
ï
=
ï
ï
ï
ï
= + = =Û Û Þ Þ
í
ï
ï

=
ï
ï
ï
ï
î
 Thế
( ) ( )
2 , 3
vào
( )
3
'
1 3 3 3 3 9
1 . . .
6 2 108
2 13 2 13
A A BC
a a a a
V = =Þ
(đvtt).
 Trong nhiều bài toán, việc tính trực tiếp thể tích khối đa diện như trong dạng 1 có thể gặp khó
khăn vì hai lí do:
+ Hoặc là khó xác định và tính được chiều cao.
+ Hoặc tính được diện tích đáy nhưng cũng không dễ dàng.
 Khi đó, ta có thể làm theo các phương pháp sau:
+ Phân chia khối cần tính thể tích thành tổng hoặc hiệu các khối cơ bản (hình chóp hoặc hình
lăng trụ) mà các khối này dễ tính hơn.
+ Hoặc là so sánh thể tích khối cần tính với một đa diện khác đã
biết trước hoặc dễ dàng tính thể tích.

 Trong dạng này, ta thường hay sử dụng kết quả của bài toán:
Cho hình chóp S.ABC. Lấy A’, B’, C’ tương ứng trên cạnh SA, SB,
SC.
Khi đó:
. ' ' '
.
' ' '
. .
S A B C
S ABC
V
SA SB SC
V SA SB SC
=
.
Chứng minh:
Kẻ A’H’ và AH cùng vuông góc với mặt phẳng (SBC).
Khi đó: A’H // AH và S, H’, H thẳng hàng.

Giáo viên: Trần Văn Công Trang 7
Dạng 2. Tính thể tích khối đa diện bằng cách lắp ghép khối hoặc so sánh khối (tỉ số)
S
A
’
B
’
C
’
A
B

C
H
H
’
CHUYÊN ĐỀ THÁNG 11 – NĂM HỌC: 2014 – 2015

Ta có:
' '
. ' ' ' ' ' '
. .
1
. ' '
3
1
.
3
SB C
S A B C A SB C
S ABC A SBC
SBC
S A H
V V
V V
S A H
D
D
= =
( )
1
'. '. sin . ' '

'. '. '
2
1 . .
. . sin .
2
SB SC A H
SB SC SA
Ðpcm
SB SC SA
SB SC A H
a
a
= = Þ
.
Trong đó:
·
·
' 'B SC BSC
a
= =
.
Lưu ý: Kết quả trên vẫn đúng nếu như trong các điểm A’, B’, C’ có thể có điểm
', ', 'A A B B C Cº º º
.
Thông thường, đối với loại này, đề thường cho điểm chia đoạn theo tỉ lệ, song song, hình
chiếu,…
Bài giải tham khảo
a/ Tính thể tích khối chóp
.S A BC
.

Ta có:
.
1
. .
3
S A BC A BC
V S SA
D
=
và
SA a=
.
Mặc khác:
A BCD
vuông cân ở
B
và có:
2A C a=
nên
A BCD

là nữa hình vuông có đường chéo
2A C a=
Þ
cạnh
A B BC a= =
.
2
1
.

2 2
A BC
a
S A B BC
D
= =Þ
.
Vậy:
( )

2 3
.
1 1
. . . .
3 3 2 6
S A BC AB C
a a
V S SA a Ðvtt
D
= = =
.
b/ Tính thể tích khối chóp
.S A MN
.
Gọi I là trung điểm của
BC
,
G
là trọng tâm của
SB CD

.
Ta có:
2
3
SI
SG
=
.
Do
( )
// //
2
3
SM SN SG
mp BC MN BC
SB SC SI
a
= = =Þ Þ
.
( )

3 3
.
. .
.
4 4 4 2
. . .
9 9 9 6 27
S A MN
S A MN S ABC

S ABC
V
SM SN a a
V V Ðvtt
V SB SC
= = = = =Þ Þ
.

