chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 9

PHẦN SỐ HỌC
Bài 1: TÍNH CHIA HẾT TRÊN TẬP HỢP SỐ NGUYÊN.
SỐ NGUYÊN TỐ.
A. Nhắ c l ạ i và b ổ sung các ki ế n th ứ c cầ n thi ế t:
I. Tính chia hế t :
1. Đị nh lí v ề phép chia: Với mọi số nguyên a,b (b
≠
0), bao giờ cũng có một cặp số
nguyên q, r sao cho : a = bq + r với
br
<≤
0
.
a gọi là số bị chia , b là số chia, q là thương và r là số dư.
Trong trường hợp b > 0 và r
≠
0 có thể viết: a = bq + r = b(q +1)+ r - b.
Ví dụ: Mọi số nguyên a đều có dạng:
a = 2q
±
1 (xét phép chia cho b = 2)
a = 3q ; 3q
±
1 (xét phép chia cho b = 3)
a = 4q ; 4q
±
1 ; 4q
±
2 (xét phép chia cho b = 4).
a = 5q; 5q

±
1; 5q
±
2 (xét phép chia cho b = 5)

2. Tính chia hế t: Nếu a chia b mà số dư r = 0, ta nói :
a chia hết cho b hay a là bội của b (kí hiệu a

b)
b chia hết a hay b là ước của a (kí hiệu b\ a)
Vậy: a

b (b\ a) khi và chỉ khi có số nguyên q sao cho a = bq.
3. Các tính chấ t:
1) Nếu a

b thì
±
a

±
b (b
≠
0)
2) a

a; 0

a với mọi a
≠

0
3) a

±
1 với mọi a
4) Nếu a

m thì a
n


m (m
≠
0, n nguyên dương).
5) Nếu a

b và b

a thì |a| = |b|
6) Nếu a

b và b

c (b,c
≠
0) thì a

c.
7) Nếu a


c và b

c(c
≠
0) thì (a
±
b)

c. Điều ngược lại không đúng.
8) Nếu a

m hoặc b

m thì ab

m(m
≠
0). Điều ngược lại không đúng.
9) Nếu a

p và a

q, (p, q)= 1 thì a

pq
10) Nếu a = mn; b = pq và m

p n

q thì a


b
11) Nếu ab

m và (b,m) = 1 thì a

m
12) Nếu a
±
b

m và a

m thì b

m
II. Số nguyên t ố:
1.Đị nh nghĩ a: Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó.
Hợp số là số tự nhiên lơn hơn 1 có nhiều hơn hai ước.
Số 1 và số 0 không phải là số nguyên tố cũng không phải là hợp số.
2. Đị nh lí c ơ b ả n c ủ a s ố h ọ c: Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích được ra thừa số
nguyên tố một cách duy nhất(không kể thứ tự các thừa số).
Số nguyên tố được coi như là tích chỉ gồm một thừa số là chính nó.
Có vô số số nguyên tố (không có số nguyên tố lớn nhất).
Số hoàn chỉnh: là số bằng tổng các ước của nó không kể bản thân nó.
Ví dụ: 6 , 28, , 2
n-1
(2
n
- 1)

III. Mộ t s ố ph ươ ng pháp thông th ườ ng để gi ả i bài toán v ề chia h ế t:
Cách 1: Để chứng minh A(n) chia hết cho k, có thể xét mọi trường hợp số dư khi
1

chia n cho k.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng:
a) Tích của hai số nguyên liên tiếp chia hết cho 2.
b) Tích của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 3.
Giải : a) Viết tích của hai số nguyên liên tiếp dưới dạng A(n) = n(n + 1).
Có hai trường hợp xảy ra :
* n

2 => n(n + 1)

2
* n không chia hết cho 2 (n lẻ) => (n + 1)

2 => n(n +1)

2
b) Chứng minh tương tự a.
Cách 2: Để chứng minh A(n) chia hết cho k, có thể phân tích k ra thừa số: k = pq .
+ Nếu (p, q) = 1, ta chứng minh A(n)

p và A(n)

q.
+ Nếu (p, q)
≠
1, ta phân tích A(n) = B(n) .C(n) rồi chứng minh:

B(n)

p và C(n)

q .
Ví dụ 2: a) Chứng minh: A(n) = n(n +1)(n + 2)

6.
b) Chứng minh: tích của hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8.
Giải : a) Ta có 6 = 2.3; (2,3) = 1 . Theo chứng minh trên đã có A(n) chia hết cho 2 và 3.
Do đó A(n) chia hết cho 6.
b) Ta viết A(n) = 2n(2n + 2) = 2n. 2(n +1) = 4n(n + 1).
8 = 4 . 2.
Vì 4

4 và n(n +1)

2 nên A(n)

8
Ví dụ 3 : Chứng minh rằng n
5
- n chia hết cho 10, với mọi số nguyên dương n.
(Trích đề thi HSG lớp 9 cấp tỉnh năm học 2005 - 2006)
Giải : A(n) = n
5
- n = n(n
4
- 1) = n(n
2

- 1)(n
2
+ 1) = n(n - 1)(n + 1)(n
2
+1)

2
n = 5k + 1 => (n - 1)

5
n = 5k + 4 => (n + 1)

5.
n = 5k + 2 => n
2
+ 1 = (5k + 2)
2
+ 1 = (25k
2
+ 20k + 4 + 1)

5
n = 5k + 3 => n
2
+ 1 = (5k + 3)
2
+ 1 = (25k
2
+ 30k + 9 + 1)


5
Vậy : A(n) chia hết cho 2 và 5 nên phải chia hết cho 10.
Cách 3: Để chứng minh A(n) chia hết cho k , có thể biến đổi A(n) thành tổng(hiệu)
của nhiều hạng tử , trong đó mỗi hạng tử đều chia hết cho k . ( Đã học trong tính
chất chia hết của một tổng ở lớp 6)
(Liên hệ: A(n) không chia hết cho k )
Ví dụ 4: Chứng minh n
3
- 13n (n > 1) chia hết cho 6. (Trích đề thi HSG cấp II toàn
quốc năm 1970).
Giải : n
3
- 13n = n
3
- n - 12n = n(n
2
- 1) - 12n = (n - 1)n(n + 1) - 12n
(n - 1)n(n + 1) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 6 ; 12n

6 . Do đó
A(n)

6
Ví dụ 5: Chứng minh n
2
+ 4n + 5 không chia hết cho 8 , với mọi số n lẻ.
Giải : Với n = 2k +1 ta có:
A(n) = n
2
+ 4n + 5 = (2k + 1)

2
+ 4(2k + 1) + 5 = 4k
2
+ 4k + 1 + 8k + 4 + 5
= 4k(k + 1) + 8(k + 1) + 2.
A(n) bằng tổng của ba hạng tử, trong đó hai hạng tử đầu đều chia hết cho 8 , duy chỉ có
hạng tử 2 không chia hết cho 8. Vậy A(n) không chia hết cho 8.
Cách 4: Viết A(n) được dưới dạng: A(n) = k.B(n) thì A(n) chia hết cho k.
Hệ quả: Nếu A(n) = B(n).C(n) mà B(n)và C(n) đều không chia hết cho k thì A(n)
2

không chia hết cho k
Ví dụ 6: Chứng minh : 2 + 2
2
+ 2
3
+ + 2
60
chia hết cho 15.
Giải: Ta có: 2 + 2
2
+2
3
+ + 2
60
= (2 + 2
2
+ + 2
4
) + (2

5
+ +2
8
)+ +(2
57
+ 2
60
)
= 2(1+2+4+8) +2
5
(1+2+4+8) + + 2
57
(1+2+4 + 8) = 15.(2 + 2
5
+ + 2
57
)

15.
IV. Một số phương pháp đặc biệt để giải toán chia hết:
Cách 5: Dùng nguyên tắc Dirichlet:
Nguyên tắc Dirichlet phát biểu dưới dạng hình ảnh như sau:
Nếu nhốt k chú thỏ vào m chuồng mà k> m thì phải nhốt ít nhất hai chú thỏ vào
chung một chuồng.
Ví dụ 7: Chứng minh rằng trong m + 1 số nguyên bất kì thế nào cũng có hai số có hiệu
chia hết cho m.
Giải: Chia một số nguyên bất kì cho m ta được số dư là một trong m số 0; 1 ; 2; 3; ; m
- 1. Theo nguyên tắc Dirichlet, chia m + 1số cho m thì phải có ít nhất hai số có cùng số
dư . Do đó hiệu của hai số này sẽ chia hết cho m.
Cách 6: Dùng phương pháp qui nạp toán học: Để chứng minh A(n)


k ta làm theo
trình tự sau:
Thử với n = 1 hoặc 2(Tức số n nhỏ nhất chọn ra).Nếu sai => Dừng.Nếu đúng A(1)

k.Tiếp tục:
Giả sử A(k)

k.
Chứng tỏ A(k + 1)

k. Nếu đúng => Kết luận : A(n)

k
Ví dụ 8: Chứng minh : 16
n
- 15n - 1 chia hết cho 225.
Đặt A(n) = 16
n
- 15n -1 , ta có : A(1) = 16 - 15 - 1 = 0

