Đề thi HK II và đáp án Toán 11 - Đề số 3

Voî Thë Minh Tám
ĐỀ THI HỌC KÌ II MÔN TOÁN
Thời gian làm bài: 90’
… …
ĐỀ BÀI
Bài 1: 1,5 điểm
Tính các giới hạn sau:
a) lim
1
)57( 13832
22
+++
−+−−−−
nnnn
n
b)
533
143
lim
2
1
+−+
++
−→
xx
xx
x
c)
2
5
0

2cos2cos
lim
x
xx
x
−
→
Bài 2: 2 điểm
a) Tính đạo hàm của hàm số sau:
.3cos.
2
3
sin
2
x
x
y =
b) Cho hàm số y=
x
x
x
x
cot1
sin
tan1
cos
22
+
+
+

. Chứng minh rằng: y(
2
1
)
4
(')
4
=−
ππ
y
.
Bài 3: 1,5 điểm
Cho hàm số y= 2x
3
+ x
2
+ x + 1, có đồ thị (C).
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với đường
thẳng (d): 5x – 6y – 5 = 0.
b) Chứng minh trên đồ thị (C) không có hai điểm nào mà tiếp tuyến với đồ thị (C) tại
hai điểm đó vuông góc với nhau.
Bài 4: 1 điểm
Cho hàm số y= f(x)=
12
//
+
x
x
. Chứng minh hàm số này liên tục tại x= 0 nhưng không có
đạo hàm tại x= 0.

Bài 5: 2 điểm
Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC), AC= AD= 5, AB= 12, BC=
13.
a) Vẽ đoạn vuông góc chung của AD và BC. Tính d
(AD; BC)
.
b) Tính d
(A; (BCD)
.
Bài 6: 2 điểm
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Lấy điểm M trên cạnh DC và điểm
N trên cạnh BB’ sao cho DM= BN= x, 0 < x < a.
a) Chứng minh CD’ vuông góc với AC’ và mặt phẳng (A’BD) vuông góc với mặt
phẳng (ACC’A’).
b) Chứng minh AC’ vuông góc với MN.
… Hết…
Voợ Thở Minh Tỏm
AẽP AẽN
Baỡi 1:
a)
22
2
533)(13(
lim
533
143
lim
1
2
1

=
+++
=
++
++

xxx
xx
xx
xx
. 0,5õ
b)
.8
4
4.2sin)2cos1(2cos
lim
2
22
0
=
+

x
xxx
x
0,5õ
c)
4
5
)1(2

)572(
lim
22
=
+++
+
nnnn
nn
. 0,5õ
Baỡi 2:
a) y = 2sin
2
3x
.(sin
2
3x
).cos3x - 3sin3x.
2
3
sin
2
x
0,5õ
=
4
3
sin6x 3
2
3
sin

2
x
.sin3x. 0,5õ
b) y= 1 -
2
1
sin2x, y= - cos2x. 0,5õ
y(
4

)=
2
1
, y(
4

)= 0. 0,5õ
Baỡi 3:
a) y(x
0
)=
6
1
6
5
126
6
5
00
2

0
==++ xxx
, 0,5õ
y(x
0
)=

27
23
phổồng trỗnh tióỳp tuyóỳn: y=
108
107
6
5
+x
. 0,5õ
b) y= 6x
2
+ 2x + 1> 0, y(x
1
).y(x
2
)= -1: vọ lyù. 0,5õ
Baỡi 4:
a)
0)0(limlim
00
===
+

yyy
xx
, haỡm sọỳ lión tuỷc taỷi x= 0, 0,5õ

1
)12(
lim
)0()(
lim,1
)12(
lim
)0()(
lim
0000
=
+

=

=
+
=

++

xx
x
x
fxf
xx

x
x
fxf
xxxx
,
haỡm sọỳ khọng coù õaỷo haỡm taỷi x= 0. 0,5õ
Baỡi 5:
a) Tam giaùc ABC vuọng taỷi A.
Veợ AH

BC, AH laỡ õoaỷn vuọng goùc chung.
0,5õ
13
60111
222
=+= AH
ACABAH
. 0,5õ
b) Veợ AK
)(SBCAKSH
,
0,5õ
313
60111
222
=+= AK
SAAHAK
. 0,5õ

Voî Thë Minh Tám

D
A
B
C
H
K
Baìi 6:
P
C'
B'
D'
D
B
A
C
A'
M
N

a) CD’
⊥
C’D, CD’
⊥
AD nãn CD’
⊥
AC’. 0,5â
BD
⊥
AC, BD
⊥

CC’, suy ra BD
⊥
(ACC’A’).0,5â
b) Veî MP//CD’ ta coï: AC’
⊥
MP, 0,5â
BD//NP, BD
⊥
AC’, suy ra AC’
⊥
NP.
Do âoï, AC’
⊥
(MNP). Hay AC’
⊥
MN.
0,5â