Đề thi học sinh giỏi môn toán 2011 tỉnh Thanh Hoá

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HOÁ
Đề chính thức
Số báo danh
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
Năm học 2010- 2011

Môn thi: Toán
Lớp: 12 THPT
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 24/03/2011
(Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu).
Câu I. (4,0 điểm).
Cho hàm số
3 2 2
( 1) (4 ) 1 2y x m x m x m
= − + − − − −
(
m
là tham số thực), có đồ thị là
( ).
m
C
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với
1.m
= −
2) Tìm các giá trị của m để đồ thị
( )
m
C
có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.

Câu II. (6,0 điểm).
1) Giải phương trình:
cos2 cos3 sin cos4 sin 6 .x x x x x+ − − =

2) Giải bất phương trình:
2 4 2
6( 3 1) 1 0x x x x− + + + + ≤

( ).x ∈¡
3) Tìm số thực a để phương trình:
9 9 3 cos( )
x x
a x
π
+ =
, chỉ có duy nhất một nghiệm thực
.Câu III. (2,0 điểm). Tính tích phân:
( )
2
3
0
sin
.
sin 3cos
x
I dx
x x
π
=
+

∫
Câu IV. (6,0 điểm).
1) Cho tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng 1. Gọi M, N lần lượt là hai điểm thuộc
các cạnh AB, AC sao cho mặt phẳng (DMN) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Đặt

,AM x=
AN y=
. Tìm
,x y
để diện tích toàn phần của tứ diện DAMN nhỏ nhất.
2) Trên mặt phẳng toạ độ
,Oxy
cho đường thẳng
: 5 0x y∆ − + =
và hai elíp
2 2
1
( ) : 1
25 16
x y
E + =
,
2 2
2
2 2
( ) : 1 ( 0)
x y
E a b
a b
+ = > >

có cùng tiêu điểm. Biết rằng
2
( )E

đi qua điểm M thuộc đường thẳng
.∆
Tìm toạ độ điểm M sao cho elíp
2
( )E
có độ dài
trục lớn nhỏ nhất.
3) Trong không gian
,Oxyz
cho điểm
(0;2;0)M
và hai đường thẳng

1 2
1 2 3 2
: 2 2 ( ); : 1 2 ( )
1 , ,
x t x s
y t t y s s
z t z s
= + = +
 
 
∆ = − ∈ ∆ = − − ∈
 
 

= − + =
 
¡ ¡
.
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M song song với trục
O x
, sao cho (P) cắt hai
đường thẳng
1 2
,∆ ∆
lần lượt tại A, B thoả mãn
1AB =
.
Câu V. (2,0 điểm). Cho các số thực
, ,a b c
thoả mãn:
2 2 2
6
3.
a b c
ab bc ca

+ + =

+ + = −

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
6 6 6
.P a b c= + +

HẾT
Thí sinh không được sử dụng tài liệu.
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
SỞ GD & ĐT THANH HOÁ
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Gồm có 4 trang)
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
NĂM HỌC 2010 - 2011
MÔN THI: TOÁN
LỚP: 12 THPT
Ngày thi: 24 - 3 - 2011
Câu Ý
Hướng dẫn chấm
Điêm
Câu I
4,0 đ
1)
2,0đ
Với
1,m = −
ta được hàm số
3
3 1.y x x= − +
Tập xác định:
.¡
Giới hạn tại vô cực:
lim , lim .
x x

y y
→+∞ →−∞
= +∞ = −∞
Sự biến thiên:
2
' 3 3 0 1.y x x= − = ⇔ = ±
0,5
' 0 ( ; 1) (1; ).y x> ⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞
Hàm số đồng biến trên các khoảng
( 1)−∞ −
và
(1; )+∞
.
' 0 ( 1;1).y x< ⇔ ∈ −
Hàm số nghịch biến trên khoảng
( 1;1).−
Điểm cực đại của đồ thị
( 1;3),−
điểm cực tiểu của đồ thị
(1; 1).−
0,5
Bảng biến thiên:
0,5
Đồ thị đi qua điểm (-2; -1) và (2; 3).

Điểm uốn I(0; 1) là tâm đối xứng

0,5
2)
2,0đ

Ta có
2 2
' 3 2( 1) 4 ,y x m x m= − + − +
là tam thức bậc hai của x.
y' có biệt số
2
' 2 2 13.m m∆ = − + +
Nếu
' 0
∆ ≤
thì
' 0,y x≥ ∀
, suy ra yêu cầu bài toán không thoả mãn.
0,5
Nếu
1 3 3 1 3 3
' 0 ;
2 2
m
 
− +
∆ > ⇔ ∈
 ÷
 
, thì
' 0y =
có hai nghiện
1 2 1 2
, ( ).x x x x
<

Dấu của y':
0,5
Chọn
0 1 2 0
( ; ) '( ) 0.x x x y x∈ ⇒ <
Ycbt thoả mãn khi và chỉ khi tồn tại x sao
cho
0
'( ). '( ) 1y x y x
= − ⇔
pt:
2 2
0
1
3 2( 1) 4 0
'( )
x m x m
y x
− + − + + =
(1) có
nghiệm . Pt (1) có:
2
1
0
3 1 3 3 1 3 3
' 2 2 13 0, ; .
'( ) 2 2
m m m
y x
 

− +
∆ = − + + − > ∀ ∈
 ÷
 
0,75
Vậy giá trị cần tìm của m là
1 3 3 1 3 3
;
2 2
m
 
− +
∈
 ÷
 
.
0,25
Câu II
6,0 đ
1)
2,0đ
PT
0)3cos.3sin23(cossin)4cos2(cos =−+−−⇔ xxxxxx
0)3cos3cos3sin2()sin3sinsin2( =−−−⇔ xxxxxx
0,5
0)3cos)(sin13sin2( =−−⇔ xxx
0,5












+−=
+=
+=
+=
⇔












−=
=
⇔
π
π

ππ
ππ
ππ
π
kx
kx
kx
kx
xx
x
4
28
3
2
18
5
3
2
18
2
cos3cos
2
1
3sin

( ).k ∈¢
0,5
0,5
-2
-1

-1
1
1
3
2
x
y
O
H
A
B
C
D
M
N
x
y'
y
−∞
−∞
+∞
+∞
1
−
1
−
1
3
0 0
−

+
+
x -
+
'y
1
x
2
x
0
0
−
++
GHI CHÚ: Nếu học sinh giải cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa.