Đề thi Học sinh giỏi môn Toán 9 năm học 2009 2010

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
HUYỆN ĐAM RÔNG Năm học 2009 – 2010
MÔN: TOÁN
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (1 đ) Chứng minh rằng nếu x + y + z + t = 0 thì: x
3
+ y
3
+ z
3
+ t
3
= 3(xy – zt)(z + t)
Câu 2: (1đ) Cho
ABC∆
vuông tại A. Chứng minh tg
·
2
ABC
=
AC
AB BC+
Câu 3: (1,5 đ) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
g(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24
Câu 4: (1,5 đ) Cho hai đường thẳng (d
1
): y = 4x +1 và (d
2
): y = -2x +3.
Viết phương trình đt (d
3

) biết:
(d
3
)
⊥
(d
2
) và (d
3
) cắt (d
1
) tại điểm có tung độ bằng 1
Câu 5: (2 đ) Cho tứ giác ABCD và một điểm M thuộc miền trong của tứ giác. Chứng minh các
bất đẳng thức sau:
a) MA + MB + MC + MD >
1
2
(AB + BC + CD DA)
b) MA + MB + MC + MD
≥
AC + BD. Dấu “=” xảy ra khi nào ?
Câu 6: (2 đ) Giải phương trình:
a)
1 2 3 4
5
2000 2001 2002 2003 2004
x x x x x+ + + +
+ + + + =
b)
5 1

10. 5 9 45 4
25 3
x
x x
−
+ − − − =
Câu 7: (1 đ) Cho a, b, c là độ dài các cạnh của
ABC
∆
. Chứng minh bất đẳng thức:
abc
≥
(a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) > 0
Câu 8: Cho đường tròn (O) có bán kính OA, dây BC
⊥
OA tại trung điểm M của OA.
a) Tứ giác OCAB là hình gì ? Vì sao ?
b) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại B, nó cắt đường thẳng OA tại E. Tính độ dài BE, biết
OB = R.
Câu 9: (3 đ) Cho biểu thức
3 2
3( 1)
1
x
A
x x x
+
=
+ + +
a) Rút gọn A

b) Tìm giá trị của x để A nhận giá trị nguyên.
c) Tìm giá trị lớn nhất của A.
Câu 10: (2 đ) Cho các hàm số sau:
(d
1
): y = 2x + 4
(d
2
): y = x – 3
(d
3
): y = (m + 1).x – 5
a) Xác định giá trị của m để ba đường thẳng (d
1
), (d
2
), (d
3
) đồng quy tại một điểm.
b) Vẽ (d
1
), (d
2
), (d
3
) với giá trị m đã tìm.
Câu 11: (3 đ) Cho
ABC∆
. Trên cạnh AC lấy hai điểm D và E sao cho AD = DE = EC. Trung
tuyến AM cắt BD tại P và trung tuyến CN cắt BE tại Q.

a) Chứng minh: Q là trung điểm của trung tuyến CN.
b) Chứng minh: PQ // AC
c) Suy ra PQ =
1
2
MN và PQ =
3
4
DE
*** Hết ***
ĐỀ CHÍNH THỨC
Câu 8: Vẽ hình đúng (0,25 đ)
a) Theo giả thiết MO = MA (1)
BC
⊥
OA nên theo định lý đk và dây ta có : MB = MC (2) (0,25 đ)
Từ (1) và (2) suy ra OBAC là hình bình hành
Vì OA
⊥
OB
=> OBAC là hình thoi (0,5 đ)
b) Do BE là tiếp tuyến của (O) nên BE
⊥
OB
=>
OBE
∆
vuông tại B (0,25 đ)
Vì M là trung điểm của OA => OM =
1

2
R (0,25 đ)
Mặt khác OB
2
= OM.OE (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
=>
2 2
2
1
2
OB R
OE R
OM
R
= = =
(0,25 đ)
Áp dụng ĐL Py ta go trong tam giác vuông OBE
2 2 2
2 2 2 2
(2 ) 3
OE OB BE
BE OE OB R R R
= +
⇒ = − = − =
(0,25 đ)