Câu hỏi ôn tập toán

Các chuyên đề ôn thi tốt nghiệp môn toán -2011-Nguyễn Kiếm-CĐSP
SỞ GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO QUẢNG TRỊ
TRƯỜNG THPT PHAN CHÂU TRINH ĐÔNG HÀ
TẬP BÀI TẬP THEO CHUYÊN ĐỀ
ÔN LUYỆN KIẾN THỨC THEO CẤU TRÚC ĐỀ
THI TỐT NGHIÊP
NĂM HỌC: 2010- 2011

THẠC SỸ. NGUYỄN KIẾM
Đông hà, tháng 3 năm 2011

1
Các chuyên đề ôn thi tốt nghiệp môn toán -2011-Nguyễn Kiếm-CĐSP
LỜI GIỚI THIỆU
Tập bài tập theo chuyên đề:
“ Ôn luyện kiến thức theo cấu trúc đề thi tốt nghiệp năm 2011 môn toán”
Nhằm giúp học sinh có đủ số lượng bài tập để ôn luyện kiến thức ( từ dể đến khó) theo từng chuyên đề
một.
Trong mỗi chuyên đề, hệ thống bài tập được phân loại rất cơ bản nhằm giúp giúp học sinh nhận dạng và
rèn kỷ năng giải toán.
Phân cuối là 10 đề tự luyện để học sinh tự đánh giá được kiến thức của mình.
Cách học: Làm bài tập theo từng chuyên đề, rút ra được những kiến thức cơ bản cần thiết để giải từng
nhóm bài tập đó.
Mục lục.
1. Chuyên đề 1: Ứng dụng đạo hàm và khảo sát hàm số trang 1
2. Chuyên đề 2. Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng trang 4
3. Chuyên đề 3. Số phức trang 6
4. Chuyên đề 4. Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit trang 7
5. Chuyên đề 5. Phương pháp tọa độ trong không gian trang 9
6. Chuyên đề 6. Khối đa diện, mặt cầu, mặt tròn xoay. trang 16
7. Chuyên đề 7. 10 đề tự luyện trang 23

Chúc các em tiến bộ và thành công.

Tác giả
Thạc sỹ. Nguyễn Kiếm
2
Các chuyên đề ôn thi tốt nghiệp môn toán -2011-Nguyễn Kiếm-CĐSP
Chuyên đề 1. Ứng dụng đạo hàm và khảo sát hàm số
1.Chứng minh các đẳng thức chứa đạo hàm
Bài 1.1. Chứng minh rằng mỗi hàm số sau thoả mãn hệ thức tương ứng đã cho
1.
3 5x
y
x
+
=
chứng minh:
'
3xy y+ =
2.
sinxy x=
chứng minh:
( )
' "
2 sinx 0xy y xy− − + =
3.
tan xy x=
chứng minh:
( )
( )
2 " 2 2

2 1 0x y x y y− + + =
4.
xx
xx
y
cossin1
sincos
33
+
−
=
chứng minh:
0
"
=+ yy

5. Cho
2
3
x
y e
−
=
, chứng minh:
"' " '
4 6 4 0y y y y+ + + =
6. Cho
( )
1
x

y x e= +
, chứng minh:
' x
y y e− =

7. Cho
sin x
y e=
, chứng minh:
' "
sin 0y cosx y x y− − =
8. Cho
2 sin x
x
y e=
, chứng minh:
' "
2 2 0y y y− + =
9. Cho hàm số
sxco
y e=
, chứng minh:
' "
sin 0y x ycosx y+ + =

2.Tìm GTLN, GTNN của hàm số
( )
y f x=
trên đoạn [a; b]
Bài 2.1 Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau

1) f(x) = x
3
- 3x +1 trên đoạn [ 0 ; 2 ] 2) f(x) = 3x
3
- x
2
- 7x +1 trên đoạn [ 0 ; 2 ]
3)
4 2
( ) 2 4 3f x x x= − + +
trên đoạn [ 0 ; 2 ] 4)
3
( ) 3 2f x x x= − −
trên đoạn [ -1 ; 3 ]
Bài 2.2 Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau
1)
( )
2 1
1
x
f x
x
+
=
−
trên đoạn [ 2 ; 4 ] 2)
( )
9
f x x
x

= +
trên đoạn [ 2 ; 4 ]
3)
( ) 2 cosf x x x= +
trên đoạn
0;
2
π
 
 
 
4)
( ) sin 2f x x x= −
trên đoạn
;
2
π
 
− π
 
 
Bài 2.3 Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau
1)
3
4
( ) os +sinx - sin x
2 3
f x c x
π
 

= −
 ÷
 
trên đoạn
[ ]
0;π
2)
1
( )
x
f x xe
−
=
trên đoạn [ - 2 ; 1]
3)
( )
( ) ln 1 3f x x x= − + +
trên đoạn
1
; 4
2
 
−
 
 
4)
( )
2
( ) ln 1 2f x x x= − −
trên đoạn

[ ]
2; 0−
Bài 2.4 Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau
1)
2
( ) 8ln 3f x x x= − +
trên đoạn
[ ]
1; 4
2)
( ) 1 9f x x x= − + −
trên đoạn [ 3 ; 6 ]
3)
2
ln
( )
x
f x
x
=
trên đoạn
3
1; e
 
 
4)
3 2
( ) 3 72 9f x x x x= + − +
trên [ - 5 ; 5 ]
3.Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số

( )
y f x=
trên tập xác định của chúng.
Bài 3.1 Xét tính đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau
1)
3 2
1
3 7 2
3
y x x x= + − −
2)
4 2
2 3y x x= − −
3)
2 3
1
x
y
x
+
=
+
4)
1
x
y e x= − −
5)
( )
ln 1y x x= + +
6)

x
y xe=
7)
x
y xe
−
=
8)
2
ln xy x=
4.Tìm các điểm cực trị; Điều kiện để hàm số
( )
y f x=
đạt cực trị tại điểm có hoành độ x =
α
.
Bài 4.1. Xác định các điểm cực trị của các hàm số sau
1)
4
4 1y x x= − +
2)
ln xy x= −
3)
2
4y x x= −
4)
2
ln xy x=
Bài 4.2 Xác định tham số m để các hàm số sau:
1)

( )
2 3 2
y m 5m x 6mx 6x 6= − + + + −
đạt cực đại tại điểm x = 1
2)
( )
3 2
y x 3mx m 1 x 2= − + − +
đạt cực tiểu tại điểm x = 2
3)
( )
3 2
y x 3mx 3 2m 1 x 1= − + − +
cực đại.cực tiểu
3
Các chuyên đề ôn thi tốt nghiệp môn toán -2011-Nguyễn Kiếm-CĐSP
4)
( )
3 2 2
y x 3mx 3 m 2m 3 x 4= − + + − +
có cực đại.cực tiểu; Với giá trị nào của m thì hai điểm cực
đại, cực tiểu nằm khác phía đối với trục tung.
5)
4 2
y x 2mx 2m 1= − + − +
có cực đại.cực tiểu 6)
( )
4 2 2
y mx m 9 x 10= + − +
có ba cực trị.

Bài 4.3. 1) Tìm a, b để hàm số
4 2
y x ax b= + +
có cực trị bằng
3
2
khi x = 1.
2) Tìm a, b để hàm số
2
y x ax b= + +
có cực tiểu bằng 7 khi x = 2.
3) Tìm a, b, c để hàm số
3 2
y x ax bx c= + + +
có cực tiểu bằng -1 khi x = -2 và đồ thị cắt trục
hoành tại điểm x = -1
4) Tìm a, b để hàm số
2 3 2
5
y a x 2ax 9x b
3
= + − +
có các giá trị cực trị đều là những số dương và
0
5
x
9
= −
là điểm cực đại
5.BÀI TOÁN KHẢO SÁT TỔNG HỢP

I. Hàm bậc ba.
Câu1.Cho hàm số
3 2
3 2y x x= − +
(1)
1.Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm có hoành độ x = 1
3. Tìm m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt:
( )
3 2
2
3 log 1 0x x m− − − =
Câu 2. Cho hàm số
2
3
1 4
3 4 3
x
y x x= + − −
(1)
1.Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C ), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 4x + 2
3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (1) và các đường thẳng x = 0, x = 2, y = 0
Câu 3. Cho hàm số
3 2
1
2 3
3
y x x x= − +

1.Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ) và trục hoành.
Câu 4. Cho hàm số
( ) ( )
2
1 2y x x= − +
(1)
1.Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2. Tìm m để đường thẳng y = m(x – 1) cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt.
Câu 5. Cho hàm số
3 2
2 3 1y x x= − −

1.Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm M(0; - 1) và có hệ số góc k. Tìm k để đường thẳng d cắt ( C) tại
ba điểm phân biệt.
Câu 6. Cho hàm số
3 2
3 2y x x= − + −

1.Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Tìm m để đồ thị (C) tiếp xúc với đường thẳng
2 1y mx m= − −
tại điểm có hoành độ x = 1
3.Tìm k để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt:
( )
3 2
2
3 2log 3 2 0x x m− − − =
Câu 7. Cho hàm số

3 2 2
2 2y x mx m x= − + −
(1)
1.Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1. 2. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 1
Câu 8. Cho hàm số
( )
3 2
3 1 1y x mx m x= + + + +
(1)
1.Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = -1.
4
Các chuyên đề ôn thi tốt nghiệp môn toán -2011-Nguyễn Kiếm-CĐSP
2. Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị (1) tại điểm có hoành độ x = -1 đi qua điểm A(1; 2)
Câu 9. Cho hàm số
3 2
3 1y x x= − −

1.Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Tìm điểm M thuộc (C ) sao cho tiếp tuyến với đồ thị (C) vuông góc với đường thẳng: x – 3y+6=0
Câu 10. Cho hàm số
3 2
3 4y x x= − − +

1.Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Tìm điểm M thuộc (C ) sao cho tiếp tuyến với đồ thị (C) song song với đường thẳng: 9x + y=0
Câu 11. Cho hàm số
( ) ( )
3 2
1 2 2 2y x m x m x m= + − + − + −
(1)

1.Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 2.
2. Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và trung điểm của hai điểm cực thị thuộc trục tung.
Câu 12. Cho hàm số
( ) ( )
3 2
3 1 3 2 1y x m x m m x= − + + + +
(1)
1.Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0.
2. Tìm m để hàm số (1) đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ dương
II. Hàm trùng phương.
Câu 1. Cho hàm số
4 2
2 1y x x= − +

1.Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C ), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 24x – y +1=0
3. Tìm m để phương trình:
( )
4 2
3
2 log 2 3 0x x m− − − =
có bốn nghiệm phân biệt
Câu 2. Cho hàm số
4 2
8 7y x x= − +
(1)
1.Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Tìm m để phương trình:
4 2 4 2
8 8 0x x m m− − + =

có ba nghiệm phân biệt
Câu 3. Cho hàm số
4 2
2 1y x x= − +
(1)
1.Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2.Tìm m để tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x = 2 vuông góc với đường thẳng:
12 1 0mx y
− + =
Câu 4. Cho hàm số
4 2
6 5y x x= − +

1.Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt:
4 2
2
6 log 0x x m− − =
Câu 5. Cho hàm số
4 2
2 3y x x= − + +

1.Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Tìm m để đường thẳng
9y mx= −
tiếp xúc với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x = 3
3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ) và đường thẳng y = 4
III. Hàm nhất biến.
Câu 1. Cho hàm số
x 3

x 1
y
−
=
+
có đồ thị (C).
1.Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2.Viết phương trình đường thẳng đi qua I(-1; 1) và cắt (C) tại hai điểm N, M sao cho I là trung điểm
MN.
Câu 2. Cho hàm số
x 1
x
y =
−

