Đề thi Học sinh giỏi môn Toán 9 năm học 2008 - 2009

PHỊNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
HUYỆN ĐAM RƠNG
______________________
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Năm học: 2008 - 2009
MƠN: TỐN
Thời gian: 150 phút (Khơng kể thời gian phát đề)
Câu 1:(1,5đ) Chứng minh bất đẳng thức :
2
2
2
2
1
a
a
+
≥
+
Câu 2:(1,5đ) Cho biểu thức :
1
(1 3 )( )
2
Q x x= − +
a) Với giá trò nào của x thì biểu thức Q có nghóa?
b) Tìm giá trò lớn nhất của Q khi Q có nghóa.
Câu 3:(1,5đ) Giải phương trình:

3 4 1 8 6 1 5x x x x+ + − + + − − =
Câu 4 :(1,5đ) Giải và biện luận hệ phương trình :
2( 1). 2

( 2). ( 1). 3
m x y
m x m y
− + =


+ + − =

Câu 5 : (1,5đ)
a) Thực hiện phép tính :
1 1
1x x
−
+
b) p dụng tính :
1 1 1 1

1.2 2.3 3.4 ( 1)
A
n n
= + + + +
+
Câu 6 :(1,5đ) Cho
∆
ABC có AB = AC = 9cm, BC = 12cm. AH vuông góc với BC (H
∈

BC), HI vuông góc với AC (I
∈
AC). Tính IC.

Câu 7 : (1,5đ) Rút gọn biểu thức

2
: ( )
a a b b b
B ab a b
a b a b
 
+
= − − +
 ÷
 ÷
+ +
 
Câu 8 :(1,5đ) Cho 2 biểu thức :
M = (8x
6
- 27) : (4x
4
+ 6x
2
+ 9)
N = (y
4
– 1) : (y
3
+ y
2
+ y + 1)
Tính tỷ số

M
N
với x=8 ; y= 251
Câu 9: (1,5đ) Cho
∆
ABC có góc A bằng 60
0
, AB = 28cm, AC = 35cm. Tính BC.
Câu 10: (1đ)Tìm số nguyên tố p sao cho 4p+1 là số chính phương.
Câu 11: (1,5đ)Cho đường tròn (O,R) và đường thẳng d sao cho khoảng cách từ O đến d
lớn hơn R. Xác đònh A
∈
(O), B
∈
d sao cho AB là ngắn nhất.
Câu 12: (2đ) Cho
∆
ABC trung tuyến AM, lấy I
∈
BM (I
≠
B,M). Qua I kẻ đường thẳng
song song với AM cắt AB và AC lần lượt tại E và D. Chứng minh rằng : IE + ID = 2AM.
Câu 13 : (2đ)Cho (O, R) (R=6cm). Điểm A nằm ngoài đường tròn. QuaA kẻ hai tiếp
tuyến AB và AC với đường tròn sao cho AB vuông góc với AC (B,C là các tiếp điểm).
Trên AB và BC lấy điểm D và E sao cho AD = 4cm, AE = 3cm. Chứng minh rằng DE là
tiếp tuyến của đường tròn tâm 0.
*** Hết ***
ĐÁP ÁN
(toán 9)

Câu 1: : Chứng minh bất đẳng thức :

2
2
2
2
1
a
a
+
≥
+
Ta có:
2 2
2 1 1
1 1
a a
a a
+ + +
=
+ +
. (0.5đ)
p dung bất đẳng thức Cauchy ( cô- Si) cho hai số không âm (a
2
+ 1) và 1 ở tử
Ta có:a
2
+1+1
≥
2

2
( 1).1a +
(0.5đ)
=>
2 2
2 2
2 2 1
2
1 1
a a
a a
+ +
≥ =
+ +
(0,5 đ)
Câu 2: Cho biểu thức :
1
(1 3 )( )
2
Q x x= − +
a) Với giá trò nào của x thì biểu thức Q có nghóa?
b) Tìm giá trò lớn nhất của Q khi Q có nghóa
TL
a. Q có nghóa <=> (1 – 3x ) ( x +
1
2
)
≥
0 (0,25đ)
Lập bảng xét dấu =>

1 1
2 3
x− ≤ ≤
(0,5đ)
b. Xét biểu thức P = Q
3
Rõ ràng khi P lớn nhất thì Q
max
(0,25đ)
P =
3
3 1 3
1 3
2
3( )(1 3 ) (3 )(1 3 )
2 2 2
x x
x x x x
+ + −
+ − = + − ≤
=
5
4
(0,25 đ)
=> P
5
4
≤
khi 1-3x = 3x +
3