Giáo viên: Trần Văn Công Trang 8
Thí dụ 9. Cho hình chóp
.S A BC
có đáy là
A BCD
vuông cân ở
( )
, 2, ,B A C a SA mp A BC SA a= ^ =
.
a/ Tính thể tích khối chóp
.S A BC
.
b/ Gọi
G
là trọng tâm của
SB CD
,
( )
mp
a
đi qua
A G

và song song với
BC
cắt
,SC SB
lần lượt tại
,M N
. Tính thể tích khối chóp
.S A MN
.
S
A
B
C
M
N
G
I
Thí dụ 10. (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D – 2006)
Cho hình chóp
.S A BC
có đáy là
A BCD
đều cạnh
a
và
( )
SA A BC^
,
2SA a=
. Gọi

,H K
lần lượt là
hình chiếu vuông góc của điểm
A
lần lượt lên cạnh
,SB SC
. Tính thể tích khối
.A BCKH
theo
a
.
CHUYÊN ĐỀ THÁNG 11 – NĂM HỌC: 2014 – 2015

Bài giải tham khảo
 Ta có:
( )

. . . . . .
1
A BCK H S A HK S A BC A BCKH S A BC S AHK
V V V V V V+ = = -Þ
.
 Do
A BCD
đều cạnh
a
và
2SA a=
nên:
( )

2 3
.
1 1 3 3
. . . .2 2
3 3 4 6
S A BC ABC
a a
V S SA a
D
= = =
.
 Ta lại có:
.
2 2
.
. .
. . .
S A HK
S A BC
V
SA SH SK SH SB SK SC
V SA SB SC
SB SC
= =
2 2 4
2 2 2 2 2 2
16 16
.
25

5 .5
SA SA a
SA A B SA A C a a
= = =
+ +
.
( )

. .
16
. 3
25
S A HK S A BC
V V=Þ
.
Từ
( ) ( ) ( ) ( )

3
. . . .
16 9 3 3
1 , 2 , 3 . .
25 25 50
A B CKH S ABC S ABC S ABC
a
V V V V Ðvtt= - = =Þ
Bài giải tham khảo
 Kẻ
( )
// MN CD N SDÎ

thì hình thang
A BMN
là thiết diện của khối chóp cắt bởi mặt phẳng
( )
A BM
.
 Ta có:
.
.
1
2
S A BN
S A BD
V
SN
V SD
= =
.
( )

. . .
1 1
1
2 4
S A BN S ABD S A BCD
V V V= =Þ
.
 Mặt khác:
.
.

1 1 1
. .
2 2 4
S BMN
S B CD
V
SM SN
V SC SD
= = =
.
( )

. . .
1 1
2
4 8
S BMN S BCD S ABCD
V V V= =Þ
.
 Mà:
( )

. . .
3
S A BMN S A BN S BMN
V V V= +
.
 Kết hợp:
( ) ( ) ( )
. .

3
1 , 2 , 3
8
S A BMN S A BCD
V V=Þ
.
. .A BCDNM S AB CD S AB MN
V V V= -Þ
.

Giáo viên: Trần Văn Công Trang 9
S
A
B
C
H
a
K
2a
Thí dụ 11. Cho khối chóp tứ giác đều
.S A BCD
. Một mặt phẳng
( )
a
qua
,A B
và trung điểm
M
của
SC

. Tính tỉ
số thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng đó.
S
A
B
C
M
N
D
CHUYÊN ĐỀ THÁNG 11 – NĂM HỌC: 2014 – 2015

. . .
3 5
8 8
A BCDNM S AB CD S ABCD S A BCD
V V V V= - =Þ
.
.
3
5
S A BMN
A BCDNM
V
V
=Þ
.
Bài giải tham khảo
 Gọi
I SO A M= Ç
. Ta có:

( )
// // A EMF BD EF BDÞ
.
 Ta có:
.
1
. .
3
S A BCD A BCD
V S SO=
với
2
ABCD
S a=
.
Trong
SOAD
có:
0
6
. t an 60
2
a
SO A O= =
3
.
6
6
S ABCD
a

V =Þ
.
 Mặt khác:
.
2
S AEMF SA MF SA ME SA MF
V V V V= + =
và
.
2 2
S AB CD SA CD SA BC
V V V= =
Xét khối
.S A MF
và khối
.S A CD
có:
1
2
SM
SC
=
Và trong
SA CD
có trọng tâm
I
,
//
2 1
.

3 3
SA MF
SA CD
V
SI SF SM SF
EF BD
SO SD V SC SD
= = = =Þ Þ
.
( )

3 3 3
. .
1 1 6 6 6
2.
3 6 36 36 18
SA MF SA CD S A BCD S AEMF
a a a
V V V V Ðvtt= = = = =Þ Þ
.
Bài giải tham khảo
 Gọi
,O H
lần lượt là tâm của
A BCD
và trung điểm
A B
.
 Do
( )

, ,MS MA d A MNP d S MNP
é ù
é ù
= =Þ
ê ú
ê ú
ë û
ë û
( )

. .
1
A MNP S MNP
V V=Þ
.
 Mặt khác:
.
.
1
. .
4
S MNP
S A BP
V
SM SN SP
V SA SB SP
= =
.
. .
1 1 1 1 1

. . . . . .
4 4 3 12 2
S MNP S ABP AB P
V V S SO A B HP SO
D
= = =Þ
( ) ( )

2 3
2
.
1 6
. . . 2
24 2 48
S MNP
a a
V a a a Ðvtt= - =Þ
.
 Từ
( ) ( ) ( )

3
.
6
1 , 2
48
A MNP
a
V Ðvtt=Þ
.

Giáo viên: Trần Văn Công Trang
10
Thí dụ 12. Cho hình chóp tứ giác đều
.S A BCD
, đáy là hình vuông cạnh
a
, cạnh bên tạo với đáy góc 60
0
.
Gọi
M
là trung điểm
SC
. Mặt phẳng đi qua
A M
và song song với
BD
, cắt
SB
tại
E
và cắt
SD
tại
F
. Tính thể tích khối chóp
.S A EMF
.
Thí dụ 13. (Trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng khối A – 2008)

Cho hình chóp tứ giác đều
.S A BCD
có cạnh đáy
A B a=
, cạnh bên
2SA a=
. Gọi
, ,M N P
lần
lượt là trung điểm của
, ,SA SB CD
. Tính thể tích tứ diện
A MNP
.
M
A
B
N
C
D
S
P
O
H
CHUYÊN ĐỀ THÁNG 11 – NĂM HỌC: 2014 – 2015

Bài giải tham khảo
∗ Ta có:
( )
DC A D

DC SA D DC SD
DC SA
ì
ï
^
ï
^ ^Þ Þ
í
ï
^
ï
î
.

Giáo viên: Trần Văn Công Trang
11
Dạng toán 3. Sử dụng phương pháp thể tích để tìm khoảng cách
Các bài toán tìm khoảng cách: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, khoảng cách giữa hai đường
thẳng, trong nhiều trường hợp có thể qui về bài toán thể tích khối đa diện. Việc tính khoảng cách này dựa
vào công thức hiển nhiên: , ở đâylần lượt là thể tích, diện tích đáy và chiều cao của một hình chóp nào đó
(hoặc đối với hình lăng trụ).
Phương pháp này áp dụng được trong trường hợp sau: Giả sử có thể qui bài toán tìm khoảng cách về bài
toán tìm chiều cao của một hình chóp (hoặc một lăng trụ) nào đó. Dĩ nhiên, các chiều cao này thường là
không tính được trực tiếp bằng cách sử dụng các phương pháp thông thường như định lí Pitago, công thức
lượng giác,… Tuy nhiên, các khối đa diện này lại dễ dàng tính được thể tích và diện tích đáy. Như vậy,
chiều cao của nó sẽ được xác định bởi công thức đơn giản trên.
Lược đồ thực hành:
Sử dụng các định lí của hình học trong không gian sau đây:
+) Nếu trong đóchứathì.
+)Nếu trong đólần lượt chứavàthì: .