225 => A(1) đúng.
Giả sử A(k) đúng : A(k) = 16
k
- 15k -1

225. Ta chứng minh A(k + 1) đúng, tức là c/m:
16
k + 1
- 15(k + 1) - 1


225.
Thật vậy, 16
k+1
- 15(k + 1) - 1 = 16. 16
k
- 15k - 15 - 1 = (15 + 1) 16
k
- 15k - 15 - 1
= 15.16
k
+ 16
k
- 15k -15 - 1 = (16
k
- 15k - 1) + 15(16
k
- 1)
= (16
k
-15k-1)+15(16 - 1)(16
k-1
+ +1) = (16
k
- 15k - 1) + 225(16
k-1
+ + 1)

225
Cách 9: Phương pháp phản chứng:

Để chứng minh A(n)

k ta chứng minh A(n) không chia hết cho k là sai.
B. PHẦN BÀI TẬP: Chứng minh:
1. a) 19
2007
- 19
2006
chia hết cho 9.
b) 9
2n
+ 14 chia hết cho 5.
c) Tổng của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3, tổng của 5 số tự nhiên liên tiếp chia
hết cho5.
2. Tích của một số chính phương và một số tự nhiên đứng liền trước nó là một số chia
hết cho 12.
3. (n
2
- 1)n
2
(n
2
+ 1) chia hết cho 60
4. a) n
2
+ 11n + 39 không chia hết cho 49
b) n
2
+ 3n +5 không chia hết cho 11
5. a) n

4
+ 6n
3
+ 11n
2
+ 6n chia hết cho 24.
b) n
4
- 4n
3
- 4n
2
- 16n (chẵn, n > 4) chia hết cho 384.
6. 4
n
+ 15n - 1 chia hết cho 9.
7. n
2
+ 4n + 3 (n lẻ) chia hết cho 8.
8. n
3
+ 3n
2
- n - 3 chia hết cho 48.
9) 3
6n
-2
6n
chia hết cho 35
3

10) ab(a
2
+ b
2
)(a
2
- b
2
) chia hết cho 30 với mọi số nguyên a,b.
11) a) (6
2n
+ 19
n
- 2
n+1
) chia hết cho17.
b) (7.5
2n
+ 12.6
n
) chia hết cho 19.
c) (5
n+2
+ 26.5
n
+ 8
2n+1
) chia hết cho 59.
12) a)a

2
+ b
2
chia hết cho 7 thì a và b cũng chia hết cho 7.
b) a
2
+ b
2
chia hết cho 3 thì a và b cũng chia hết cho 3
Bài 2: ĐỒNG DƯ THỨC .
A. Tóm tắ t lý thuy ế t :
I. Đị nh ngh ĩ a:
1.Định nghĩa: Cho số nguyên m > 0.Nếu hai số nguyên a và b khi chia cho m có cùng
số dư thì ta nói rằng a đồng dư với b theo môđun m và viết:
a
≡
b (modm).
2. Ví dụ: 3
≡
5 (mod2)
14
≡
0 (mod 7)
II. Tính chấ t :
1. Nếu a
≡
b (mod m) thì a - b

m
2. Nếu a

≡
b (mod m) và b
≡
c (mod m) thì a
≡
c (mod m)
3. Nếu a
≡
b (mod m) và c
≡
d (mod m) thì a
±
c
≡
b
±
d (mod m)
4. Nếu a
≡
b (mod m) và c
≡
d (mod m) thì ac
≡
bd (mod m)
5. Nếu a
≡
b (mod m) thì a
n

≡

b
n
(mod m)
6. Nếu a
≡
b (mod m) thì ka
≡
kb (mod m) với k > 0
7. Nếu ka
≡
kb (mod km) thì a
≡
b (mod m) với k > 0
8. Nếu ka
≡
kb (mod m) và (k , m) = 1thì a
≡
b (mod m) .
9. Định lí Fermat: Nếu p là số nguyên tố thì : n
p

≡
n (mod p) ; n
∈
Z
Hoặc : Nếu p là số nguyên tố thì : n
p-1

≡
1 (mod p), với (n,p) = 1

10.Định lí Euler : Cho m là một số nguyên dương bất kì và (m) là số các số
dương nhỏ hơn m và nguyên tố với m. Thế thì : n

(m)

≡
1 (mod m)
* Cách tính (m) : phân tích m ra thừa số nguyên tố :
m = a
1
α
. a
2
β
a
n
λ
. Thế thì : (m) = m








−









−








−
n
aaa
1
1
1
1
1
1
21
III. Bài tậ p ứ ng d ụ ng:
Bài 1: Chứng minh 2
100
- 1 chia hết cho 5
Giải : Ta có 2
4

≡
1(mod 5) =>(2
4
)
25

≡
1
25
(mod 5) =>2
100

≡
1(mod 5) hay 2
100
- 1

5
Bài 2: Tìm số dư của phép chia 2
99
cho 3.
Giải : Có 2
3

≡
-1 (mod 3)
⇔
(2
3
)

33

≡
(-1)
33
(mod 3)
⇔
2
99

≡
-1 (mod 3) .
Vậy 2
99
chia 3 dư 2.
Bài 3 : Tìm chữ số cuối cùng của 2
999
Bài 4: Chứng minh 2
2008
không chia hết cho 10.
Bài 5: Chứng minh rằng trong các số tự nhiên thế nào cũng có số k sao cho 1983
k
- 1
chia hết cho 10
5
.
Giải:
Cách 1: Áp dụng nguyên tắc Dirichlet:
Cho k lần lượt lấy 10
5

+ 1 giá trị liên tiếp từ 1 trở đi, ta được 10
5
+ 1 giá trị khác
nhau của 1983
k
- 1. Chia 10
5
+1 số này cho 10
5
, ta có nhiều nhất là 10
5
số dư, do đó
4

theo nguyên tắc Dirichlet, phải có hai số cho cùng số dư khi chia cho 10
5
. Giả sử đó là
hai số 1983
m
-1 và 1983
n
- 1 (m > n). Thế thì hiệu của hai số này phải chia hết cho 10
5
:
(1983
m
- 1) - (1983
n
-1) = 1983
m

- 1983
n
= 1983
n
(1983
m-n
-1)

10
5
.
Do 1983 không chia hết cho 10
5
=> 1983
n
cũng không chia hết cho 10
5
.
Vì vậy 10
m-n
- 1 chia hết cho 10
5
. Như vậy tìm được số k = m-n sao cho 1983
k
- 1 chia
hết cho 10
5
.
Cách 2: Áp dụng định lí Euler:
Vì 1983 không chia hết cho 2 và không chia hết cho 5 , còn 10

5
= 2
5
5
5
nên (1983,
10
5
) = 1 . Áp dụng định lí Euler: 1983

(10
5
)
≡
1 (mod 10
5
)
Mà (10
5
) = 10
5
(1 -
2
1
) (1 -
5
1
) = 4. 10
4
.

Nên ta có 1983
4.10
4
≡
1 (mod 10
5
).
số 4.10
4
là số k phải tìm.
Đề bài áp d ụ ng :
1. Tìm số dư khi :a) chia 8! Cho 11; b) chia 1532
5
-1 cho 9
c) chia 3
40
cho 83.; d) chia 2
1000
cho 25; e) chia 3012
93
cho 13
2. Chứng minh rằng : a) 2
4n
- 1

15; b) 2
70
+ 3
70


13
c) 12
2n+1
- 11
n+2


133; d) 2222
5555
+ 5555
2222


7
e) 1
4k
+ 2
4k
+ 3
4k
+ 4
4k
không chia hết cho 5
TrườngTHCS Nguyễn đình chiểu Năm học2010-2011
KẾ HOẠCH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI 9
Năm học 2011-2012
Chuyên đề 1: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
a.
( ) ( )

11
22
+−+
axxa
b.
nn
xxx
−+−
+
3
1
. Giải:
a. Dùng phương pháp đặt nhân tử chung
( ) ( )
11
22
+−+
axxa
=
xxaaax
−−+
22
( ) ( ) ( )( )
1
−−=−−−=
axaxaxaxax
b. Dùng phương pháp đặt nhân tử chung rồi sử dụng hằng đẳng thức
nn
xxx
−+−

+
3
1
.
( )
( )
11
3
−+−=
xxx
n
( )
( )
( ) ( )
( )
[ ]
( )
( )
11
111111
12
22
+++−=
+++−=−+++−=
++
nnn
nn
xxxx
xxxxxxxxx
Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử :

a. x
8
+ 3x
4
+ 4.
b. x
6
- x
4
- 2x
3
+ 2x
2
.
Giải:
a.Dùng phương pháp tách hạng tử rồi sử dụng hằng đẳng thức
x
8
+ 3x
4
+ 4 = (x
8
+ 4x
4
+ 4)- x
4
= (x
4
+ 2)
2

- (x
2
)
2

= (x
4
- x
2
+ 2)(x
4
+ x
2
+ 2)
5

b.Dùng phương pháp đặt nhân tử chung ,tách hạng tử ,nhóm thích hợp để sử dụng hằng
đẳng thức
x
6
- x
4
- 2x
3
+ 2x
2
= x
2
(x
4

- x
2
- 2x +2)
( ) ( )
[ ]
( )
( )
[ ]
( ) ( )
[ ]
( )
[ ]
221
11111
1212
2
2
2
22
2
2
2
22
2242
++−=
++−=−+−=
+−++−=
xxxx
xxxxxx
xxxxx

Ví dụ 3: Phân tích đa thức thành nhân tử :
a.
abcbccbaccaabba 42442
222222
−+−+−+
b.
200720062007
24
+++
xxx
Giải:
a.Dùng phương pháp tách hạng tử rồi nhóm thích hợp:
abcbccbaccaabba 42442
222222
−+−+−+

( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
[ ]
( )( )( )
cacbba
cbccbababccacabba
babcbacbaacbaab
abcbccbacabccaabba
abcbccbaccaabba
−−+=
−−−+=−+−+=
+−+++−+=

=−+−+−−+=
−+−+−+
22
222222
222222
224242
42442
2
2
222222
222222
b.Dùng phương pháp đặt nhân tử chung rồi sử dụng hằng đẳng thức
20072062007
24
+++
xxx
( )
( )
( ) ( )
( )( )
20071
1200711
200720072007
22
22
24
+−++=
+++++−=
+++−=
xxxx

xxxxxx
xxxx
Ví dụ 4: Phân tích đa thức thành nhân tử : a.
abccba 3
333
−++
b.
( )
333
3
cbacba
−−−++
.
Giải: Sử dụng các hằng đẳng thức
( )
( )
abbababa
−++=+
2233
( ) ( )
[ ]
abbaba 3
2
−++=
( ) ( )
baabba
+−+=
3
3
.Do đó:

=−++
abccba 3
333
( )
[ ]
( )
abcbaabcba 33
3
3
−+−++=
( ) ( ) ( )
[ ]
( )
( )
( )
cabcabcbacba
cbaabccbabacba
−−−++++=
++−++−+++=
222
2
2
3
b.
( ) ( )
[ ]
( )
3
3
3

333
3
cbacbacbacba
+−−++=−−−++
( ) ( ) ( )
[ ]
( )
( )
( )
( )
( )( )( )
bacacbcabcabacb
cbcbcbacbaacbacb
+++=++++=
+−+−+++++++=
33333
2
222
2
Ví dụ 5: Cho a + b + c = 0.
Chứng minh rằng :a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc.
6

Giải: Vì a + b + c = 0

( ) ( )
abccbaabccba
cbaabbacba
303
3
333333
3333
3
=++⇒=−++⇒
−=+++⇒−=+⇒
Ví dụ 6: Cho 4a
2
+ b
2
= 5ab, và 2a > b > 0. Tính
22
4 ba
ab
P
−
=
Giải: Biến đổi 4a
2
+ b
2
= 5ab
⇔
4a
2
+ b

2
- 5ab = 0
⇔
( 4a - b)(a - b) = 0
⇔
a = b.
Do đó
3
1
34
2
2
22
==
−
=
a
a
ba
ab
P
Ví dụ 7:Cho a,b,c và x,y,z khác nhau và khác 0. Chứng minh rằng nếu:
1;0 =++=++
c
z
b
y
a
x
z

c
y
b
x
a
thì
1;
2
2
2
2
2
2
=++
c
z
b
y
a
x
Giải:
000
=++⇒=
++
⇒=++
cxybxzayz
xyz
cxybxzayz
z
c

y
b
x
a
2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 2. 1 1
x y z x y z x y z ayz bxz cxy x y z
a b c a b c a b c abc a b c
+ +
 
+ + = ⇒ + + = + + + = ⇒ + + =
 ÷
 
Chuyên đề 2:.BẤT ĐẲNG THỨC CÔ – SI
1. Chứnh minh : (Với a , b ≥ 0) (BĐT Cô-si)
Giải:( a – b ) = a - 2ab + b ≥ 0 ⇒ a + b ≥ 2ab .Đẳng thức xảy ra khi a = b
2. Chứng minh: . (Với a , b ≥ 0)
Giải:( a+b ) = (a - 2ab + b )+ 4ab = (a-b) + 4ab ≥ 0 + 4ab ⇒ ( a + b ) ≥ 4ab .
Đẳng thức xảy ra khi a = b.
3. Chứng minh: (Với a , b ≥ 0)
Giải:2(a + b) – ( a+b ) = a-2ab+b = (a-b) ≥ 0 ⇒ 2(a + b) ≥ ( a+b ).
Đẳng thức xảy ra khi a = b.
4. Chứng minh: .(Với a.b > 0)
Giải: + = .Do ab ≤ ⇒ ≥ 2 .Hay + ≥ 2 .
Đẳng thức xảy ra khi a = b
5. Chứng minh: .(Với a.b < 0)
Giải: + = - .Do ≥ 2 ⇒ - ≤ -2. Hay + ≤ - 2.
Đẳng thức xảy ra khi a = -b.

6. Chứng minh: . (Với a , b > 0)
Giải: + - = = ≥ 0 ⇒ + ≥ .
Đẳng thức xảy ra khi a = b.
Chứng minh rằng: .
Giải:2(a +b +c) – 2(ab+bc+ca) =(a-b) +(b-c) +(c-a) ≥ 0
7. ⇒ 2(a +b +c) ≥ 2(ab+bc+ca) .Hay a +b +c ≥ ab+bc+ca . Đẳng thức xảy ra khi a
= b;b = c;c = a ⇔ a = b= c.
Chuyên đề 3:TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
7

DẠNG
• Nếu a > 0 :
2
2
2
4ac-b
ax + bx +c =
4a 2
b
P a x
a
 
= + +
 ÷
 
Suy ra
2
4ac-b
=
4a

MinP
Khi
b
x=-
2a
• Nếu a < 0 :
2
2
2
4 a c+b
ax + bx +c =
4 a 2
b
P a x
a
 
= − −
 ÷
 ÷
 

Suy ra
2
4 a c+b
ax
4 a
M P
=
Khi
b

x=
2 a

Một số ví dụ:
1. Tìm GTNN của A = 2x
2
+ 5x + 7
Giải:A = 2x
2
+ 5x + 7 =
2
5 25 25
2( 2. ) 7
4 16 16
x x
+ + − +
=

2 2 2
5 25 56 25 5 31 5
2( ) 7 2( ) 2( )
4 8 8 4 8 4
x x x
−
= + − + = + + = + +
.
2. Suy ra
31 5
8 4
MinA Khi x= = −

.
3. Tìm GTLN của A = -2x
2
+ 5x + 7
Giải: A = -2x
2
+ 5x + 7 = -
2
5 25 25
2( 2. ) 7
4 16 16
x x− + − +
=

2 2 2
5 25 56 25 5 81 5
2( ) 7 2( ) 2( )
4 8 8 4 8 4
x x x
+
= − − + + = − − = − −
≤ .
4. Suy ra
81 5
8 4
MinA Khi x
= =
.
5. Tìm GTNN của B = 3x + y - 8x + 2xy + 16.
Giải: B = 3x + y - 8x + 2xy + 16 = 2(x - 2) + (x + y) + 8 ≥ 8.

⇒ MinB = 8 khi : ⇔ .
6. Tìm GTLN của C = -3x - y + 8x - 2xy + 2.
Giải: C = -3x - y + 8x - 2xy + 2 = 10 - ≤ 10.
⇒ GTLNC = 10 khi: ⇔ .
Chuyên đề 4:
• Ví dụ 1`:
a. Rút gọn Biếu thức
62
9124
2
2
−−
++
=
aa
aa
B
Với a
2
3
−≠
b. Thực hiện phép tính:
( )
aaa
a
a
aa
−
+
+

−
+
++
2
2
2
8
:
5,01
25,0
32
(a
≠
±
2.)
Giải:a.
62
9124
2
2
−−
++
=
aa
aa
B
( )
( )( )
2
32

232
32
2
−
+
=
−+
+
=
a
a
aa
a
b.
( ) ( )
aa
a
a
a
aa
aaa
a
a
aa
−
+
−
+
⋅
+

++
=
−
+
+
−
+
++
2
2
8
2
2
42
2
2
2
8
:
5,01
25,0
3
232
( )
( )
( ) ( )
aaa
a
aa
aaa

aa 1
2
2
2
2
422
42
2
2
=
−
−
=
−
−
++−
++
=
8

• Ví dụ 2 Thực hiện phép tính:
xyyx
yx
yx
xyyx
A
2
:
22
33

22
22
−+
+
−
−+
=
.( Với x
≠

±
y)
Giải:
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
2
2 2 3 3 2 2
2
2 2 2 2
2 2
:
2
x y
x y xy x y x y xy x y
A
x y x y xy x y x y
x y x y xy

x y
−
+ − + + − −
= = × =
− + − − +
+ + −
+
• Ví dụ 3 Cho biểu thức :
12
1
234
34
+−+−
+++
=
xxxx
xxx
A
.
a. Rút gọn biểu thức A.
b. Chứng minh rằng A không âm với mọi giá trị của x .
1
1
12
1
2234
34
234
34
+−++−

+++
=
+−+−
+++
=
xxxxx
xxx
xxxx
xxx
A
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
2
2
3 2
3
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
x x x x x
x x x x

x x x x x x x x x x x x
+ + + − +
+ + + +
= = = =
− + + − + − + + − + + +
b.
( )
( )
001;01;
1
1
2
2
2
2
≥⇒>+≥+
+
+
=
Axx
x
x
A
Ví dụ 4 Tính giá trị biếu thức :
8765
8765
−−−−
+++
+++
aaaa

aaaa
với a = 2007.Giải:
( )
( )
8 5 6 7 8
5 6 7 8 5 6 7 8 5 6 7 8
3 2 1
5 6 7 8 3 2
5 6 7 8
8
13 2 3
13 13
3 2
1 1 1 1
1
1
1
2007
1
a a a a a
a a a a a a a a a a a a
B
a a a
a a a a a a a
a a a a
a
a a a a
a B
a a a
− − − −

+ + +
+ + + + + + + + +
= = = =
+ + +
+ + + + + +
+ + +
+ + +
= = ⇒ =
+ + +
• Ví dụ 5: Tính giá trị biếu thức :
2
2
:
2510
25
223
2
−−
−
+−
−
yy
y
xxx
x
.
Biết x
2
+ 9y
2

- 4xy = 2xy -
3
−
x
.
Giải:
x
2
+ 9y
2
- 4xy = 2xy -
3
−
x
( )
033
2
=−+−⇔ xyx



=
=
⇔



=
=
⇔

1
3
3
3
y
x
x
yx
( )( )
( )
( )( )
2
12
5
55
2
2
:
2510
25
2223
2
−
+−
⋅
−
+−
=
−−
−

+−
−
=
y
yy
xx
xx
yy
y
xxx
x
C
( )( )
( ) ( )
3
8
2.3
2.8
5
15
−=
−
=
−
++
=
xx
yx
Chuyên đề 5: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI.
Bài 1: Cho phương trình ẩn số x: x

2
– 2(m – 1)x – 3 – m = 0 (1)
a) Giải phương trình khi m = 2.
b) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm số với mọi m.
c) Tìm m sao cho nghiệm số x
1,
x
2
của phương trình thỏa mãn
điều kiện
2
1
x
+
2
2
x
≥
10.
9

Bài 2: Cho các số a, b, c thỏa điều kiện:
( )



−+<+
>
acbcabac
c

2
0
2
Chứng minh rằng phương trình ax
2
+ bx + c = 0 luôn luôn có nghiệm.
Bài 3: Cho a, b, c là các số thực thỏa điều kiện: a
2
+ ab + ac < 0.
Chứng minh rằng phương trình ax
2
+ bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt.
Bài 4: Cho phương trình x
2
+ px + q = 0. Tìm p, q biết rằng phương trình có hai
nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn:



=−
=−
35
5
3
2
3

1
21
xx
xx
Bài 5: CMR với mọi giá trị thực a, b, c thì phương trình
(x – a)(x – b) + (x – c)(x – b) + (x – c)(x – a) = 0 luôn có nghiệm.
Bài 6: CMR phương trình ax
2
+ bx + c = 0 ( a
≠
0) có nghiệm biết rằng 5a + 2c = b
Bài 7: Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác. CMR phương trình sau có
nghiệm:
(a
2
+ b
2
– c
2
)x
2
- 4abx + (a
2
+ b
2
– c
2
) = 0
Bài 8: CMR phương trình ax
2

+ bx + c = 0 ( a
≠
0) có nghiệm nếu
4
2
+≥
a
c
a
b
Bài 9: Cho phương trình : 3x
2
- 5x + m = 0. Xác định m để phương trình có hai nghiệm
thỏa mãn:
2
1
x
-
2
2
x
=
9
5
Bài 10: Cho phương trình: x
2
– 2(m + 4)x +m
2
– 8 = 0. Xác định m để phương trình có
hai nghiệm x

1
, x
2
thỏa mãn:
a) A = x
1
+ x
2
-3x
1
x
2
đạt GTLN
b) B = x
1
2
+ x
2
2
- đạt GTNN.
c) Tìm hệ thức liên hệ giữa x
1
,

x
2
không phụ thuộc vào m.
Bài 11: Giả sử x
1
,

x
2
là hai nghiệm của phương trình bậc 2:
3x
2
- cx + 2c - 1 = 0. Tính theo c giá trị của biểu thức:
S =
3
2
3
1
11
xx
+
Bài 12: Cho phương trình : x
2
- 2
3
x + 1 = 0. Có hai nghiệm là x
1
,

x
2.
Không giải
phương trình trên hãy tính giá trị của biểu thức:
A =
2
3

1
3
21
2
221
2
1
44
353
xxxx
xxxx
+
++
Bài 13: Cho phương trình: x
2
– 2(a - 1)x + 2a – 5 = 0 (1)
1) CMR phương trình (1) luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của a.
2) Tìm giá trị của a để pt (1) có hai nghiệm x
1
,

x
2
thỏa mãn điều kiện:
x
1
2
+ x
2
2

= 6.
3. Tìm giá trị của a để phương trình có hai nghiệm x
1
,

x
2
thỏa mãn điều kiện:
x
1
< 1 <

x
2
.
Bài 14: Cho phương trình: x
2
– 2(m - 1)x + m – 3 = 0 (1)
a) CMR phương trình (1) có nghiệm với mọi giá trị của m.
b) Gọi x
1
,

x
2
là hai nghiệm của phương trình (1) .
10

Tỡm GTNN ca M = x
1

2
+ x
2
2
Bi 15: Cho a, b l hai s thc tha món iu kin:
2
111
=+
ba
CMR ớt nht mt trong hai phng trỡnh sau phi cú nghim:
x
2
+ ax + b = 0 v x
2
+ bx + a = 0.
Bi 16: Cho phng trỡnh: x
2
2(m + 1)x + 2m +10 = 0 (1)
a) Gii v bin lun s nghim ca phng trỡnh (1) theo m.
b) Tỡm m sao cho 10x
1
x
2
+ x
1
2
+ x
2
2
t GTNN. Tỡm GTNN ú.

Bi 17: Chng minh rng vi mi s a, b, c khỏc 0, tn ti mt trong cỏc phng trỡnh
sau phi cú nghim:
ax
2
+ 2bx + c = 0 (1)
bx
2
+ 2cx + a = 0 (2)
cx
2
+ 2ax + b = 0 (2)
Bi 18: Cho phng trỡnh: x
2
(m - 1)x + m
2
+ m 2 = 0 (1)
a) CMR phng trỡnh (1) luụn luụn cú nghim trỏi du vi mi giỏ tr ca m.
b) Vi giỏ tr no ca m, biu thc P = x
1
2
+ x
2
2
t GTNN.
Bi 19: Cho phng trỡnh: x
2
2(m - 1)x 3 - m = 0 (1)
1) CMR phng trỡnh (1) luụn cú hai nghim vi mi giỏ tr ca m.
2) Tỡm giỏ tr ca m pt (1) cú hai nghim x
1

,

x
2
tha món iu kin:
x
1
2
+ x
2
2


10.
3) Xỏc nh giỏ tr ca m phng trỡnh cú hai nghim x
1
,

x
2
tha món iu kin:
E = x
1
2
+ x
2
2
t GTNN.
Bi 20: Gi s phng trỡnh bc 2: x
2

+ ax + b + 1 = 0 cú hai nghim nguyờn dng.
CMR: a
2
+ b
2
l mt hp s.
Chuyờn 6:Ph ng trỡnh vụ t
Dạng1:
( ) ( )f x g x
=

( ) ( ) 0
( ) ( )
x TXD
f x g x
f x g x


=

=

(*)
Chú ý: Điều kiện (*) đợc lựa chọn tuỳ theo độ phức tạp của f(x)

0 và g(x)

0
VD: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm:
2 2

3 2 2x x m x x
+ = +
2
2 2
1 2
3 2 0
3 2 2 0
1
1
x
x x
x x m x x
x m
x m


+

+ = +

= +
= +


Để phơng trình có nghiệm thì 1
1 2 0 1m m
+

Dạng2:
2

( ) & ( ) 0
( ) ( )
( ) ( )
g x conghia g x
f x g x
f x g x


=

=

Chú ý: Không cần đặt điều kiện
( ) 0f x

VD: Giải phơng trình:
2 2
2 2
1 0
1
1 1 1 1 1
2 2
1 ( 1)
x
x
x x x x x
x
x x
+

= = + =

=
= +


Vậy phơng trình có nghiệm x=-1
11

Dạng3:
2
( ) & ( ) 0
( ) ( ) ( ) ( ) & ( ) 0
( ( ) ( )) ( )
f x co nghia f x
f x g x h x g x co nghia g x
f x g x h x



+ =


+ =

Chú ý: Không cần đặt điều kiện
( ) 0h x

VD: Giải phơng trình:
4 1 1 2
1
1 0
1
1 1 2 4 1 2 0
2
1 1 2 2 (1 )(1 2 ) 4
(1 )(1 2 ) 2 1
x x x
x
x
x x x x x
x x x x x
x x x
+ =







+ = +


+ + = +


= +

2
2
1 1
1
1 1
2 2
2
2 1 0 0
0
2 2
2 7 0
7
(1 )(1 2 ) (2 1)
2
x
x
x
x x
x
x x
x x x
x

+ =
=




+ =
= +



=



Hoặc có thể trình bày theo cách khác nh sau: - Tìm điều kiện để các bt có nghĩa
- Biến đổi phơng trình
Chuyờn 7: Mt s bi tp c bn v hỡnh hc
Bi 1 : Cho na ng trũn (O) ng kớnh AB . T A v B k tip tuyn Ax v By .
Qua im M thuc na ng trũn k tip tuyn th 3 ct cỏc tip tuyn Ax v By ln
lt ti E v F .
1. Chng minh AEMO l t giỏc ni tip .
2. AM ct OE ti P , BM ct OF ti Q . T giỏc MPOQ l hỡnh gỡ ? Ti sao
?
3. K MH AB ( H AB) . Gi K l giao ca MH v EB . So sỏnh MK
v KH.

Hng dn :
1) EAO = EMO = 90
0
. Nờn AEMO l t
giỏc ni tip .
2) Da vo tớnh cht hai tip tuyn ct
nhau cú
MPO = MQO = 90
0
v PMQ = 90
0
nờn
PMQO l hỡnh ch nht .
3) EMK EFB (g.g)
FB
EF
=
MK
EM
m
MF = FB

MF
EF
=
MK
EM
EAB KHB (g.g)
HB
AB

=
KH
EK
m
HB
AB
=
MF
EF
( Ta let)
KH
EA
=
MK
EM
12
A
B
F
E
M
O
P
Q
K
H

Vì EM = EA ⇒ MK = KH .
Bài 2 : Cho (O) cắt (O’) tại A và B . Kẻ cát tuyến
chung CBD ⊥ AB ( C ở trên (O) và D ở trên (O’).)

1. Chứng minh A , O , C và A ,O’, D thẳng
hàng .
2. Kéo dài CA và DA cắt (O’) và (O) theo
thứ tự tại I và K . Chứng minh tứ giác
CKID nội tiếp .
3. Chứng minh BA , CK và DI đồng quy .
Hướng dẫn :
1. CBA = DBA = 90
0
nên AC và DA là đường kính hay A,O, C thẳng hàng D ,O’,A
thẳng hàng .
2. Từ câu 1) và dựa vào góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ta thây K , I cùng nhìn CD
dưới một góc vuông nên tứ giác CDIK nội tiếp .
3. A là trực tâm của tam giác ADG có AB là đường cao hay BA đi qua G .
Bài 3 : Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A,B . Các đường AO và
AO’cắt đường tròn (O) lần lượt tại C và D , cắt đường tròn (O’) lần lượt tại E , F .
a) Chứng minh B , F , C thẳng hàng .
b) Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp .
c) Chứng minh A là tâm đường tròn nội tiếp
tam giác BDE .
d) Tìm điều kiện để DE là tiếp tuyến chung của
(O) và (O’)
Hướng dẫn :
a) CBA + FBA = 180
0
nên A , B , F thẳng hàng .
b) D, E cùng nhìn CF dưới một góc vuông nên CDEF nội tiếp .
c) Tứ giác CDEF nội tiếp nên EDF = ECF ; ACB = ADB từ đó suy ra EDF =
ADB . Hay DE là phân giác góc D của ∆BDE . Tương tự EC là phân giác góc
E của ∆BDE . Hai phân giác cắt nhau tại A nên A là tâm đường tròn nội tiếp

∆BDE .
d) Giả sử DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn ta có OO’ // CE cùng vuông
góc với AB : AOO’ = ACB mà ACB = FDE ( DCFE nội tiếp ) suy ra : AOO’
= ODE hay tứ giác ODEO’ nội tiếp (1)
DE là tiếp tuyến thì DE vuông góc với OD và O’E (2)
Vậy ODEO’ là hình chữ nhật : Hay OD = O’E ( Hai đường tròn có bán kính
bằng nhau )
13
C
D
B
G
K
I
O
O
’
A
E
D
C
B
F
O’
A
O

Bài 4 : Cho (O,R) đường kính AB , đường kính CD di động .
Gọi đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn tại B . Đường
thẳng d cắt các đường thẳng AC , AD theo thứ tự tại P và Q .

1) Chứng minh tứ giác CPQD nội tiếp một đường tròn .
2) Chứng minh AD. AQ = AC.AP .
3) Tứ giác ADBC là hình gì ? Tại sao ?
4) Xác định vị trí của CD để S
CPQD
= 3.S
ACD
Hướng dẫn :
1. CPB = CDA ( cùng bằng CBA) nên CPB + CDQ =
180
0
.
2. ∆ADC ∆APQ (g.g) suy ra AD.AQ = AC.AP .
3. Tứ giác ADBC là hình chữ nhật vì có 4 góc vuông.
4. Để S
CPQD
= 3.S
ACD
⇒ S
ADC
= ¼ S
APQ
tức là tỉ số đồng
dạng của hai tam giác này là ½ .
Suy ra AD = ½ AP hay BC = ½ AP mà tam giác ABC vuông tại B nên C là trung
điểm của CP ⇒ CB = CA hay ∆ACB cân ⇒ CD ⊥ AB .
Bài 5 : Từ một điểm S nằm ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến SA , SB và cát tuyến
SCD của đường tròn đó .
1) Gọi E là trung điểm của dây CD . Chứng minh 5 điểm S ,A , E , O , B cùng
nằm trên một đường tròn .

2) Nếu SA = OA thì SAOB là hình gì ? Tại sao
?
3) Chứng minh AC . BD = BC.DA = ½
AB.CD
Hướng dẫn chứng minh
1) Sử dụng tính chất tiếp tuyến , ta có A , B
cùng nhìn SO dưới một góc vuông , nên tứ giác
SADO nội tiếp đường tròn đường kính SO .
Dựa vào tính chất đường kính vuông góc với dây cung , ta có SEO = 90
0
.
Nên E thuộc đường tròn đường kính SO .
2) Nếu SA = OA thì SA = AB = OA = OB và góc A vuông nên tứ giác SAOB là
hình vuông .
2) Ta thấy ∆SAC ∆SDA ⇒
SA
SC
=
DA
AC
∆SCB ∆SBD ⇒
SB
SC
=
BD
BC
Mà SA = SB ⇒
BD
BC
=

AD
AC
⇒ AC.BD = AD.BC (1)
Trên SD lấy K sao cho CAK = BAD lúc đó
14
A
B
Q
D
C
O
P
d
S
O
D
A
C
B
E
K

∆CAK ∆BAD (g.g) ⇒ AC.DB = AB.CK
∆BAC ∆DAK (g.g) ⇒ BC.AD = DK.AB
Cộng từng vế ta được AC.BD + BC.AD = AB( CK+DK )= AB.CD (2)
Từ (1) và (2) suy ra : AC.BD + AC.BD = AB.CD hay AC.BD = ½ AB.CD
Vậy AC.BD = AD.BC = ½ AB.CD .
Bài 6 : Cho tam giác ABC vuông ở A . Đường tròn đường kính AB cắt BC tại D . Trên
cung AD lấy một điểm E . Nối BE và kéo dài cắt AC tại F .
1) Chứng minh CDEF nội tiếp .

2) Kéo dài DE cắt AC ở K . Tia phân giác của góc CKD cắt EF và CD tại M và N .
Tia phân giác của góc CBF cắt DE và CF tại P và Q . Tứ giác MNPQ là hình gì ?
Tại sao ?
3) Gọi r
1
, r
2
, r
3
theo thứ tự là đường tròn nội tiếp các tam giác ABC , ADB , ADC .
Chứng minh : r = r
1
2
+ r
2
2
.
Hướng dẫn :
1) Dựa vào số đo cung ta thấy
C = DEB ⇒ C + DEF = 180
0

Nên tứ giác CDEF nội tiếp .
2) ∆BED ∆BCQ ( g.g) ⇒ BPE =
BQC
⇒ KPQ = KQP hay ∆KPQ cân .
∆CNK ∆MK ⇒ EMK = CNK
⇒ BMN = BNM hay ∆BMN cân . ⇒ MN ⊥ PQ và MN cắt PQ là trung điểm của
mỗi đường . Nên MNPQ là hình thoi.
3) ∆ABC ∆DAB ∆DAC ⇒

AC
r
=
AB
r
=
BC
r
21
⇒
2
2
2
2
2
1
2
2
AC
r
=
AB
r
=
BC
r
⇔
2
2
2

2
1
22
2
2
2
1
2
2
BC
r+r
=
AC+AB
r+r
=
BC
r

⇔ r
2
= r
1
2
+ r
2
2
.
Bài 7 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O;R) . Hạ các đường cao AD , BE
của tam giác . Các tia AD , BE lần lượt cắt (O) tại các điểm thứ hai M , N . Chứng minh
rằng :

a) Bốn điểm A , E , D , B nằm trên một đường tròn . TÌm tâm I của đường
tròn đó .
b) MN // DE .
c) Cho (O) và dây AB cố định , điểm C di chuyển trên cung lớn AB .
Chứng minh rằng độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác CED
15
A
B
K
F
Q
C
N
D
E
P
M

không đổi .
Hướng dẫn giải :
a) E,D cùng nhìn AB dưới một góc vuông
nên tứ giác AEDB nội tiếp trong một
đường tròn đường kính AB có I ( trung
điểm của AB ) là tâm
b) Ta thấy : ABE = ADE ( chắn cung AE )
mà ABE = AMN ( chắn cung AN )
nên ADE = AMN hay DE // MN .
c) Kẻ thêm hình như hình vẽ . Dựa vào góc
nội tiếp của tứ giác AEBD suy ra được CN
= CM nên OC ⊥ MM ⇒ OC ⊥ DE

Tứ giác HDCE nội tiếp đường tròn tâm K
( trung điểm của HC) đây cũng là đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE ⇒ KD =
KE và ID = IE nên IK ⊥ DE hay IK // OC và OI // CK nên OIKC là hình bình
hành ⇒ KC = OI không đổi .
Bài 8 : Cho tam giác đều nội tiếp đường tròn (O,R)
1)Tính theo chiều R độ dài cạnh và chiều cao của ∆ABC .
2)Gọi M là điểm di động trên cung nhỏ BC ( M ≠ B,C ) Trên tia đối của MB lấy
MD = MC . Chứng tỏ ∆MCD đều .
3)CMR : M di động trên cung nhỏ BC thì D di chuyển trên một đường tròn cố
định , xác định tâm và các vị trí giới hạn .
4)Xác định vị trí điểm M sao cho tổng S = MA + MB + MC là lớn nhất. Tính giá
trị lớn nhất của S theo R .
Hướng dẫn :
1)
2
3AB
=AH
và AB = AC = BC = R
3
2) Có MC = MD ( gt)
sđ BMC = ½ sđ BAC = ½ ( 360
0
: 3).2 =
120
0
.
⇒ CMD = 60
0
. Vậy ∆CMD đều
3) ∆IMC = ∆IMD ( c.g.c) ⇒ IC = ID .

Khi M di động trên cung nhỏ BC thì D
chạy trên đường tròn ( I ; IC )
Khi M ≡ C ⇒ D ≡ C ; M ≡ I ⇒ D ≡ E .
4) ∆ACM = ∆BCD ( g.c.g ) ⇒ AM = BD ⇒ S = MA + MB + MC = 2.AM ≤ 2.AI
⇒ S ≤ 4R . S
Max
= 4R khi AM là đường kính .
16
A
N
C
I
B
M
D
E
O
K
H
B
A
C
I
E
O
M
D
H

Bài 9 : Cho ∆ABC ngoại tiếp (O) . Trên BC lấy M , trên BA lấy N , trên CA lấy P sao

cho BM=BN và CM = CP . Chứng minh rằng :
a) O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆MNP .
b) Tứ giác ANOP nội tiếp đường tròn .
c) Tìm vị trí M , N , P sao cho độ dài NP nhỏ nhất .
Hướng dẫn :
a) Từ tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau và giả thiết
suy ra :
DN = EM = FP ⇒ ∆ODA = ∆OEM = ∆OFP
( c.g.c )
⇒ON = OM = OP hay O là tâm đường tròn ngoại
tiếp ∆MNP
b) Từ câu a) suy ra OND = OPF nên tứ giác ANOP
nội tiếp .
c) Kẻ OH ⊥ NP .
Có NP = 2 .NH = 2. NO .cosHNO = 2.NO.Cos(A/2)
= 2.OE .Cos (A/2) .
Vậy NP
Min
= 2r.cos(A/2) .
Khi đó M , N , P trùng với các tiếp điểm .
Bài 10 : Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 3a . Lấy AE = a trên cạnh AD và DF = a
trên cạnh DC . Nối AF và BE cắt nhau ở H .
a) Chứng minh : AF ⊥ BE .
b) Tính cạnh của tứ giác ABFE và đường chéo của nó theo a .
c) Tính theo a đoạn HE , HB .
d) Chứng minh : EDFH nội tiếp đường tròn . Đường tròn ấy cắt BF ở K . Tính
theo a đoạn BK . Nhận xét gì về 3 điểm E , K ,C .
Hướng dẫn :
a) ∆ADF = ∆BAE ⇒DAF = EBA ⇒ BE ⊥ AF .
b) Pitago : BE = AF = a

10
; EF = a
5
; BF = a
13
c) Dùng hệ thức lượng : EH =
10
10a
; HB =
10
10a9
d) Dựa vào tổng 2 góc đối bằng 180
0
nên EDFH
nội tiếp.
∆BEK ∆BFH ⇒
13
13a9
=
BF
BH.BE
=BK
17
A
B
C
D
P
F
E

M
N
O
A
B
C
D
F
E
H
K

e) Da vo vuụng gúc : E , K , C thng hng .
Chuyờn d 8 :Mt s ề thi học sinh giỏi toán 9
1:
Cõu 1: ( 6,0 im) 1)Gii phng trỡnh:
x 2 3 2x 5 x 2 2x 5 2 2
+ + + =
1) Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: P =
2 2
1 4x 4x 4 x 12x 9
+ + + +
Cõu 2: ( 3,0 im)Chng minh rng: vi mi s t nhiờn n

2 thỡ
2
2
3 8 15 n 1
S
4 9 16

n

= + + + +
khụng th l mt s nguyờn.
Cõu 3: ( 3,0 im)Trong mt cuc ua xe mụtụ, ba tay ua ó khi hnh cựng mt lỳc.
Mi gi, ngi th hai chy chm hn ngi th nht 15km v nhanh hn ngi th ba
3km nờn ngi th hai n ớch chm hn ngi th nht 12 phỳt v sm hn ngi th
ba 3 phỳt. Tớnh vn tc ca ba tay ua mụtụ trờn.
Cõu 4: ( 3,0 im)Cho tam giỏc ABC cõn A, ng cao AH bng 10cm, ng cao
BK bng 12cm. Tớnh di cỏc cnh ca tam giỏc ABC.
Cõu 5: ( 5,0 im)Cho tam giỏc u ABC cnh bng a v mt im M chuyn ng trờn
ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC.
1) Chng minh: nu im M thuc cung nh AB thỡ MA + MB = MC.
2) Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc P = MA + MB + MC ( khi M thuc cung nh
AB).
2:
Bài 1: (3 điểm) Cho biểu thức
x3
3x
1x
)3x(2
3x2x
3xx
P

+
+
+

=
1) Rut gn biu thc P
2) Tính giá trị của P khi x = 14 - 6
5
3) Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc P v giỏ tr tng ng ca x.
Bài 2: (3 điểm) Giải phơng trình:1)
1
x1x
1
1x2x
1
2x3x
1
=
++
+
+++
+
+++
2)
12428
1
4
2
36
=

+

yx
yx
Bài 3: (3 điểm) 1) Cho biu thc A =
2
4 20x x
+
. Tỡm giỏ tr nh nht ca A.
2) Cho
)3)(3(
22
++++
yyxx
=3. Tính giá trị của biểu thức P = x + y.
18

Bài 4: (3 điểm)1) Tìm các giá trị nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức: ( y + 2 )x
2
+ 1 =
y
2

2) T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh sau:
1980
=+
yx
Bài 5: ( 3 điểm) Cho a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC.
Chứng minh rằng: sin
2
2

A a
bc
≤
Bµi 6: (5 ®iÓm) Cho tam giác đều ABC có cạnh 60 cm. Trên cạnh BC lấy điểm D sao
cho BD = 20cm. Đường trung trực của AD cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự ở E, F. Tính
độ dài các cạnh của tam giác DEF./.
ĐỀ 3:
Bài1(1,5đ)
a/ Tính
6 2 5 6 2 5
− − +
b/ Cho a +b +c = 0 , a,b,c ≠0. Chứng tỏ rằng

2 2 2
1 1 1
a b c
+ +
= |
1 1 1
a b c
+ +
|
c/ Hãy chứng tỏ
3 3
5 2 5 2x
= + − −
là nghiệm của phương trình x
3
+3x – 4 = 0
Bài2(2đ)

a/ Rút gọn, tính giá trị biểu thức
( )
]
3
1 1 1 2 1 1
. .
2
x y
A
x y
xy xy x y xy x y
x y
 

−
 
= + + +
 ÷

 ÷
 ÷
+ +
 

+
 
Với x =
2 3, 2 3y
− = +
b/ Giải phương trình

9 7 4x x+ + − =
Bài3(2,5đ)
a/ Tìm giá trị lớn nhất ,giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
2
1
1
x x
B
x x
− +
=
+ +
b/ Trên mặt phẳng toạ độ cho các điểm A(0;4) ; B(3;4) ; C(3;0)
Viết phương trình đường thẳng đi qua A, C . Xác định a để đường thẳng y =ax chia hình
chữ nhật OABC thành hai phần , trong đó diện tích phần chứa điểm A gấp đôi diện tích
phần chứa điểm C
Bài4(3đ) Cho hai đường tròn (O) và (O’) ở ngoài nhau . Kẻ tiếp tuyến chung ngoài AB
và tiếp tuyến chung trong EF ( A ,E
∈
(O) , B , F
∈
(O’) )
a/ Gọi M là giao điểm của AB và EF . Chứng minh rằng :
∆
AOM và
∆
BMO’ đồng
dạng
b/ Chứng minh rằng AE vuông góc với BF

c/ Gọi N là giao điểm của AE và BF . Chứng minh rằng ba điểm O , N , O’ thẳng hàng
Bài5(1đ) Cho hình vuông ABCD . Tính cos
¼
MAN
biết rằng M ,N theo thứ tự là trung
điiểm của BC, CD
19

Đề 4.
Bài 1(3đ). Cho biểu thức: A =








++









+
++

1
3
327
3
33
3
32
x
x
xxx
a. Rút gọn A.
b. Tính giá trị của A khi x =
3
+2010
Bài 2(3đ). Cho hàm số y = 3x +2m-1 (1)
a. Tìm m để đồ thị hàm số (1) đi qua điểm A(1; 5).
b. Vẽ đồ thị hàm số với giá trị vừa tìm đợc ở câu a. Gọi giao điểm của đồ thị hàm số
(1) với trục 0x là B; giao điểm của đờng thẳng hạ từ A vuông góc với 0x là C. Tính
diện tích tam giác ABC?
Bài 3(2) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn
201020092008
zyx
==
Chứng minh rằng: z x =2
))(( zyyx

Bài 4(2.5). Cho x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = x
3
+ y
3

+ xy
Bài 5(2.5). Cho a, b>0. Chứng minh rằng:
ba
b
a
a
b
++
22
Bài 6(3) Cho tam giác vuông ABC (
B

= 90
0
, BC > BA) nội tiếp đờng tròn đờng kính AC.
Kẻ dây cung BD vuông góc với đờng kính AC. Gọi H là giao điểm của AC và BD. Trên
HC lấy điểm E sao cho E đối xứng với A qua H. Đờng tròn đờng kính EC cắt cạnh BC tại
I ( I khác C). Chứng minh rằng:
a. CI.CA = CB.CE
b. HI là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính EC
Bài 7(4). Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (0; R). Đờng cao AK cắt đờng tròn (0) tại D;
AN là đờng kính của đờng tròn (0).
a. Chứng minh: BD = CN.
b. Tính độ dài AC theo R và . Biết = .
c. Gọi H, G lần lợt là trực tâm, trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng H; G;
0 thẳng hàng.
S CHNH PHNG
I. NH NGHA: S chớnh phng l s bng bỡnh phng ỳng ca mt s nguyờn.
II. TNH CHT:
1. S chớnh phng ch cú th cú ch s tn cựng bng 0, 1, 4, 5, 6, 9 ; khụng th cú

ch s tn cựng bng 2, 3, 7, 8.
2. Khi phõn tớch ra tha s nguyờn t, s chớnh phng ch cha cỏc tha s nguyờn
t vi s m chn.
20

3. Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n + 1. Không có số
chính phương nào có dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 (n
∈
N).
4. Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n + 1. Không có số
chính phương nào có dạng 3n + 2 (n
∈
N).
5. Số chính phương tận cùng bằng 1 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.
Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2
Số chính phương tận cùng bằng 4 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.
Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ.
6. Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4.
Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9.
Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25.
Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.
III. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
A. DẠNG1: CHỨNG MINH MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì
A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y
4
là số chính phương.
Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y
4

= (x
2
+ 5xy + 4y
2
)( x
2
+ 5xy + 6y
2
) + y
4

Đặt x
2
+ 5xy + 5y
2
= t ( t
∈
Z) thì
A = (t - y
2
)( t + y
2
) + y
4
= t
2
–y
4
+ y
4

= t
2
= (x
2
+ 5xy + 5y
2)2

V ì x, y, z
∈
Z nên x
2

∈
Z, 5xy
∈
Z, 5y
2

∈
Z
⇒
x
2
+ 5xy + 5y
2

∈
Z
Vậy A là số chính phương.
Bài 2: Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là số chính phương.

Gọi 4 số tự nhiên, liên tiêp đó là n, n + 1, n+ 2, n + 3 (n
∈
N). Ta có
n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n.(n + 3(n + 1)(n + 2) + 1
= (n
2
+ 3n)( n
2
+ 3n + 2) + 1 (*)
Đặt n
2
+ 3n = t (t
∈
N) thì (*) = t( t + 2 ) + 1 = t
2
+ 2t + 1 = ( t + 1 )
2

= (n
2
+ 3n + 1)
2
Vì n
∈
N nên n
2
+ 3n + 1
∈
N Vậy n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là số chính phương.
Bài 3: Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + . . . + k(k+1)(k+2)

Chứng minh rằng 4S + 1 là số chính phương .
Ta có k(k+1)(k+2) =
4
1
k(k+1)(k+2).4 =
4
1
k(k+1)(k+2).[(k+3) – (k-1)]
21

=
4
1
k(k+1)(k+2)(k+3) -
4
1
k(k+1)(k+2)(k-1)
⇒
S =
4
1
.1.2.3.4 -
4
1
.0.1.2.3 +
4
1
.2.3.4.5 -
4
1

.1.2.3.4 +…+
4
1
k(k+1)(k+2)(k+3) -
4
1

k(k+1)(k+2)(k-1) =
4
1
k(k+1)(k+2)(k+3)
4S + 1 = k(k+1)(k+2)(k+3) + 1
Theo kết quả bài 2
⇒
k(k+1)(k+2)(k+3) + 1 là số chính ph ương.
Bài 4: Cho dãy số 49; 4489; 444889; 44448889; …
Dãy số trên được xây dựng bằng cách thêm số 48 vào giữa số đứng trước nó.
Chứng minh rằng tất cả các số của dãy trên đều là số chính phương.
Ta có 44…488…89 = 44…488 8 + 1 = 44…4 . 10
n
+ 8 . 11…1 + 1

n chữ số 4 n-1 chữ số 8 n chữ số 4 n chữ số 8 n chữ số 4 n chữ số 1

= 4.
9
110 −
n
. 10
n

+ 8.
9
110 −
n
+ 1 =
9
9810.810.410.4
2
+−+−
nnn
=
9
110.410.4
2
++
nn
=








+
3
110.2
n
Ta thấy 2.10

n
+1=200…01 có tổng các chữ số chia hết cho 3 nên nó chia hết cho 3
n-1 chữ số 0
⇒









+
3
110.2
n

∈
Z hay các số có dạng 44…488…89 là số chính phương.
Bài 5: Chứng minh rằng các số sau đây là số chính phương:
A = 11…1 + 44…4 + 1

2n chữ số 1 n chữ số 4

B = 11…1 + 11…1 + 66…6 + 8

2n chữ số 1 n+1 chữ số 1 n chữ số 6

C = 44…4 + 22…2 + 88…8 + 7

2n chữ số 4 n+1 chữ số 2 n chữ số 8
Kết quả: A =








+
3
210
n
; B =








+
3
810
n
; C =









+
3
710.2
n
Bài 6: Chứng minh rằng các số sau là số chính phương:

a. A = 22499…9100…09
22
2
2
2
2 2

n-2 chữ số 9 n chữ số 0

b. B = 11…155…56
n chữ số 1 n-1 chữ số 5
a. A = 224.10
2n
+ 99…9.10
n+2
+ 10
n+1

+ 9= 224.10
2n
+ ( 10
n-2
– 1 ) . 10
n+2
+ 10
n+1
+ 9
= 224.10
2n
+ 10
2n
– 10
n+2
+ 10
n+1
+ 9= 225.10
2n
– 90.10
n
+ 9
= ( 15.10
n
– 3 )
2

⇒
A là số chính phương

b. B = 111…1555…5 + 1 = 11…1.10
n
+ 5.11…1 + 1
n chữ số 1 n chữ số 5 n chữ số 1 n chữ số 1
=
9
110 −
n
. 10
n
+ 5.
9
110 −
n
+ 1 =
9
9510.51010
2
+−+−
nnn
=
9
410.410
2
++
nn
=









+
3
210
n
là số chính phương ( điều phải chứng minh)
Bài 7: Chứng minh rằng tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp không thể
là một số chính phương
Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp đó là n-2, n-1, n , n+1 , n+2 (n
∈
N , n ≥2 ).
Ta có ( n-2)
2
+ (n-1)
2
+ n
2
+ ( n+1)
2
+ ( n+2)
2
= 5.( n
2
+2)
Vì n
2

không thể tận cùng bởi 3 hoặc 8 do đó n
2
+2 không thẻ chia hết cho 5
⇒
5.( n
2
+2) không là số chính phương hay A không là số chính phương
Bài 8: Chứng minh rằng số có dạng n
6
– n
4
+ 2n
3
+ 2n
2
trong đó n
∈
N và n>1
không phải là số chính phương
n
6
– n
4
+ 2n
3
+2n
2
= n
2
.( n

4
– n
2
+ 2n +2 ) = n
2
.[ n
2
(n-1)(n+1) + 2(n+1) ]
= n
2
[ (n+1)(n
3
– n
2
+ 2) ] = n
2
(n+1).[ (n
3
+1) – (n
2
-1) ]= n
2
( n+1 )
2
.( n
2
–2n+2)
Với n
∈
N, n >1 thì n

2
-2n+2 = (n - 1)
2
+ 1 > ( n – 1 )
2
và n
2
– 2n + 2 = n
2
– 2(n - 1) < n
2

Vậy ( n – 1)
2
< n
2
– 2n + 2 < n
2

⇒
n
2
– 2n + 2 không phải là một số chính phương.
Bài 9: Cho 5 số chính phương bất kì có chữ số hàng chục khác nhau còn chữ số
hàng đơn vị đều là 6. Chứng minh rằng tổng các chữ số hàng chục của 5 số chính
phương đó là một số chính phương
23
2

Cách 1: Ta biết một số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số hàng

chục của nó là số lẻ. Vì vậy chữ số hàng chục của 5 số chính phương đã cho là 1,3,5,7,9
khi đó tổng của chúng bằng 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5
2
là số chính phương
Cách 2: Nếu một số chính phương M = a
2
có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số tận
cùng của a là 4 hoặc 6
⇒
a

2
⇒
a
2


4
Theo dấu hiệu chia hết cho 4 thì hai chữ số tận cùng của M chỉ có thể là 16, 36, 56,
76, 96
⇒
Ta có: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5
2
là số chính phương.
Bài 10: Chứng minh rằng tổng bình phương của hai số lẻ bất kỳ không phải là một
số chính phương.
a và b lẻ nên a = 2k+1, b = 2m+1 (Với k, m
∈
N)
⇒

a
2
+ b
2
= (2k+1)
2
+ (2m+1)
2
= 4k
2
+ 4k + 1 + 4m
2
+ 4m + 1
= 4(k
2
+ k + m
2
+ m) + 2 = 4t + 2 (Với t
∈
N)
Không có số chính phương nào có dạng 4t + 2 (t
∈
N) do đó a
2
+ b
2
không thể là số
chính phương.
Bài 11: Chứng minh rằng nếu p là tích của n số nguyên tố đầu tiên thì p-1 và p+1
không thể là các số chính phương.

Vì p là tích của n số nguyên tố đầu tiên nên p

2 và p không chia hết cho 4 (1)
a. Giả sử p+1 là số chính phương . Đặt p+1 = m
2
(m
∈
N)
Vì p chẵn nên p+1 lẻ
⇒
m
2
lẻ
⇒
m lẻ.
Đặt m = 2k+1 (k
∈
N). Ta có m
2
= 4k
2
+ 4k + 1
⇒
p+1 = 4k
2
+ 4k + 1
⇒
p = 4k
2
+ 4k = 4k(k+1)


4 mâu thuẫn với (1)
⇒
p+1 là số chính phương
b. p = 2.3.5… là số chia hết cho 3
⇒
p-1 có dạng 3k+2.
Không có số chính phương nào có dạng 3k+2
⇒
p-1 không là số chính phương .
Vậy nếu p là tích n số nguyên tố đầu tiên thì p-1 và p+1 không là số chính phương
Bài 12: Giả sử N = 1.3.5.7…2007.
Chứng minh rằng trong 3 số nguyên liên tiếp 2N-1, 2N và 2N+1 không có số nào là
số chính phương.
a. 2N-1 = 2.1.3.5.7…2007 – 1
Có 2N

3
⇒
2N-1 không chia hết cho 3 và 2N-1 = 3k+2 (k
∈
N)
⇒
2N-1 không là số chính phương.
b. 2N = 2.1.3.5.7…2007
Vì N lẻ
⇒
N không chia hết cho 2 và 2N

2 nhưng 2N không chia hết cho 4.

2N chẵn nên 2N không chia cho 4 dư 1
⇒
2N không là số chính phương.
24

c. 2N+1 = 2.1.3.5.7…2007 + 1
2N+1 lẻ nên 2N+1 không chia hết cho 4
2N không chia hết cho 4 nên 2N+1 không chia cho 4 dư 1
⇒
2N+1 không là số chính phương.
Bài 13: Cho a = 11…1 ; b = 100…05

2008 chữ số 1 2007 chữ số 0
Chứng minh
1+ab
là số tự nhiên.
Cách 1: Ta có a = 11…1 =
9
110
2008
−
; b = 100…05 = 100…0 + 5 = 10
2008
+ 5
2008 chữ số 1 2007 chữ số 0 2008 chữ số 0

⇒
ab+1 =
9
)510)(110(

20082008
+−
+ 1 =
9
9510.4)10(
200822008
+−+
=








+
3
210
2008

1+ab
=









+
3
210
2008
=
3
210
2008
+
Ta thấy 10
2008
+ 2 = 100…02

3 nên
3
210
2008
+

∈
N hay
1+ab
là số tự nhiên.
2007 chữ số 0
Cách 2: b = 100…05 = 100…0 – 1 + 6 = 99…9 + 6 = 9a +6

2007 chữ số 0 2008 chữ số 0 2008 chữ số 9
⇒
ab+1 = a(9a +6) + 1 = 9a

2
+ 6a + 1 = (3a+1)
2
⇒

1+ab
=
2
)13( +a
= 3a + 1
∈
N
B. DẠNG 2: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN ĐỂ BIỂU THỨC LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Bài1: Tìm số tự nhiên n sao cho các số sau là số chính phương:
a. n
2
+ 2n + 12 b. n ( n+3 )
c. 13n + 3 d. n
2
+ n + 1589
Giải
a. Vì n
2
+ 2n + 12 là số chính phương nên đặt n
2
+ 2n + 12 = k
2
(k
∈
N)

⇒
(n
2
+ 2n + 1) + 11 = k
2

⇔
k
2
– (n+1)
2
= 11
⇔
(k+n+1)(k-n-1) = 11
Nhận xét thấy k+n+1 > k-n-1 và chúng là những số nguyên dương, nên ta có thể viết
(k+n+1)(k-n-1) = 11.1
⇔
k+n+1 = 11
⇔
k = 6
k – n - 1 = 1 n = 4
b. Đặt n(n+3) = a
2
(n
∈
N)
⇒
n
2

+ 3n = a
2

⇔
4n
2
+ 12n = 4a
2
⇔
(4n
2
+ 12n + 9) – 9 = 4a
2
⇔
(2n + 3)
2
- 4a
2
= 9
⇔
(2n + 3 + 2a)(2n + 3 – 2a)= 9
25
2
2