1. Khảo sát và vẻ đồ thị (C) của hàm số
2. Tìm m để đường thẳng d:
y x m= − +
cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt
Câu 3. Cho hàm số
2x 1
x 1
y
−
=
−
có đồ thị (C).
5
Các chuyên đề ôn thi tốt nghiệp môn toán -2011-Nguyễn Kiếm-CĐSP
1. Khảo sát và vẻ đồ thị (C) của hàm số

2.Tìm m để đường thẳng
: 2d y x m= − +
cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có
diện tích bằng
3
.
Câu 4. Cho hàm số
3 1
3
x
y
x
−
=
−

1. Khảo sát và vẻ đồ thị (C) của hàm số
2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân.
Câu 5. Cho hàm số
2
1
x
y
x
=
+

1.Khảo sát và vẽ đồ thị ( C).
2.Tìm điểm M thuộc ( C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm
phân biệt A, B và tam giác OAB có diện tích bằng

1
4
Chuyên đề 2. Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
1.Tìm một nguyên hàm
( )
F x
của hàm số
( )
y f x=
thỏa mãn điều kiện
( )
F
α β
=
.
Bài 1.1. Tìm họ các nguyên hàm sau
a)
( )
3
1 xx x d
x
+ +
∫
b)
2
sin xxd
∫
c)
( )
1 x

x
x
e d
e
+
∫
d)
( ) ( )
x
1 1 2
d
x x+ −
∫
e)
2 2
x
sin . os
d
x c x
∫
Bài 1.2. a) Tìm nguyên hàm F( x ) của hàm số
( ) ( ) ( )
1 2f x x x x= + +
, biết rằng F( 1 ) =
1
2
b) Tìm nguyên hàm F( x ) của hàm số
( )
2
2

2 sin
os
x
f x
c x
+
=
, biết rằng
0
4
F
π
 
=
 ÷
 
2.Tích tích phân của hàm số
( )
y f x=
trên đoạn [a; b].
Bài 2.1. Biến đổi

4 2
2 3
1
1
2
1 1 3
) x ) 2 xa x d b x d
x x

x
 
 
+ − −
 ÷
 ÷
 
 
∫ ∫

( )
( )
2
2
0 0
) os3 cos5 3 x ) sin x xc c x x d d x d
π π
+ +
∫ ∫
( ) ( )
2
2
0 0
) 2sin 3cos x ) sinx cos xe x x d f x d
π
π
− +
∫ ∫
g)
( )

( )
2
2
1
2
1 3x x
1
d
x
−
+
∫

4
2
3
x
)
3 2
d
h
x x− +
∫
3
3
1
x
)
d
g

x x+
∫
Bài 2.2. Đa thức, lũy thừa
a)
( )
1
4 2
0
2 1 xx x d− +
∫
b)
( )
1
2
0
3 2 1 xx x d
− +
∫
c)
( )
1
3 2
0
3 1 xx x d− + +
∫
d)
( )
1
4
2 3

1
1 xx x d
−
−
∫
( ) ( )
1 1
3
5
2
0 0
) 1 3 x ) 1 xe x d f x d+ +
∫ ∫

( ) ( )
( )
1 1 2
2
5 6
2 3
0 0 1
) 1 x ) 1 2 x ) 1 xg x x d h x x d i x x d− + +
∫ ∫ ∫
;
Bài 2.3. Hữu tỷ
a)
( )
3
2
2

0
x
1
xd
x
+
∫

1 2 1
2 3
2 3 4
0 1 0
5 x x 4 x
) ) )
4 1 2
xd x d x d
b c d
x x x
+ + +
∫ ∫ ∫
e)
( )
2
4
1
x
1
d
x x
+

∫
f)
l
3
2
0
x dx
x 1+
∫
g)
2
4
2
0
x x 1
dx
x 4
− +
+
∫
Bài 2.4. Vô tỷ
a)
3
1
1 xx d
+
∫

1 7
0 2

x x
) )
2 1 1 2
xd d
b c
x x
+ + +
∫ ∫

1 2
0 1
x
) 2 1 x )
1 1
xd
d x x d e
x
+
+ −
∫ ∫
g)
−
−
∫
0
2 2
1
4x x dx
h)
( )

7
3
0
2 x
1
x d
x
+
+
∫
6
Các chuyên đề ôn thi tốt nghiệp môn toán -2011-Nguyễn Kiếm-CĐSP
i)
10
0
dx
x 2 x 1− −
∫
k)
3
3
1
2
xdx
2x 2+
∫
l)
2
0
x 1

dx
4x 1
+
+
∫
m)
1
3
2
0
x dx
4 x−
∫
Bài 2.5. a)
1
3 2
0
1 xx x d
−
∫
1 2 1
32 3 2 3 3 2
0 0 0
) 1 x ) 8 x ) 1 xb x x d c x x d d x x d
+ − +
∫ ∫ ∫

1 2
2 2
0 0

) 1 x ) 2 1 xg x x d h x x d
+ +
∫ ∫
Bài 2.6. Lượng giác
a)
( )
2
3
2
4
3 2cot x
os
x d
c x
π
π
−
∫
b)
( )
3
4
2
6
1 sin x
sin
x d
x
π
π

−
∫
c)
0
sinx xx d
π
∫
( ) ( )
2 2 4
0 0 0
) 2 1 cos x ) 1 sinx x ) os2x xd x xd e x d g xc d
π π π
− +
∫ ∫ ∫

Bài 2.7. a)
2 2 2
3 5 5
0 0 0
cos x ) sin x x ) os xxd b d c c xd
π π π
∫ ∫ ∫
d)
6
0
sin x tan xxd
π
∫
e)
6

0
2 1 4sin 3x os3 xc xd
π
+
∫
Bài 2.8. a)
4
0
os2 x
1 2sin2x
c xd
π
+
∫
b)
3
4 2 4
os2 2 3
0 0 0
4sin x
sin 2 x ) os sin x x )
1 osx
c x
xd
e xd c c x d d
c
π π π
+
∫ ∫ ∫
e)

2
3 4
0
sin x os xc xd
π
∫
Bài 2.9. a)
5
4
7
0
sin
cos
x
dx
x
π
∫
b)
4
6
0
tan
cos2
x
dx
x
π
∫
c)

( )
2
3
0
4sin
sin cos
x
dx
x x
π
+
∫
d)
2
0
sin cosx x xdx
π
∫
e)
( )
6
3
0
cos
sin 3 cos
xdx
x x
π
+
∫

f)
2
6 3 5
0
1 cos x sinx.cos xdx
π
−
∫
g)
4
0
xdx
1 cos2x
π
+
∫
h)
( )
32
2 2
0 0
2x 1 cos xdx; sin x tan xdx
π
π
−
∫ ∫
i)
2
cosx
0

e sin 2xdx
π
∫
k)
( )
4
sinx
0
t anx e cos x dx
π
+
∫
l)
2
0
sin 2xdx
3 4sin x cos2x
π
+ −
∫
Bài 2.10. mũ
a)
( )
1
x
0
4 1 xx e d
+
∫

( ) ( )
1 1
2x
0 0
) 2 1 x ) 1 x
x
b x e d c x e d
+ +
∫ ∫
d)
( )
1
-2x
0
2 1 xx e d
−
∫
e)
0
osx x
x
e c d
π
∫
g)
ln5
x
0
x
5

d
e
+
∫

l ln5
x -x
0 ln3
x x
) )
1 2 3
x
x
e d d
h k
e e e
−
−
+ + +
∫ ∫
i)
( )
ln3
x
3
x
0
e dx
e 1+
∫

k)
2
ln5 l
2x
3 x
x
ln2 0
e dx
; x e dx
e 1−
∫ ∫
l)
ln8
2x x
ln3
e e 1dx+
∫
Bài 2.11. lôgarit
a)
1
ln x x
e
d
x
∫

( )
1 2
2 5
1 0 1

) ln x x ) ln 1 x ) ln x x
e
b x d c x d d x d
+
∫ ∫ ∫
e)
( )
3
2
2
ln xx x d−
∫
f)
e
2
1
x ln xdx
∫
g)
34 2
1 1
ln x ln 2 ln x
x )
e e
x xd
d h
x x
+
∫ ∫

( )
2
1
2 ln x ln x
) ) x
1 ln
e e
e
xd
i k d
x x x
+
+
∫ ∫
l)
( )
2
1
x 2 ln xdx−
∫
2
e
2
1
ln xdx
x 1 ln x+
∫
Bài 2.12. Phối hợp các phương pháp
a)
( )

+
∫
1
x
0
1 e xdx
b)
( )
π
−
∫
2
0
1 cosx 2xdx
c)
( )
π
+
∫
0
x cosx cosxdx
d)
( )
π
+
∫
2
0
x sin x sin xdx
e)

( )
+
∫
e
1
1 ln x xdx
f)
( ) ( )
− −
+ +
∫ ∫
1 1
x 2x x
0 0
x e xdx g) x e e dx
k)
( )
+ +
+
∫ ∫
3 2
2 3
1 1
3 ln x x ln x
dx h) dx
x
x 1
i)
( )
0

2x
3
1
x e x 1 dx
−
+ +
∫
k)
e
2
1
x 1
ln xdx
x
+
∫
7
Các chuyên đề ôn thi tốt nghiệp môn toán -2011-Nguyễn Kiếm-CĐSP
Bài 2.13. a)
( )
π
+
∫
2
sin x
0
e cosx cosxdx
b)
( )
π

+
∫
3 2
0
sin x 1 sin xdx
c)
+
∫
e
2
1
2x ln x
dx
x
d)
+
∫
e
2 4
1
x ln x
dx
x

Bài 2.14. a)
( )
π
+
∫
2

sin x
0
e x cosxdx
b)
( ) ( )
π
π
+ +
∫ ∫
2
3 2
0 0
sin x x cosxdx c) cos x x sin xdx
d)
π
 
+
 ÷
+
 
∫
2
0
1
x cosxdx
1 s inx
e)
( )
+
∫

1
x x
0
e ln e 1 dx
g)
(
)
+
∫
2
2
x
1
e ln x xdx
h)
(
)
π
+ +
∫
2
0
1 4 sin x x cosxdx
i)
( )
−
−
+
∫
1

2
1
1 x dx
1 x
;
1
2x
2
0
x
xe dx
4 x
 
−
 ÷
−
 
∫
3.Ứng dụng tích phân để tích diện tích hình phẳng, thể tích vật thể khối tròn xoay.
Bài 3.1. Tính diện tích hình phẳng gới hạn bởi đồ thị các đường sau:
a)
( )
2
2 3 2
2
1
, ) , , 2 ) 6 , 6y x y x b y y x x c y x y x x
x
= = = = = = − = −
d)

2 2
4, 2y x y x x= − = − −
2
) 4, 0e y x y= − + =
g)
, 2, 1
x
y e y x= = =
h)
= − +
2
y x 4x
,
=y x
k)
2
y x x 3= − +
và y = 2x + 1
Bài 3.2.
) , , 1
x x
a y e y e x
−
= = =
b)
y x ln x=
,
y 0=
, x = e c)
1 ln x

, 0, 1,y y x x e
x
+
= = = =
d)
ln x
, 0, 1,y y x x e
x
= = = =
e)
2 2
1 1
, , ,
sin os 4 3
y y x x
x c x
π π
= = = =
f)
2
2
4 ,
3
x
y x y= − − = −
1, 0, ln 3, ln8
x
y e y x x= + = = =
Bài 3.3. Tính thể tích khối tròn xoay tạo hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các đường sau quay quanh trục
Ox:

1
) os , 0, 0, ) ln , ,a y c x y x x b y x x x x e
e
π
= = = = = = =
c)
t anx, 0, 0,
3
y y x x
π
= = = =
d)
ln , 0, 1,y x x y x x e= = = =
e)
; 0, 2
x
y xe y x= = =
f)
( )
3
ln 1 , 0, 1y x x y x= + = =
g) Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay xung quanh Ox của hình phẳng giới hạn bởi trục
Ox và đường
( )
y x sinx 0 x= ≤ ≤ π
Chuyên đề 3. Số phức
1. Tìm phần thực, phần ảo của một số phức.Biểu diển hình học, rút gọn
Bài 1.1. Tìm phần thực, phần ảo của số phức z thỏa mãn điều kiện sau
a.
( ) ( )