+)Từ đó, qui bài toán tìm khoảng cách theo yêu cầu bài toán về việc tìm chiều cao của khối chóp (hoặc một
khối lăng trụ) nào đó.
Giả sử bài toán đã được qui về tìm chiều cao kẻ từ đỉnhcủa một hình chóp (hoặc một lăng trụ). Ta tìm thể
tích của hình chóp (lăng trụ) này theo một con đường khác mà không dựa vào đỉnh này, chẳng hạn như quan
niệm hình chóp ấy có đỉnh. Sau đó, tính diện tích đáy đối diện với đỉnh.
Thí dụ 14. Cho hình chóp
.S A BCD
có đáy
A BCD
là hình vuông cạnh
a
,
( )
SA A BCD^
và mặt bên
( )
SCD

hợp với mặt phẳng đáy
A BCD
một góc
0
60
. Tính khoảng cách từ điểm
A
đến
( )
mp SCD
.
S

A
D
B
C
6
0
0
CHUYấN THNG 11 NM HC: 2014 2015

( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
ẳ
ã
0
, 60
SCD A BCD DC
DC SD SCD SCD A B CD SDA
DC A D A BCD
ỡ
ù
=ầ
ù
ù
ộ ự
ù
ù
^ = =èị
ờ ỳ

ớ
ù
ờ ỳ
ở ỷ
ù
ù
^ è
ù
ù
ợ
Mt khac:
.
1
.
3
S A DC A DC
V S SA
D
=
va
2
1
.
2 2
A DC
a
S A D DC
D
= =
.

0 0
t an 60 . t an 60 3
SA
SA A D a
A D
= = =ị
3
.
3
6
S A DC
a
V =ị
.
Vi võy
( ) ( )
.
. .
3
1
. , ,
3
S A DC
S A DC A SDC SDC
SDC
V
V V S d A SDC d A SDC
S
D
D

ộ ự ộ ự
= = =ị
ờ ỳ ờ ỳ
ở ỷ ở ỷ
.
( )
. .
2 2
6 6
3
,
. 2
.
S A DC S A DC
V V
a
d A SDC
DC SD
DC SA A D
ộ ự
= = =ị
ờ ỳ
ở ỷ
+
.
Bai giai tham khao
Ta co:
2 2 2 2 2 2
3 4 5A B A C BC A BC+ = + = = ịD
vuụng tai

A
.
( )
2
1 1
. .3.4 6
2 2
A BC
S A B A C cm
D
= = =ị
.
( )
3
1 1
. .6.4 8
3 3
A BCD A BC
V S DA cm
D
= = =ị
.
Mt khac:
( )
2 2 2 2
3 4 5BD A B A D cm= + = + =
( )
2 2 2 2
4 4 4 2DC A C A D cm= + = + =
Nờn

( ) ( ) ( )
DB C
S p p BC p DC p BD
D
= - - -
Vi
5 5 4 2
5 2 2
2 2
BC DC DB
p
+ + + +
= = = +
na chu vi
DBCD
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
5 2 2 5 2 2 5 5 2 2 4 2 5 2 2 5 2 34
DBC
S cm
D
= + + - + - + - =ị
.
Do o,
( ) ( ) ( )
.
3
1 6 34
. , ,

3 17
A BCD
A BCD A BCD DBC
DB C
V
V V S d A DBC d A DBC cm
S
D
D
ộ ự ộ ự
= = = =ị
ờ ỳ ờ ỳ
ở ỷ ở ỷ
.