2
=> x =
1
12
−
Suy ra giá trò lớn nhất của Q là
5
4 3
hay
5 3
12
(0.25đ)
Câu 3: Giải phương trình:

3 4 1 8 6 1 5x x x x+ + − + + − − =
TL
Ta viết x + 3 + 4
1x −
= x – 1 + 4
1x −
+ 4 (0,25đ)
Với nhận xét
2
( 1) 1x x− = −
Ta có : x- 1 + 4
1x −
+ 4 =
2 2
( 1) 2.2 1 2x x− + − +
=> x + 3 + 4

1x −
=
2
( 1 2)x − +
Tương tự ta có : x + 8 – 6
1x −
=
2
( 1 3)x − −
(0,25đ)
Phương trình đã cho trở thành :
2 2
( 1 2) ( 1) 3) 5x x− + + − − =
, x
≥
1
=>
1 2 1 3 5x x− + + − − =
, x
≥
1 (0,25đ)
Với
1 3 0x − − ≥
=> x – 1
≥
9 => x
≥
10
Phương trình trở thành:
1 2 1 3 5x x− + + − − =

=>
1 3x − =
=> x = 10 (1) (0,25đ)
Với
1 3 0x − − <
=> x – 1 < 9 =>x <10
Phương trình trở thành:
1 2 1 3 5x x− + − − + =

=> Đẳng thức này nghiệm với mọi x
≥
1 (2) (0,25đ)
Từ (1), (2) và điều kiện x
≥
1
=> nghiệm của phương trình đã cho là :
1 10x≤ ≤
(0,25đ)
Câu 4 : Giải và biện luận hệ phương trình :
2( 1). 2
( 2). ( 1). 3
m x y
m x m y
− + =


+ + − =


TL:

Ta có : D = m(2m-5) ; D
x
=2m-5 ; D
y
=2(2m-5) (0,5đ)
+Với m
≠
0 và m
≠
5
2
=> D
≠
0
=> Hệ có nghiệm duy nhất : x =
1
m
, y =
2
m
(0,25đ)
+ Với m = 0 => Hệ có dạng
2 2
2 3
x y
x y
− + =


− =


Vì
2 1 2
2 1 3
− = ≠
−
nên hệ vô nghiệm . (0,25đ)
+ Với m =
5
2
, hệ có dạng
3 2
9 3
3
2 2
x y
x y
+ =



+ =


=>
3 1 2
9 3
3
2 2
= =

=> Hệ có vô số nghiệm. (0,5đ)
Câu 5 :
a) Thực hiện phép tính :
1 1
1x x
−
+
b) p dụng tính :
1 1 1 1

1.2 2.3 3.4 ( 1)
A
n n
= + + + +
+
TL:
a)
1 1 ( 1) 1
1 ( 1) ( 1)
x x
x x x x x x
+ −
− = =
+ + +
(0,5đ)
b) p dụng kết quả trên ta có:
1 1 1
( 1) 1x x x x
= −
+ +

Vì vậy :
1 1 1
1.2 1 2
= −

1 1 1
2.3 2 3
= −

1 1 1
( 1) 1n n n n
= −
+ +
Cộng các đẳng thức trên vế theo vế , ta được :
A=
1 1 1

1.2 2.3 ( 1)n n
+ + +
+
=
1 1 1 1 1 1 1 1
1
2 2 3 1 1 1n n n n n
− + − + − + − + −
− − +
=> A = 1 -
1
1n +
=

1
n
n +
(0,5đ)
Câu 6 : Cho
∆
ABC có AB = Ac = 9cm, BC = 12cm. AH vuông góc với BC (H
∈
BC), HI
vuông góc với AC (I
∈
AC). Tính IC.
TL:
∆
ABC cân có
AH BC⊥
=> HB = HC = 6cm (0,5đ)
Vì HI
⊥
AC => HC
2
= AC.CI (0,5đ)
=> CI =
2 2
6 36
4
9 9
HC
cm
AC

= = =
(0,5đ)
Câu 7 : Rút gọn biểu thức

2
: ( )
a a b b b
B ab a b
a b a b
 
+
= − − +
 ÷
 ÷
+ +
 
TL:
( )( )a a b b a b a b
ab
a b a b
+ − −
− =
+ +
(0,5đ)
=>
: ( )
a a b b a b
ab a b
a b a b
 