7 3i z 2 3i 5 4i z− + + = −
b.
z 2i z− =
và
z i z 1− = −
c.
z z 2 i+ = +
d.
( )
2 3 1i z z+ = −

e.
( )
1 3 0+ + − =z i z
f.
z z 1 2i 0− − − =

d) Cho số phức
3 2z i
= −
, Tìm phần thực, phần ảo của số phức
2
z z+
Bài 1.2. Xác định số phức z thỏa mãn điều kiện sau
a.Biết
z 2 5=
, phần ảo gấp hai lần phần thực b.
( ) ( ) ( )
2
1 i 2 i z 8 i 1 2i z+ − = + + +

c.
z z 3 4i+ = +
d.
z z 3+ =
và
z.z 4=
e.
( )
z 2 i 10− + =
và
z.z 25=
f.
2
z 4z 5 0− + =
g.
z 2=
và
2
z
là số thuần ảo
Bài 1.3 a.Cho hai số phức
1 2
z 1 2i, z 2 3i= + = −
.Tính modun của số phức
1 2
3z 2 z 5+ −
b. Cho hai số phức
1 2
z 2 5i, z 3 4i= + = −
Tính modun của số phức:

1 2 1 2
z z 3z 2z+ −
Bài 1.4. Rút gọn
( ) ( )
4 i
A 2 3i 1 2i
3 2i
−
= − + +
+

( ) ( )
3 4i
B
1 4i 2 3i
−
=
− +

( ) ( )
( ) ( )
2 3
3 2
1 2i 1 i
C
3 2i 2 i
+ − −
=
+ − +

( ) ( )
2 2
D 1 i 3 1 i 3= + + −
( ) ( )
3 3
E 1 i 2 1 i 2= + + −

( ) ( )
3 3
F 1 i 2 1 i 2= + − −

( ) ( )
4 4
G 1 i 5 1 i 5= + + −
8
Các chuyên đề ôn thi tốt nghiệp môn toán -2011-Nguyễn Kiếm-CĐSP
Bài 1.4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diển số phức z thỏa mãn điều kiện sau:
a.
2 2
z 2 z 2 10− + + =
b.
z z 3 4i= − +
c.
z 1 z i+ = −
d.
2
z 3z 3z 0+ + =
e.
2iz 1 3 z− = +
f.

z 3 z 3 10− + + =
g.
z i z 2 2i+ = − −
h.
( )
z 3 2i 2+ − =
k.
( )
z i 1 i z+ = −
2.Giải phương trình bậc nhất với hệ số là số phức, bậc hai với hệ số thực; Các hệ thức
Bài 2.1. Giải các phương trình sau trên tập số phức
a)
2
z 5z 4 0+ + =
b)
2
z 4z 7 0+ + =
c)
2
z 2z 2 0+ + =
d)
2
z 6z 25 0+ + =
e)
4z 3 7i
z 2i
z i
− −
= −
−

Bài 2.2. Giải các phương trình sau trên tập số phức
a)
( )
2 i z 4 0− − =
b)
2
2z iz 1 0− + =
c)
( )
2
z 1 i 3 z 1 i 3 0 0− + − + = =
Bài 2.3. Gọi z
1
, z
2
là hai nghiệm phức của phương trình:
2
8z 4z 1 0− + =
. Tính giá trị của các biểu thức
sau:
a)
( )
( )
2
2 2
1 2 1 2
A z z z z= + +
b. B=
2 2
1 2 1 2

z z z z+ −
c.
( )
( )
2
2 2
3 3
1 2 1 2
C z z z z= + +

Bài 2.4. Gọi z
1
, z
2
là hai nghiệm phức của phương trình:
( )
2
z 1 i 2 z 2 3i 0− + + − =
. Tính giá trị của các
biểu thức sau:
a)
2 2
1 2
A z z= +
b) B=
2 2
1 2 1 2
z z z .z+
c)
3 3

2 1 1 2
C z z z z= +
d)
3 3
1 2
D z z= +
Chuyên đề 4. Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit
1.Phương trình mũ
Bài 1.1. Đưa về cùng cơ số
a)
2 5 17
3 3
32 0,25.128
x x
x x
+ +
− −
=
b)
2
5 6
5 1
x x− −
=
c)
3 4
2 2
3 9
x
x

−
−
=
d)
3 3 2 2
3 7 3 7
x x x x+ +
=
e)
2 3 2 3 5 5
3 5 3 5
x x x x+ +
=

Bài 1.2. Đặt ẩn phụ
a) 4
x
+3.2
x
-10 = 0 b) 9
x
– 25. 3
x
– 54 = 0 c) 2
2x + 2
– 9.2
x
+ 2 = 0 d) 3
x + 2
+ 3

2 – x
= 30
Bài 1.3. a) 2
x
+ 2
-x + 1
– 3 = 0 b)
8 18 2.27
x x x
+ =
c) 25
x
+ 15
x
= 2.9
x
d) 6.9
x
– 13.12
x
+ 6.16
x
= 0
Bài 1.4.a)
(
)
(
)
2 3 2 3 4
x x

+ + − =
b)
( ) ( )
8 3 7 8 3 7 16+ + − =
x x
c)
( ) ( )
2 3 2 3 14
x x
− + + =

d)
( ) ( )
4 15 4 15 62
x x
+ + − =
e)
( ) ( ) ( ) ( )
2 3 7 4 3 2 3 4 2 3
x x
+ + + − = +
f)
2 2
2 3.2 32 0
x x+
− + =
g)
3 1
125 50 2
x x x

+
+ =
h)
1 2
3.5 2.5 35 0
x x
+ −
− − =
i)
3.8 4.12 18 2.27 0
x x x x
+ − − =
k)
2 2
2
2 4.2 2 4 0
x x x x x
+ −
− − + =
2.Phương trình logarit
Bài 2.1. Giải các phương trình sau
a)
3 9 27
11
log log 3 log
12
x x x+ + =
b)
2 4 8
11

log log log
2
x x x+ + =
c)
( )
2 2
log 1 log 1x x− + =
d)
( )
3 3
log log 2 1x x+ + =
e)
( )
4 2
log log 4 5x x+ =
g)
( ) ( )
2 4
log 1 log 1 3x x
+ + + =

Bài 2.2. Giải các phương trình sau
a)
3 1
3
3
log log log 6x x x+ + =
b)
4 8
2

log 4log log 13x x x+ + =
c)
( ) ( )
2 2
log 5 log 2 3x x− + + =
d)
2 4 1
2
log log log 3x x+ =
e)
( ) ( )
3 3
log 5 3 log 7 5 0x x+ − − =
g)
( ) ( )
log 1 log 2 11 log 2x x− − − =

Bài 2.3.Giải các phương trình sau
a)
( )
( )
2
log 6 7 log 3 0x x x
− + − − =
b)
( )
2
1 1
log 5 log5 log
2 5

x x x
x
+ − = +
c)
( )
2
1
log 4 1 log8 log 4
2
x x x x
− − = −

9
Các chuyên đề ôn thi tốt nghiệp môn toán -2011-Nguyễn Kiếm-CĐSP
d)
( ) ( ) ( )
3 2 2
1 1 1
2 2 2
2
log 2 2 log 4 log 6
3
x x x+ − = − + +
e)
2 3
4 8
2
log ( 1) 2 log 4 log ( 4)x x x+ + = − + +
Bài 2.4.Giải các phương trình sau
a)

2
2
2
log 5log 6 0x x− + =
b)
5
2
5
log log 2 0x x
+ − =
c)
2
2
2
log 3log 10 0
4
x
x − − =
d)
0,2
2
0,2
log 5log 6 0x x− + =
e)
2 2
log 3log log 4x x x− = −
g)
2
2
2

log 2log 2 0x x+ − =
f)
2
2 3
2
log 20log 1 0x x− + =
i)
2 2
3 log log 8 1 0x x− + =
k)
2 2
5 log log 4 4 0x x− − =

l)
( ) ( )
2
3 3
6log 1 log 1 5 0x x− + − + =
m)
2 2 2
2 1
2
log ( 2) 3log ( 2) 2 0x x x x
− + + − + + =
Bài 2.5.Giải các phương trình sau
a)
4 2 2 3
l g ( 1) l g ( 1) 25o x o x− + − =
b)
4

7
log 2 log 0
6
x
x− + =
c)
( )
2
2
2
log x 1 6log x 1 2 0+ − + + =

d)
( )
x x
2 2
x
1
log 4 15.2 27 2log 0
4.2 3
+ + + =
−
e)
2 2
1 2 1 3
log (6 5 1) log (4 4 1) 2
x x
x x x x
− −
− + − − + =

g)
2 2
3 7 2 3
log (9 12 4 ) log (21 23 6 ) 4
x x
x x x x
+ +
+ + + + + =
h)
( )
( )
2
2
2x 1 x 1
log 2x x 1 log 2x 1 4
− +
+ − + − =
2.Bất Phương trình mũ và logarit
Bài 3.1. Giải các bất phương trình sau
a)
2
7 12
5 1
x x− +
>
b)
16 0,125
x
>
c)

2
4 15 13 4 3
1 1
2 2
x x x− + −
   
<
 ÷  ÷
   
d)
2
2
1
40
4 3
2
1
3
3
x
x x
−
− +
 
<
 ÷
 
e)
2 1 2 2 2 5 7 5 3
2 2 2 2 2 2 .

x x x x x x− − − − − −
+ − > + −
g)
2 3 4 1 2
2 2 2 5 5
x x x x x+ + + + +
− − > −

Bài 3.2. Giải các bất phương trình sau
a)
( ) ( )
6 6
1
2 1 2 1
x
x
x
−
−
+
+ ≤ −
b)
( ) ( )
3 1
1 3
10 3 10 3
x x
x x
− +
− +

+ < −
c)
( ) ( )
1
1
2 1 2 1
x
x
x
+
−
+ ≥ −
Bài 3.3. Giải các bất phương trình sau
a)
( )
1
3
log 5 1 0x − >
b)
( )
2
1
2
log 5 6 3x x− − ≥ −
c)
( )
2
2
2 log 3 0x x− + ≥
d)

2
log 1
1
x
x
≤ −
−
e)
1
2
3 1
log 1
1
x
x
+
≥ −
+
g)
( )
1 1
2 2
1
log log 1 1
2
x x
 
− + − ≤
 ÷
 

h)
( ) ( )
3 3 3
log 2 log 2 log 5x x
+ + − ≥
Bài 3.4. Giải các bất phương trình sau
a)
( )
2
3 1 1
3 3
1
log 5 6 log 2 log 3
2
x x x x− + + − > +
b)
( )
( )
2
4 12.2 32 log 2 1 0
x x
x− + − ≤
c)
2
5 5 5
log (4 144) log 16 1 log (2 1)
x x
−
+ − < + +
d)

( ) ( )
3 1
3
2log 4x 3 log 2x 3 2
− + + ≤
e)
2
0,7 6
x x
log log 0
x 4
 
+
<
 ÷
+
 
g)
( ) ( )
2 3
2 2
5 11
2
log 4 11 log 4 11
0
2 5 3
x x x x
x x
− − − − −
≥

− −
h)
( ) ( )
5 8
2 2
2 3
2
log 2 7 log 2 7
0
3 13 4
x x x x
x x
− − − − −
≤
− +
Bài 3.5. Giải các bất phương trình sau
a)
4 4
1
8.3 9 9
x x x x+ +
+ ≥
b)
2 2 2
2 1 2 1 2
25 9 34.15
x x x x x x− + − + −
+ >
c)
1