Giỏo viờn: Trn Vn Cụng Trang
12
Thi du 15. (Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc khụi D 2002)
Cho t diờn
A BCD
co canh
A D
vuụng goc vi
( )
mp A BC
,
( ) ( )
4 , 3A C A D cm A B cm= = =
,
( )

5BC cm=
. Tinh khoang cach t
A
ờn
( )
mp BCD
.
Thi du 21. Cho hinh chop
.S A BC
co ay
A BC
la tam giac vuụng cõn tai
A
. Hai mt phng
( )
SA B
va
( )
SA C
cung vuụng goc vi mt phng ay
( )
A BC
, cho
2BC a=
, mt bờn
( )
SB C
tao vi ay
( )
A BC

mụt goc
0
60
. Tinh khoang cach t iờm
A
ờn mt phng
( )
SB C
.
D
A
C
B
CHUYấN THNG 11 NM HC: 2014 2015

Bai giai tham khao
Goi
M
la trung iờm cua canh
BC
. Ta co
A BCD
vuụng cõn tai
A
nờn:
( )

BC A M
BC SM do SA B SA C SBC cõn
ỡ

ù
^
ù
ù
ớ
ù
^ =D DịD
ù
ù
ợ
Ta co:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
SA B SA C SA
SA B A BC SA A BC
SA C A BC
ỡ
ù
=ầ
ù
ù
ù
ù
^ ^ị
ớ
ù
ù
ù

^
ù
ù
ợ
.
Va
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
ã
ã
0
, 60
SB C A BC BC
BC A M A BC SBC A BC SMA
BC SM SBC
ỡ
ù
=ầ
ù
ù
ù
ù
^ = =èị
ớ
ù
ù
ù
^ è

ù
ù
ợ
Ta co:
0 0
2 6
. t an 60 . t an 60 . 3
2 2 2
BC a a
SA A M= = = =
.
Va:
2 2
1 1
. . .
2 2 2 2
A BC
BC a
S AM BC
D
= = =
( )

2 3
.
1 1 6 6
. . . .
3 3 2 2 12
S A BC A BC
a a a

V S SA évtt
D
= = =ị
.
Mt khac:
( ) ( )
.
. .
3
1
. . , ,
3
S ABC
S ABC A SB C SBC
SBC
V
V V S d A SBC d A SBC
S
D
D
ộ ự ộ ự
= = =ị
ờ ỳ ờ ỳ
ở ỷ ở ỷ
.
Ma:
2
2 2 2 2
1 1 1
. . . .

2 2 2 2
SBC
BC
S SM BC SA A M BC SA BC a
D
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
= = + = + =
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
( )
6
,
4
a
d A SBC
ộ ự
=ị
ờ ỳ
ở ỷ
.
Bai giai tham khao
Do
M

la trung iờm cua
SC
nờn
( )
// // OM SA SA OMBị
.
( ) ( ) ( )
, , ,d SA MB d SA MOB d S MOB
ộ ự ộ ự
= =ị
ờ ỳ ờ ỳ
ở ỷ ở ỷ

Giỏo viờn: Trn Vn Cụng Trang
13
Thi du 22. (Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc khụi A 2004)
Cho hinh chop
.S A BCD
co ay la hinh thoi
A BCD
co
SO
vuụng goc vi ay vi
O
la giao iờm cua
A C
va
BD
. Gia s
2 2, 4, 5SO A C A B= = =

va
M
la trung iờm cua
SC
. Tinh khoang cach
gia hai ng thng
SA
va
BM
.
S
A
C
B
M
(do
A M
va la trung tuyờn ụng thi la ng cao trong
A BCD
cõn)
S
C
A
B
D
O
M
H
CHUYÊN ĐỀ THÁNG 11 – NĂM HỌC: 2014 – 2015

( ) ( ) ( )
, 1d C MOB do MS MC
é ù
= =
ê ú
ë û
.
Kẻ
( ) ( )

1
2 2
2
MH A BCD MH SO^ = =Þ
∗ Mà
( )
. .
1 1
. . ,
3 3
C MOB M OBC OB C MOB
V V S MH S d C MOB
D D
é ù
= = =
ê ú
ë û
( ) ( )

.