+ −
− − =
 ÷
 ÷
+ +
 
(0,5đ)
A =
2
1
a b b
a b a b
−
+ =
+ +
với a
≠
b , a
≥
0, b
≥
0. (0,5đ)
Câu 8 : Cho 2 biểu thức :
M = (8x
6
- 27) : (4x
4
+ 6x
2
+ 9)

N = (y
4
– 1) : (y
3
+ y
2
+ y + 1)
Tính tỷ số
M
N
với x=8 ; y= 251
TL:
Ta có : M =
6 2 3 3
4 2 2 2 2 2
8 27 (2 ) 3
4 6 9 (2 ) (2 ).3 3
x x
x x x x
− −
=
+ + + +
=
2 2 2 2 2
2
2 2 2 2
(2 3).[(2 ) 2 .3 3 ]
2 3
(2 ) 2 .3 3
x x x

x
x x
− + +
= −
+ +
N =
4 3 2
3 2 3 2
1 ( 1)( 1)
1
1 1
y y y y y
y
y y y y y y
− − + + +
= = −
+ + + + + +
(0,5đ)
Vậy :
3
2 3
1
M x
N y
−
=
−
(0,5đ)
Câu 9: Cho
∆

ABC có góc A bằng 60
0
, AB = 28cm, AC = 35cm. Tính BC.
TL:
Kẻ AH
⊥
AC =>
∆
ABH vuông tại H
Cos 60
0
=
AH
AB
=
1
2
=> AH =
2
AB
= 14cm (0,5đ)
Ta có : CH = 35 – 14 = 21cm (0,25đ)
BH =
2 2
28 14 588− =
(0,25đ)
BC =
2 2
558 441 1029 7 21BH CH+ = + = =
cm (0,5đ)

Câu 10: Tìm số nguyên tố p sao cho 4p+1 là số chính phương.
TL:
4p + 1 chính phương => 4p + 1 = x
2
(0,25đ)
Ta thấy VT lẻ => VP lẻ => 4p + 1 = (2k + 1)
2
(k
∈
N) (0,25đ)
=> 4p + 1 = 4k
2
+ 4k + 1
=> p chẵn. (0,25đ)
Mà p là số nguyên tố => p=2 ( thử lại chọn). (0,25đ)
Câu 11: Cho đường tròn (O,R) và đường thẳng d sao cho khoảng cách từ O đến d lớn hơn
R. Xác đònh A
∈
(O), B
∈
d sao cho AB là ngắn nhất.
TL: Ta có OA+ AB
≥
OB =>AB
≥
OB – OA ( 0,5đ)
Mà OB – OA
≥
OI – OH = IH (Không đổi )
= > AB

≥
IH (0,5đ)
=> AB nhỏ nhất khi AB = IH hay A
≡
I và B
≡
H (0,5đ)
Câu 12: Cho
∆
ABC trung tuyến AM, lấy I
∈
BM (I
≠
B,M). qua I kẻ đường thẳng song
song với AM cắt AB và AC lần lượt tại E và D. Chứng minh rằng : IE + ID = 2AM.
TL
Vì IE//AM =>
IE BI
AM BM
=
(1) (0,5đ)
AM // ID =>
ID CI
AM CM
=
( 2) (0,5đ)
Từ (1) và (2) suy ra
2
IE ID IB CI
AM AM BM CM

+ = + =
(0,5đ)
=> IE + ID = 2 AM (0,5đ)
Câu 13 : Cho (O, R) (R=6cm). Điểm A nằm ngoài đường tròn. QuaA kẻ hai tiếp tuyến
AB và AC với đường tròn sao cho AB vuông góc với AC (B,C là các tiếp điểm). Trên
AB và BC lấy điểm D và E sao cho AD = 4cm, AE = 3cm. Chứng minh rằng DE là tiếp
tuyến của đường tròn tâm 0.
TL
Ta có :
S
ODE
= S
ABOC
– S
OBD
– S
OEC
– S
ADE
(0,25đ)
= 36- 9 – 6 – 6 = 15(cm
2
) (0.5đ)
Kẻ OH
⊥
DE
Ta có S
ODE
=
1

2
OH. DE (0,25đ)
=> OH = 2S
ODE
: DE ( 0,5đ)
Mà DE =
2 2
3 4 5( )cm+ =
(0,25đ)
= > OH = 2. 15: 5 = 6 (cm) = R
Vậy DE là tiếp tuyến của đường tròn (O) (0,25đ)
B
I
D
A
E
M C