1 1
3 5 3 1
x x+
≤
+ −
d)
( ) ( )
2 2
2
1
5 1 2 3 5 1
x x x x
x x
− + − +
− + +
+ + < −
e)
2 4 4
3 8.3 9.9 0
x x x x+ + +
− − >
10
Các chuyên đề ôn thi tốt nghiệp môn toán -2011-Nguyễn Kiếm-CĐSP
f)
2 2
2 2 1
9 7.3 2
x x x x x x− − − − −
− ≤
g)

( ) ( )
2
2 2 1
2 1
4
2 3 2 3
2 3
x x
x x
− −
− +
+ + − ≤
−
Bài 3.6. Giải các bất phương trình sau
a)
2(5 24) 5 7 5 7
x x x
+ − − ≥ +
b)
1
1
11.3 31
5
4.9 11.3 5
x
x x
−
−
−
≥

− −
c)
2 1
4 7.5 2
5 12.5 4 3
x
x x+
−
≤
− +

Bài 3.7. Giải các bất phương trình sau
a)
1
2
2
1
2
log log 2 0x x
+ − ≤
b)
2
2
2
log 3log 2 0x x
− + ≥
c)
0,2
2
0,2

log 5log 6x x
− < −
d)
2
2
1
2
log log 2x x
+ ≥

e)
( )
5
2
5
1
log log 5 2 0
2
x x
+ − ≤
g)
2
2
8
log 9log 4 0x x
− − ≥
h)
( ) ( )
2
2

1
4
log 2 8log 2 5x x
− − − ≥
Bài 3.8. Tổng hợp
1.
2
2
3x
27x
16log x 3log x 0− =
;2.
( ) ( ) ( )
8
4 2
2
1 1
log 3 log 1 log 4
2 4
x x x
+ + − =
3.
( ) ( )
2 1
1 1
2 2
log 4 4 log 2 3.2
x x x
+
+ ≥ −

;
4. Tìm a để phương trình:
( )
2 2
1 1 1 1
9 2 3 2 1 0
x x
a a
+ − + −
− + + + =
có nghiệm
5.
1 1
15.2 1 2 1 2
x x x+ +
+ ≥ − +
; 6 Tìm m để phương trình:
2
2 1
2
4log log 0x x m− + =
có nghiệm thuộc
khoảng (0; 1); 7.
( )
1 1 2
2 4
log 2log 1 log 6 0x x
+ − + ≤
;
( )

5
log 5 4 1
x
x− = −
; 8.
( )
2
2
4
log log 2 0x x x
π
 
+ − <
 
 
; 9.
9.
3
log log 3
x
x >
10.
2
2
2
2
1
9 2 3
3
x x

x x
−
−
 
− ≤
 ÷
 
11.
( ) ( )
1
3 3
log 3 1 log 3 3 6
x x+
− − =
; 12.
( ) ( )
3
1 8
2
2
log 1 log 3 log 1 0x x x+ − − − − =
;
( )
2 4 2
1
2 log 1 log log 0
4
x x+ + =
13.
2

2
log 2 2log 4 log 8
x x
x
+ =
;
( )
1
log 2 2
x
x
+
− >
;
2 2
1 2
9 10.3 1 0
x x x x+ + + −
− + =
14.
3 1 2
2 7.2 7.2 2 0
x x x+
− + − =
;
( ) ( )
2
3
3
log 1 log 2 1 2x x− + − =

;
( )
3 9
3
4
2 log log 3 1
1 log
x
x
x
− − =
−
( )
4 2
2 1
1 1
log 1 log 2
log 4 2
x
x x
+
− + = + +
;
( )
2
4 2
log 8 log log 2 0
x
x x
+ ≥

;
( )
2
2
1 2
2
1 1
log 2 3 1 log 1
2 2
x x x
− + + − ≥
15.
1 2
3
2 3
log log 0
1
x
x
+
 
≥
 ÷
+
 
;
3
1 6
3 log 9
log

x
x
x x
 
+ = −
 ÷
 
;
( )
2 1
2
2log 2 2log 9 1 1x x+ − =
;
2 1 2 1
3 2 5.6 0
x x x+ +
− − ≤
;
2 2
2 4 2 2 1
2 16.2 2 0
x x x x− − − −
− − ≤
Chuyên đề 5. Phương pháp tọa độ trong không gian
A. Tóm tắt một số kiến thức cơ bản.
I. Viết phương trình mặt phẳng ( P )
1. Mặt phẳng ( P ) đi qua điểm
( )
0 0 0 0
; ;M x y z

và nhận
( )
; ;n A B C=
r
làm véc tơ pháp tuyến có
phương trình :
( ) ( ) ( )
0 0 0
0A x x B y y C z z− + − + − =
với
2 2 2
0A B C+ + ≠

2. Mặt phẳng ( P ) đi qua ba điểm không thẳng hàng A , B , C có véc tơ pháp tuyến
,
P
n AB AC
 
=
 
r uuur uuur
Đặc biệt: Khi A ( a ; 0 ; 0 ) , B( 0 ; b ; 0) và C( 0 ; 0 ; c ) với abc ≠ 0 thì phương trình mặt phẳng ( P )
là:
1
x y z
a b c
+ + =
gọi là phương trình theo đoạn chắn
11
Các chuyên đề ôn thi tốt nghiệp môn toán -2011-Nguyễn Kiếm-CĐSP

3.Khi ( P ) // ( Q ) thì véc tơ pháp tuyến
P
n
r
là véc tơ pháp tuyến
Q
n
r

4. Khi
( ) ( )
( ) ( )
//
//
P a
P b





thì
,
P
n a b
 
=
 
r r r
5. Khi

( ) ( )
( ) ( )
a P
P Q

⊂


⊥


thì véc tơ pháp tuyến
,
P
Q
n a n
 
=
 
r r uur

II. Viết phương trình đường thẳng ( d )
1. Đường thẳng ( d ) đi qua điểm
( )
0 0 0 0
; ;M x y z
và nhận
( )
1 2 3
; ;d a a a=

ur
làm véc tơ chỉ phương có:
Phương trình tham số
0 1
0 2
0 3
x x a t
y y a t
z z a t
= +


= +


= +

với t ∈ R, Phương trình chính tắc
0 0 0
1 2 3
x x y y z z
a a a
− − −
= =

với
1 2 3
0a a a ≠
2. Khi đường thẳng (d) đi qua hai điểm A,B thì véc tơ chỉ phương :
( )

; ;
B A B A B A
d AB x x y y z z
= = − − −
ur uuur

3. Khi ( d ) ⊥ ( P ) thì véc tơ chỉ phương
d
ur
là véc tơ pháp tuyến
P
n
r

4. Khi ( d ) // ( a ) thì véc tơ chỉ phương
d
ur
là véc tơ pháp chỉ phương
a
r

5. Khi
( ) ( )
( ) ( )
d a
d b

⊥



⊥


thì véc tơ chỉ phương
,d a b
 
=
 
ur r r
với a không song song b
6. Khi
( ) ( )
( ) ( )
//
d a
d P

⊥




thì véc tơ chỉ phương
,
P
d a n
 
=
 
ur r uur

7.Chứng minh hai đường thẳng ( a ) , ( b ) chéo nhau:
; ; ,M a N b MN a b o
 
∈ ∈ ≠
 
uuuur r r r
8. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng (a ) lên mặt phẳng ( P )
+ Gọi mặt phẳng ( Q) chứa ( a) vuông góc với mặt phẳng (
P) thì
VTPT
,
Q P
n d n
 
=
 
uur ur uur
+ Gọi (a
'
) là chiếu vuông góc của đường thẳng (a ) lên mặt phẳng (P)
có VTCP
,
Q P
d n n
 
=
 
ur uur uur
III. Tính thể tích , khoảng cách +Đường thẳng(a

'
) đi qua điểm A = (a) ∩ (P), có VTCP
,
Q P
d n n
 
=
 
ur uur uur
1. Tính thể tích của tứ diện ABCD:

1
.
3
ABC
V DH S
∆
=
hoặc
1
,
6
V AD AB AC
 
=
 
uuur uuur uuur

2.Khoảng cách:
Khoảng cách từ

( )
0 0 0 0
; ;M x y z
đến (P):Ax+By+Cz+D= 0
( )
0 0 0
0
2 2 2
,( )
Ax By Cz D
d M P
A B C
+ + +
=
+ +
:
IV. Mặt cầu
1. Phương trình mặt cầu (S)
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
x a y b z c R− + − + − =
, Tâm I ( a ; b ; c), BKính R

2 2 2
2 2 2 0x y z ax by cz d+ + − − − + =
với a
2
+ b
2

+ c
2
- d > 0 có tâm I (a;b;c),
2 2 2
R a b c d= + + −

2.Viết phương trình mặt cầu ( S ): * Tìm tâm I ( a ; b ; c), Bán kính R
2.1. Mặt cầu (S) có tâm I, đi qua điểm M: Bán kính R= IM
2.2. Mặt cầu (S) có tâm I(a,b,c), tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) : Ax + By + Cz + D = 0
12
( P)
( Q)
a
a
'
A
B
C
D
H
Các chun đề ơn thi tốt nghiệp mơn tốn -2011-Nguyễn Kiếm-CĐSP
R =
( )
2 2 2
Aa + Bb +Cc + D
,( )d I P
A B C
=
+ +
2.3. Mặt cầu (S) có đường kính AB : Tâm I là trung điểm AB, bán kính R=

2
AB
2.4. Mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D:
- Phương trình mặt cầu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
– 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (*) với a
2
+ b
2
+ c
2
- d > 0
- Thay tọa độ các điểm A, B, C, D vào phương trình (*), giải hệ tìm A, B, C, D
3.Tiếp diện :
+ Tại điểm M ∈ ( S ): Mặt phẳng ( P ) đi qua M và nhận véc tơ pháp tuyến
P
n IM=
uur uuur
+ Điều kiện mặt phẳng(P): Ax + By + Cz + D = 0 tiếp xúc với ( S ) là:
( )
2 2 2
Aa + Bb +Cc + D
,( )d I P R R
A B C
= ⇔ =
+ +

B. Bài tập nhỏ
I. Viết phương trình mặt phẳng
1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm khơng thẳng hàng
1) A(2; 1; -1),B(3; 0; 1), C(2; -1; 3) 2) A(2; 1; -1),B(4; 3; 2), C(5; 2; 1) 3) A(3; -1; 20), B(4; -2; -1),
C(2; 0; 2). 4) A(2 ; 0 ;0),B(0 ;3 ;0),C(0 ;0 ;6) 5) A(-2; 0; 1),B(0; 10; 3), C(5; 3; -1)
2. Viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm, vng góc với một đường thẳng
1) A(1; 2; -1)va d:
x 1 y 2 z 2
3 2 2
+ − −
= =
−
2) C
1 1 1
; ;
3 3 3
 
 ÷
 
vuông góc với OC 3) A(2; -1; 1)d:
x 1
y 4 t
z 5

=

= +



= −


4)A(1; 1; -2) và d :
+ − −
= =
x 1 y 1 z 2
2 1 3
5) M(3; -1; 5) và vuông góc với hai mặt phẳng
(P) : 3x – 2y + 2z + 7 = 0, (Q) : 5x – 4y + 3z + 1 = 0
6) Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB với : a) A(1 ;-4 ;5), B(3 ;2 ;7) b)A(1; -1; 1), B(2; 1; 4)
3. Viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm, song song với một mặt phẳng
1) A(4; -2; -1), (Q) : x- 2y + 2z – 1 = 0. 2) A(3; -2; -2), (Q) : 2x- 2y + z – 1 = 0
3) M(-1;-1;0), (Q) : x + 2y -2z – 4 = 0 4) A(1; -3;5), (Q) : 2x – y + 2z + 7 = 0
4. Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm, vng góc với một mặt phẳng
1) d:
x 1 2 y z
2 1 3
− −
= =
, (P): 2x + 2y + z = 1 2) A(1; 2; 1), B(2; 1; 3) , (P): x – 2y +2z – 6 = 0
3) d:
x 4t
y 4 3t
z 1 2t