, 3
OB C
MOB
S MH
d C MOB
S
D
D
é ù
=Þ
ê ú
ë û
.
∗ Từ
( ) ( ) ( ) ( )

.
1 , 3 , 4
OB C
MOB
S MH
d SA MB
S
D
D
=Þ
.
∗ Ta lại có:
( )

2 2 2
1 1
1
. 1 5
4
2
2
2 2
OBC
OB A B OA OB
S OB OC
A C
OC OC
D
ì
ï
= - = =Þ
ï
ï
ï
= =Þ
í
ï
= = =Þ
ï
ï
ï
î
.
∗ Mặt khác:

OB OC
OB OM MOB
OB SO
ì
ï
^
ï
^Þ Þ D
í
ï
^
ï
î
vuông tại đỉnh
B
.
( )

2 2
1 1 1 1 3
. . . .1. 8 4 6
2 2 2 4 4 2
MOB
SA
S OB OM OB OB SO A O
D
= = = + = + =Þ
.
∗ Thay
( ) ( ) ( )

2 , 5 , 6
vào
( ) ( )
2 6
4 ,
3
d SA MB =Þ
.
Bài giải tham khảo
∗ Ta có:
( )
// // 'MN BC MN A BCÞ
.
( ) ( ) ( ) ( )
, ' , ' , ' 1d MN A C d MN A BC d M A BC
é ù é ù
= =Þ
ê ú ê ú
ë û ë û
.
∗ Mà:
( )

'.
1 1 1 1
. ' . .1.1.1 2
3 3 2 12
A MB C MB C
V S A A
D

= = =
.
∗ Mặt khác:
( )
' 'CB BA A B CB BA^ ^Þ
.
'A BCÞ D
vuông tại
B
.
∗ Ta lại có:
( ) ( )

'. . ' '
1
. , ' 3
3
A MBC M A BC A BC
V V S d M A BC
D
é ù
= =
ê ú
ë û
.

Giáo viên: Trần Văn Công Trang
14
Thí dụ 23. (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A – 2006)
Cho hình lập phương

. ' ' ' 'A BCD A B C D
có cạnh bằng 1. Gọi
,M N
lần lượt là trung điểm của
A B
và
CD
. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
'A C
và
MN
.
B’
A’
C’
D’
A
B
C
D
M
N
CHUYÊN ĐỀ THÁNG 11 – NĂM HỌC: 2014 – 2015

∗ Từ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 2 2
2 , 3 . ' . . , ' . , ' , ' 4
12 3 2 6 4

A B BC d M A BC d M A BC d M A BC
é ù é ù é ù
= = =Þ Þ
ê ú ê ú ê ú
ë û ë û ë û
Từ
( ) ( ) ( )
2
1 , 4 , '
4
d MN A C =Þ
.
Bài giải tham khảo
∗ Gọi
O
là tâm mặt phẳng đáy và
,M N
là trung điểm của
,A D BC
·
SNM
a
=Þ
.
∗ Ta có:
( ) ( ) ( )
BC MN
BC MNS SBC MNS
BC SO
ì

ï
^
ï
^ ^Þ Þ
í
ï
^
ï
î
.
∗ Kẻ
( )
MH SN H SN^ Î
.

Giáo viên: Trần Văn Công Trang
15
Dạng toán 4. Bài toán thể tích kết hợp với việc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
Đây có thể xem là bài toán rất cơ bản mặc dù nó chưa một lần xuất hiện trong các đề thi TNPT cũng như
Đại học – Cao đẳng (cho dù bài tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất với hàm số hầu như năm nào
cũng có mặt trong các đề thi).
Nội dung bài toán: Thể tích khối đa diện trong các dạng toán này phụ thuộc một tham số nào đó (tham
số có thể là góc, hoặc là độ dài cạnh). Bài toán đòi hỏi xác định giá trị của tham số để thể tích đạt giá
trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất.
Phương pháp giải:
Bước 1: Chọn tham số, thực chất là chọn ẩn. Ẩn này có thể là góc α thích hợp trong khối đa diện,
hoặc là một yếu tố nào đó.
Bước 2: Với ẩn số được chọn ở bước 1, ta xem đó như là các yếu tố đã cho để tính thể tích V của
khối đa diện theo các phương pháp đã biết.
Bước 3: Đến đây, nhiệm vụ của bài toán hình học coi như đã “kết thúc”. Ta có một hàm số