=

= +



= − −

,(P): x– 2y+ 2z+ 8 = 0 4) A(2; -1; 4), B(3; 2; -1), (β) : x + 2y + 2z – 3 = 0
5.Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với một mặt cầu ( Tiếp diện)
1) Cho d
1
:
x y 1 z 1
1 1 2
+ −
= =
; d
2
:
x 1 y z
1 2 1
+
= =
và mặt cầu (S): .
( ) ( )
− + + + =
2 2
2
x 1 y 1 z 9
.Viết
phương trình mặt phẳng (P) song song với d
1
, d
2

và tiếp xúc với (S).Tìm tọa độ tiếp điểm.
2) Cho
2 2 2
x y z 2x 2y 4 0+ + − − − =
và a:
x 1 2t
y 3 2t
z 1 2t

= +

= −


= +

, b:
x 1 y 2 z 1
1 2 3
− − −
= =
− −
Viết phương trình
mặt phẳng (P) song song với a, b và tiếp xúc với (S). Tìm tọa độ tiếp điểm.
13
Các chun đề ơn thi tốt nghiệp mơn tốn -2011-Nguyễn Kiếm-CĐSP
3) Cho (P): 4x + 3y -12z +1= 0 , mặt cầu (S):
2 2 2
x y z 2x 4y 6z 2 0+ + − − − − =
,Viết

phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng (P)và tiếp xúc với mặt cầu(S). Tìm
tọa độ tiếp điểm.
4) Cho đường thẳng d:
+ −
= =
−
x y 1 z 1
1 2 2
và mặt cầu (S):
+ + − − − − =
2 2 2
x y z 2x 4y 6z 67 0
. Viết
phương trình mặt phẳng (P) vng góc với d và tiếp xúc với (S).Tìm tọa độ tiếp điểm
II. Viết phương trình đường thẳng
1.Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
1)M(1;-1;1),N(2;1;4) 2)A(2;3;-1) và B(1; 2; 4) 3)A(1;1;3) và B(1;-1;4) 4)A(-1;1;2),B(0;1;1)
5) M(1;0;2), N(3;1;5) 6) M(1;-2;0), N(-3;4;-2) 7) A(1;4;0),B(0;2;1)
2.Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm, vng góc với một mặt phẳng
1) A(2; 4; -1),(P): 2x + 2y – z – 6 = 0 2) A(1; 4; 1), (P): x + 2y + 2z - 2 = 0. 3) A(1; 0; -1),
(P): 2x – 2y + z + 9 = 0 4) M(1 ; 2 ; 3) ,(P): 2x - y + 2z + 2 = 0 5) A(3; -2; -2), (P): 2x -
2y + z - 1 = 0 6) I(1; 2; 2) ,(P): x + 2y +2z +18 = 0 7) M(1; 2; 3), (P): 2x -y+2z +35 = 0
III. Viết phương trình mặt cầu
1. Viết phương trình mặt cầu có tâm I và đi qua một điểm M
1) I(-1;1; 2) và đi qua M(1; 3; 2) 2) I( 1; 2; 3) và đi qua M(5; 4; 6) 3) I( 1; -1; -2) và đi qua M(1; -1; 1)
4) I( 1; -2; 3) và đi qua M(4; 0; 1) 5) I(4; 0; -3) và đi qua M(5; -1;0) 6) I( 2; 1; -2) và đi qua M(1; -1; 0)
2. Viết phương trình mặt cầu có đường kính AB
1) A(1;-2;7), B(-3;8;-1) 2) A(-1;3;4), B(5;7;2) 3) A(2;-1;3), B(-2; 7;-1) 4) A(3; -2; 4), B(5;4;2)
3. Viết phương trình cầu có có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (P)
1)I(-2; 1; 1),(P):x +2y -2z + 5 = 0 2)I(2; -1; -1) ,(P):2x +y -2z - 4 = 0 3) I( 1; 2; 3) ,(P): x +2y -2z +6 = 0

4)I( 2; 2; -1),(P): x - 2y + 2z + 8 = 0 5)I( 0; 2;1),(P):2x -y + 2z + 4 = 06)I( 3; 1; 2) ,(P): x -2y +2z +4 = 0
4. Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm
1) Đi qua ba điểm A(1 ;2 ;-4), B(1 ;-3 ;1),C(2 ;2 ;3) và có tâm thuộc mặt phẳng Oxy
2) Đi qua ba điểm A(2 ;0 ;1), B(1 ;0 ;0),C(1 ;1 ;1) và có tâm thuộc mặt phẳng (P) :x + y + z – 2 = 0
3) Đi qua bốn điểm A(3 ;2 ;6), B(3 ;-1 ;0),C(0 ;-7 ;3) , D(-2 ;1 ;-1)
4) Ngoại tiếp tứ diện ABCD với : A(3 ;6 ;-2), B(6 ;0 ;1),C(-1 ;2 ;3) , D(0 ;4 ;1)
5) Ngoại tiếp tứ diện ABCD với : A(3 ;2 ;6), B(3 ;-1 ;0),C(0 ;-7 ;3) , D(-2 ;1 ;-1)
6) Đi qua bốn điểm O(0 ;0 ;0), A(1 ;0 ;-1), B(1 ;2 ;1),C(0 ;2 ;0)
IV. Tính khoảng cách.
1) A(3;4;1)đến(P): x+2y + 2z – 10 = 0 2)I( 3; 1; 1),(P):2x +y -2z - 4 = 03)I(0;2;2) ,(P): x +2y -2z +6 = 0
4)A(1;-2;3) đến (d):
1 2 3
2 1 1
x y z+ − +
= =
−
5) Từ M(2; 1; 0) đến :
x 1 2t
y 1 t
z t

= +

= − +


= −


6) (Q): x +2y -2z + 5 = 0 và (P): x +2y -2z - 5 = 0 7) (Q): x -2y +2z +4 = 0 và (Q): x -2y +2z -4 = 0

V. Xác định tọa độ điểm
1) Trọng tâm tam giác ABC với A(2 ; 0 ;0), B(0 ;3 ;0), C(0 ;0 ;6)
2) Trọng tâm tam giác ABC với A(3 ;2 ;6), B(3 ;-1 ;0),C(0 ;-7 ;3)
3) Tọa độ điểm M sao cho :
2MB MC= −
uuur uuuur
với B(0 ;1 ;1), C(1 ;0 ;4)
4) Tọa độ điểm M sao cho :
2AM AB BC= +
uuuur uuur uuur
với A(2 ;-1 ;3),B(4 ;0 ;1), C(-10 ;5 ;3)
5) Tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành với A(1 ;4 ;-1),B(2 ;4 ;3), C(2 ;2 ;-1)
14
Các chuyên đề ôn thi tốt nghiệp môn toán -2011-Nguyễn Kiếm-CĐSP
6) Cho hình hộp ABCD.A
’
B
’
C
’
D
’
biết A(1 ;0 ;1), B(2 ;1 ;2),D(1 ;-1 ;1), C
’
(4 ;5 ;-5). Tìm tọa độ các đỉnh
còn lại
7) Tọa độ điểm N thuộc Ox sao cho MN = 7 với M(1 ; 2 ; 3)
8) Tọa độ điểm M thuộc Ox sao cho M cách đều hai điểm A(2 ; -1 ; 3), B(4 ; 0 ;1)
* Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng
1)

2
: 1
3
x t
d y t
z t
=


= −


= +

với (P): x + y + z – 10 = 0 2)
12 9 1
:
4 3 1
x y z
d
− − −
= =
với (P): 3x+ 5y –z – 2 = 0
3)
: 8 4
3 3
x t
d y t
z t
=



= − −


= − +

với (P): x -2y + z – 5 = 0 4)
1 4 5
:
5 1 4
x y z
d
− − −
= =
với (P): 5x + y +4z – 1 = 0
* Xác định tọa độ tâm I, tìm bán kính R của mặt cầu ( S)
1)
( ) ( )
− + + + =
2 2
2
x 1 y 1 z 9
2)
2 2 2
x y z 2x 4y 6z 2 0
+ + − − − − =
3)
+ + − − − − =
2 2 2

x y z 2x 4y 6z 67 0
4)
+ + − + + − =
2 2 2
x y z 2x 2y 4z 3 0
5)
+ + + + − − =
2 2 2
x y z 4x 8y 2z 4 0
6)
+ + − + − + =
2 2 2
x y z 6x 2y 2z 10 0
C. Bài tập tổng hợp
Bài 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(2;1;1), B(3;1;2), C(0;-1;4)
a. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua ba điểm A, B, C.
b. Viết phương trình mặt phẳng (β) đi qua điểm A và vuông góc với BC.
c. Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB.
d. Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm tam giác ABC và vuông góc với mặt
phẳng (ABC).
e. Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
Bài 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1;0;1), B(2;-1;0), C(0;0;1)
a.Viết phương trình mp (α) đi qua hai điểm A, B mà khoảng cách từ C đến mặt phẳng (α) bằng
2
2
b.Viết phương trình mp (β) đi qua điểm C mà khoảng cách từ A, B đến mặt phẳng (β) bằng
2
2
c. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A, B, C.
d. Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (P) và viết phương trình mặt cầu tâm O, tiếp xúc với (P)

Bài 3. Cho hai điểm M(1;2;-2), N(2;0;-2) và mặt phẳng (P): 2x + y + 2z – 1=0
a. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua hai điểm M, N và vuông góc với (P).
b. Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm M, N.
c. Viết phương trình mặt cầu có đường kính MN.
d. Viết phương trình mặt phẳng (β) song song với (P) và cách (P) một khoảng bằng khoảng cách từ
M đến (P)
Bài 4. Cho mặt cầu (S):
+ + + + − + =
2 2 2
x y z 2x 4y 6z 5 0
và mặt phẳng (P): 2x – 2y + z – 4 = 0
a. Xác định tâm I, tính bán kính R của mặt cầu (S).
b. Viết phương trình mặt phẳng (α) song song với (P) và tiếp xúc với (S).Tìm tọa độ tiếp điểm
c. Viết phương trình đường thẳng d đi qua tâm I và vuông góc với mặt phẳng (P).
Bài 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1;0;0), B(1;1;1), C
1 1 1
; ;
3 3 3
 
 ÷
 
a. Viết phương trình mặt phẳng (α) vuông góc với OC tại C.
15
Các chuyên đề ôn thi tốt nghiệp môn toán -2011-Nguyễn Kiếm-CĐSP
b. Viết phương trình mặt cầu (S) tâm B, bán kính bằng
2
.Chứng minh rằng mặt phẳng (α) cắt mặt
cầu (S).
Bài 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(3;-2;-2), mặt phẳng (P): 2x – 2y +z – 1 =0
a. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, vuông góc với (P).

b. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P). Tìm tọa độ điểm M thuộc Ox sao cho đoạn thẳng AM
bằng khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P).
c. Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A và tiếp xúc với (P)
Bài 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(2;-1;3), mặt phẳng (P): x – 2y -2z – 10 =0
a. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, vuông góc với (P).
b. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P). Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và
cách (P) một khoảng bằng khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P).
c. Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A và tiếp xúc với (P)
Bài 8. Cho A(1;-2;0),B( -3;4;2) và mặt phẳng (P): 2x + 2y +z – 7 =0
a. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với (P).
b. Tính khoảng cách từ trung điểm I của AB đến mặt phẳng (P).
c. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, vuông góc với (P). Tìm tọa độ điểm A
’
đối xứng với A
qua (P)
Bài 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(1;-2;3), đường thẳng d:
1 2 3
2 1 1
x y z+ − +
= =
−
a. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, vuông góc với d.Tìm tọa độ giao điểm H của d và (P).
b. Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng d. Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A và tiếp xúc với d.
Bài 10. Cho mặt cầu (S):
+ + + + + + =
2 2 2
x y z 2x 4y 6z 11 0
,mặt phẳng (P): x – 2y - 2z + 2 = 0 và hai điểm
A(-1; -1; -2) , B(-3;4;2)
a.Xác định tâm I, tính bán kính R của mặt cầu (S).

b. Tính khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P).Chứng minh mặt phẳng (P) không cắt (S).
c. Viết phương trình mặt phẳng(Q)đi qua hai điểmA, B và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán
kính lớn nhất.
Bài 12. Cho ba điểm A(1;0;-1), B(1;2;1), C(0;2;0). Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.
a. Viết phương trình đường thẳng OG.
b. Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm O, A, B, C.
c. Viết phương trình mặt phẳng vuông góc với OG và tiếp xúc với (S).
d. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua O, G và cách đều hai điểm A, B.
e. Xác định tọa độ tâm I và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài 13. Cho hai mặt phẳng (P): 2x- 2y +z – 5 = 0; (Q): x + 2y +2z + 1 =0
a. Chứng minh rằng (P) vuông góc với (Q).
b. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M( 1; 2; 3 ) và vuông góc với hai mặt phẳng (P), (Q).
c.Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng d:
2
1
1
x t
y
z t
=


= −


= −

và tiếp xúc với hai hai mặt
phẳng (P), (Q).
Bài 14. Cho mặt phẳng (P): x + y + z + 5 = 0 và đường thẳng d:

1 1 2
2 1 3
x y z+ − +
= =
a. Tìm giao điểm A của d và (P).
b. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc với (P).
c. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d lên mặt phẳng (P).
16
Cỏc chuyờn ụn thi tt nghip mụn toỏn -2011-Nguyn Kim-CSP
Bi 15.Cho mt phng (P): 2x + 3y 3z + 1 = 0,
3 5
:
2 9 1
x y z
d
+
= =
v ba im A(4;0;3), B(-1;-1;3),
C(3;2;6).
a) Vit phng trỡnh mt cu (S) i qua ba im A, B, C v cú tõm thuc (P)
b) Vit phng trỡnh mt phng (Q) cha ng thng d v ct mt cu (S) theo mt ng trũn cú bỏn
kớnh ln nht.
Bi 16 Cho ba im A(1;0;-1), B(2;3;-1), C(1;3;1) v ng thng
: 1
3 2
x t
d y t
z t
=

= +


=

a) Tỡm im D thuc d sao cho th tớch t din ABCD bng 1.
b) Vit phng trỡnh tham s ca ng thng i qua trc tõm H ca tam giỏc ABC v vuụng gúc vi
(ABC)
Bi 17. Cho mt phng (P): 2x y + 2z + 1 = 0 v ng thng
1 1
:
1 2 2
x y z
d

= =

a) Tỡm ta giao im ca d v (P) v vit phng trỡnh hỡnh chiu vuụng gúc ca d lờn (P)
b) Vit phng trỡnh mt cu cú tõm thuc ng thng d v tip xỳc vi mt phng (P) v (Oxy).
Bi 18.Cho hai im A(2;0;0), M(0;-3;6) v (P): x +2y -9 = 0
a)Gi (S) l mt cu tõm M v cú bỏn kớnh OM. Chng minh (P) tip xỳc vi (S). Tỡm ta tip im.
b) Vit phng trỡnh mt phng (Q) cha A,M v (Q) ct Oy, Oz ti B, C sao cho th tớch t din OABC
bng 3.
Bi 19. Cho hai im A(0;0;4), B(2;2;0) v mt phng (P): 2x + y - z + 5 = 0
a) Vit phng trỡnh hỡnh chiu vuụng gúc ca ng thng AB lờn (P)
b) Vit phng trỡnh mt cu i qua O, A, B v tip xỳc vi (P)
Bi 20.Cho hai ng thng
1 2
x t

x y 1 z
d : ; d : y 1 2t
1 2 1
z 1 3t
=

+

= = =


= +


a) Chng minh d
1
, d
2
chộo nhau v vit phng trỡnh mt phng (P) cỏch u hai ng thng d
1
,d
2
.
b) Vit phng trỡnh ng thng ct d
1
, d
2
v song song vi ng thng
x 4 y 7 z 3
:

1 4 2

= =

Bi 21. Cho ba im A(1 ; 1 ; 0), B(0 ; 2 ; 0), C(0 ; 0 ; 2)
a) Vit phng trỡnh mt phng (P) i qua gc O v vuụng gúc vi BC. Tỡm ta giao im ca AC
vi (P).
b) Chng minh tam giỏc ABC vuụng. Vit phng trỡnh mt cu ngoi tip t din OABC
Bi 22. Cho
1 2 3
:
2 1 1
x y z
= =

v (P): x -2y +z -3=0, (Q): x +y-2z-2=0.
a) Chng minh hai mt phng (P), (Q) song song vi nhau.Tỡm giao im A, B ca ng thng
vi hai mt phng (P), (Q)
b) Vit phng trỡnh mt cu cú tõm thuc v tip xỳc vi (P) v (Q).
Bi 23. Cho điểm A(10; 2; -1) và đờng thẳng d có phơng trình
1 1
2 1 3
x y z
= =
a) Vit phơng trình mặt phẳng (P) đi qua A, vuụng gúc vi ng thng d. Tỡm giao im H ca (P)
v ng thng d.
b) Vit phơng trình mặt phẳng (Q) cha ng thng d và khoảng cách từ A tới (Q) là lớn nhất.
Bi 24. Cho mt cu (S) :
( ) ( )
921

2
2
2
=+++ zyx
v ng thng d :
22
1
1
=

=
zyx
17
Các chuyên đề ôn thi tốt nghiệp môn toán -2011-Nguyễn Kiếm-CĐSP
a) Xác định tâm I, tính bán kính mặt cầu (S). Gọi A, B là giao điểm của d và mặt cầu (S), tính độ dài
đoạn thẳng AB.
b) Lập phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng d và cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có
bán kính bằng 2 .
Chuyên đề 6. Khối đa diện, mặt cầu, mặt tròn xoay.
1. Khối chóp: Có một cạnh bên vuông góc với đáy, chóp đều, có hai mặt vuông góc với đáy, có một
mặt vuông góc với đáy.
Bài 1.1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, cạnh bên SA vuông góc với mặt
phẳng (ABC) . Mặt bên (SBC)là tam giác đều cạnh
2a
. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
Bài 1.2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh bên SA vuông góc với
mặt phẳng (ABC) và AB = a .Mặt bên (SBC) tạo với đáy (ABC) một góc 60
0
. Tính thể tích khối chóp
S.ABC và khoảng cách từ A đến (SBC) theo a.

Bài 1.3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt
phẳng (ABCD), cạnh bên SC tạo với đáy một góc 45
0
.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm SB, CD và K, H lần lượt là trung điểm MN, MD. Tính thể tích khối
chóp BKHD.
Bài 1.4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chử nhật, AB = a, BC = 2a,cạnh bên SA vuông
góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = AC. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
Bài 1.5. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a và AC =
3a
; cạnh bên
SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA =
2a
.Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
Bài 1.6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a; cạnh bên SA vuông góc với
mặt phẳng (ABCD) và SA = AC.Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng
AD và SC theo a
Bài 1.7. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với mặt
phẳng (ABC) và SA = AB = BC = a.Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
Bài 1.8. (TN-2008) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a , BC =
3a
;
cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = 3a.
1. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
2. Gọi I là trung điểm cạnh SC, tính độ dài đoạn thẳng BI.
Bài 1.9.(TN-2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a; cạnh bên SA
vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SB =
3a
.

1. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
2. Chứng minh rằng trung điểm của cạnh SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
Bài 1.10. ( CĐ- 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AB = BC = a, AD= 2a,
·
·
0
D 90BA ABC= =
,SA vuông góc với đáy (ABCD), SA = 2a.Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SD.
Chứng minh BCNM là hình chử nhật và tính thể tích khối chóp S.BCMN
Bài 1.11. ( D- 2006) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA =2a và vuông
góc với (ABC). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các đường thẳng SB, SC. Tính thể
tích khối chóp A.BCNM
Bài 1.12. ( D- 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang,
·
·
0
D 90ABC BA= =
, BA =BC= a, AD
= 2a, SA =a
2
và vuông góc với (ABCD). Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng SB.
Chứng minh tam giác SCD vuông và tính khoảng cách từ H đến (SCD)
Bài 2.1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, Mặt bên (SBC) là tam giác
đều và vuông góc với đáy (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD , góc giữa SC và đáy ABCD
18
Các chuyên đề ôn thi tốt nghiệp môn toán -2011-Nguyễn Kiếm-CĐSP
Bài 2.2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, Mặt bên (SAB) là tam giác
đều và vuông góc với đáy (ABCD). Gọi M là điểm thuộc cạnh BC và CM =
4
a

.Tính thể tích khối chóp
S.ABCD và khoảng cách từ S đến DM.
Bài 2.3. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân, AB= AC=SA = SB = a, Mặt bên (SBC)
vuông góc với đáy (ABC) .
1. Chứng minh tam giác SBC vuông.
2. Tính thể tích khối chóp S.ABC khi SC =
2a
.
Bài 3.1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A và
·
0
30ABC =
, trung tuyến DA = a.
Mặt bên (SAB), (SAC) vuông góc với đáy (ABC) .SD tạo với đáy (ABC) một góc 30
0
. Tính thể tích
khối chóp S.ABC.
Bài 3.2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A và
·
0
30ABC =
, trung tuyến DA = a.
Mặt bên (SAB), (SAC) vuông góc với đáy (ABC) và
·
0
60SDA =
.
1. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
2. Mặt phẳng (P) qua A, vuông góc với SD, cắt hình chóp theo thiết diện là tam giác AMN. Tính
diện tích tam giác AMN và tỉ số thể tích của hai khối đa diện tạo bởi (P) và khối chóp S.ABC

Bài 3.3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a . Mặt bên (SAB), (SAD)
vuông góc với đáy (ABCD) và (SBC) tạo với đáy một góc 30
0
.
1. Tính thể tích khối chóp S.ABCD .
2. Hình chiếu của A lên SB, SD lần lượt là H, K. Chứng minh SC vuông góc với (AHK)
tại I. Tính diện tích tứ giác AHIK và thể tích khối chóp S.AHIK
Bài 4.1. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và đáy bằng 60
0
.
Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Bài 4.2. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng a, mặt bên hợp với đáy một góc α.
a) Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.
b) Chứng minh rằng
3
4 3
27
a
V ≤
. Tìm α để thể tích V của khối chóp S.ABCD lớn nhất.
Bài 4.3.Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên tạo với đáy một góc 60
0
a) Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.
b) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SB, BC, AD.Tính thể tích khối chóp BMNP
Bài 4.4. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy, cạnh bên bằng a.
a) Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.
b) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AD, SC. Mặt phẳng (MNP) cắt SB, SD tại Q, R. Tính
QB, RD.
c) Chứng minh rằng mặt phẳng (MNP) chia khối chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau.
Bài 4.5. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng

2 6
, đường cao SO = 1. Gọi M, N là
trung điểm của AC, AB. Tính thể tích V của khối chóp SAMN và bán kính hình cầu nội tiếp hình chóp
SAMN
Bài 4.6. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy, cạnh bên bằng a.
a) Chứng minh SA vuông góc với SC.
b) Tính thể tích V của khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa AD và (SBC).
Bài 4.7. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, mặt bên tạo với đáy một góc 45
0
.Tính
thể tích V của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa BC và SA.
Bài 4.8. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB = a. Các cạnh bên tạo với đáy một góc 60
0
. Gọi
D là giao điểm của SA với mặt phẳng qua BC, vuông góc với SA.
a) Tính thể tích của khối chóp S.ABC
b) Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.DBC và S.ABC.
19
Các chuyên đề ôn thi tốt nghiệp môn toán -2011-Nguyễn Kiếm-CĐSP
Bài 4.9. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy một góc
60
0
. Gọi M là trung điểm của SC. Mặt phẳng đi qua AM, song song với BD cắt SB, SD tại E, F.Tính thể
tích của khối chóp S.AEMF.
Bài 5.1. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, trên các cạnh AB, AC lấy B
’
,

C
’

sao cho
' '
2
,
2 3
a a
A B AC= =
. Tính
thể tích của hai khối chóp ABCD và AB
’
C
’
D
Bài 5.2. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và SA
= AC. Gọi N là trung điểm của SC, mặt phẳng chứa AN song song với BD lần lượt cắt SB, DS tại M, P.
Tính thể tích của khối đa diện ABCDPNM.
Bài 5.3. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy ABCD là hình chử nhật, AB = a, AD = 2AB và SA vuông
góc với đáy, SA = AC. M là điểm thuộc cạnh SA, AM =
2
3
SA
. Mặt phẳng (MBC) cắt SD tại N. Tính
thể tích của khối chóp S.ABCD và khối đa diện ABCDMN.
Bài 5.4. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy một góc
60
0
. Tính khoảng cách giữa SA và CD. Mặt phẳng (P) qua AC và vuông góc với (SAD) chia hình chóp
thành hai phần, tính tỉ số thể tích của hai phần đó.
Bài 5.5. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy ABCD là hình thang vuông có đường cao AB = a, đáy nhỏ
CD = a,

·
0
AD 45C =
, SA =
2a
và vuông góc với đáy.
a) Tính thể tích của khối chóp SABCD
b) Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM = x ( 0 < x < a). Mặt phẳng qua M, song song với (SBC) cắt
CD, SD , SA tại N, P, Q. Tính diện tích tứ giác MNPQ và Tính thể tích của khối đa diện AMNDPQ khi
diện tích tứ giác MNPQ lớn nhất.
2. Khối lăng trụ
Bài 1.1. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A
’
B
’
C
’
có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên AA
’
= 2a.
Gọi I là trung điểm AB và J là hình chiếu vuông góc của I lên AC. Mặt phẳng (C
’
IJ) chia khối lăng trụ
thành hai phần. Tính tỉ số thể tích giữa hai phần đó.
Bài 1.2. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A
’
B
’
C
’

có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên AA
’
= a.
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm BC, CC
’
và C
’
A
’
.Chứng minh (MNP) ⊥ (AA
’
B
’
B) và (MNP) chia
khối lăng trụ thành hai phần có thể tích bằng nhau.
Bài 1.3. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A
’
B
’
C
’
có đáy ABC là tam giác vuông tại B. Chứng minh ∆AB
’
C
’

và ∆AB
’
C chia chia khối lăng trụ thành ba phần có thể tích bằng nhau.
Bài 1.4. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A

’
B
’
C
’
có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên AA
’
= 2a.
Các mặt phẳng (ABC
’
), (AB
’
C) và (A
’
BC) đồng quy tại O. Kẻ OH ⊥ (ABC). Chứng minh rằng H là
trọng tâm tam giác ABC và tính thể tích của khối chóp O.ABC.
Bài 1.5. Cho khối lăng trụ đứng ABC.A
’
B
’
C
’
có đáy là tam giác ABC vuông tại A, AC = b,
·
0
60ACB =
.
Đường thẳng BC
’
tạo với mặt phẳng (AA

’
C
’
C) một góc 30
0
.
1. Tính độ dài đoạn thẳng AC
’
.
2. Tính thể tích khối khối lăng trụ ABC.A
’
B
’
C
’
.
Bài 1.6. Cho khối lăng trụ đứng ABC.A
’
B
’
C
’
có diện tích đáy bằng S và AA
’
= h. Mặt phẳng (P) cắt các
cạnh AA’, BB’, CC’ lần lượt tại A
1
, B
1
, C

1
.Biết AA
1
= a, BB
1
= b, CC
1
= c
1. Tính thể tích hai phần khối lăng trụ được phân chia bởi (P).
2. Với điều kiện nào của a, b, c thể tích hai phần đó bằng nhau.
Bài 1.7. Cho khối lăng trụ đứng ABC.A
’
B
’
C
’
có đáy là tam giác ABC đều cạnh a. Điểm A
’
cách đều ba
điểm A, B, C, cạnh bên AA
’
tạo với đáy một góc 60
0
.
1. Tính thể tích khối khối lăng trụ ABC.A
’
B
’
C
’

.
2. Chứng minh mặt bên BCC
’
B
’
là hình chử nhật
Lăng trụ xiên. ( Dành cho thi đại học)
20
Các chuyên đề ôn thi tốt nghiệp môn toán -2011-Nguyễn Kiếm-CĐSP
Bài 2.1. Cho hình lăng trụ ABC.A
’
B
’
C
’
có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc C
’

xuống mặt phẳng (ABC) là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. Cạnh bên tạo với đáy một góc 60
0
. Tính
thể tích khối khối lăng trụ ABC.A
’
B
’
C
’
và khoảng cách từ O đến CC
’
; Tính góc nhị diện cạnh CC

’
.
Bài 2.2. Cho hình lăng trụ ABC.A
’
B
’
C
’
có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc B
’

xuống mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm I của cạnh AC. Tính thể tích khối khối lăng trụ
ABC.A
’
B
’
C
’
và diện tích thiết diện thẳng; chứng minh tứ giác AA’C’C là hình chử nhật.
Bài 2.3. Cho hình lăng trụ ABC.A
’
B
’
C
’
có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc A
’

xuống mặt phẳng (ABC) là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC . Tính thể tích khối khối lăng trụ
ABC.A

’
B
’
C
’
, biết khoảng cách từ O đến BB
’
bằng d.
Bài 2.4. Cho hình lăng trụ ABC.A
’
B
’
C
’
có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc A
’

xuống mặt phẳng (ABC) trùng với trực tâm H của ∆ABC . Cạnh bên tạo với đáy một góc 30
0
. Tính thể
tích khối khối lăng trụ ABC.A
’
B
’
C
’
; chứng minh AA
’
⊥BC.
Bài 2.5.Cho lăng trụ tam giác ABC.A

’
B
’
C
’
, đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của
A
’

trên (ABC) là trực tâm H của ∆ABC. Cạnh bên AA
’
tạo với (ABC) một góc 60
0
. Tính thể tích của
khối lăng trụ ABC.A
’
B
’
C
’
và diện tích mặt bên BCC
’
B
’
.
Bài 2.6. (A- 08) Cho lăng trụ ABC.A
’
B
’
C

’
có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại
A, AB = a, AC =
3a
và hình chiếu vuông góc của đỉnh A
’
trên (ABC) là trung điểm cạnh BC. Tính
theo a khối chóp A
’
.ABC và cosin của góc giữa hai đường thẳng AA
’
, B
’
C
’
Khối hộp.
Bài 3.1.Cho hình hộp ABCD.A
’
B
’
C
’
D’, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, góc giữa đường chéo và đáy
bằng 60
0
.
a) Tính thể tích khối hộp
b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm BB
’
, DD

’
. Chứng minh MN⊥AC
’
tại trung điểm mỗi đoạn và
tích góc giữa (C
’
MN) và (ABCD)
Bài 3.2.Cho hình hộp đứng ABCD.A
’
B
’
C
’
D’ có AB = a, AD = b , AC’ tạo với đáy ABCD một góc 30
0
,
O là tâm của hình hộp.
a) Tính thể tích khối hộp
b) Tính khoảng cách giữa BD và AC
’
.
Bài 3.3. Cho hình lập phương ABCD.A
’
B
’
C
’
D’có cạnh bằng a. Gọi M thuộc AB, AM = x (0<x<a). Mặt
phẳng (M, A
’

C
’
) chia khối lập phương thành hai khối đa diện. Tìm x để thể tích khối này bằng 2 lần thể
tích khối kia
Bài 3.4. Cho hình lập phương ABCD.A
’
B
’
C
’
D’có cạnh bằng a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
AA
’
và BD
’
và chứng minh: BD
’
⊥ (DA
’
C
’
)
Bài 3.5. Cho hình lập phương ABCD.A
’
B
’
C
’
D’. Mặt phẳng chứa AC và đi qua trung điểm M của B
’

C
’

chia chia khối lập phương thành hai khối đa diện. Tính tỉ số thể tích của hai khối đa diện đó
Bài 3.5. Cho hình hộp chử nhật ABCD.A
’
B’C’D’ có AB = a, BC = b, AA’ = c. Gọi E, F lần lượt là
trung điểm của B’C’ và C’D’. Mặt phẳng (AEF) chia hình hộp thành hai hình đa diện (H) và (H’),
trong đó (H) là hình đa diện chứa đỉnh A’. Tính thể tích của (H) và (H’).
Bài 3.6. Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh a và điểm M trên cạnh AB, AM = x (0 < x < a).
Mặt phẳng (A’C’M) cắt cạnh BC tại N, chia hình lập phương thành hai khối đa diện. Tìm x để thể tích
một trong hai khối đa diện đó gấp đội khối đa diện kia
Bài 3.7. Cho hình hộp chử nhật ABCD.A’B’C’D’ và M là trung điểm cạnh AD. Mặt phẳng (A’BM) chia
hình hộp thành hai khối đa diện. Tính tỉ số thể tích của hai khối đa diện đó.
3. Khối cầu, khối trụ, khối nón
Khối cầu.
Bài 1.1. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chử nhật, AB = 3a, AD = 4a. SA ⊥ (ABCD) và SA
= 12a.
a) Tính diện tích mặt cầu ngoại (S
1
) tiếp hình chópS.ABCD.
21
Các chuyên đề ôn thi tốt nghiệp môn toán -2011-Nguyễn Kiếm-CĐSP
b) Mặt phẳng (α) qua A, vuông góc với SC cắt SB, SC, SD tại M, E, N. Chứng minh 7 điểm A, B, C, D,
M, N, EI cùng thuộc một mặt cầu ( S
2
) .Tính tỉ số diện tích của hai mặt cầu đó.
Bài 1.2. Cho lăng trụ ABC. A
’
B

’
C
’
có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại
tiếp ∆ABC, hình chiếu A
’
xuống (ABC) trùng với điểm O. Cạnh bên hợp với đáy một góc α mà
1
cos
3
α
=
.
a) CM: A
’
.ABC là tứ diện đều.
b) Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Bài 1.3. Cho tứ diện S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông cân có cạnh huyền AC = 2a, (SAC) ⊥ (ABC)
và hai mặt bên (SAB), (SCB) tạo với (ABC) một góc α mà
tan 2
α
=
. Kẻ SO ⊥ (ABC)
a) Chứng minh O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC.
b) Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC cắt (SAB), (SCB) theo các đường tròn (C
1
), (C
2
). Chúng minh (C
1

),
(C
2
) và tính tổng diện tích của hai hình tròn đó.
Bài 1.4.Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là hai tam giác đều có cạnh BC = a. Mặt ( DBC) tạo với
(ABC) một góc 2α mà
1
os2
3
c
α
= −
. Xác định tâm , bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đó.
Bài 1.5.Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD). Mặt phẳng (α) đi qua
A, vuông góc với SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại B
’
, C
’
, D
’
.
a) Chứng minh rằng các điểm A, B, C, D, B
’
, C
’
, D
’
thuộc một mặt cầu cố định.
b) Tính diện tích của mặt cầu và thể tích khối cầu đó.
* Khối tru.

Bài 2.1. Cho hình trụ có hai đáy là đường tròn (O), (O
’
) và hình vuông ABCD nội tiếp (O). Kẻ các
đường sinh AA
’
, BB
’
.
1.
Chứng minh tứ giác A
’
B
’
CD là hình chử nhật.
2.
Cho bán kính đáy hình trụ bằng a, mặt phẳng (A
’
B
’
CD) tạo với đáy một góc 60
0
. Tính thể
tích khối trụ và khối đa diện ABCDB
’
A
’
Bài 2.2.( Khối A-06) Cho hình trụ có bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a. Trên đường tròn (O) lấy
điểm A, trên (O
’
) lấy điểm B sao cho AB = 2a. Tính thể tích khói chóp OO

’
AB
Bài 2.3. Cho hình trụ có trục OO
’
, bán kính đường tròn đáy bằng a. Gọi AB là dây cung của đường tròn
(O) sao cho ∆O
’
AB đều và ( O
’
AB) tạo với đáy của (O) một góc 60
0
. Tính thể tích và diện tích xung
quanh của hình trụ
Bài 2.4. Cho hình trụ có hai đáy là hai đường tròn tâm O, O
’
có bán kính bằng a. Trên (O) lấy điểm A,
trên (O’) lấy điểm B sao cho AB = 2a và AB tạo với trục OO
’
một góc 60
0
.
a) Tính thể tích hình trụ và tính khoảng cách giữa trục OO
’
và AB
b) Tính thể tích tứ diện OAO
’
B.
Bài 2.5. Cho hình trụ có trục OO
’
, bán kính đáy bằng R, thiết diện qua trục là hình vuông. Gọi ABCD là

hình vuông nội tiếp đường tròn (O), AA
’
là đường sinh của hình trụ.
a) Tính tỷ số thể tích của hai hình chóp O
’
.ABCD và A
’
ABCD.
b) Dựng thêm đường sinh DD
’
, tính thể tích khối đa diện A
’
ABD
’
DC.
Bài 2.6. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A
’
B
’
C
’
có đáy là tam giác đều cạnh bằng a. Khoảng cách từ A đến
(A
’
BC) bằng
3
13
a
. Tính thể tích của hình trụ ngoại tiếp lăng trụ ABC.A
’

B
’
C
’

Bài 2.7. Cho hình trụ có trục OO
’
và OO
’
=
3a
. Gọi I là trung điểm của OO
’
, ABCD là thiết diện song
song với trục của hình trụ, với A, B thuộc đường tròn (O). Đường chéo AC tạo với trục OO
’
một góc 30
0
và khoảng cách từ I đến (ABCD) bằng
3
2
a
.
a) Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình trụ
22
Các chuyên đề ôn thi tốt nghiệp môn toán -2011-Nguyễn Kiếm-CĐSP
b) Kẻ OH ⊥AB cắt (O) tại E, F. Tính thể tích khối chóp I.AEBF
Bài 2.8. Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R, đường cao OO
’
= h, AB và CD là hai đường kính của (O),

(O
’
) và
( )
, DAB C
α
=
. Gọi ϕ là góc tạo bởi (ACD) và mặt phẳng chứa đường tròn (O
’
). Tính diện tích
∆ACD và góc ϕ. Tìm α để thể tích khối chóp ABCD lớn nhất.
* Khối nón.
Bài 3.1. Cho hình nón có bán kính đáy r = 12 cm, góc ở đỉnh α = 120
0
. Tính diện tích xung quanh và
thể tích của hình nón.
Bài 3.2. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao SO bằng a và
·
0
60SAB =
. Tính diện tích xung
quanh và thể tích của hình nón có đỉnh S và đáy là đường tròn :
a. Ngoại tiếp hình vuông ABCD b. Nội tiếp hình vuông ABCD
Bài 3.3. Cho hình nón đỉnh S, đáy là đường tròn tâm O, bán kính r, đường sinh bằng đường kính đáy.
Thiết diện qua đỉnh là tam giác SAB có
·
0
30SAB =
a. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón.
b. Tính diện tích thiết diện và khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng (SAB)

Bài 3.4. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên bằng a, góc giữa mặt bên và đáy bằng 60
0
.
Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón có đỉnh S và đáy là đường tròn :
a. Ngoại tiếp tam giác ABC b. Nội tiếp tam giác ABC
Bài 3.5. Cho hình nón đỉnh S, đáy là đường tròn tâm O. Thiết diện qua đỉnh là tam giác SAB tạo với đáy
một góc 60
0
.Biết
·
0
90AOB =
, khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng (SAB) bằng a. Tính diện tích xung
quanh và thể tích của hình nón.
Bài 3.6. Cho hình nón đỉnh S, đáy là đường tròn tâm O, chiều cao SO = 2a, AB là một dây cung của
đường tròn đáy sao cho tam giác OAB đều. Mặt phẳng (SAB) tạo với đáy một góc 60
0
.
a. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón.
b. Tính diện tích thiết diện và khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng (SAB)
* Bài tập tổng hợp.
Bài 4.1. Cho hình trụ có bán kính đáy bằng a và trục OO
’
=
2a
. Gọi AB là dây cung của đường tròn
(O) sao cho
·
AOB
α

=

2
π
α π
 
< <
 ÷
 
.Dựng hai đường sinh AM, BN và gọi I là trung điểm của OO
’
.
a) Tính đường chéo AN và khoảng cách từ I đến (AMNB)
b) Tính thể tích của các tứ diện OO’AN, OO
’
BM.
Bài 4.2. Cho hình nón có đỉnh S, đáy là đường tròn (O), bán kính bằng 2a. Gọi SAB là thiết diện qua
đỉnh và tạo với (OAB) một góc α mà
tan 3
α
=
,
·
0
120AOB =
. Tính tỷ số thể tích của hình nón và hình
cầu ngoại tiếp tứ diện SOAB.
Bài 4.3. Cho hình chóp tam giác đều SABC, đáy ABC là tam giác đều cạnh a, mặt bên tạo với đáy góc
α.
a) Tính thể tích của hình chóp SABC

b) Tính thể tích hình nón đỉnh S, đáy là đường tròn ngoại tiếp ∆ABC
c) Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC.
Bài 4.4. Cho hình trụ có bán kính đáy bằng a, thiết diện qua trục là hình vuông.
a) tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ
b) Tính tỉ số thể tích hình cầu nội và ngoại tiếp hình trụ
Bài 4.5. Cho hình nón có đỉnh S, đáy là đường tròn (O) và hai đường sinh SA, SB sao cho (SOA),
(SOB) hợp với nhau thành góc 2α, (SAB) tạo với đáy góc bằng 60
0
, khoảng cách từ tâm O đến (SAB)
bằng a.
a) Tính thể tích V
1
của hình nón
b) Gọi V
2
là thể tích của hình cầu tâm O, tiếp xúc với (SAB). Tìm góc α để 9V
1
= 8V
2
.
23
Các chuyên đề ôn thi tốt nghiệp môn toán -2011-Nguyễn Kiếm-CĐSP
Bài 4.6. Cho hình trụ có trục OO
’
. Xét hình vuông ABCD có AB = a và A, B thuộc (O); C, D thuộc
(O
’
). Mặt phẳng (ABCD) tạo với đáy (O) một góc 45
0
. Tính thể tích của hình trụ.

Bài 4.7. Cho hình nón có bán kính đáy bằng a, thiết diện qua trục là tam giác đều. Tính thể tích hình trụ
nội tiếp hình nón, biết thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông.
Bài 4.8. Cho hình cầu tâm O, bán kính R. Xét hình trụ nội tiếp hình cầu có chiều cao bằng h.
a) Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình trụ theo R, h
b) Tìm h để diện tích xung quanh có giá trị lớn nhất, khi đó chứng minh rằng thiết diện qua trục của hình
trụ là một hình vuông.
c) Tính tỉ số
h
R
để thể tích hình trụ đạt giá trị lớn nhất.
Bài 4.9. Cho hình cầu tâm O, đường kính SS
’
= 2a. Trên đoạn SS
’
lấy điểm H sao cho
'
S 1
S 2
H
H
=
. Mặt
phẳng (α) qua H, vuông góc với SS
’
cắt mặt cầu (O) theo đường tròn tâm H, bán kính r. Gọi ABC là tam
giác nội tiếp đường tròn (H).
a) Tính diện tích ∆ABC
b) Chứng minh S
’
ABC là hình chóp có ba mặt vuông và SABC là tứ diện đều

c)Tính tỉ số thể tích của khối gồm 2 hình nón đỉnh S, đỉnh S
’
có chung đáy là đường tròn (H)và khối cầu
tâm O.
Bài 4.10. Cho tam giác vuông ABC, vuông tại A với AB = c, AC = b. Quay ∆ABC lần lượt quanh AB,
AC, BC ta được 3 khối tròn xoay.
a) Các khối tròn xoay đó là khối gì?
b) Gọi V
1
, V
2
, V
3
lần lượt là thể tích của ba khối đó. Tìm mối liên hệ giữa V
1
, V
2
, V
3

Bài 4.11. Cho tam giác vuông cân ABC(AB = AC) với BC = 60 cm.
a) Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay khi quay đường gấp khúc CBA xung quanh trục là
đường thẳng chứa cạnh AB và góc ở đỉnh của hình nón.
b) Gọi (C) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính thể tích khối khi quay hình tròn giới hạn bởi (C)
xung quanh trục là đường thẳng chứa cạnh BC.
Bài 4.12 Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông ABCD cạnh bằng a.
a) Tính thể tích xung quanh của hình trụ có trục là đường thẳng chứa cạnh AB.
b) Tính diện tích mặt cầu chứa hai đường tròn đáy của hình trụ trên
Chuyên đề 7. 10 đề tự luyện
24

Các chuyên đề ôn thi tốt nghiệp môn toán -2011-Nguyễn Kiếm-CĐSP
ĐỀ SỐ 1
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7,0 điểm )
Câu I ( 3,0 điểm ) Cho hàm số
4 2
2 1y x x= − +

1.Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C ), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 24x – y +1=0
3. Tìm m để phương trình:
( )
4 2
3
2 log 2 3 0x x m− − − =
có bốn nghiệm phân biệt
Câu II ( 3,0 điểm )
1. Giải phương trình
2 1
3 9.3 6 0
x x+
− + =
2. Tính tích phân
2
2
1
lnx x
I dx
x
+
=

∫
3. Tìm m để hàm số
( )
3 2 2
3 1y x mx m x m= − + − +
đạt cực đại tại
2x =
.
Câu III ( 1,0 điểm )
Cho khối chóp tam giác S.ABC, đáy là tam giác vuông ABC có
,AB AC BC a= =
.Mặt bên SBC là
tam giác đều và vuông góc với đáy . Tính thể tích của khối chóp S.ABC và bán kính mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp S.ABC theo a.
II. PHẦN RIÊNG ( 3,0 điểm ) Thí sinh chọn một trong hai phần sau
Phần 1. Theo chương trình Chuẩn:
Câu IV.a ( 2,0 điểm )
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A( 1; 0; 0), B( 0; -2; 0) và C(0; 0 ; 4)
1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A, B, C.
2. Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với mặt phẳng
(P). Tìm giao điểm H của d và (P). Chứng minh H là trực tâm của tam giác ABC
Câu V.a ( 1,0 điểm )
Gọi
1 2
,z z
là hai nghiệm của phương trình:
2
2 5 4 0z z− + =
. Tính giá trị của biểu thức

( )
( )
2 2
2 2
1 2 1 2
P z z z z= + +
Phần 2. Theo chương trình Nâng cao:
Câu IV.b ( 2,0 điểm )
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A( -1; 1; 2), B( 1; 2; -2) và C(0; 0 ; 3)
1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A, B, C.
2. Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác ABC và
vuông góc với mặt phẳng (P). Gọi H đối xứng với G qua (P). Tính độ dài đoạn thẳng GH.
Câu V.b (1,0 điểm )
Gọi
1 2
,z z
là hai nghiệm của phương trình:
2
2 1 0z iz− + =
. Tính giá trị của biểu thức

( )
( )
2 2
2 2
1 2 1 2
P z z z z= + +
25