mà cần tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của nó. Dùng bất đẳng thức
cổ điển (Cauchy hay Bunhiacopski) hoặc sử dụng tính đơn điệu của hàm để tìm giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất ấy.
Thí dụ 24. Cho hình chóp tứ giác đều
.S A BCD
mà khoảng cách từ điểm
A
đến
( )
mp SBC
bằng
2a
. Góc hợp
bởi mặt phẳn bên và mặt phẳng đáy của hình chóp là
a
. Với giá trị nào của góc
a
thì thể tích của
hình chóp đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó ?
α
A
D
C
B
S
N
O
M
H
CHUYấN THNG 11 NM HC: 2014 2015

Do
( ) ( ) ( )
BC MN
BC MNS SBC MNS
BC SO
ỡ
ù
^
ù
^ ^ị ị
ớ
ù
^
ù
ợ
Nờn
( ) ( )
( )
( )
SB C MNS SN
MH SBC
SN MH MNS
ỡ
ù
^ =
ù
ù
^ị
ớ

ù
^ è
ù
ù
ợ
.
Va
( )
// // DA BC A D mp SBCị
( ) ( )
, , 2d A SBC d M SBC MH a
ộ ự ộ ự
= = =ị
ờ ỳ ờ ỳ
ở ỷ ở ỷ
.
Trong tam giac vuụng
MHN
, ta co:
2
sin sin
MH a
MN
a a
= =
.
Va trong tam giac vuụng
sin
: t an .
sin cos cos

a a
SON SO ON
a
a
a a a
= = =
.
( )

2
3
2
.
2
1 1 1 2 4
. . . . 1
3 3 3 sin cos
3 sin cos
S A BCD A BCD
a a a
V S SO MN SO
a a
a a
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
= = = =ị
ỗ
ữ

ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
.
T
( )
1
, ờ
.S A BCD
V
at gia tri nho nhõt thi ham
( )
2 3
sin .cos cos cosf
a a a a a
= = -
at gia tri
ln nhõt.
Xet ham sụ
3
y x x= -
xac inh va liờn tuc trờn khoang
( )
0,1
.
Ta co:
2
3
' 1 3 ' 0

3
y x y x= - = = ị
.
Bang biờn thiờn:
x

3
3
-

0

3
3

1
'y

0
+

0

-
y
2 3
9
Da vao bang biờn thiờn:
( )
khi

0;1
2 3 3
max
9 3
y x= =
hay
( )
khi
2 3 3
max cos
9 3
f
a a
= =
.
Võy: thờ tich khụi
.S A BCD
nhõn gia tri nho nhõt bng
3
3
4
2 3
2 3
3.
9
a
a=
khi va chi khi
3
cos

3
a
=
.

Giỏo viờn: Trn Vn Cụng Trang
16
Thi du 25. Cho hinh chop
.S A BC
co ay la
A BCD
vuụng cõn inh
C
va
( )
SA A BC^
. Gia s
SC a=
. Hay tim
goc gia
( )
mp SBC
va
( )
mp A BC
sao cho thờ tich khụi chop
.S A BC
la ln nhõt.
CHUYấN THNG 11 NM HC: 2014 2015

Bai giai tham khao
Ta co:
( )
BC A C
BC SA C BC SC
BC SA
ỡ
ù
^
ù
^ ^ị ị
ớ
ù
^
ù
ợ
.
Mt khac:
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
ã
ã
,
SB C A BC BC
BC SC SBC SBC ABC SCA
BC A C A BC
a
ỡ

ù
=ầ
ù
ù
ộ ự
ù
ù
^ = =èị
ớ ờ ỳ
ù ờ ỳ
ở ỷ
ù
ù
^ è
ù
ù
ợ
.
Do o, trong
SA CD
ta co:
. sin sin
. cos cos
SA SC a
A C SC a
a a
a a
ỡ
ù
= =

ù
ớ
ù
= =
ù
ợ
( )
3
2
2 2
.
1 1 1 1
. . . . cos . sin cos . sin
3 3 2 6 6
S A BC A BC
a
V S SA A C SA a a
a a a a
D
= = = =ị
.
ờ
.S A BC
V
at gia tri ln nhõt khi biờu thc
( )
2 2 2
cos . sin 1 sin . sinP
a a a a
= = -

at gia tri ln
nhõt.
Vi
( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
2 2
1 sin 1 sin 2 sin
sin 0 1 sin sin
2
P
a a a
a a a
- -
> = - =ị
.
Ma:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )

3
2 2 2
2 2 2
1 sin 1 sin 2 sin
8
1 sin 1 sin 2 sin
3 27
Cauchy
a a a

a a a
ộ ự
- + - +
ờ ỳ
- - =Ê
ờ ỳ
ờ ỳ
ờ ỳ
ở ỷ
.
khi
2 2 2
max ma x
8 2 3 3
1 sin 2 sin sin
27 2 3
P P
a a a
= = - = =ị
.
Võy
.S A BC
V
nhõn gia tri ln nhõt bng
3
27
a
khi va chi khi
3
sin

3
a
=
.
Bi 1. Cho hỡnh chúp
.S A BC
cú ỏy l tam giỏc vuụng ti
ã
0
, 30 ,B BAC SA A C a= = =
v
SA
vuụng gúc vi
( )
mp A BC
.Tớnh thờ tich khụi chop
.S A BC
v khong cỏch t
A
n
( )
mp SBC
.
S:
3
.
3
24
S ABC
a

V =
v
( )
21
,
7
a
d A SBC
ộ ự
=
ờ ỳ
ở ỷ
.
Bi 2 . Cho hỡnh chúp
.S A BCD
cú ỏy
A BCD
l hỡnh ch nht cú
, 2A B a BC a= =
. Hai
( )
mp SAB
v
( )
mp SAD
cung vuụng gúc vi mt phng ỏy, cnh
SC
hp vi ỏy mt gúc
0
60

.
Tớnh th tớch khi chúp
.S A BCD
theo
a
. S:
3
2 15
3
A BCD
a
V =

Bi 3. Hỡnh chúp
.S A BC
cú
2BC a=
, ỏy
A BC
l tam giỏc vuụng ti
,C SA B
l tam giỏc vuụng
cõn ti
S
v nm trong mt phng vuụng gúc vi mt ỏy. Gi
I
l trung im cnh
A B
.
a/ Chng minh rng, ng thng

( )
SI mp A BC^
.
b/ Bit
( )
mp SAC
hp vi
( )
mp A BC
mt gúc
0
60
. Tớnh th tớch khi chúp
.S A BC
.

Giỏo viờn: Trn Vn Cụng Trang
17
S
A
C
B

CHUYÊN ĐỀ THÁNG 11 – NĂM HỌC: 2014 – 2015

ĐS:
3
.
2 6
3

S A BC
a
V =
Bài 4. Cho hình chóp đều
.S A BCD
có cạnh đáy
2a
, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng
0
60
. Tính
thể tích của hình chóp
.S A BCD
. ĐS:
3
4 3
3
A BCD
a
V =

Bài 5. Cho hình lăng trụ
. ' ' 'A BC A B C
có đáy
A BC
là tam giác đều cạnh bằng
a
. Hình chiếu
vuông góc của
'A

xuống
( )
mp A BC
là trung điểm của
A B
. Mặt bên
( )
' 'A A C C
tạo với đáy một góc
bằng
45
o
. Tính thể tích của khối lăng trụ này. ĐS:
3
. ' ' '
3
16
A BC A B C
a
V =
.
III. KẾT THÚC VẤN ĐỀ
Thông qua chuyên đề này, tôi muốn dẫn dắt học sinh khám phám các cách giải bài toán tính thể tích
khối đa diện, nhằm gây hứng thú cho học sinh giải dạng toán này. Vì đây là dạng trìu tượng, học
sinh rất khó khăn khi tiếp cận dạng toán này.

Giáo viên: Trần Văn Công Trang
18